充要条件教学设计
充分条件和必要条件(说课案)
（第一课时）
一、教材分析
充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。
新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。
从学生学习的角度看，教学时间的前移，可能会因为学生逻辑思维能力还不够充分，而给教师的教学带来一定的困难。
因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”，是比较切合教学实际的。
从教材编写角度来看，新旧教材最大的差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上。
新教材的定义显得更简洁精炼，而新教材的例题、练习题和习题量均大幅增加，大约是旧教材的两倍。
显然，新教材的编写者在数学概念的处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学观。
当然，一次性给出定义也增加了学生理解上的困难，也是教学中必须突破的难点。
基于上述理解，我对本节内容的教学目标和重难点作如下考虑：
二、教学目标
知识方面：理解充分、必要条件的概念；
初步掌握充分、必要条件的判断方法。
能力方面：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。
情感方面：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。
三、教学重难点
教学重点：充要条件的概念和判断方法。
教学难点：理解充要条件的概念。
四、教法与学法（一）在教学方法上，主要是采用讲练结合法进行教学。
教师
通过点拨引导的方式，启动学生的思维活动，从具体问题出发引出数学概念，并在实际问题中反复应用和辨析，启发学生理解概念并能在实践中总结判定方法。
由于这是充要条件的概念起始课，文字信息量比较大，教师可以借助多媒体辅助教学手段，提高学生的学习兴趣，增加课堂教学的信息容量，提高教学效益。
（二）整个教学过程中体现“分析”——“探究”——“总结”的学习环节，从三个方面引发学生的学习思维活动：
1、通过问题情境的创设，学生通过对具体命题的正反辨析，对“充分的”和
“必要的”这两个词汇产生感性化的认识。
2、学生通过解题实践，总结判定方法，形成辨别充要条件的初步能力。
3、学生探究生活中的充要关系，把学习延伸到课外，体验“在生活中数学地思维”。
五、教学程序
1、复习旧知，引入新课
首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。
同时以命题“若x>0，则x2>0。
”和其逆命题“若x2>0，则x>0。
”为例让学生学习符号的使用。
(复习旧知,为新课学习作好准备)
在此基础上，让学生先分析下面的问题：（幻灯显示）
[幻灯显示]例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假（用p与q的相互推出符号表示你的判断）。
p q
（1）若x>2，则x>1。
（2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。
（3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形
（4）若a2>b2，则a>b。
教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识：
首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度：
比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p 对于结论q是“充分的”。
在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。
其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度：
比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系
呢？作出分析：“必要的”。
关于这一点，可以（2）为例做出如下的分析：
命题（2）中，两三角形面积相等不能说明两三角形必然全等，但是，如果两三角形的面积不相等，则两三角形会全等吗？不会。
为什么？因为如果两三角形全等，则两三角形的面积是全等的。
这也就是说，两三角形面积相等是两三角形全等这个结论成立所“必须具备”的条件。
那么，我们就说，p对于q而言是“必要的”。
（板书：必要的）那么在（1）中，p不能被q推出，表明条件p对于结论q是“不必要的”。
在引出充分的、必要的感性化认识后，再让学生类比分析（3）、（4），不难得出：在（3）中，p对于q既是充分的，也是必要的；在（4）中，p对于q既不是充分的，也不是必要的。
（从具体问题引出数学概念符合学生的认知规律，由例1引出对“充分的”和“必要的”的感性认识，使引入概念顺理成章。
）
结合上面的分析，向学生指明：命题中的条件与结论之间这种相互推出的关系反映了两者之间的一种“充分的”或是“必要的”联系。
在数学中，我们对这种联系进行了进一步的研究，引入的新的定义来描述它，这就是本节将研究的主要内容，从而引出课题：
2、阐述定义，理解内涵
由此，我们引入了如下定义：
[幻灯显示] 充分、必要条件的定义
如果已知p q，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
在引导学生理解定义的过程中提出问题，引发思考：
问题这里的p和q都叫做“条件”,那么“结论”又是什么呢?（注意使学生理解“条件”与“结论”的相对性。
）
（引起认知冲突，鼓励学生讨论作答）
（明确特征，有助于学生在后面的判定充要条件的过程中，找准基点，掌握方法）接下来再回到例1，对其中存在的充分必要关系再次进行认识。
[幻灯显示]
例1、试判断下列各命题中：p 是q 的什么条件，q 又是p 的什么条件？
p q
（1）若x>2，则x>1。
（2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。
（3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形
（4）若a2>b2，则a>b。
1、教师在对学生的回答作出纠正和完善后，可以自然引出充分不必要、必要不充分、充分必要和既不充分也不必要条件的概念，使学生认识趋于完善。
2、注意引导学生观察答案的特点：
当条件与结论位置对换的时候，条件的类型也相应的发生着变化。
3、同时也要使学生明确：
区分条件和结论是准确判断充分、必要条件的重要前提。
（例1又起到巩固学生认识的作用。
）
3、分析理解课本例题，深化认识
[幻灯显示]
例2、（课本34页例1）指出下列各组命题中，p是q成立的什么条件，q是p成立的什么条件？（1）p：x=y；q：x2=y2。
（2）p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等。
例3、（课本35页例2）指出下列各组命题中，p是q成立的什么条件，q是p成立的什么条件？（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
（1）p：（x-2）（x-3）=0；q：x-2=0。
（2）p：同位角相等；q：两直线平行。
（3）p：x=3；q：x2=9。
（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。
对于这两道题，教师和学生一起读题，分析其中的关系，作出判断。
注意规范学生的思维过程，并在此基础上引导学生总结出判断充要关系的基本方法步骤：（1）分清条件和结论；
（2）考察条件和结论间的相互推出关系；
（3）根据定义作出判断。
（回到课本，突出课本的示范作用，可以进一步深化认识，概括出一般解题策略。
）4、结合生活，丰富感知
教师引导学生：充要关系不仅仅在数学中是非常重要的概念，在我们的日常生活中同样也是经常遇到。
比如在我们生活中的一些名言名句中，就有不少例子。
[幻灯显示]
例4、请试试探讨下列生活中名言名句的充要关系。
（1）水滴石穿
（2）骄兵必败
（3）名师出高徒
此题要鼓励学生积极思考，讨论作答。
教师根据实际情况对不同的看法展开分析。
（充要条件与生活中的推理判断密切相关。
本题目的是让学生从数学的角度审视生活中的语言，探讨其中的充要关系。
但此题的答案应当是开放的，不同的观点应当允许共存，关键是使学生体验“数学地思维”。
让学生理解数学的价值，学会数学地思维应该是更根本的追求。
）
5、小结作业
[幻灯显示]
小结：主要从三个方面对本节进行概括：
充要条件的定义；充要条件的判断方法；认识生活中的充要关系。
作业：（均做在课本上）
1、完成P35练习1、2；P36练习1、2
2、完成本节习题1.6之1、2、3
3、写出生活中有四种关系的名言名句各1句。
（受课堂教学时间所限，例4这个教学设计不可能也不必花过多的时间。
启动学生的数学思维后，设计了作业3这个开放性的文字数学作业，目的是将课堂上的数学思维延伸到了课外。
至此，本节教学过程结束。
）
六、教学设计的后记
这是一节概念新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
通过“分析—探究—总结”的学习过程，在学生学习新知识的同时，也注意培养学生的能力。
本教学设计的例4和作业3，不同于通常的数学习题和数学问题，具有浓郁的文化气息，希望能成为是点缀的花边而且是点睛的妙笔，将课堂的学习延伸至课外，让学生在生活中自觉地体验“数学地思维”。
附：板书设计：。
充要条件教学设计方案
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握充要条件的概念，理解充要条件的性质和判断方法。
2. 能力目标：培养学生运用充要条件进行逻辑推理的能力，提高学生的数学思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：充要条件的概念、性质和判断方法。
2. 教学难点：充要条件的判断和应用。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾上节课所学内容，引导学生思考如何判断两个命题之间的关系。
（2）引出本节课主题：充要条件。
2. 新课讲解（1）介绍充要条件的概念：若命题A是命题B的充要条件，则A和B同时成立或同时不成立。
（2）讲解充要条件的性质：①自反性：A是A的充要条件。
②对称性：若A是B的充要条件，则B也是A的充要条件。
③传递性：若A是B的充要条件，B是C的充要条件，则A是C的充要条件。
（3）讲解充要条件的判断方法：①直接法：根据定义判断两个命题是否为充要条件。
②间接法：通过否定、逆否、等价等手段判断两个命题是否为充要条件。
3. 课堂练习（1）完成教材中的例题，巩固所学知识。
（2）学生之间互相出题，进行小组讨论，提高解题能力。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结充要条件的概念、性质和判断方法。
（2）强调充要条件在数学证明中的应用。
5. 作业布置（1）完成教材中的课后习题。
（2）课后思考：充要条件在实际生活中的应用。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生完成作业的情况，了解学生对本节课内容的掌握程度。
3. 课后反馈：通过课后作业和课堂提问，了解学生对充要条件的理解和应用能力。
五、教学反思本节课通过讲解充要条件的概念、性质和判断方法，使学生掌握了充要条件的基本知识。
在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重学生对充要条件的理解，避免死记硬背。
2. 通过实例讲解，使学生了解充要条件在实际生活中的应用。
3. 加强课堂练习，提高学生的解题能力。
“充要条件”教学设计.doc
“充要条件”教学设计.doc一、教学目标1.了解“充要条件”的定义及功能。
2.掌握“充要条件”的使用方法。
3.能够应用“充要条件”解决数学问题。
二、教学重点四、教学方法讲授、示范、练习。
五、教学过程1.知识引入通过一个例子来引出“充要条件”的概念：若本数等于横数，最后得到的九九乘法表就是规范的，现在假如打一半，问当你已经打出来的数字的本数等于横数时，你最多可以打多少个数字？2.知识讲解1.定义：“充要条件”是指一个命题的两个条件：充分条件和必要条件，两者都能够推出命题成立。
2.使用方法：在证明一个命题时，我们通常需要找到一个充分条件和一个必要条件，分别说明这两个条件可以推出命题成立。
3.思考：但有时我们也会发现，一些条件即是充分条件，又是必要条件，因此这些条件也可以直接作为命题成立的判定条件。
3.例题演练例1：证明若正整数n满足$n^2<n+k≤(n+1)^2$，则$\sqrt{k}>n$。
【解析】：①必要性：若$\sqrt{k}\leq n$，则显然$k<n^2+n+1$，矛盾。
例2：已知实数$x$的绝对值与$x$之和的平方相等，问$x$可能的值为何？提示：取$x=|x|\text{sgn}(x)$。
【解析】：必要性：设$x=|x|\text{sgn}(x)$，则$|x|=x|\text{sgn}(x)|=x^2=x^2+(\text{sgn}(x))^2-2|x\text{sgn}(x)|\cdot|x\text{ sgn}(x)|\cdot\text{sgn}(x)=(x+\text{sgn}(x))^2$；4.拓展应用练习题：1.若$a,b,c$为非负实数，证明：$a^3+b^3+c^3-3abc$为$(a+b+c)$减式的充要条件是$a=b=c$或其中两个数相等，另一个数为0。
2.设$a,b,c$为正实数，证明：与$(1+2a)(1+2b)(1+2c)$和$(3+a)(3+b)(3+c)$等价的命题是$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 1$。
《充要条件》教学设计与反思
一、教学设计1. 教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握充要条件的概念，了解充要条件的表示方法，能够判断一个命题是否为充要条件。
（2）过程与方法：通过实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。
（3）情感态度与价值观：培养学生严谨的逻辑思维能力，激发学生对数学的兴趣。
2. 教学重点与难点：（1）教学重点：充要条件的概念、表示方法和判断方法。
（2）教学难点：如何正确判断一个命题是否为充要条件。
3. 教学过程：（1）引入：通过讲述一个实际问题，引出充要条件的概念。
（2）讲解：讲解充要条件的定义、表示方法和判断方法。
（3）实例分析：通过实例分析，让学生掌握充要条件的运用方法。
（4）讨论与归纳：组织学生进行讨论，归纳总结充要条件的性质和特点。
（5）练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
（6）反思与总结：对本节课的教学进行反思和总结，提出改进意见。
二、教学反思1. 教学内容方面：本节课的教学内容基本达到了预期目标，学生掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。
但在讲解过程中，对于一些抽象的概念和表示方法，没有做到深入浅出，导致部分学生理解困难。
今后需要改进教学方法，尽量用简单明了的语言和实例来解释抽象概念。
2. 教学方法方面：本节课采用了实例分析、讨论、归纳等方法，引导学生自主探究充要条件的性质和特点。
但在实际教学过程中，发现部分学生对于讨论环节的参与度不高，可能是因为害怕回答问题或者缺乏自信。
今后需要加强课堂氛围的营造，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的学习兴趣和自信心。
3. 学生学习效果方面：通过课堂练习和课后作业的检查，发现大部分学生已经掌握了充要条件的概念、表示方法和判断方法。
但仍有部分学生在判断充要条件时存在错误，可能是因为对于充要条件的理解不够深刻。
今后需要加强对这部分学生的个别辅导，帮助他们克服学习困难。
充要条件教学设计
(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
题型一：充要条件
例1.已知 、 是方程 的两个实根， 是 的（ ）
A．充分不必要条件
故选：C
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、作业
课本22页练习1.2.3. 习题1.2.3
让学生自由发言
让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察，分析，研探.
师生共同完成
学生思考，师生共同完成
师生共同完成
学生独立完成
学生思考，师生共同完成
学生独立完成
学生思考，师生共同完成
通过例题让学生理解充分不必要条件，达到灵活运用的目的
通过练习，让学生熟练判断充分不必要条件
通过例题更好地理解必要不充分条件
同步独立完成练习，有利于巩固所学
通过例题检查学生理解充分不必要条件是否正确，更好地培养学生的逻辑思维能力
通过练习让老师更好地检查学习对必要不充分条件的理解的，更有利于培养学生的化归的思想
通过学生总结，更有利于老师更好地把握本节课学习的学习情况，有利于培养学生的语言表达力
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【详解】
因为 、 是方程 的两个实根，则 .
则 ，则 ，
所以， .
所以， 是 的充要条件.
故选：C.
变式训练：“ ”是“一元二次方程 无实数根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
充要条件第二版
充要条件教学设计叙永二中周元平一、教学目标(一)知识教学点这节课的教学，要让学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在论证中正确地运用．(二)能力训练点“充要条件”是重要的数学概念．它主要讨论命题的条件和结论的关系．通过对充分条件、必要条件和充要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．(三)学科渗透点运用充分、必要、充要条件以及轨迹的纯粹性、完备性等知识，阐明曲线与方程在坐标系建立的条件下是怎样既对应又统一的，怎样互相转化的，在进一步理解曲线的方程、方程的曲线的概念及其相互关系的过程中进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：充分条件、必要条件和充要条件的概念．2．难点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念在论证中的正确运用．三、活动设计活动：提问、讲授、引导练习．四、教学过程(一)复习引入抽学生概述一下命题的四种形式，并指出原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．教师小结：命题的四种形式与条件的充分性和必要性有密切联系，所以本节课着重讨论充分条件、必要条件和充要条件三个概念．课题是“充要条件”．(二)充分条件1．问题命题“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”中，条件和结论各是什么？条件和结论是什么关系？请一同学回答．条件是“有两个角相等”，结论是“三角形是等腰三角形”，条件是结论的充分条件，即“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的充分条件．2．定义如果A成立，那么B成立，即A B，就称条件A是B成立的充分条件．也就是说，为使B成立，具备条件A就足够了．立，可以推得A也不成立，那么同样可得条件A是B成立的充分条件．3．例题1(列举4个例子，用一小黑板事先写好，请4名同学完成．)(1)如果x=y，那么x2=y2，因此x=y是x2=y2的______条件；(充分)(2)如果两角是对顶角，那么这两角相等，因此，两角是对顶角是这两角相等的______条件；(充分)(3)如果A=B，那么sinA=sinB，因此A=B是sinA=sinB的______条件；(充分)(4)如果不重合的两条线l1、l2的斜率k1=k2，那么l1//l2，因此k1=k2是l1//l2的______条件．(充分)(三)必要条件1．问题命题“如果三角形是等腰的，那么它有两个角相等”中，条件和结论是什么？条件和结论有什么关系？请一同学回答．条件是“三角形是等腰的”，结论是“有两个角相等”，“三角形是等腰三角形”是“它有两个角相等”的充分性．接着追问：“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的什么条件？引导学生回答：是必要条件．2．定义如果B成立，那么A成立，即B A，就称条件A是B成立的必要条件．也就是说，要使B成立，就必须A成立．立，可以推得B也不成立，那么同样可得条件A是B的必要条件．3．例题2(列举4个例子，用一小黑板写好，请4名同学完成．)(1)如果x=y，那么x2=y2，因此x2=y2是x=y的______条件；(必要)(2)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等，因此，两个三角形面积相等是它们全等的______条件；(必要)(3)如果A=B，那么sinA=sinB，因此，sinA=sinB是A=B的______条件；(必要)(4)如果两条有斜率的直线l1//l2，那么它们的斜率k1=k2，因此，k1=k2是l1//l2的______条件．(必要)(四)小结学习充分条件与必要条件，一定要分清什么条件是什么条件的充分A的必要条件．教师应教会学生按照：“如果AB，那么A是B的充样可以避免错误．如：x2=y2是x=y的充分条件吗？x=-y是x2=y2的必要条件吗？=-y的充分条件，同时可知x=-y不是x2=y2必要条件．(五)充要条件1．定义如果既有A B，又有B A，即如果有A B，那么从A B可知A是B成立的充分条件，又从B A可知A是B成立的必要条件，就称A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件．提醒学生注意：若A B，则A是B成立的充要条件，显然B也是A成立的充要条件．2．例题3(列举5个例子，事先用一小黑板写好，请5名同学完成．)(1)“有两个角相等”是“三角形是等腰三角形”的______条件；(充要)(2)“两条有斜率且不重合的直线l1、l2的斜率k1=k2”是“l1//l2”的______条件；(充要)(3)“x=y”是“x2=y2”的______条件；(充分不必要)(4)“两个三角形面积相等”是“它们全等”的______条件；(必要不充分)(5)“A＞B”是“sinA＞sinB”的______条件．(既不充分又不必要)这时，教师指出：判断“A”是“B”的什么条件时，先看AB是否成立，再看BA是否成立，从这两个方面作结论不会出错．(六)巩固练习1．下列四个命题中，甲是乙的什么条件？(请一同学演板)(1)甲：ab=0，乙：a2+b2=0______条件．(2)甲：|a|+|b|＞|a+b|，乙：ab≠0______条件．(3)甲：a+b=-p，ab=q，乙：a，b是方程x2+px+q=0的两根______条件．(4)甲：cosA＞cosB，乙：A＞B______条件．答案：(1)必要不充分；(2)充分不必要；(3)充要；(4)既不充分又不必要2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B 的充分条件．试问：(1)D是C的什么条件？(2)A是B的什么条件？引导学生完成，教师板书．解：∵A是C的充分条件，∴A C．∵D是C的必要条件，∴C D．∵D是B的充分条件，∴D B．由上述互推关系可得：A C D B．又∵B是C的充分条件，∴B C．ACDBC．(1)∵C D，∴D是C的充要条件；∴A是B的充分不必要条件．(七)全课小结本课主要讲授了充分条件、必要条件、充要条件三个基本概念，着重理解AB即A是B成立的充分条件，BA即A是B成立的必要条件，AB即A是B成立的充要条件(或B是A成立的充要条件)．五、布置作业1．在下列括弧中填写：“充分条件”或“必要条件”或“充要条件”：(1)“m是有理数”是“m是实数”的( )；(2)“x2-1=0”是“x-1=0”的( )；(3)“x=2”是“x2-5x+6=0”的( )；(4)“x＜5”是“x＜3”的( )；(5)“内错角相等”是“两直线平行”的( )；(6)“ABCD是矩形”是“ABCD是平行四边形”的( )；(7)“两边和夹角对应相等”是“三角形全等”的( )．2．(1)已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是(2)kAB=kBC是A，B，C三点在一直线上的______条件．3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么丙是甲的什么条件？作业答案：1．(1)充分条件；(2)必要条件；(3)充分条件；(4)必要条件；(5)充要条件；(6)充分条件；(7)充要条件2．(1)必要，必要；(2)充分不必要感谢您的阅读，祝您生活愉快。
公开课教案教学设计课件充要条件
1． 2．2 充要条件教学目标：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等. 二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充 必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）. ②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）解析：从充分和必要两个方面入手。
解：在（2）（4）中，p q ⇔，所以（2）（4）中的p 是q 的充要条件，（1）（3）p 不是q 的充要条件。
点评：既有p q ⇒，又有q p ⇒，p 才是q 的充要条件。
②变式练习：教材P12 练习第1、2题 ③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与⊙O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）解析:设p ：d r =，q ：直线l 与⊙O 相切。
电路中的“充要条件”教学设计
电路中的“充要条件”教学设计一、教学目标：1.使学生了解电路中的“充要条件”概念，并能正确运用它进行电路分析；2.培养学生的动手实践能力，提高学生的实践操作能力；3.培养学生的问题解决能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：电路中的“充要条件”三、教学重点和难点重点：电路中的“充要条件”概念的理解和运用。
难点：学生如何正确应用“充要条件”进行电路分析。
四、教学方法：本课程主要采用讲授和实践相结合的方式进行教学。
五、教学步骤：1.导入（5分钟）引出本课的主题：“电路中的‘充要条件’”。
通过几个简单的问题引导学生思考，比如：“在电路中，只有一些条件满足，电流才能顺利流动吗？”，“电路中哪些条件是必不可少的？”，“如果一些条件缺失，电路会发生什么变化？”等。
通过引导学生的思考，激发他们的学习兴趣。
2.讲授“充要条件”（15分钟）通过投影仪或黑板，向学生讲解“充要条件”的概念。
详细介绍电路中的充要条件，包括电源电压、电源极性、电阻大小和连接方式等。
并通过具体案例，深入讲解充要条件的影响。
3.实验操作（30分钟）让学生分为若干小组进行实验操作。
每个小组选取一种常见的电路拓扑结构，例如串联电路、并联电路、混联电路等，并通过改变电源电压、电阻大小或连接方式等因素，观察电路的变化并记录数据。
最后，让学生根据实验结果讨论电路中的充要条件，并给出自己的理解和结论。
4.小组讨论（20分钟）每个小组选择一位代表，向全班汇报他们的实验结果和讨论的结论，并与其他小组进行交流和讨论。
老师在讨论的过程中引导学生回答问题，扩展他们的思维，并确保他们掌握了电路中的充要条件。
5.提高运用练习（30分钟）通过一些案例或练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题。
鼓励学生在小组内进行独立思考和讨论，然后交流和展示自己的解决方法。
6.复习与总结（10分钟）通过提问和让学生总结本课的要点，对本节课的内容进行复习和总结。
确保学生对电路中的充要条件有较深的理解和掌握。
《充要条件》教学设计
《充要条件》教学设计一、课标要求：理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件。
二、知识与方法回顾：1、充分条件、必要条件与充要条件的概念：2、从逻辑推理关系上看充分不必要条件、必要不充分条件与充要条件：3、从集合与集合之间关系上看充分条件、必要条件与充要条件：4、特殊值法：判断充分条件与必要条件时，往往用特殊值法来否定结论5、化归思想：表示p等价于q，等价命题可以进行相互转化，当我们要证明p成立时，就可以转化为证明q成立;这里要注意原命题逆否命题、逆命题否命题只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用化归思想。
6、数形结合思想：利用韦恩图(即集合的包含关系)来判断充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件。
三、基础训练：1、设命题若p则q为假，而若q则p为真，则p是q的 ( )A。
充分不必要条件 B。
必要不充分条件C。
充要条件 D。
既不充分也不必要条件2、设集合M，N为是全集U的两个子集，则是的 ( )A。
充分不必要条件 B。
必要不充分条件C。
充要条件 D。
既不充分也不必要条件3、若是实数，则是的 ( )A。
充分不必要条件 B。
必要不充分条件C。
充要条件 D。
既不充分也不必要条件四、例题讲解例1 已知实系数一元二次方程，下列结论中正确的是 ( )(1) 是这个方程有实根的充分不必要条件(2) 是这个方程有实根的必要不充分条件(3) 是这个方程有实根的充要条件(4) 是这个方程有实根的充分不必要条件A。
(1)(3) B。
(3)(4) C。
(1)(3)(4) D。
(2)(3)(4)例2 (1)已知h 0，a，bR，设命题甲：，命题乙：且，问甲是乙的 ( )(2)已知p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的 ( )A。
充分不必要条件 B。
必要不充分条件C。
充要条件 D。
既不充分也不必要条件变式：a = 0是直线与平行的条件;例3 如果命题p、q都是命题r的必要条件，命题s是命题r的充分条件，命题q是命题s的充分条件，那么命题p是命题q的条件;命题s是命题q的条件;命题r是命题q的条件。
《充要条件》示范课教案【高中数学】
《充要条件》教学设计◆教学目标1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：充要条件的意义；教学难点：充要条件和数学定义之间关系．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）确定方案问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念．抽象概念：什么是充要条件？概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？应用概念：如何判断充要条件？设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：阅读教科书的边框内容，完成下列问题：（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？（2）请分别写出下列命题的逆命题．①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；③若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；④若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，而且它们是互逆的；（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； ②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若0<ac ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若A 与B 均是空集，则B A 是空集．设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．形成概念问题3：对于下列“若p ，则q ”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；（4）若B A 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正． 追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p 是否为q 的充分条件或必要条件？为什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（2）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为假，所以p 不是q 的必要条件；（3）原命题为假，所以p 不是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（4）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件． 追问2：阅读教科书，你能说说什么是充要条件吗？师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．2．辨析概念问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p 是q 的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p 应该称为q 的什么条件？你认为如何判断p 是q 的什么条件？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．预设的答案：上述命题（1）（4）中的p 是q 充要条件．对于命题（2），p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件，称p 是q 的充分不必要条件； 对于命题（3），p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，称p 是q 的必要不充分条件． 如果p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，称p 是q 的既不充分又不必要条件． 如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 充要条件；如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 充分不必要条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 必要不充分条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 即不充分又不必要条件．设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p 是q 的充要、充分不必要等条件与p 是q 的充分条件、p 是q 的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．3．应用概念例3 下列各题中，p 是q 的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p ：两个三角形全等，q ：两个三角形三边成比例；（2）p ：四边形是平行四边形，q ：四边形的对角线互相平分；（3）p ：0>xy ，q ：0,0>>y x ；（4）p ：1=x 是一元二次方程02=++c bx ax 的一个根，q ：)0(0≠=++a c b a ． 追问1：判断p 是q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O 相切的充要条件．追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．预设的答案：需要证明的命题以及证明思路：（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”⇐“直线l与⊙O有且只有一个公共点”⇐先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”⇒“直线l与⊙O有且只有一个公共点P ”⇒“r OP l OP =⊥,”⇒“d =r ”．这一步称为“必要性”．证明：（1）充分性(⇒): 如图，作OP ⊥l 于点P ，则OP =d ．若d =r ，则点P 在⊙O 上，在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ ．在Rt △OPQ 中，OQ ＞OP=r ．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ． 所以直线l 与⊙O 相切．（2）必要性（⇐）：若直线l 与⊙O 相切，不防设切点为P ，则OP ⊥l ．因此d=OP =r ．由（1）（2）得，d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．（四）梳理总结问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p ，则q ”命题，判断p 是q 的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？师生活动：师生一起总结．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．判断方法：通过判断“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”的真假，从而得出p 是q 的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．作业布置：教科书练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．（五）目标检测设计1．（2015浙江）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：考查充要条件的判断方法．2．已知集合A ，B ，则“A ∩B =B ”的一个充分不必要条件是（ ）A ．A =∅B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A =B设计意图：考查充分不必要条件的判断方法．3．求证：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根的充要条件是310<<m ． 设计意图：考查充要条件的证明．参考答案：1．D 2．D3．证明：设p ：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根；q ：310<<m ． （1）必要性（q p ⇒）：若方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根，设其两根为21,x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=,03,012421m x x m ∆解得310<<m ．（2）充分性（p q ⇒）：若310<<m ，则0124>-=m ∆，所以一元二次方程0322=+-x mx 有两个不相等的实根． 又因为310<<m ，所以,0321>=m x x 则方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根．。
充要条件教学设计
1.2.1 充要条件1. 使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．2. 能在判断、论证中灵活运用上述三个概念．教学重点：正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念．教学难点：正确区分充分条件、必要条件．讲练结合导入问题：判断命题“如果x＝y，则x2＝y2”是否正确．师生一起感受命题推理．新课1．命题与推出．在数学中，我们经常遇到“如果p，则q”形式的命题，这种命题的真假要通过推理来判断．如果p真，证明q也为真，那么“如果p，则q”就是真命题．这时我们就说，由p可推出q．符号记作：p ⇒q，读作：“p推出q”．2．推出与充分、必要条件．p推出q，通常还可表述为p是q的充分条件；q是p的必要条件．这就是说，如果p，则q；(真)p ⇒q；p是q的充分条件；q是p的必要条件．这四句话表达的都是同一意义．例1 (1)“如果x＝y，则x2＝y2”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为哪几种形式？解(1)“如果x＝y，则x2＝y2”(真)这个命题还可表述为x＝y⇒ x2＝y2；或x＝y 是x2＝y2 的充分条件；或x2＝y2 是x＝y 的必要条件．(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”(真)这个命题还可表述为在△ABC中，AB＝AC⇒∠B＝∠C；或在△ABC中，AB＝AC是∠B＝∠C的充分条件；或在△ABC中，∠B＝∠C是AB＝AC的必要条件．练习1 教材P22 练习A组第1题．练习2教师写出四种等价说法中的一种，学生说出其他三种．3．充要条件．观察例1(2)“在△ABC中，如果AB＝AC，则∠B＝∠C”．反过来，“在△ABC 中，如果∠B＝∠C，则AB＝AC”这个命题是否正确？若正确，用刚学过的“推出符号”和充分、必要条件怎么叙述?引出充要条件的概念．如果p是q的充分条件(p ⇒q )，p又是q的必要条件(q⇒ p )，则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件．记作p⇔q．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．又常说成q当且仅当p，或p与q等价．例如：两个三角形对应角相等是两个三角形相似的充要条件．4.综合练习．例2用充分条件、必要条件或充要条件填空：(1) x 是整数是x 是有理数的；(2) x＝3 是x2＝9的；(3) 同位角相等是两直线平行的；(4) (x－2)(x－3)＝0是x－2＝0的；练习3 教材P22，A组第2题．例3 已知p 是q 充分条件，s是r 必要条件，p 是s 充要条件．求q与r的关系．解根据已知可得p⇒ q，r⇒s，p⇔s．所以r⇒s ⇔ p ⇒q．所以r⇒q．即，r 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件．练习4 用充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件填空：(1) a＝b 是a c＝b c 的；(2) 两个三角形全等是两个三角形相似的；(3) 四边形的对角线相等是四边形是矩形的；(4) a＋5是无理数是a 是无理数的．小结1. 前推后充分．2. 后推前必要．3. 互推充要．4. 不能推，既不充分又不必要．。