三角恒等变换的技巧
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三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。
在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。
1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。
（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。
三角恒等变换技巧之七变
三角恒等变换技巧之七变三角恒等变换是三角的精华，三角恒等变换是以三角基本关系式，诱导公式，和、差、倍角等公式为基础的，三角变换的常见策略有：（1）发现差异；（2）寻找联系；（3）合理转化.概括起来就是：利用和、差、倍等三角公式实行各种转化，从而达到问题解决的目的，本文归纳以下七种主要的变换技巧，供同学们在学习时参考.一、变“名”三角变换的主要目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要变“名”，即化异名函数为同名函数.变换的依据是同角三角的关系式和诱导公式，切化弦、弦化切等.例１已知=，求sin2+sincos+2cos2的值.分析由已知可得tan=2. 若由tan=2分别求出sin，cos 的话可以解答此题，但需要对分别在第一、三象限两种情形进行讨论，相当繁琐且运算量大，仔细阅读sin2+sincos+2cos2的话，发现这是一个关于正弦和余弦的三项齐次式，倘若能把所求的式子转化为只含有tan的式子，则题目就相当容易解答了.联想所学过的公式知道sin2+cos2=1，=tan因此得到下面的简单解法.解析由已知可得tan=2.sin2+sincos+2cos2=====.评析解答本题的关键是实施变“名”，即将sin2+sincos+2cos2化成只含有tan的式子，从而快速解题.例２已知A为三角形的一个内角，且满足tan（+A）=，求的值.分析因为是齐次式，分子分母同除于cos2A，便可得到，所以由已知条件只要求出tanA的值即可.解析由tan（+A）=可得=，解得tanA=-.∴==--=-.评析挖掘题目中的隐含条件，通过分子分母同除cos2A 后得到含有tanA的式子,因此达到快速解题目的.二、变“角”在三角化简、求值中，题目中的表达式中往往会出现较多的相异角，根据角与角之间的和差、倍角、互补、互余的关系，这时需要变“角”，即寻找已知条件与结论中角的差异，从而使问题获解.常见的变角方式有=（+）-，2=（+）+（-），等等.例３已知tan（+）=，tan（-）=，求tan（+）的值.分析已知角为+、-，未知角+，发现有+=（+）-（-）成立，且tan（+）=tan[（+）-（-）]问题便迎刃而解.解析因为+=（+）-（-），所以tan（+）===.评析通过变“角”巧妙地解答了此题.例4 已知sin=msin（2+），且+≠+k（k∈Z），≠（k∈Z），m≠1. 求证：tan（+）=tan.分析已知角为、2+，未知角为+、，发现有=（+）-，2+=（+）+成立，且sin[（+）-]=msin[（+）+]，又tan=，tan（+）=，所以（1+m）sincos（+）=（1-m）cossin（+），因此我们找到了解题的思路.证明由sin=msin（2+），得sin[（+）-]=msin[（+）+]，展开得sin（+）cos-cos（+）sin=msin（+）cos+mcos（+）sin，整理得（1+m）sincos（+）=（1-m）cossin（+），因为+≠+k（k∈Z），≠（k∈Z），m≠1.所以=，得tan（+）=tan.评析三角证明中经常要化未知角为已知角，看准角与角的关系，相当重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析，本题正是抓住了“角”的变换顺利获得了证明.三、逆变在进行三角变换时，顺用公式较多，但有时若能逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式解题可以帮助我们快速开拓解题思路.例5 已知A，B为三角形ABC的两个内角，sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=，求sin（A+）的值.分析从所求的结果来看与角B无关，因此我们应想方设法把角B去掉.由已知条件联想所学过的知识逆用两角和的余弦公式得：sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=，即sinA=. 因为A为三角形ABC的内角，所以A可能为钝角，也可能为锐角，接下来我们便得到了题目的思路.解析由已知sin（A-B）cosB+cos（A-B）sinB=，可得sin （A-B+B）=sinA=.当A为第一象限角时，所以cosA==.所以sin（A+）=sinAcos+cosAsin=×+×=.当A为第二象限角时，所以cosA=-=-.所以sin（A+）=sinAcos+cosAsin=×-×=.评析本题根据已知条件逆用两角和的余弦公式得到了sinA=，再对A进行讨论，A可能为钝角，也可能为锐角，所以需要利用分类讨论思想方法求解.例6 求函数y=sinx+cosx+1的周期及最大值.分析要求y=sinx+cosx+1的周期及最大值，一定要先将三角函数化成y=Asin（x+）的形式才能够作出判断，由sinx+cosx=2（sinx+cosx)联想逆用两角和的正弦公式即可得到解题思路.解析y=sinx+cosx+1=2（sinx+cosx)+1=2sin（x+）+1，所以y=sinx+cosx+1的周期为2，最大值为3.评析本题逆用两角和的正弦公式化简了式子，从而解答了此题.四、“1”的变换在三角函数变换过程中，“1”的作用有时是相当大的，“1”的变换主要有1=sin2+cos2，1=tan45°，1=tan?cos等等.例7 求y=+的最小值.分析观察式子，由分母的结构我们联想到1=sin2+cos2的代换，有y=+=+，于是我们找到了解题的思路.解析y=+=+=5+cot2x+4tan2x≥5+2=9（当且仅当tan2=时取等号），即函数的最小值是9.评析解答本题的关键是灵活应用了1=sin2+cos2，从而巧妙解答了此题.五、利用降次与升幂进行变换分析题目的结构，掌握题目结构上的特点，通过降次升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略，常见的降次与升幂公式主要有cos2=，sin2=，cos4+sin4=1-2sin2cos2等.例8 化简．分析这道题的分子与分母部分的次数分别是4次与6次，次数较高，题目不容易下手解答，应当考虑降低式子的次数，联想学过的知识我们有cos4+sin4=（cos2+sin2）2-2sin2cos2=1-2sin2cos2，cos6+sin6=（cos2）3+（sin2）3=（cos2+sin2）（cos4-sin2cos2+sin4）=1-3sin2cos2，这样我们就容易处理问题了.解析因为====.评析在三角恒等变换过程中，若能充分利用降次与升幂等三角变换手段，能快速帮助我们解答一些涉及到高次幂的三角函数问题，希望同学们在备考复习中要注重总结这种方法，以提高自己解答这类题的能力例9 已知函数f（x）=sin2x+cosx+2cos2x，x∈R. 求函数f（x）的最小正周期和单调增区间.分析要求出三角函数的周期及单调增区间，关键是要先化简三角函数式，能得到f（x）=Asin（x+）的形式，再利用周期公式及单调性的定义来解答，观察题目的条件是二次式，考虑降次，联想sin2=，cos2=，我们便得到了解题的思路.解析f（x）= sin2x+cosx + 2cos2x = +sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+.所以f（x）的最小正周期T==.由题意得2k-≤2x+≤2k+，k∈Z，即k-≤x≤k+，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[k-，k+]，k∈Z.评析本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图像和性质等基本知识，以及推理和运算能力，这类题是高考的考查热点，解答的关键是充分利用三角公式进行降幂.六、利用数学思想方法进行变换数学思想与方法是数学知识在更高层次上的概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中.数学思想方法主要有转化与化归思想、整体化思想、特殊与一般化思想等等例10 设锐角三角形ABC的内角A，B ，C，B=，求cosA+sinC的取值范围．分析由三角形的内角和定理可得A+C=-=，要想求得cosA+sinC的范围我们必须利用消元思想把A，C用另一个角表示，即化成只有一个角的形式，这样我们就容易处理问题了.解析因为B=，所以C=-（A+），得cosA+sinC=cosA+sin（--A）=cosA+sin（+A）=cosA+cosA+sinA=sin（A+）.由△ABC为锐角三角形知，-A＞-B，-B=-=?＜A+＜，所以sin（A+）＜．由此有＜sin（A+）＜×，所以cosA+sinC的取值范围为（，）．评析在三角恒等变换过程中，若能充分利用一些重要的数学思想和方法，能快速帮助我们找到解题思路，本小题主要考查利用消元思想与两角和差公式求三角函数式的范围值.七、结构的变换在三角函数变换过程中，认真观察题目，挖掘题目的隐含条件，充分把握题目的整体结构，有助于我们找到解题的思路.例11 求cos20°cos40°cos60°cos80°的值.分析表面上看，因为20°、40°、80°都不是特殊角，想直接求出它们的值是不可能的，认真观察题目，从把握题目的整体结构入手的话我们可以看出式子结构上给人一种对称美、和谐美的感觉.由已知条件联想类比所学过的二倍角公式2sincos=sin2，我们不妨通过设置辅助因子23sin20°，于是我们找到了解题的思路.解析cos20°cos40°cos60°cos80°=cos20°cos40°cos80°======.评析凡呈二倍角的余弦的连乘结构的题目，均可采用本题之方法，此法有火烧连营之势，妙得很.总之，解答三角恒等变换的题目的方法不拘泥,万变不离其宗，要注意灵活运用,要注意这样的口决，要努力作到“三看”，即（1）看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用.责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF 格式阅读原文。
进行三角恒等变换的三个技巧
解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角恒等变换的方法与技巧
三角恒等变换的方法与技巧三角恒等变换是三角函数中的主要部分，是培养学生等价转化与化归思想、逻辑思维能力、知识的联系性与灵活性的重要内容。
下面举例说明三角恒等变换的方法与技巧。
一、变角角是研究三角函数问题的切入点.若表达式中出现了较多相异的角，必须对比分析变换对象与变换目标，其余的角都朝目标角转化.这是三角变换最基本的策略。
例1.已知cos（α-■）=-■，sin（■-β）=■（■<α<π，0<β<■）求cos（α+β）的值解析：由已知得■ <α-■<π，-■<■-β<■∴sin（α-■）=■，cos（■-β）=■∴cos■=cos[（α-■）-（■-β）]=cos（α-■）cos（■-β）+sin（α-■）sin（■-β）=-■∴cos（α+β）=2cos2■-1=-■点评：（α-■）-（■-β）=■ α+β=2·■注意角的拼凑、拆分，倍、半的相对性。
二、变函数名称若表达式中函数种类较多，变形困难，应尽量减少函数种类.这是恒等变换的又一策略。
例2.已知锐角α，β满足tan（α-β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ解析：∵sin2β=■∴■= ■t anα=■∴tanα+tanβ=■=2tan2β点评：弦化切，同一为切，正用、逆用公式.三、变结构对较复杂的表达式，一般先变形结论，再寻找由条件得到的有用结论，合理选择公式，建立差异间联系，解决问题。
例3.已知cos（■+x）=■，■<x<■，求■的值解析：■=■=■= 2sinxcosx·■=2sinxcosx·tan（■+x）由■<x<■得■<x+■<2π，又cos（■+x）=■∴sin（■+x）=-■，tan（■+x）=-■cosx=cos[（■+x）-■]=-■，sinx=-■∴■=-■点评：在综合变角、变名的基础上，首先对所求复杂式子结构恒等变形，再结合已知条件，寻找目标。
进行三角恒等变换的常用技巧
三角函数知识作为高中数学中的重点内容，经常出现在各类试题中.解答三角函数问题的一个必不可少的步骤是进行三角恒等变换.熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，有利于提高同学们解答三角函数问题的速度.一、化异为同化异为同一般适用于解答含有不同的角、函数名称、幂的三角函数的问题.在解题时，常需运用公式sin 2α+cos 2α=1、tan α=sin αcos α、sin 2α=2sin αcos α等将函数式中的角、函数名称、幂统一.例1.已知sin α+cos α=，则sin 2æèöøα-π4=_____.解:sin α+cos α=2èöø÷α+α=2cos æèöøα-π4，则cos æèöøα-π4，所以sin 2æèöøα-π4=1-cos 2æèöøα-π4=1-èø2=13.解答本题主要采用了化异为同的技巧.首先运用辅助角公式将已知关系式化简，求得cos æèöøα-π4的值，然后利用诱导公式对sin 2æèöøα-π4进行转换，得到与cos æèöøα-π4有关的式子，从而求出问题的答案.二、弦切互化当问题中含有正切、余弦、正弦等函数时，我们可以采用弦化切、切化弦的技巧来进行三角恒等变换.在进行弦切互化时，一般可利用公式tan θ=sin θcos θ将正切化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ=tan θ将正弦、余弦化成正切.例2.已知α∈æèöø0，π2,β∈æèöø0，π2,tan α=cos 2β1-sin 2β,则有_____.A.α+β=π2B.α-β=π4C.α+β=π4D.α+2β=π2解：tan α=cos 2β1-sin 2β=cos 2β-sin 2βcos 2β+sin 2β-2sin βcos β=()cos β-sin β()cos β+sin β()cos β-sin β2=()cos β+sin β()cos β-sin β=1+tan β1-tan β=tan æèöøπ4+β.∵α∈æèöø0，π2，β∈æèöø0，π2，∴α=π4+β，即α-β=π4，故答案为B .我们首先利用二倍角公式，通过因式分解将已知关系式化简，然后将分子、分母同除以cos β，将弦化为切，进而求得问题的答案.三、拆角、补角拆角、补角是进行三角恒等变换的常用技巧.有些问题中会同时出现多个不同的角，此时我们可以采用拆角、补角的技巧，如α=()α+β-α、2α=α+α、α=12α+12α等，根据两角的和差公式、二倍角公式、诱导公式等将角进行变换.例3.若sin 2α=sin ()β-α=α∈éëùûπ4,π,β∈éëùûπ，3π2，则α+β=_____.解：∵α∈éëùûπ4,πα∈éëùûπ4,π，0＜sin 2α＜12，∴2α∈æèöø5π6,π，α∈æèöø5π12，π2，∴cos 2α=-1-sin 22α=，∵β∈éëùûπ，3π2，∴β-α∈æèöøπ2,13π12，∵sin ()β-α=100，∴β-α∈æèöøπ2,π,∴cos ()β-α=-1-sin 2()β-α=，∴cos ()α+β=cos []2α+()β-α=cos 2αcos ()β-α-sin 2αsin ()β-α，∵α∈æèöø5π12，π2，β∈éëùûπ，3π2，∴α+β∈æèöø17π12,2π，α+β=7π4.解答本题的关键在于合理进行拆角、补角.首先找到未知角α+β和已知角β-α、α之间的联系，根据诱导公式求得cos 2α与cos ()β-α的值，然后将角α+β拆分为2α、β-α两个角，借助两角和的余弦公式求得三角函数的值.在进行三角恒等变换的过程中，有时需同时用到两种及以上的技巧才能解答问题，因此同学们要注意根据解题的需求合理选择.同时，还要关注三角函数的定义域、角的取值范围，挖掘题目中的隐含信息，避免出错.(作者单位：江苏省南通市小海中学)进行三角恒等变换的常用技巧孙德泉47Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧1.三角函数平方表示三角函数的平方表示可以将复杂的三角函数化简为简单的平方形式。
例如，可以利用以下恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个三角恒等式表明，一个角的正弦平方与余弦平方之和等于1、利用这个恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更好地进行计算。
2.和差化积和差化积是指将三角函数的和差形式转化为积的形式。
例如，可以利用以下恒等式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)这个三角恒等式表明，两个角的正弦之和可以表示为正弦和余弦的乘积形式。
同样地，我们也可以通过差化积将两个角的正弦之差转化为正弦和余弦的乘积形式。
3.积化和差积化和差是指将三角函数的积的形式转化为和差的形式。
例如，可以利用以下恒等式：cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x+y) + cos(x-y)]这个三角恒等式表明，两个角的余弦之积可以表示为两个角的和与差的余弦之和的一半。
同样地，我们也可以通过积化和差将两个角的正弦之积转化为正弦和余弦的和差形式。
这些三角恒等变换技巧在解决问题时经常被使用。
通过灵活地运用这些恒等变换技巧，可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
此外，在解析几何中，三角恒等变换技巧也有助于直观地理解和推导三角函数的性质和关系。
总结起来，三角恒等变换技巧是一种重要的数学工具，它通过对三角函数之间相互转化，将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式。
掌握这些变换技巧不仅有助于解决数学问题，还可以提高数学理解和推导的能力。
因此，我们应该加强对这些三角恒等变换技巧的学习和掌握，使其成为解决各种问题的利器。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
9种常用三角恒等变换技巧总结复习课程
9种常用三角恒等变换技巧总结对『•毎一个三角公式・教甘中仅翕出其塞本聪式・(U 我门若粥感N ：它变通形式常可M 开無解超思路* 例di sin 2a = 2sin trcosa 可貨逋为 cos a =l j sin a = 2 QOS a“门".-:J 'J >：: !j Id nr/ - f;;n - - /?'*( I + T ；mi tjn(^ - /> i - ' IU/r/ t ]n />' I [^- 41 在L |I ” c 如三内角 AJM ；」艮辱井数列•求 tan — + tan — + VItan — tan —2 2 2 2A + r ,-【樓新】T 三内角AC 成等荒数列* fU 刑m 二卜心12於 Xim 下匕二JJ巾两用和的正切公式tA Clan + lan 彳 「 川 「--- 2 ------ 二> tan — + tan — + tail — lan — - J5.AC 2 2 22I - tan tan2 2 井析JS 口的结构，韋程结构的特虬 通过升農.障次第乎段.为便用公成刨过条n ・这 峽皿隻换的“技叭加的:伙川宀心曲”+丁亠sin- - - l ~cosa t 这样町劭用f 氛T/fi^AiKP W ，从匚倒坨)利傣次〈从龙到右》 2 2 (H 5] L LHE sin la 4- sin 2a coscr — cos la ；1(<7已{0*巴))，求 sints? tana2【解祈】[!1 sin' 2a +sin 2ffcos6f - cos2or 二 \ 得4sin'(7cos' ct + 2sinacos' a -{\ + cos2(7) = 0:.4sin' ff cas ? a + 2sin crcos 2 a - 2cos a = 0:.2€OS " a(2sin ? a + sin a -1) = 0即 2cos'-IKsinrif + D = 0 Var e (0,) /. cos QTH O, sina -I A 2sin cr -1 = 0 sin<7 = — atana =— 2 b 3冷数学解忧铺2 sin a 1 鼻[；in a urn fli 亿b 均不曲岑时.利用gimv+/?cos x =+b~書inpr+p ）（其中卩对埔助翩Fl 满足 ti , b[ff!l 6 J }7 0 < a < /? < —,sin a + cos a = fl + cos/? = b 则(* (A ) a < h (B) a > b (C) ab <\ 【解析】J2sin(flf +^)t 6 = >/2sin(^ + ^)■ ■八 a 兀 托 XJT 7T .0<a<//<-=>—<a? + — </f + — < —4 4 4 4 2乂p 二耳in x 在(0，扌}上是Jfi 函数"二n 二JI 書i 门(【列7】匕他融&曲3上5“应錦蛙坡妙 血伏品«比坡稣 旳小 2 cos 2a = cos 2/?(证明】：丫 sin 8、sen er.cos B 成等差数列…：2sin a - sin^+cos 0 . 将上式平方薊 4sii>'« = l + 2sin6?cosfl ............................................. ①乂sin 夕鳥in /Leo%/?成竽比数列":.sin ; fl = sin^cos^ .................. •② ②代入⑴咼4sin‘ ff -2sin ' fi = \:* 2(1 -cos2cr)- (1 -cos 20) = 1^2cos2cr - cos 2#cosfl ； = .sinp = * "・)来柞变换也晁常用方眩*V<r' + A : J/ + k'兰）＜ *二J5两口（#屮壬）4 4 冷数学解忧铺【例9】化简cos2p+ cos2(a + 0)-2cosacos/Jcos(a + 0)【解析】令x = cos2 /?+ cos?(ar 十0) - 2 cos a cos p cos(tr + 0) y = sin /? 4- sin2(cz + 0)-2 sin a sin 0 cos(tr + p) 则片+ y = 2 - 2 cos(a + /?)cos(<z _ fl) ...................................................................i)x - y= cos 2/? + cos2(a -F/?)-2COS;(CT+ “) = cos2/? - I Wx-y =cos2/i-l......................... ②①十②得：2x= 2-2cus(a + /?)cos(a -/?) + cos2/?-l=I - cas 2a一cos 2/? + cas 2/J = l - cas 2iz = 2sin2 <7 x = sin2 tz ,即原sin2a【例卩】化简cos' fl + cos2(a + 0)- 2cosczcos p cos(a + 0)［解析】令X = CDS2 0 + COS2(fif + /?)- 2cos Of cos/3cos(f? +0) y = sin P +siir((7 + /?)- 2sinasin //cos(a + /?)则y - 2- 2cos(a + /?}cos(cr 一0) ......................................... Dx-y = CM2FL+ cos 2(a + p}-2cos2(a + 0) = cos 2^ -1即x-y -cos2/?- 1 ................. * .. ②①十②得：2工=2 - 2cos(a + /?)cos(cz 一0)+ cos 20 - 1二 1 -cos2a -cos2/? + cos2/? = l -cos2a= 2sin2erAx= sin2a f即原式= sin3a。
进行三角恒等变换的技巧
思路探寻步骤,不管是求三角函数的值、证明某个结论,都需要进行三角恒等变换.些进行三角恒等变换的技巧是很有必要的.角恒等变换主要是对三角函数式中的角、幂、常数进行变换.下面，三角变换的一些技巧.一、对角进行变换若题设中含有多个不同的角，换，建立已知角与所求角的之间的联系，用诱导公式、两角和差的正余弦公式、将已知角逐步朝着所求角靠拢.同时，角的范围和三角函数值，角函数值．例1.若cos(α-β)=-45，cos(α+β)=1213π)，α+β∈(3π2,2π)，求cos 2α的值．解析：观察所求角和已知角的差异，系2α=(α+β)+(α-β).和的余弦公式进行三角恒等变换.解：cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α-β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)又α-β∈(π2,π)，α+β∈(3π2,2π)，由已知易得sin(α-β)=35,sin(α+β)=-315代入上式可得cos 2α=-3365.二、对函数名称进行变换我们需要对函数的名称进行变换，同角的三角函数关系式：cos 2α+sin 2α=1、tan 二倍角公式、有“切化弦”或“弦化切”.例2.若3sin α+cos α=0，求cos 2解析：由于3sin α+cos α=0，可得tan α么我们需利用关系式sin2α+cos 2α=1和tan αcos 2α+sin2α用tan α表示出来.解：cos 2α+sin2α=cos 2α+sin 2αcos 2α+sin 2α，将上式的分子、分母同时除以cos 2α，得．三、对幂进行变换有些函数式中幂的次数不统一，一般需将高次的幂变换为低次的幂.常用到的公式有cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、cos 2α+sin 2α=1.例3.已知sinα-cosα=12，求sin 3α-cos 3α的值．解析：由于已知式与目标式的次数存在较大的差异，将目标式降次是首要任务.可利用cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α和cos 2α+sin 2α=1来进行变换.解：因为(sin α-cos α)2=sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α,所以sin αcos α=38，故sin 3α-cos 3α=(sin α-cos α)(sin 2α+cos 2α+sin αcos α)=(sin α-cos α)(1+sin αcos α)=12×(1+38)=1116．四、对常数进行变换对常数进行变换是进行三角恒等变换的常用技巧.常见的变换有1=cos 2α+sin 2α、sin30°=12、sin45°=、sin60°=、sin90°=tan45°=1.这样通过对常数进行变换，可将三角函数式转化为可利用公式进行化简的式子.例4.已知cos α=-13，α是第二象限角，且sin(α+β)=1，求cos(2α+β)的值．解：由cos α=-13，且α是第二象限角，可得sin α=，由于sin(α+β)=1，所以α+β=2k π+π2（k ∈Z ），故cos （2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos （2k π+π2+α）=cos （π2+α）=-sin α=-．因为已知条件sin(α+β)=1比较特殊，所以可直接求出α+β的值，将其整体代入求解，便把复杂的三角求值问题变为求特殊角的值的问题.此解法与常规方法不同，但效果很好．总之，进行三角函数恒等变换，需要仔细分析三角函数式的结构特点，选择恰当的公式将三角函数式化成单角、项数尽可能少、次数尽可能低、结构尽可能简单的三角函数式，这样便能快速求得问题的答案.（作者单位：福建省龙岩市长汀县第一中学）Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角恒等变换的技巧
三角恒等变换的技巧三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考．技巧一：式的变换-→两式相加减，平方相加减例1已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=-，即59sin()72αβ-= 【方法评析】式的变换包括：（1）tan(α±β)公式的变用；（2）齐次式；（3） “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）；（4）两式相加减，平方相加减；（5）一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）．技巧二：角的变换→已知角与未知角的转化例2已知7sin()2425παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得，故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故3tan()3πα-++=== 【方法评析】（1）本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到；（2）在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．技巧三：合一变换---辅助角公式例3设关于x的方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+，∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin 332x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (和1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--. 【方法评析】要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4 若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--， 所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。