工程优化设计中的数学方法

牛顿型方法、变尺度法等等； 牛顿型方法、变尺度法等等； 3.实践技能 实践技能： 3.实践技能：能够熟练使用一些优化计算的数学软件 (MATLAB优化工具箱 解决实际问题； 优化工具箱） (MATLAB优化工具箱）解决实际问题；在透彻理解和掌 握最优化的基本原理，各种具体算法的基础上， 握最优化的基本原理，各种具体算法的基础上，自己编 制解决实际问题的优化程序。 制解决实际问题的优化程序。
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课程作用与任务：
最优化是一个重要的数学分支， 最优化是一个重要的数学分支，同时又是一门应用广 泛、实用性很强的学科。最优化是讨论从所有可能方案中 实用性很强的学科。 选择最合理的方案以达到最优目标的学科， 选择最合理的方案以达到最优目标的学科，是随着计算机 的普遍应用而发展起来的，已广泛应用于各个领域。例如， 的普遍应用而发展起来的，已广泛应用于各个领域。例如， 工程设计中如何选择参数， 工程设计中如何选择参数，使得设计方案既满足设计要求 又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源， 又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分 配方案既能满足各方面的基本要求， 配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效 益；生产计划安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值 生产计划安排中， 和利润； 和利润；
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指派问题) 例2.4 (指派问题 指派问题 设有四项任务B1, B2, B3, B4,派四个人 派四个人A1, A2, A3, A4去 设有四项任务 派四个人 去 完成.每个人都可以承担四项任务中的一项， 完成 每个人都可以承担四项任务中的一项，但所耗费的 每个人都可以承担四项任务中的一项 资金不同.设 所需的资金为C 问如何分配任 资金不同 设 Ai 完成 B j 所需的资金为 ij .问如何分配任 务，使总支出最少？ 使总支出最少？
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1947年 Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法-1947年，Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法-提出求解线性规划问题的单纯形法 “20世纪最伟大的创造之一 世纪最伟大的创造之一” “20世纪最伟大的创造之一”； 1951年 完成了非线性规划的基础工作. 1951年，Kuhn 和 Tucher 完成了非线性规划的基础工作. 20世纪70年代 最优化在理论和算法上， 世纪70年代， 20世纪70年代，最优化在理论和算法上，以及在应用的 深度和广度上都有了进一步发展。 深度和广度上都有了进一步发展。 至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、 至今已出现线性规划、整数规划、非线性规划、几何 规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分支。 规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分支。最优化 理论和算法在实际应用中正在发挥越来越大的作用。 理论和算法在实际应用中正在发挥越来越大的作用。
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第一章 引言
§1 什么是最优化
最优化顾名思义，就是追求最好结果或最优目标的学科 最优化顾名思义，就是追求最好结果或最优目标的学科. 概括的讲， 概括的讲，所谓最优化就是从所有可能方案中选择最合 理的一种以达到最优目标的学科. 理的一种以达到最优目标的学科 最优化 Optimization 广义上等同于运筹学， 广义上等同于运筹学， 狭义上即为 mathematical programming
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最优化是个古老的课题。长期以来，人们对最优化问题进 最优化是个古老的课题。长期以来， 行探讨和研究。早在17世纪，英国的伟大科学家Newton（ 行探讨和研究。早在17世纪，英国的伟大科学家Newton（英） 17世纪 Newton 发明微积分的时代，已经提出极值问题， 发明微积分的时代，已经提出极值问题，Leibniz 提出函数 的极值问题，后来又出现Lagrangian乘数法； 的极值问题，后来又出现Lagrangian乘数法； Lagrangian乘数法 1847年 法国数学家Cauchy研究了函数值沿什么方向下 1847年，法国数学家Cauchy研究了函数值沿什么方向下 Cauchy 降最快的问题，提出最速下降法； 降最快的问题，提出最速下降法； 1939年 1939年，苏联数学家提出了解决下料问题和运输问题这 两种线性规划问题的求解方法； 两种线性规划问题的求解方法；
设x* ∈ C , 若∃N ( x* , δ ), 使得且对∀x ∈ N ( x* , δ ), 有 ( local or regional )
f ( x* ) ≤ f ( x), 则称 x*为（P）的（局部）最优解（点）或局部极小值点. 严格局部最优解 ; 最优值 注 : 全局最优解一定是局部最优解, 反之不一定成立.
Department of Applied Mathematics, XiDian University
工程优化设计中的数学方法
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学科简介
最优化问题足现代应用数学和计算数学研究的热点 之一，它讨论决策问题的最佳选择之特征， 之一，它讨论决策问题的最佳选择之特征，构造寻求最 佳解的计算方法， 佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际 计算表现． 计算表现．数学上就足研究在一定条件下函数的最大或 最小值是否存在、 最小值是否存在、最大值或最小值点集合的性质以及如 何求解它们等问题． 何求解它们等问题． 最优化方法起源于十分古老的极值问题， 最优化方法起源于十分古老的极值问题，在Dantzig (1947)提出求解一般线性规划问题的单纯形法之后，最 提出求解一般线性规划问题的单纯形法之后， 提出求解一般线性规划问题的单纯形法之后 优化方法开始成为一门独立的学科， 优化方法开始成为一门独立的学科，并得到了飞速的发 现在，求解线性规划、非线性规划、非光滑规划、 展．现在，求解线性规划、非线性规划、非光滑规划、 随机规划、多目标规划、 随机规划、多目标规划、几何规划以及整数规划等各种 最优化问题的理论的研究发展迅速，新方法不断涌现， 最优化问题的理论的研究发展迅速，新方法不断涌现， 实际应用日益广泛。 实际应用日益广泛。
严格g 严格 .opt . 严格l 严格 .opt . l .opt .
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二、最优化问题的分类 1. 据目标函数及约束函数的表现形式 目标函数及约束函数均为线性； 线 性 规 划：目标函数及约束函数均为线性； 目标函数是二次函数，约束函数是线性； 二 次 规 划：目标函数是二次函数，约束函数是线性； 凸 规 划：可行域为凸集，目标函数是凸函数； 可行域为凸集，目标函数是凸函数；
教材： 最优化计算方法，陈开周，西电出版社， 教材： 最优化计算方法，陈开周，西电出版社，1986。 。
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教材： 最优化计算方法，陈开周，西电出版社，1986 86。 教材： 最优化计算方法，陈开周，西电出版社，1986。 主要参考书目： 主要参考书目： 实用最优化方法. 唐焕文，秦学志。大连理工出版社， [1] 实用最优化方法. 唐焕文，秦学志。大连理工出版社， 1994. [2] 最优化原理与方法，薛嘉庆，冶金工业出版社，1986. 最优化原理与方法，薛嘉庆，冶金工业出版社，1986. 最优化计算方法，席少霖，赵凤治， [3] 最优化计算方法，席少霖，赵凤治，上海科学技术出 版社，1983. 版社，1983. 陈宝林．最优化理论与算法． [4] 陈宝林．最优化理论与算法．第１版．清华大学出版 社，1989.
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§2 最优化问题举例
多参数曲线拟合问题） 例2.1 （多参数曲线拟合问题） 的函数关系为： 已知热敏电阻 R 依赖于温度 t 的函数关系为：
x2 R (t ) = x1 exp( ) t + x3
（2.1） ）
是待定的参数。通过实验， 其中 x1 , x 2 , x3 是待定的参数。通过实验，测得一组数据
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§3 最优化的基本概念
一、最优解
不失一般性，考 虑 优 化 问题 min f ( x) n
x∈R
（P） s.t. g i ( x) ≤ 0, i = 1,2,L , m h j ( x) = 0, j = 1,2, L, p 其中x = ( x1 , x2 , L , xn )T ∈ R n − −决策变量或设计变量 , f ( x) :目标函数 g i : R n → R, 不等式约束条件 h j : R n → R, 等式约束条件 C = {x ∈ R n | g i ( x) ≤ 0, h j ( x) = 0, i = 1,2,L , m, j = 1,2, L, p} 可行集，容许集 称x ∈ C为问题（P）的可行解.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主要内容:包括预备知识、常见的一维搜索方法、无约 包括预备知识、常见的一维搜索方法、
束优化方法、约束优化方法及线性规划等内容。 束优化方法、约束优化方法及线性规划等内容。
目
通过本课程的学习， 的：通过本课程的学习，应能理解和掌握最优化
方法的原理及各种实用算法， 方法的原理及各种实用算法，具备解决实际优化问题的 基本技能。 基本技能。
i =1 j =1 m n
由产地i到销地j的距离为d ij , 问如何安排运输， 才能既满足各地的需要，又使所花费的运输 总费用最少？试建立数学建模。
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设施问题） 例2.3 （设施问题） 个市场， 设有 n 个市场，第 j 个市场的位为 (a j , b j ) ， 对某种货物的需求量为 q j , j = 1,2,L, n. 。现计划建 立 m个仓库，第 i 个仓库的容量为 ci , i = 1,2,L, m. 个仓库， 试确定仓库的位置， 试确定仓库的位置，使各仓库到各市场的运输量与 路程乘积之和最小。 路程乘积之和最小。