第5章 概率分布 医学统计学

-x1 -x2

+x2 + x1
27
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013 S(-, )=1 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987
Z 0
25
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-, -X)
S( +X,)＝S(-, -X)

26
正态曲线下的面积规律
对称区域面积相等。
S( -x1, -x2) S( -x1, -x2)= S( +x1, +x2)
0 1 3 2
0.008 0.096
2 3
1 0
0.384 0.512 1.000
46
二项分布的概率
设事件A出现的概率为。则在n次独立试 验中，事件A恰好出现 k 次的概率为：
P( X k ) C (1 )
k n k
n k
对应于二项展开式：
(1 )
2
e
(-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为分布的均数， 为分布的标准差。
17
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
18
方差相等、均数不等的正态分布图示
2 1 3
3
1
2
19
均数相等、方差不等的正态分布图示
2 3 1 2 1
14
正态分布的概念及图形
(a)
(b)
(c)
(d)
15
正态分布的概念及图形
Normal distribution Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution
16
正态分布的概率密度函数
如果随机变量X的概率密度函数
f (X )
1

( X )2 2 2
0.0013 0.0013 0.0012 0.0011 0.0010 0.0062 0.0059 0.0055 0.0052 0.0049 0.0228 0.0217 0.0207 0.0197 0.0188 0.0287 0.0274 0.0262 0.0250 0.0239 0.0548 0.0526 0.0505 0.0485 0.0465 0.1587 0.1539 0.1492 0.1446 0.1401 0.3085 0.3015 0.2946 0.2877 0.2810 0.5000 0.4920 0.4840 0.4761 0.4681
40
5.1.4 正态分布的应用
正态分布是许多统计方法的理论基础
估计频数分布( frequency distribution) (自学)
确定临床参考值范围(reference interval) (自学)
41
作 业
阅读内容:(P51-54) 查阅文献,介绍某项参考值范围(reference interval)的制定过程(最新进展) 每人准备5-10张ppt (中英文均可), 我会给 你10-20分钟时间.
离散型：性别、血型、子女数、事故数、菌
落数 连续型：身高、体重
10
5.1 正态分布
正态分布的特征 标准正态分布 正态分布曲线下面积的规律 正态分布的应用
11
例：密度函数和分布函数
抛两枚硬币，
P 两枚均正面朝上 0.25 P 两枚均反面朝上 0.25 P A正面B反面朝上 0.25 P A反面B正面朝上 0.25 P 至少有一枚正面朝上 0.75 P 恰好有一枚正面朝上 0.5
-2
-1
0
1
2
3
4
29
正态曲线下的面积规律
S(-, )=0.5 S(-, -1)=0.1587 S(-, -2)=0.0228 S(-, -3)=0.0013
S(-, )=1 S(-, +1)=0.8413 S(-, +2)=0.9772 S(-, +3)=0.9987
35
常用正态曲线下的面积规律
例5.4 求正态分布N(119.41,4.382)曲线下区间 (110.83,127.99)内的面积
⑴ 先用求对应的u值 uL = (110.83-119.41)/4.38 = -1.96 uU = (127.99-119.41)/4.38 = 1.96 ⑵查u界值表，得面积 (-1.96,1.96)的面积 ＝ 1-2×标准正态分布曲线下区间(-∞,1.96) 的面积 ＝1-2×0.025 ＝0.95
甲乙丙
生生生 生生死 生死生 死生生 生死死 死生死 死死生 死死死
0.2×0.2×0.2 0.2×0.2×0.8 0.2×0.8×0.2 0.8×0.2×0.2 0.2×0.8×0.8 0.8×0.2×0.8 0.8×0.8×0.2 0.8×0.8×0.8 1
n X X
(1 )
Ｘ n-Ｘ
33
正态曲线下的面积规律
例5.2 求标准正态分布曲线下区间(-∞,-2.58)的面积与区 间(2.58,∞)的面积
(-∞,-2.58)的面积是0.0049，约为0.5％。区间(2.58,∞)的面积亦为0.5％
34
正态曲线下的面积规律
例5.3 求标准正态分布曲线下区间(-1,1)的面积
区间(-1,1)的面积 ＝1-2×(-∞,-1)的面积 ＝1-2×0.1587 ＝0.6826
n
k 0 (1 )n n 1 (1 )n1 Cn k (1 )n k
n n1 (1 )1 n (1 )0
47
二项展开
( 0.2 +0.8 )3 = 0.23 + 3×0.22×0.8 + 3×0.2×0.82 + 0.83
医学统计学
余小金 xiaojinyu@ 东南大学公共卫生学院 流行病与卫生统计学教研室
内容复习
基本概念 研究设计基础 统计描述
2
基本概念汇总
总体
个体、个体变异
随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知
统计推 断
样本统计量已
知
风 险
3
研究设计基础
抽样研究的科学性 如何保障抽样研究的合理性?
-3 -2 -

+ +2 +3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
30
正态曲线下的面积规律
正态分布的一个显著特点 曲线下面积完全决定于以标准差为单位从点x 到µ的离差。
31
X2=-σ X1=-σ X3=-σ
2
2 1
0.1587 0.1587 0.1587
1
3
3
X3 X1 X2
3
20
正态分布的特征
单峰分布且峰在均数处； 以均数为中心，均数两侧完全对称。 正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数 (均数)和变异度参数(标准差)。 有些指标服从正态分布; 有些指标本身不服从正 态分布，但经过数值变换之后服从正态分布。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
密度函数
分布函数
12
例：密度函数和分布函数
x
13
随机变量的概率分布
概率函数（Probability Function)，或者说概率密度函 数（Probability Density Function) 、密度函数。 在统计学中，分布函数(Distribution Function)。说明 变量取某些值的可能性。 当变量的取值包括了所有可能的取值时，分布函数为1。 密度函数和分布函数构成某种分布（Distribution)
生存 死亡 概率 概率
三生
二生一死
一生二死
三死
48
累=1)+…+P(X=k) P(X≥k) = P(X=k)+P(X=k+1)+…+P(X=n)
P(X≤k) = 1－ P(X≥k+1)
49
5.2.2 二项分布的性质
如果X~B(n,p)，则：
Ｘ的均数：
X n n (1 )
36
常用正态曲线下的面积规律
95%
2.5%
2.5%
-1.96

+1.96
37
常用正态曲线下的面积规律
90%
5%
5%
-1.64

+1.64
38
常用正态曲线下的面积规律
99%
0.5%
0.5%
-2.58

+2.58
39
正态曲线下的面积规律
正态曲线下面积总和为1； 正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等； 对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等； -1.64～ +1.64内面积为90%； -1.96～ +1.96内面积为95%； -2.58～ +2.58内面积为99%。
正态分布转换为标准正态分布
若 X～N(,2)，作变换：
Z
X

则Z服从标准正态分布。 Z称为标准正态离差(standard normal
deviation)
24
标准正态分布曲线下面积(Z)