4曲线与曲面
第4章 曲线与曲面的创建与编辑
4.4.2 曲面的特殊结构 但是，在建模过程中遇见的很多曲面，从形态上来看与标准结构不同，其实这些
曲面也是属于4边结构，只是4个边的状态比较特殊，具体分类如下： (1)具有收敛点的曲面。
图4-51所示的3边曲面看似不遵循4边曲面的构造，显示其CV点，可以看出曲面具 有两个走向，只是其中一个走向的线在一端汇聚为一点（称为奇点或收敛点），是4 边曲面的特殊状态。也就是一个边的长度为0。虽然3边曲面也可以看做属于4边曲面 ，但是在构建曲面的时候，应尽量避免3边曲面，也就是尽量不要构建有奇点的曲面 （不包括由旋转命令形成的带有奇点的曲面）。
第4章 曲线与曲面的创建与编辑
4.1
曲线绘制
4.2
曲线形态编辑
4.3
曲线编辑工具
4.4
曲面的结构
4.5
曲面连续性的检测与分析工具
4.6
曲面的创建工具
4.7
曲面的编辑工具
4.1曲线绘制
4.1.1 关键点几何曲线 Rhino提供了一系列通过指定关键点来绘制标准几何曲线的工具。这类曲线的
绘制方式非常简单，只需要依据指令栏的提示，输入关键点的坐标，或鼠标光标取 点，即可完成绘制。
【圆】子工具列提供了多种绘制圆的命令，分别是：直径画圆、三点画圆、环 绕曲线画圆、切线画圆 、画与工作平面垂直的圆 、可塑圆与逼近数个点画圆。 这些不同的画圆方式同时以选项的形式集成在以【圆: 中心点、半径】命令的输入 圆心时的指令栏状态中。
(2)【圆: 环绕曲线】。 环绕曲线方式画圆可以绘制与指定曲线或曲面边缘上任意一点切线相垂直的圆。
图4-5
二、标准圆与可塑圆如何应用
上面阐述了标准与可塑圆的区别，那么在实际应用中，标准圆和可塑圆应该怎 么使用呢？在创建一个曲面时，标准圆和可塑圆最好不要混合使用。例如：在单轨 创建曲面时，若断面曲线是圆造型时，断面曲线要么都使用标准圆，要么都是用阶 数相同、CV点数量相同的可塑圆。不要有些断面曲线用标准圆，有些断面用可塑圆 。
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
第四章 曲线积分与曲面积分 第六节 高斯公式与散度
1 2 3 , 1 : z z1 ( x , y ) ,
第 十则 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
2 : z z2 ( x , y ),
z
z
z d x d y d z d x d y z ( x , y )
1
R
z2 ( x , y ) R
流速场，穿过有向曲面 的流量
v n dS
电位移为 D
电场，穿过有向曲面 的电通量
磁感应强度为 B 磁场，穿过有向曲面 B dS B n dS
D dS
D n dS
2 ( x y z )dxdydz h dS
2
2
, 0, z h
Dxy
z
1
h
2
2
d
0
0
h
d zdz h 4
h
h 2
1
4
o x
y
-9-
第六节
高斯公式与散度
例5 设函数
在闭区域 上具有一阶和
x v Qu y v Ru z
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式
第 十 章
曲 线 积 分 u v u v u v ( d x d y d z 与 x x y y z z 曲 面 其中 是整个 边界面的外侧. 积 P Q R 分 分析: 高斯公式 d x d ydz x y z
工程制图第六讲
不规则曲线—任意平面的曲线
曲线 规则曲线—螺旋线
空间曲线
不规则曲线—任意空间的曲线
平面曲线
§4-2 平面曲线
平面曲线——曲线上所有的点都位于同一平面内。 （一）平面曲线的投影特性（4点） 1、平面曲线的投影一般仍为平面曲线，当其所在平面平 行于投影面时，则在投影面上面时，则在投影面上
4-2
四心扁圆法
C、四心扁圆法（已知长、短轴AB、CD）
步骤： 1、作互相垂直的两直线，取长短轴。 2、以O为圆心，OA为半径作圆交DC于E。 ３、以C为圆心，CE为半径作圆交AC于F。 ４、求AF的中点P，过P作AF的垂线交 AB， CD于O1，O2，对称求O3，O4。 5、以O2、O4为圆心，CO2为半径画大圆弧。 6、以O1、O3为圆心，AO1为半径画小圆弧。
圆柱螺旋线
（二）圆柱螺旋线
1、形成 一动点在正圆柱表面上绕其 轴线作等速回转运动，同时沿 圆柱的轴线方向作等速直线运 动，则动点在圆柱表面上的轨 迹称为圆柱螺旋线。 2、术语 (a) 导圆柱面 轴线 直径 线数—n
(b)旋向（右旋：可见部分自左向右升高。左旋：可 见部分自右向左升高）
(c) 导程—S 螺距—t S=nt 螺旋角 升角
三、分类 曲面可根据其母线是直线还是曲线而分为直线面和 曲线面。曲面可以由直线也可由曲线形成的，仍为直 线面。掌握（圆）柱，（圆）锥，一般回转面。
常见曲面
§4-5常见曲面
一、柱面 1、柱面的形成——直母线沿曲导线运动，且始终平行于 直导线而形成的曲面。 2、柱面的画法：画出导线MN、曲导线A1B1的投影，轮廓 线AB、AA1、BB1，还有转向轮廓线CC1的投影。
反之
面可见——线可见——点可见 面不可见——线不可见——点不可见
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
建筑工程制图第4章 曲线与曲面立体的投影
两圆柱位置不同时相贯线的变化趋势
(a)
(b)
(c)
(d)
4.5 旋转楼梯
平螺旋面
螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
1．平螺旋面
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
平螺旋面的应用— 螺旋楼梯
4.5 旋转楼梯
4.5 旋转楼梯
Thanks
5 3
4.3 平面与曲面立体截交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。Fra bibliotek● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
B
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
4.3 平面与曲面立体截交
例4:圆锥被正平面截切，补全主视图。
● ●
e′
●
c d′
′
●
●
a′
b′
截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
底圆 母线 素线 顶圆 轴线
4.2 曲面立体及其表面上的点
例1：绘制圆柱的三视图。 O A
O1 A1
4.2 曲面立体及其表面上的点
例2：已知圆柱表面的点的投影1’、2’、3’、4，求其它两面投影。
4
1′
4″
1″
3
(2)
2″
3
利用投影的
积聚性 O A
2 1
4
3
O1 A1
相贯线 相贯线
微分几何中的曲线与曲面
微分几何中的曲线与曲面微分几何是现代数学的重要分支之一，研究的对象是曲线和曲面。
曲线与曲面是微分几何的基础概念，本文将通过介绍曲线和曲面的定义、性质和应用等方面，探讨微分几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质在微分几何中，曲线是指一条连续的路径，可以用数学模型来描述。
常用的曲线方程有参数方程、隐式方程和显式方程等形式。
1. 参数方程曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t是参数，f(t)、g(t)和h(t)是关于t的函数，描述了曲线在坐标系中的运动轨迹。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲线的几何特性。
2. 隐式方程曲线的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲线上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲线的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
3. 显式方程曲线的显式方程形式为：z = f(x, y)其中f是关于x、y的二元函数。
显式方程描述了曲线在平面上的投影，可直观地展示曲线的形状和特征。
曲线的性质包括长度、弧长、切线、曲率等。
长度是曲线上两点之间的距离，弧长是曲线上一部分的长度。
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线，切线的方向与曲线在该点的切向量方向一致。
曲率是描述曲线的弯曲程度的量，曲率越大，曲线越弯曲。
二、曲面的定义与性质曲面是三维空间中的二维对象，可以用数学模型来描述。
常用的曲面方程有参数方程和隐式方程等形式。
1. 参数方程曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中u和v是参数，描述了曲面在坐标系中的位置。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲面的几何特性。
2. 隐式方程曲面的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲面上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲面的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
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2. 曲线的重影点
L M l(m)
Wang chenggang
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3. 平面曲线的投影和实长
X1
a1
11 2131 41 51
61
71
VH1O1 b1
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Wang chenggang
4.1.2 圆
圆是平面曲线，其所在平面与投影面的相对位置 不同，其投影也不同。
单叶双曲回转面是由直母线绕着与它交叉的 轴线旋转而成的。
Wang chenggang
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4.2.3双曲抛物面
直母线沿着两条交错的直导线移动，并且始终
平行于一个导平面，这样形成的曲面叫双曲抛物面。 4.2.4锥状面
直母线沿一根直导线和一根曲导线移动，并始
终平行于一个导平面形成的曲面称为锥状面。 4.2.5柱状面
第4章 曲线与曲面
4.1 曲线 4.2 曲面
Wang chenggang
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4.1 曲 线4.1.1 概
述 1.曲线的形成和分类
曲线可以看作是连续改变方向的一个动点的运动轨 迹；也可看作是平面与曲面或曲面与曲面的交线。
按点的运动是否有规律，曲线可分为规则曲线和不 规则曲线两种。规则曲线如圆、椭圆、螺旋线等；不规则曲 线如地形图上的等高线等。通常研究的是规则曲线。
Wang chenggang
3.曲线投影的画法 因为曲线是点运动的轨迹，所以只要画出曲线上一
系列点的投影，并将各点的同面投影顺次光滑地连接，即得 曲线的投影，如图4-3所示。
Wang chenggang
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1. 曲线的割线，切线
曲线的 E 切线
曲线的 割线 C
K G1 F
GD
d g
e c
k
f g1
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本章学习结束
Wang chenggang
29/86
感谢
Wang chenggang
30/86
谢谢，精品课件
资料搜集
Wang chenggang
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曲面；
①回转面——由母线绕一轴线旋转而形成的
②非回转面——由母线根据其他约束条件运 动而形成的曲面。
2）根据母线的形状分类：
①直纹曲面——凡是可以由直母线运动而成的 曲面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、双曲抛物 面、锥状面和柱状面等；
②双曲曲面——只能由曲母线运动而成的曲面，
如球面、环面等。
1. 圆的投影—椭圆 c"
a"(o" b")
Y
Xa
c O
b
d
Wang chenggang
d"
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2. 作圆的两面投影
c1
41
a1
31 o1 11
4'(3') b1 21 d1
1' (2')
y2 y2 y1 y1
b 3
2
c
d
R
4 a1
Wang chenggang
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4.1.3 圆柱螺旋 线
母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。在 约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线；控制母 线运动的平面称为导平面。如图4-9所示，KL称为导线。
Wang chenggang
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Wang chenggang
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2.曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面有许多不同的分类方法。
1）根据母线运动方式分类：
当一个动点M沿着一直线等速移动，而该直线同 时绕与其平行的一轴线OO旋转时，点M的轨迹就是一个圆 柱螺旋线。
直线旋转时形成的圆柱面称为螺旋线的导圆柱， 导圆柱的半径称为螺旋线半径。
直线旋转一周时，动点M移动到M1位置，MM1之间的 距离，称为螺旋线的导程。
Wang chenggang
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O
导程
M1 ●
M● O
圆柱螺旋线
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4.2 曲 面
4.2.1曲面的形成与分类
1.曲面的形成和曲面投影的表示法
曲面是直线或曲线在一定约束条件下的运动轨迹。 运动的直线或曲线，称为曲线的母线，如图4-8所示的AB； 曲面上任一位置的母线称为素线。
9' 11
5
1
'9
9 11
7
3
3
5
1
1
Wang chenggang
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双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线
Wang chenggang
导平面
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双曲抛物面的画法
Wang chenggang
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锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
Wang chenggang
22/86
锥状面的画法
Wang chenggang
直母线沿着两根曲导线移动，井始终平行于一
个导平面而形成柱状面。 4.2.6平螺旋面
直母线—端沿圆柱螺旋线运动，另一端沿圆柱
轴线运动，且始终与与水平面平行，这样形成的曲面称 18/86
为平螺旋面。
Wang chenggang
9' 5' 1' 7' 11 3'
'
单叶双曲回转面的画法
3' 5'
177''
按曲线上各点的相对位置不同，曲线又可以分为平 面曲线和空间曲线。凡曲线上所有的点都位于同一个平面内 的曲线叫为平面曲线，如圆、椭圆、抛物线等；凡曲线上任 2/86
Wang chenggang
2.曲线的投影 曲线的投影，一般情况下仍为曲线。一条曲线可以用 一个字母或曲线上的一些点的字母来标注；直线与曲线在空间 相切，它们的同面投影一般仍相切。曲线在投影上的切点就是 空间切点的投影，如图4-1所示。
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柱状面的形成
曲导线
导平 面
曲导线
Wang chenggang
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柱状面的画法
Wang chenggang
25/86
平螺旋面的形成
Wang chenggang
26/86
平螺旋面的画法
Wang chenggang
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正螺旋面应用的例子
螺旋扶手
Wang chenggang
螺旋楼梯
当平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时，它在该 投影面上的投影积聚为一直线，如图4-2所示。当平面曲线所 在的平面平行于某一投影面时，它在该投影面上的投影反映曲 线的实形，如图4-3所示。
根据平面的投影特点，圆和椭圆的投影一般是椭圆， 在特殊情况下也可能是圆或直线；抛物线或双曲线的投影一般 3/86
（1）其所在平面与投影面平行
其所在平面与投影面平行，圆在该投影面上的投影 反映圆的实形。
（2）其所在平面与投影面垂直
其所在平面与投影面垂直，圆在该投影面上的投 影积聚为一直线段，长度等于圆的直径。
（3）其所在平面与投影面倾斜
其所在平面与投影面倾斜，圆在该投影面上的投影
为椭圆。
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Wang chenggang
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同一个曲面可能Wan由g chen几ggang种不同的运动形式形成。如图
3）根据曲面能否展成平面分类：
面；
①可展曲面：能展开成平面的曲面，如柱面、锥
②不可展曲面：不能展开成平面的曲面，如椭圆 面、椭圆抛物面、曲线回转面。
4.2.2单叶一双般曲只回有转直面纹曲面才有可展曲面与不可展曲面之分， 双曲曲面都是不可展曲面。