工程力学第七章重心及截面的几何性质

上正
1
2
3
应力.已知横截面面积A=2×103MM2
20KN
20KN
40KN 40KN
1
2
3
40kN
11 10MPa
20kN
22 0
33 20MPa
例题 8.2
试求图示结构AB杆横截面上的正应力。 已知F=30KN，A=400MM2
A
a
F FNAB
D
B
C
a
a
F 2a FN AB a 0
yc
dAI
xaa2I
2xcAdA
A
a
2
A
b C
xc dA
yc
A ycdA IAy yc I yc b2 A
I xy I xcyc abA
xc
a
在所有相互平行的坐标轴中，
O
x
图形对形心轴的惯性矩为最 小，但图形对形心轴的惯性
积不一定是最小
例题 矩；（2）对x轴的惯性矩；（3）对x
I.3
轴的惯性矩。
D
课堂练习
I.
图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。
A.
IⅠ ZC
IⅡ ZC
0;
B.
IⅠ ZC
IⅡ ZC
0;
Ⅰ ZC
Ⅱ
C.
SⅠ ZC
IⅡ ZC
0;
D. AⅠ AⅡ。
C
课堂练习
I.
图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面
积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为
EA EA
其中：E----弹性模量，单位为Pa;
EA----杆的抗拉（压）刚度。
G------切变模量
胡克定律的另一形式：
E
G
实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数ν----称为横
向变形系数（泊松比）
| ' | ' ||
'
E
§8–2拉压杆横截面上的应力
1
F
1
2
2
F
假设：
A1 200 50 104 (mm2 ) A2 200 50 104 (mm2
zc
10 4 225 10 4 100
10 4 10 4
162 .50(mm)
形心的坐标为（0，162.50）
§7–2极惯性矩.惯性矩.惯性积
y
x
ρ
O
dA y
x
IP 2dA
Ix y2dA I y x2dA
S y1
h zbdz b h2
0
2
bh2 2
h
S y1
zbdz 0
h
例题
I.2
试确定图示 T 形截面的形心位置
解 图示 T 形截面为对称截面，
截面形心必在对称轴上。取 坐标系如图所示，则只需确
定形心位置的 坐标值z 。将
形其（截形6c-2面心8）分分计为别算为形和和心坐两I，标个按：矩Ic公I1形式，
F
LAC
A
LAB
1.3mm 100103 2
2 2.1105 106 252 106
4
cos 300
A
§8–4纯弯曲时梁横截面上的正应力
M
FS
M
FS
M
FS
梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称
为弯曲正应力与弯曲切应力。
I、试验与假设
1
2
c
d
a
b
1
2
M M
1
c c 1 a
1
2
① 平面假设
1
2
F
FN
② 横截面上各 点处仅存在正应
FN
力并沿截面均匀 分布。
F
F FN
AA
FAN：：横横截截面面面上积的轴力
拉应力为正， 压应力为负。
对于等直杆
当有多段轴力时，最大轴力所对应的
截面-----危险截面。
危险截面上的正应力----最大工作应力
max
FN ,m a x A
拉压杆斜截面上的应力
6
2
bbhh3 326
2bh3 9
bh3 4
例题
I.4
试计算图示的T形截面对于对称轴z轴的惯性矩 I z 和 对于垂直于z轴的形心轴y轴的惯性矩 I y 。
解 T形截面可视为由两个矩形
（ I 和 II ）所组成的组合截
面。
（1）确定组合截面的形心位置。
取 y1 轴为参考轴，c1 和 c2分别为矩形 I
xc
Gi xi
G
yc
Gi G
yi
zc
Gi
zi
G
xc
Vi V
xi
yc
Vi V
yi
zc
Vi zi
V
§7–1物体的重心和形心
•均质物体重心的位置与物体的重量无关， 完全取决于物体的几何形状。 •由物体的几何形状和尺寸所决定的物体几 何中心，称为形心。
x
取单元体积为Δx×Δy×Δz
x z
该点沿x轴方向的线应变为：
x方向原长为Δx，变形
后其长度改变量为Δδx
lim x
x0
x x
dx dx
胡克定律
实验表明，在比例极限内，杆的轴向变 形Δl与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成 反比。即：
l Fl A
引入比例常数E，有：l Fl FNl
----胡克定律
2) 切应力顺时针为正； （3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕)
1MPa=106Pa
应变
杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生 变形。变形后杆长为l1，直径为d1。
轴向(纵向)应变： l1 l l
y
l
l
其中：拉应变为正， 压应变为负。
横向应变： ' d1 d d
dd
O
研究一点的线应变：
a
1 1
2 2 d
d
b
b
2 2
M M
假设
①
②
平
单
截
向
面
受
假
力
设
假
设
中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。
中性轴：横截面与中性层的交线。
II、弯曲正应力一般公式
m1
O1 中性层
y
a1
n1
dx
m2 O2e2
a2 e1 n2
对称轴 1.几何条件
x
o z dl ydq
y
中性轴
a1a2 a1a2 dl y dq y dq y
第七章重心及截面的几何性质
§7–1 物体的重心和形心 §7–2 惯性矩与惯性积 §7–3 主惯性轴和主惯性矩 §7–4 组合截面的惯性矩计算
§7–1 物体的重心和形心
重力的作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心相对于物体的位置 是固定不变的。
G Gi
重心的坐标公式
均质物体重心 的坐标公式
A. y轴不动，x轴平移；
y
B. x轴不动，y轴平移；
C. x轴不动，y轴任意移动；
O
x
D. y、x同时平移。
B
应力：杆件截面上的分布内力集度
F
A
p F A
平均应力 p lim F dF A0 A dA
p
正应力σ
p 切应力τ
应力特征 ： （1）必须明确截面及点的位置； （2）是矢量，1)正应力： 拉为正，
（3）计算惯性矩 I yi
I yi
I yI
I yII
150 503
12
50150 502
50 1503
12
50150 (75 25)2
5.3125107 (mm4 )
§7–3截面的 主惯性轴和主惯性矩
主惯性轴:
图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形 的主惯性轴
主惯性矩:
2.1×105MPA，设在结点A处悬挂一重物F
B
。 1 ＝1020KCN，试YX求00结点FNAACF的FNcNAAo位CCssi移nFΔNFANBAAFB NcA2oBcssFoisnF00
FNAB FNAC
αα
LAB
LAC
FNAC L EA
FL
2EA cos
A
A
A
AA
LAC
cos
FL
2EA cos2
Ixy xydA
性 质：
✓1、惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，
而极惯矩，是对点定义的。
✓2、惯性矩和极惯矩永远为正，
x2 (x1)
y
x1
惯性积可能为正、为负、为零。
dA
dA
✓3、任何平面图形对于通过其形
心的对称轴和与此对称轴垂直的轴 的惯性积为零。
y
y
x
o
✓4、对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分
A. Oxy； B. O1xy1； C. O2 x1 y1； D. O3x1 y。
y1
y
O1
O
x
O2
O3
x1
C
课堂练习
I.
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴
B
在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，y-z轴始终保持 为一对主轴。
Sx
S y，Ix
I
；
y
B
.S x
S y，Ix
I
；
y
C.
Sx
S y，Ix
I
；
y
D.
Sx
S y，Ix
I
。
y
x
D
课堂练习
I. 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C， x1 轴和x0轴平行，
并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的惯性 矩为（ ）。
A. Ix0 0； B. Ix0 I1 Aa2；
布✓I x5的y 、越组远A合x，y图其dA形惯对性某矩A一2越x点大yd的。A极dA惯A性2 矩或x对y d某A一轴0的惯性矩、惯性积
y
y
dA
n
I P I Pi i 1
x n I x I xi i 1
x
n
I y I yi
i 1
n
I xy I xyi i 1
惯性半径： 任意形状的截面图形的面积为A，则图形对
FNAB 2F
FNAB 150MPa
A
例 题8.3 图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆
件的轴向变形△L，B点的位移ΔB和C 点的位移ΔC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
例题 8.4 图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。
已知Α＝300，杆长L＝2M，杆的直径
D=25MM，材料的弹性模量E＝
y
a1a2 dx dx dq
O曲率中心
dq
M
m1 m2
y O1 a1
n1 dx
O2 dq a2' a2
dl n2
y m2
2.物理条件(虎克定律)
M e2
x
e1
y n2
L
E y
E E y
3.力学条件
M
z(中性轴)
O
N
AdA
和 II的形心。根据式（6-8），有：
zc
50 150 50 150 50 (50 75) 50150 2
75(mm)
得形心点的坐标 为（0，-75）。
（2）计算惯性矩 I zi
I zi
I zI
I zII
50 150 3
12
150 50 3
12
1.562 10 7 (mm 4 )
❖2、截面对形心轴的静矩为零
❖3、若截面对某轴的静矩为零，则该 轴必为形心轴
例题 试计算矩形截面对于轴的面积矩和对于形心轴
I.1 的面积矩 S y
（1）计算截面对
轴的面积矩。
y1
根据公式
S y1
zdA
A
取平行于 y1 轴的
窄条面积为微面
积，即， dA bdz
（2）计算截面对形心轴 y
的百度文库积矩
C. Ix0 I1 Aa2； D. Ix0 I1 Aa。
x1
a
C
B
x0
课堂练习
I.
设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，
则二者的大小关系是（ ）。
A.
Iy
I
；
x
B.
Iy
I
；
x
y
C.
Iy
I
；
x
D. 不确定。
2R
R
B
OR
x
课堂练习
I.
图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则 （ ）不是一对主轴。
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
课堂练习
I.
在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零；
D.使静矩为零的轴必为对称轴。
D
在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。
y b/2 b/2
Sx
Ayc
bh 2
h 2
h 3
bh2 12
dy
xc h/2
I
x
y2dA
A
h
2 y2bdy
h2
bh3 12
y
O
x
Ix
1 2
bh3 12
bh3 24
h/2 x1
I x1
I xc
2h 3
2
bh 2
Ix
I xc
h 2
h
2
3
bh 2
I xxcc
bh3 3264
I
h
x1
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。 ①全应力：
F
F
p
F cos
A
0 cos
②正应力：
p
p cos cos2
F
N
③切应力：
p
s in
0
2
sin 2
p 1） α=00时， σmax＝σ
2）α＝450时， τmax=σ/2
例题8.1
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面
y轴和x轴的惯性半径分别定义为
y
x dA y
O
iy
Iy A
ix
Ix A
惯性半径的特征：
1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。 x 2.惯性半径的单位为m。
3.惯性半径的数值恒取正值。
三、惯性矩.惯性积的平行移轴公式
Ix
y2dA
A
A yC a2 dA
y
yc IAxcyc2dA
2a
A
对称轴y的惯性矩分别为
I
a y
I，yb 则（
I
a x
I xb对
）。
A.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
B.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
C.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b；
x
y
D.
I
a y
I
yb，I
a x
I
b。
x
y
o
x
o
x
(a)
(b)
C
课堂练习
I. 图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。
y
A.
截面的静矩
Sy
xdA
A
Sx
ydA
A
y X
S y AxC xdA Sx AyC ydA
dA
xC
A
A
yC
A
A
xC
A
y
yC
当截面由若干简单图形组成
xC
Sy A
n
yC
Sx A
O
X
S y Ai xCi
in1
Sx Ai yCi
i 1
S y Ax
Sx Ay
❖1、 截面图形的静矩是对某一坐标轴 定义的，固静矩与坐标轴有关