公开课充要条件教案
充要条件
●教学目标
（一）教学知识点（二）能力训练要求
1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念．
2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．
3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．
●教学重点
1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断．
●教学难点
命题条件的充要性判断．
●教学过程
Ⅰ．复习回顾
1、什么是充分条件和必要条件?
2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?
（1）若a是无理数，则a＋5是无理数．
（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．
（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．
Ⅱ．讲授新课
§1.2.2充要条件
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：“p⇔q”，“⇔”叫做等价符号，“p⇔q”表示“p⇒q，且q⇒p”．
这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
命题（1）中因：a是无理数⇒a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数⇒a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．
命题（2）中因“a＞b⇒a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c⇒a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．
命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞0”⇒“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”
则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．
例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．
（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；
（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；
（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.
命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0⇒x＝2或x＝3x－2＝0”；
而“x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．
命题（2）中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p是q的充要条件．
命题（3）中因“x＝3⇒x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．
命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．
命题（5）中因：p：x
3
2+
x＝x2⇔x（3
2+
x－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝
－1或x＝3．则有p q且q p．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定．
例2.已知p、q是r的必要条件，s是r 的充分条件，q是s的充分条件问：
（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
例3. p：x∈{x|－1<x<3}，q：x∈{x|a≤x≤a2+1 }，若p是q的充分条件，求a的取值范围.
解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．
则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}⇒x∈{x｜x＜3}，即x∈P．故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．
例4 求证|a|＋|b|＝|a＋b|的充要条件是ab≥0.
分析：充分性即证：xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：
｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．
证明：①充分性．
若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．
此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．
若xy＞0，则x，y同号．
当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．
当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜
综上所述，xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．
②必要性
∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R
∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2
⇒xy＝｜xy｜⇒xy≥0．
因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．
故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．
评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．
也就是需证明充分性：q⇒p；必要性p⇒q不能颠倒证反”．
注：本题也可用绝对值的概念证明：
｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜
⇔｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2
⇔x2＋2xy＋y2
＝x2＋2｜xy｜＋y2
⇔｜xy｜＝xy
⇔xy≥0．
故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜
例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.
课堂小结：
1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必
要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.
2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，
由结论推出条件就是必要性.
3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q 的什么条
件时，要“正逆互推，注意特例”.
充要条件作业
1、指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．
（在“①充分而不必要条件”“②必要而不充分条件”“③充要条件”“④既不充分又不必要条件”中选出
一种）?填写序号
（1）p ：（x －2）（x －3）＝0，q ：x －2＝0
（2）p ：同位角相等，q ：两直线平行．
（3）p ：x ＝3，q ：x 2＝q ．
（4）p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．
（5）p ：x 2＝3x+4，q ：x ＝4x 3+
答案: (1) ____________(2)____________ (3) ___________ (4) ___________ (5)______________
2、设集合M ＝{x ｜x ＞2}，P ＝{x ｜x ＜3＝，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的什么条件?
3、若已知A 是B 的充分条件，C 是D 的必要条件，而B 是D 的充要条件，则D 是C 的
_______条件；D 是A 的__________条件；A 是C 的__________条件，D 是B 的__________条件．
4、已知p ：｜5x －2｜＞3，q ：541
2-+x x ＞0．则⌝p 是⌝q 的什么条件?
解：⌝p ：｜5x －2｜≤3，即：－51
≤x ≤1
⌝q ：－5≤x ≤1，则⌝p ⇒⌝q ；
而⌝q p ．则⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件．
评述：要注意准确把握一个命题的否定．特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常
用．
5、证明：三角形ABC 三边为a,b,c, 三角形ABC 是等边三角形的充要条件是
a 2+
b 2+
c 2=ab+ac+bc
---精心整理，希望对您有所帮助。
公开课充要条件教案
1、指出以下各组命题中，p是q的什么条件．
〔在“①充分而不必要条件〞“②必要而不充分条件〞“③充要条件〞“④既不充分又不必要条件〞中选出一种〕?
〔1〕p：〔x－2〕〔x－3〕＝0，q：x－2＝0
〔2〕p：同位角相等，q：两直线平行．
〔3〕p：x＝3，q：x2＝q．
〔4〕p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
〔5〕p：x2＝3x+4，q：x＝
答案: (1) ____________(2)____________ (3) ___________ (4) ___________ (5)______________
2、设集合M＝{x｜x＞2}，P＝{x｜x＜3＝，那么“x∈M或x∈P〞是“x∈M∩P〞的什么条件?
3、假设A是B的充分条件，C是D的必要条件，而B是D的充要条件，那么D是C的
_______条件；D是A的__________条件；A是C的__________条件，D是B的__________条件．
4、p：｜5x－2｜＞3，q：＞0．那么p是q的什么条件?
解：p：｜5x－2｜≤3，即：－≤x≤1
q：－5≤x≤1，那么pq；
而q p．那么p是q的充分而不必要条件．
评述：要注意准确把握一个命题的否认．特别是不等式所表示的区域的否认，在命题的条件确实定中常用．
5、证明：三角形ABC三边为a,b,c, 三角形ABC是等边三角形的充要条件是
a2+b2+c2=ab+ac+bc。
充要条件(公开课课件)
方程组无解．
2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p 与q互为 充要 条件． [微思考] 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说
法正确吗？ 提示：正确．若p是q的充要条件，则p⇔q. 即p等价于q.故此说法正确．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．
2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0. 证明：假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1， q：a＋b＋c＝0. (1)证明p⇒q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
(2)证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0. 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0. 故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根． 综上，方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
D．既不充分也不必要条件
解析：p＝3⇒A＝{－1,3,2}⇒B⊆A⇒A∩B＝B，所以是充分条件；反之，A∩B＝ B⇒B⊆A⇒{2,3}⊆{2，－1，p}⇒p＝3，所以是必要条件．故选C.
答案：C
2．下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (2)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，∴p是q的充要条件． (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形， ∴p不是q的充要条件，p是q的充分不必要条件． (3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．
1.2.1充分条件与必要条件（公开课）
1.2.1充分条件与必要条件（公开课）充分条件与必要条件教学⽬标：（1）正确理解充分条件、必要条件的概念；（2）能正确判断是充分条件还是必要条件；教学重点：理解充分条件和必要条件的概念.教学难点：理解充分条件和必要条件的概念教学类型：新授课教学⽤具：多媒体课件⿊板教学过程：⼀，创设情境，激发兴趣，引出课题：考虑到⾼⼀学⽣学习这⼀章的知识储备不⾜，为了让学⽣更易接受这⼀节内容，我利⽤⽇常⽣活中的具体事例来提出本课的问题，并与学⽣共同利⽤原有的知识分析，事例中包括⼏个问题，为后⾯定义的分析埋下伏笔。
第⼀个事例是：由歌曲《我是⼀条鱼》引出“⽔”与“鱼能活命与否”的关系。
⽤这个事件的⽬的是为了引导学⽣得出必要条件的定义。
这⾥要强调该事件包括：A：有⽔；B：鱼就能活。
第⼆个事例是：“做⼀件衬衫，需⽤布料，到布店去买，问营业员应该买多少？他说买3⽶⾜够了。
”这样，就产⽣了“3⽶布料”与“做⼀件衬衫够不够”的关系。
⽤这个事件⽬的是为了第⼆部分引导学⽣得出充分条件的定义。
这⾥要强调该事件包括：p：有3⽶布料；q：做⼀件衬衫够了。
⽤以上两个⽣活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学⽣感到亲切⾃然，有助于提⾼兴趣和深⼊领会概念的内容，特别是它的必要性。
⼆，引导分析，给出定义，讲解新课。
在第⼀部分激发起学⽣的学习兴趣后，紧接着开展第⼆部分，引导学⽣分析实例，让学⽣从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。
在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学⽣分析。
1 ⾸先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义我们约定：若p则q为真，记作：p q 或 q?p若p则q为假，记作：qp?结合具体事例，让学⽣体会推断符号?的优点：在表达上的简洁性，同时还可以标明命题的真假，并会使⽤。
2给出充分条件和必要条件的定义：充分条件与必要条件：⼀般地，如果已知 p ? q那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．理解充分条件，这⾥只要具备p，就能得到q。
公开课讲义(充分与必要条件)
1．2．1充分条件与必要条件（一）教学目标 1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念； 会判断命题的充分条件、必要条件． 2.过程与方法：复习回顾感知概念理解概念深化概念实例探究 命题的分析 实例构造 集合角度３．情感、态度与价值观：通过学生的参与，培养他们的辨析能力以及良好的思维品质，激发学生学习数学的热情. （二）教学重点与难点重点：⑴ 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解；⑵ 判断给定命题的条件与结论之间的关系. 难点：⑴ 在p ⇒q 中 q 是p 的必要条件的理解； ⑵ 如何判断 p 是 q 的什么条件；⑶ 判断命题条件与结论间关系时，条件 p 的确定。
（三）教学方法： 探究式教学法感知概念深化概念小结作业师生互动探究 逆向思维探究 （四）教学手段： 多媒体辅助教学 （五）教学过程： Ⅰ复习回顾：（1）四种命题的概念 （2）四种命题的关系 Ⅱ感知概念：⒈ 判断下列“若p 则q ”形式命题的真假， 并研究其逆命题的真假. ⑴ p ：小明是合肥人， q ：小明是中国人 ⑵ p ：x >5 ， q ： x >0；⑶ p ：22x y =， q ： x = y ； ⑷ p ：A ∩B=A ， q ： A B ⊆；⑸ p ：a >b ， q ：22a b >； 2. 写出⑴的逆否命题，并判断真假.3.感知概念、引出课题p:小明是合肥人，q:小明是中国人问题:能否改变⑴中的条件p ，使结论q 仍然成立？ 师生互动探究活动1.学生活动让学生阅读教材9页,并且用 “⇒”和“≠>”符号表示题组1中的原命题与逆命题.2.点评学生活动引出定义⑴ p:小明是合肥人 q:小明是中国人 ⑵ p: x >5 ， q: x >0；⑶ p: 22x y =， q: x = y ； ⑷ p: A ∩B=A ， q: A B ⊆； ⑸ p: a >b ， q: 22a b >；在⑴、⑵、⑷中，p ⇒q ，即只要有条件p 就一定能“充分”保证q 成立，这时称p 是q 成立的充分条件.命题⑴p ⇒q ,根据逆否命题q p ⌝⇒⌝, 即如果没有q 成立,就一定没有p 成立,q 成立是p 成立“必须要有”的条件,称q 是p 的必要条件. 3．充分、必要条件定义：如果p ⇒q 那么①p 是q 成立的充分条件，②q 是p 成立的必要条件. 解读：①符合“若p 则q ”为真（p ⇒q ）的形式,即“有之必成立”。
公开课充要条件教案
公开课充要条件教案一、教学目标1. 让学生理解充要条件的概念，掌握其定义和判定方法。
2. 培养学生运用充要条件分析问题、解决问题的能力。
3. 提高学生逻辑思维能力和表达能力。
二、教学内容1. 充要条件的定义2. 充要条件的判定方法3. 充要条件的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：充要条件的定义和判定方法。
2. 教学难点：充要条件的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解充要条件的定义和判定方法。
2. 利用案例分析法，引导学生运用充要条件分析问题。
3. 开展小组讨论法，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个生活案例，引出充要条件的概念。
2. 讲解充要条件的定义：引导学生理解充分条件和必要条件的概念，并介绍它们的区别和联系。
3. 讲解充要条件的判定方法：介绍“如果且仅如果”的概念，引导学生掌握充要条件的判定方法。
4. 案例分析：选取一些实例，让学生运用充要条件进行分析，巩固所学知识。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用充要条件分析问题，培养学生的合作能力和逻辑思维能力。
7. 布置作业：让学生运用充要条件分析问题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对充要条件的理解和掌握程度。
2. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括分析问题、合作能力和逻辑思维能力。
3. 作业批改：检查学生对充要条件的应用能力，以及作业中的逻辑性和表述清晰度。
七、教学反思2. 反思教学内容：检查充要条件的定义和判定方法是否适合学生的认知水平，是否需要调整或补充相关知识点。
3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对充要条件的理解和掌握情况，以及他们在学习过程中的困惑和问题。
八、教学拓展1. 充要条件的应用：介绍充要条件在生活中的应用，如逻辑推理、辩论技巧等，激发学生学习兴趣。
2. 相关知识点：推荐学生阅读相关书籍或文章，了解充要条件的更深入内容和应用领域。
3. 实践活动：组织学生参加相关的实践活动，如辩论赛、思维导图制作等，提高学生的实际应用能力。
公开课教案教学设计课件充要条件
1． 2．2 充要条件教学目标：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念.教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等. 二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充 必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）. ②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）解析：从充分和必要两个方面入手。
解：在（2）（4）中，p q ⇔，所以（2）（4）中的p 是q 的充要条件，（1）（3）p 不是q 的充要条件。
点评：既有p q ⇒，又有q p ⇒，p 才是q 的充要条件。
②变式练习：教材P12 练习第1、2题 ③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与⊙O 相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）解析:设p ：d r =，q ：直线l 与⊙O 相切。
充要条件(经典公开课)
1 ． 判 断 下 列 说 法 是 否 正 确 ， 正 确 的 在 它 后 面 的 括 号 里 画 “ √” ， 错 误 的 画
“×”．
(1)对命题“若p，则q”，如果既有p⇒q，又有q⇒p，那么p是q的充要条件．
( √)
(2)如果命题“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，那么p是q的
又因为 ab≠0，所以 a≠0 且 b≠0． 从而 a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2≠0． 所以 a＋b－1＝0，即 a＋b＝1.故充分性成立． 所以 a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
[方法总结] 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个 命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同 的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论．
探究二 证明充要条件
已知 ab≠0.求证：a＋b＝1 的充要条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0．
证明 先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－ a2－b2＝0． 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0．
探究三 利用充要条件求参数
求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件． 解题流程： 第一步 泛读题目明待求结论：求充要条件． 第二步 精读题目挖已知条件：方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根． 第三步 建立联系寻解题思路：分a＝0，a＜0和a＞0三种情况讨论． 第四步 书写过程养规范习惯．
公开课教案《充分条件与必要条件》教案设计
案例二
对于命题“只有年满18岁，才能参加选举。”年满18岁是参加选举的必要条件，因为如果不满18岁，就一定不能参加选举。但年满18岁并不一定能参加选举，因为还需要满足其他条件（如具有选举权等），因此年满18岁不是参加选举的充分条件。
案例三
对于命题“当且仅当x=2时，x^2=4。”这里x=2既是x^2=4的充分条件也是必要条件，因为只有当x=2时，x^2才等于4；反过来，如果x^2=4，那么x一定等于2。
在解决实际问题时，充分条件和必要条件往往需要结合使用，以更全面地描述问题。
充分条件是指使得某个事件或命题一定成立的条件，而必要条件则是指某个事件或命题成立所必须满足的条件。
定义不同
充分条件是单向的，即只要满足充分条件，事件或命题就一定成立；而必要条件是双向的，即事件或命题成立则必须满足必要条件，反之则不一定。
需要进一步提高的方面
在今后的学习中，我需要加强对充要条件判定方法的掌握，提高解题速度和准确率。
03
02
01
如《离散数学》、《数学逻辑基础》等，这些书籍对充分条件与必要条件有更深入的讲解，同时也有更多的例题和练习题供读者练习。
相关数学书籍
如慕课网、网易云课堂等平台上的相关数学课程，这些课程通常由知名高校的教师讲授，内容丰富、讲解清晰。
示例
定义
通过识别题目中的充分条件，可以帮助学生快速找到解题的突破口。
解题思路引导
定理证明
实际应用
在数学定理的证明过程中，充分条件往往作为推理的起点，通过逐步推导得出结论。
在实际问题中，通过分析充分条件，可以帮助学生理解问题的本质和求解方法。
03
02
01
1
2
3
条件A是条件B的充分条件，但条件B的发生不一定需要条件A的存在。
[教学设计]公开课充要条件教案
充要条件●教学目标（一）教学知识点（二）能力训练要求1．充要条件的概念．1．理解并掌握充要条件的概念．2．判断命题的条件的充要性的方法．2．掌握判断命题的条件的充要性的方法．3．把充要条件的思想自觉地运用到解题之中．3．培养学生简单的逻辑推理的思维能力．●教学重点1．理解充要条件的意义．2．命题条件的充要性判断．●教学难点命题条件的充要性判断．●教学过程Ⅰ．复习回顾1、什么是充分条件和必要条件?2、试判断下列命题的条件是结论成立的什么条件?（1）若a是无理数，则a＋5是无理数．（2）若a＞b，则a＋c＞b＋c．（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，则判别式Δ＞0．Ⅱ．讲授新课§1.2.2充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：“p⇔q”，“⇔”叫做等价符号，“p⇔q”表示“p⇒q，且q⇒p”．这时p既是p的充分条件,又是q的必要条件,则p是q的充分必要条件，简称充要条件．命题（1）中因：a是无理数⇒a＋5是无理数，所以“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分条件；又因“a＋5是无整数⇒a是无理数”则“a是无理数”又是“a＋5是无理数”的必要条件，因此，“a是无理数”是“a＋5是无理数”的充分必要条件．命题（2）中因“a＞b⇒a＋c＞b＋c”，又有“a＋c＞b＋c⇒a＞b”，则“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．命题（3）中因：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根⇒Δ＞0”，又有“Δ＞0” ⇒“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根．”则“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”是“判断式Δ＞0”的充要条件．例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件．（1）p：b＝0，q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等.命题（1）中因“（x－2）（x－3）＝0⇒x＝2或x＝3x－2＝0”；而“x－2＝0⇒（x－2）（x－3）＝0”，所以p是q的必要而不充分条件．命题（2）中因“同位角相等⇔两直线平行”，所以p是q的充要条件．命题（3）中因“x＝3⇒x2＝9”，而“x2＝9”x＝3”，所以p是q的充分而不必要条件．命题（4）中因“四边形的对角线相等四边形是平行四边形，又因“四边形是平行四边形四边形的对角线相等．”所以p是q的既不充分又不必要条件．命题（5）中因：p：x32+x＝x2⇔x（32+x－x）＝0，解得x＝0或x＝3；q：2x＋3＝x2得x＝－1或x＝3．则有p q且q p．所以p是q的既不充分也不必要条件．由命题（5）可知：对复杂命题条件的判断，应先等价变形后，再进行推理判定．例2.已知p、q是r的必要条件，s是r 的充分条件，q是s的充分条件问：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？例3. p：x∈{x|－1<x<3}，q：x∈{x|a≤x≤a2+1 }，若p是q的充分条件，求a的取值范围.解由“x∈M或x∈P”可得“x∈P”，又由“x∈M∩P”可得：x∈{x｜2＜x＜3}．则由x∈P，即x∈{x｜x＜3} x∈{x｜2＜x＜3}．但由“x∈{x｜2＜x＜3}⇒x∈{x｜x＜3}，即x∈P．故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要而不充分条件．例4 求证|a|＋|b|＝|a＋b|的充要条件是ab≥0.分析：充分性即证：xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即证：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．证明：①充分性．若xy＝0，则有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0．此时显然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．若xy＞0，则x，y同号．当x＞0且y＞0时，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜．当x＜0且y＜0时，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜综上所述，xy≥0⇒｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．②必要性∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R∴（x＋y）2＝（｜x｜＋｜y｜）2即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2xy＝｜xy｜⇒xy≥0．因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜⇒xy≥0．故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜．评述：证明“p的充要条件是q”时，即等价于“q是p的充要条件”．也就是需证明充分性：q⇒p；必要性p⇒q不能颠倒证反”．注：本题也可用绝对值的概念证明：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜｜x＋y｜2＝（｜x｜＋｜y｜）2x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜xy｜＋y2｜xy｜＝xyxy≥0．故xy≥0⇔｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜例5、已知圆o的半径是r，圆心o到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与圆o相切的充要条件.课堂小结：1.p 是q 的充分条件包括两种可能，即p 是q 的充分不必要条件或p 是q 的充要条件；同样，p 是q 的必要条件也包括两种可能，即p 是q 的必要不充分条件或p 是q 的充要条件.2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件. 在判断p 是q 的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.充要条件作业1、指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．（在“①充分而不必要条件”“②必要而不充分条件”“③充要条件”“④既不充分又不必要条件”中选出一种）?填写序号（1）p ：（x －2）（x －3）＝0，q ：x －2＝0（2）p ：同位角相等，q ：两直线平行．（3）p ：x ＝3，q ：x 2＝q ．（4）p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形．（5）p ：x 2＝3x+4，q ：x ＝4x 3+答案: (1) ____________(2)____________ (3) ___________ (4) ___________ (5)______________2、设集合M ＝{x ｜x ＞2}，P ＝{x ｜x ＜3＝，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的什么条件?3、若已知A 是B 的充分条件，C 是D 的必要条件，而B 是D 的充要条件，则D 是C 的_______条件；D 是A 的__________条件；A 是C 的__________条件，D 是B 的__________条件．4、已知p ：｜5x －2｜＞3，q ：5412-+x x ＞0．则⌝p 是⌝q 的什么条件?解：⌝p ：｜5x －2｜≤3，即：－51≤x ≤1q ：－5≤x ≤1，则⌝p ⇒⌝q ；而⌝q p ．则⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件．评述：要注意准确把握一个命题的否定．特别是不等式所表示的区域的否定，在命题的条件的确定中常用．5、证明：三角形ABC 三边为a,b,c, 三角形ABC 是等边三角形的充要条件是 a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc。
充分条件与必要条件 公开课教案
课题：1.8 充分条件与必要条件（一）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．教学过程：一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p⇒q（或若┐q⇒┐p），则p是q的充分条件；若q⇒p（或若┐p⇒┐q），则p是q的必要条件.六、作业：1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B 的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D是A的必要条件；A是B的充分条件.3．预习：课本P35-36内容.七、板书设计（略）八、课后记：。