【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式]
【成才之路】高中数学 2.4 向量的应用基础巩固 新人教B版必修4
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.4 向量的应用基础巩固 新人教B 版必修4一、选择题1．△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，且c ·a <0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定[答案] D[解析] ∵c ·a <0，∴∠B 为锐角． ∴△ABC 无法确定．2．已知点A (2,1)、B (3,2)、C (－1,4)，则△ABC 的面积为( ) A ． 3 B ．3 C ．3 2 D ．6[答案] B[解析] 由AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)， 得AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形，且∠A ＝90°. ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×32＝3.3．已知△ABC 的重心是G ，CA 的中点是M ，且A 、M 、G 三点分标分别是(6,6)、(7,4)、⎝ ⎛⎭⎪⎫163，83，则|BC |＝( )A ．410B ．10C ．102D ．210[答案] D[解析] 由题意M 是中点得C (8,2) 设B (x ，y )则由G 是△ABC 的重心， ∴BM →＝3GM →(7－x,4－y )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43， ∴x ＝2 y ＝0，∴BC →＝(6,2)，|BC →|＝210.4．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－1或2[答案] D[解析] 由已知向量(1－m,1)与向量(－2，m )平行， ∴m (1－m )－1×(－2)＝0， ∴m ＝－1或2，故选D.5．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B ．32C ．33D ． 3[答案] D[解析] 设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交BA 的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ，在Rt △ABD 中，sin B ＝1BD ＝1a.在Rt △BEC 中，CE ＝BC ·sin B ＝3a ·1a＝3，∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACE ＝3AC.∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠DAC ＝AD ·AC ·3AC＝ 3.6．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1、水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A ．|v 1|<|v 2|B ．|v 1|>|v 2|C ．|v 1|≤|v 2|D ．|v 1|≥|v 2|[答案] B[解析] 如图，OA →＝v 2，OB →＝v 1，由图知：|OB →|>|BC →|，又|BC →|＝|OA →|， ∴|OB →|>|OA →|，即|v 1|>|v 2|.二、填空题7．已知平面内三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________.[答案] －25[解析] 由题设可知，△ABC 为直角三角形，并且AB ⊥BC ，所以AB →·BC →＝0， BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos C ＝－4×5×45＝－16， CA →·AB →＝－AC →·AB →＝－|AC →||AB →|cos A ＝－5×3×35＝－9.故AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝0－16－9＝－25.8．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为______．[答案] (10，－5)[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10＋4×5＝10y ＝10＋－＝－5，∴P (10，－5)．三、解答题9．已知A (－1,2)、B (0，－2)，且2|AD →|＝3|BD →|，若点D 在线段AB 上，求点D 的坐标． [解析] 设D (x ，y )，由题意知，2|AD →|＝3|BD →|， 且点D 在线段AB 上，所以2AD →＝3DB →， 即2(x ＋1，y －2)＝3(－x ，－2－y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＝－3x 2y －4＝－6－3y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－25y ＝－25.故D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－25.一、选择题1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，已知AB →＝a 、AC →＝b ，则下列向量中与AD →同向的是( )A ．a ＋b |a ＋b |B ．a |a |＋b |b |C ．a －b |a －b |D ．a|a |－a|b |[答案] A[解析] AD →＝12AB →＋12AC →＝12(a ＋b )，而a ＋b |a ＋b |是与a ＋b 同方向的单位向量，故选A.2．已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，则点O 是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心[答案] C[解析] 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则BC →＝c －b ， CA →＝a －c ，AB →＝b －a .由题可知|a |2＋|c －b |2＝|b |2＋|a －c |2， 化简可得c·b ＝a·c ，即(b －a )·c ＝0. 即OC →·AB →＝0，故AB →⊥OC →，即OC ⊥AB .同理可得OB ⊥AC ，OA ⊥BC .故O 是△ABC 的垂心．3．如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5 N ，绳夹角为60°，则物体重量W 为( )A ．5 NB ．5 3 NC ．5 2 ND ．10 N[答案] B[解析] W ＝2|F 1|·cos30°＝2×5×32＝5 3 N. 4．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 是( )A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形[答案] B[解析] 如图，D 为△ABC 边BC 的中点，(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →＋AC →)＝CB →·2AD →＝0， ∴BC ⊥AD ， ∴AB ＝AC ，故选B. 二、填空题5．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] 取BC 的中点D ，则OB →＋OC →＝2OD →.且OD ⊥BC ，AH ⊥BC ， 由OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)， 可得OA →＋AH →＝m (OA →＋2OD →)， ∴AH →＝(m －1)OA →＋2mOD →. AH →·BC →＝(m －1)·OA →·BC →＋2m ·OD →·BC →，即0＝(m －1)·OA →·BC →＋0， 故得到m ＝1.6．某重量为P 的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平面上匀速行走，若物体与地面间的滑动摩擦系数μ＝33，那么绳子与地面成________角时，拉力最小． [答案] 30° [解析] 如图，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧|F |sin θ＋|N |＝|P ||F |cos θ＝μ·|N |，∴|F |＝μ|P |μsin θ＋cos θ＝33|P |33sin θ＋cos θ＝|P |sinθ＋3cos θ＝|P |θ＋，∴θ＝30°时，|F |最小，|F |min ＝|P |2.三、解答题7．某人在静水中游泳，速度为43km/h.(1)如果他径直游向河的对岸，水流的速度大小为4km/h ，他实际上沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流的垂直方向前进？实际前进的速度大小为多少？ [解析] (1)如图甲所示，由于v 实＝v 水＋v 人， ∴|v 实|＝32＋42＝8(km/h)．又tan θ＝|v 人||v 水|＝434＝3，∴θ＝60°.(2)如图乙所示，根据平行四边形法则及解直角三角形知识可得|v 实|＝|v 人|2－|v 水|2＝32－42＝42(km/h)．又tan θ＝|v 水||v 实|＝442＝22，∴θ＝arctan 22.答：(1)他实际沿水流方向成60°角的方向前进，大小为8km/h. (2)他必须沿水流方向成90°＋arctan22角的方向前进，大小为42km/h.8．如图所示，AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，E 、F 分别为BD 、AC 的中点．求证：EF ∥BC .[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，∵AD →∥BC →，∴BC →＝λAD →＝λb ，即BD →＝AD →－AB →＝b －a . ∵E 为BD 的中点，∴BE →＝12BD →＝12(b －a )．∵F 为AC 的中点，∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋12CA →＝BC →＋12(BA →－BC →)＝12(BA →＋BC →)＝12(BC →－AB →)＝12(λb －a )．∴EF →＝BF →－BE →＝12(λb －a )－12(b －a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－12b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ－12·1λBC →. ∴EF →∥BC →，即EF ∥BC .9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .[解析] 设AB →＝a 、AC →＝b 、AD →＝e 、DB →＝c 、DC →＝d ， 则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2，由条件知：a 2＝c 2－d 2＋b 2， 所以e ·c ＝e ·d ，即e ·(c －d )＝0，即AD →·BC →＝0， 所以AD ⊥BC .。
高中数学成才之路必修4：1-3-2
1.3 第2课时一、选择题1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值为( ) A.223B ．－223 C.13 D ．－13[答案] D[解析] cos(π4＋α)＝sin(π4－α)． ＝－sin(α－π4)＝－13. 2．已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( ) A.45B ．－45C ．±45D.35 [答案] B[解析] ∵cos(3π2＋α)＝－35，∴sin α＝－35， ∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45. 3．若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >90°，∴B >90°－A ，∴cos B <sin A ，sin B >cos A ，故cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，选B.4．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2 [答案] C[解析] 解法一：由条件可知点P 到原点距离为2，∴P (2cos α，2sin α)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2cos α＝2sin22sin α＝－2cos2， 根据诱导公式及α为锐角可知，⎩⎨⎧cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2，∴α＝2－π2. 解法二：点P 位于第一象限，且 tan α＝－cot2＝－tan ⎝⎛⎭⎫π2－2＝tan ⎝⎛⎭⎫2－π2， ∵2－π2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝2－π2. 5．(09·全国Ⅰ文)sin585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.32[答案] A[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 6．已知cos(π2＋φ)＝32且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3D. 3[答案] C [解析] ∵cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32， ∴sin φ＝－32，∵－π2<φ<π2， ∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3. 7．A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是( )①cos(A ＋B )＝cos C ②cos B ＋C 2＝sin A 2③tan(A ＋B )＝－tan C ④sin(2A ＋B ＋C )＝sin AA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] C[解析] ∵cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，∴①错，排除B 、D ；cos B ＋C 2＝cos π－A 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝sin A 2， ∴②正确，排除A ，∴选C.8．tan110°＝k ，则sin70°的值为( )A ．－k 1＋k 2 B.k 1＋k2 C.1＋k 2kD ．－1＋k 2k [答案] A[解析] 解法一：∵k <0，sin70°>0，∴排除C 、B ，又|sin70°|<1，∴排除D ，选A.解法二：k ＝tan110°＝－tan70°，∴tan70°＝－k >0，∴cos70°＝－1k sin70°代入sin 270°＋cos 270°＝1中得，sin 270°＝k 2k 2＋1，∵k <0，sin70°>0， ∴sin70°＝－k 1＋k 2. 二、填空题9．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．[答案] 912 [解析] ∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1，(1≤x ≤44，x ∈N )∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 10．化简1－2sin200°cos160°＝________.[答案] cos20°－sin20°[解析] 原式＝1－2(－sin20°)·(－cos20°)＝sin 220°＋cos 220°－2sin20°cos20°＝|sin20°－cos20°|＝cos20°－sin20°.11．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝________.[答案] 34[解析] 由已知得sin α＝－35. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45. ∴原式＝cos α·(－cos α)·(sin αcos α)3sin α·(－sin α)＝sin αcos α＝34. 12．若P (－4,3)是角α终边上一点，则cos(α－3π)·tan(α－2π)sin 2(π－α)的值为________． [答案] －53[解析] 由已知得sin α＝35，原式＝－cos αtan αsin 2α＝－cos α·sin αcos αsin 2α＝－1sin α＝－53. 13．式子cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. [答案] 1[解析] 原式＝sin 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1. 14．若tan(π－α)＝2，则2sin(3π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫32π－α·sin(π－α)的值为________． [答案] 2[解析] ∵tan(π－α)＝2，∴tan α＝－2，∴原式＝－2sin α·(－sin α)＋(－cos α)·sin α＝2sin 2α－sin αcos α＝2tan 2α－tan α1＋tan 2α ＝2×(－2)2－(－2)1＋(－2)2＝105＝2. 三、解答题15．已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．[解析] ∵cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角， ∴75°＋α是第四象限角，且sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α)＝－1213. ∴sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713. 16．已知x ∈R ，n ∈Z ，且f (sin x )＝sin(4n ＋1)x ，求f (cos x )．[解析] f (cos x )＝f ⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤(4n ＋1)⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π＋π2－(4n ＋1)x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－(4n ＋1)x ＝cos(4n ＋1)x .17．若sin α，cos α是关于x 的方程3x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求实数m 的值．[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(6m )2－4×3(2m ＋1)≥0 ①sin α＋cos α＝－2m ②sin α·cos α＝2m ＋13 ③，由②③得4m 2＝1＋2(2m ＋1)3，∴12m 2－4m －5＝0. ∴m ＝－12或m ＝56，m ＝56不适合①，m ＝－12适合①， ∴m ＝－12. 18．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63·cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求sin α和cos β.[解析] 由已知得sin α＝2sin β①3cos α＝2cos β②①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0<α<π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①得sin β＝12.故cos β＝±32. [点评] cos(π－α)＝63cos(π＋β)可化为3cos α＝2cos β，利用sin 2β＋cos 2β＝1求解，也可化为cos α＝63cos β，利用sin 2α＋cos 2α＝1求解．。
【成才之路】高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积基础巩固 新人教B版必修4
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 三角函数的积化和差与和差化积基础巩固 新人教B 版必修4一、选择题1．sin75°－sin15°的值为( ) A ．12 B ．22C ．32D ．－12[答案] B[解析] sin75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B.2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23[答案] C[解析] 由已知得cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13，∴cos 2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝13，即cos 2α－sin 2β＝13.3．化简cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( )A ．tan αB ．tan2αC ．cot αD ．cot2α [答案] B[解析] 原式＝－2sin2α－α2cos2αsin α＝2sin2αsin α2cos2αsin α＝tan2α.4．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－mB ．mC ．－m 2D ．m2[答案] A[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β) ＝cos 2β－cos 2αcos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β ＝cos 2β－cos 2α＝－m .5．计算sin105°cos75°的值是( ) A ．12 B ．14 C ．－14D ．－12[答案] B[解析] sin105°cos75°＝12(sin180°＋sin30°)＝14.6．sin10°＋sin50°sin35°·sin55°＝( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 [答案] B [解析]sin10°＋sin50°sin35°sin55°＝2sin30°cos20°－12－＝14cos20°12cos20°＝12. 二、填空题7．(2014·河北邯郸市馆陶一中高一第二次调研)在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A2，则此三角形是________三角形．[答案] 等腰[解析] sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2，∴2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C ) ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1， 即cos(B －C )＝1 又－π<A <B <π， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 故△ABC 是等腰三角形．8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________. [答案] 12[解析] 原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20° ＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20° ＝cos60°＝12.三、解答题9．求证：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]＝sin β.[解析] 解法一：左边＝sin(α＋β)cos α－12[sin 〔(α＋β)＋α〕－sin β]＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12sin[(α＋β)－α]＋12sin β＝sin β＝右边． 解法二：左边＝sin(α＋β)cos α－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α＋β＋β2sin 2α＋β－β2 ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β＝右边．一、选择题1．已知sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β等于( )A ．1－m 2B ．－1－m 2C ．1＋m 2D ．－m 2－1[答案] B[解析] sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(－β)＝－sin β， ∴sin β＝－m .又β为第三象限角， ∴cos β＝－1－m 2. 2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )A ．－2π3B ．－π3C ．π3D ．2π3[答案] D[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0. ∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数． ∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2·sin β－α2， ∴tan α－β2＝3∴α－β2＝π3∴α－β＝2π3.3．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－12，12]C ．[－14，34]D ．[－34，14][答案] C[解析] cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 4．tan70°cos10°(3tan20°－1)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．－12[答案] B[解析] 原式＝cot20°cos10°(3tan20°－1) ＝cot20°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cot20°cos10°2sin－cos20°＝－2sin10°cos10°cot20°cos20°＝－1.二、填空题5．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________. [答案] 14[解析] 原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32sin100°－32sin60°＝14－12cos40°－12cos20°＋32sin100° ＝14－12×2cos30°cos10°＋32cos10° ＝14－32cos10°＋32cos10°＝14. 6．计算1tan10°－4cos10°＝________.[答案] 3[解析] 1tan10°－4cos10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°＋－sin10°＝2cos30°sin10°sin10＝ 3.三、解答题7．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间．[解析] y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π.8．在△ABC 中，求证：(1)sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ； (2)sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2.[解析] (1)左边＝sin 2A ＋1－cos2B 2－1－cos2C2＝sin 2A ＋12(cos2C －cos2B )＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C ) ＝sin(B ＋C )[sin(B ＋C )＋sin(B －C )]＝sin(B ＋C )2sin B cos C ＝2sin A sin B cos C ＝右边， ∴等式成立．(2)左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C2cosB ＋C2＝2sin B ＋C2cosB ＋C2＋2sinB －C2cosB ＋C2＝2cosB ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝4sin A2sin B2cos C2＝右边，∴原等式成立． 9．讨论函数f (x )＝12cos(2x －2α)＋cos 2α－2cos(x －α)·cos x ·cos α的周期、最值、奇偶性及单调区间．[解析] f (x )＝12cos(2x －2α)＋1＋cos2α2－2cos(x －α)cos x ·cos α＝12＋12[cos(2x －2α)＋cos2α]－[2cos(x －α)·cos α]cos x ＝12＋cos x ·co s(x －2α)－cos x [cos x ＋cos(x －2α)] ＝12－cos 2x ＝12－1＋cos2x 2＝－12cos2x . ∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.f (x )max ＝12，此时cos2x ＝－1，即2x ＝2k π＋π，k ∈Z ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；f (x )min ＝－12，此时cos2x ＝1，即2x ＝2k π，k ∈Z ，x ＝k π，k ∈Z.f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．由2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z.∴函数f (x )的增区间为[k π，k π＋π2](k ∈Z)．由2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z.∴函数f (x )的单调减区间为[k π＋π2，k π＋π]，k ∈Z.。
成才之路高中数学第二三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4
【成才之路】2021-2021 学年高中数学第二、三章平面向量三角恒等变换综合测试题新人教B版必修4 本试卷分第一卷选择题与第二卷非选择题两局部，总分值150分，时间120分钟。
第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有以下四个命题：①存在x∈R，2＋2＝；②存在x、y∈R，(x－y)＝－；③x∈[0，π]，＝；④假设＝，那么x＋y＝.其中不正确的选项是( )A．①④B．②④C．①③D．②③[答案] A[解析] ∵对任意x∈R，均有2＋2＝1，故①不正确，排除B、D；又x∈[0，π]，＝＝，故③正确，排除C，应选A.2．(2021·山东潍坊重点中学高一期末测试)假设向量a＝(2α，－1)，b＝(，α)，且a∥b，那么α＝( )A．B．－C．±D．－[答案] B[解析] ∵a∥b，∴2α·α＝－，即α＝－.3．(2021·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y＝22x －1是( )A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y＝22x－1＝2x，故函数y＝22x是最小正周期为π的偶函数．4．在△中，假设4＋2＝1,2＋4＝3，那么的大小是( )A．－B．C．或D．[答案] D[解析] 由条件，得(4＋2)2＝1，(2＋4)2＝27，∴20＋16＋16＝28.∴＋＝.即(A＋B)＝.∴＝[π－(A＋B)]＝(A＋B)＝.5．函数y＝(＋)2＋1的最小正周期是( )A．B．πC．D．2π[答案] B[解析] y＝(＋)2＋1＝1＋2＋1＝2＋2x.∴最小正周期T＝π.6．设5π<θ<6π，＝a，那么的值等于( )A．－B．－C．－D．－[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴<<，∴<0，∴＝－＝－.7．(2021·山东济宁梁山一中高一月考)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，那么＋＝( ) A．B．C．2 D．10[答案] B[解析] ∵a⊥c，∴a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.又∵b∥c，∴－4＝2y，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴＋＝＝.8．平面向量a及b的夹角为60°，a＝(2,0)，＝1，那么＋2＝( )A．B．2C．4 D．12[答案] B[解析] ∵a＝(2,0)，∴＝2，＋2＝＝，∵a·b＝·60°＝1，∴＋2＝＝2.9．275°＋215°＋75°15°的值为( )A．B．C．D．1＋[答案] C[解析] 原式＝215°＋215°＋15°15°＝1＋30°＝.10．设△的三个内角为A、B、C，向量m＝(，)，n＝(，)，假设m·n＝1＋(A＋B)，那么C＝( )A．B．C．D．[答案] C[解析] ∵m·n＝＋＝(A＋B)＝1＋(A＋B)，∴(A＋B)－(A＋B)＝1，∴＋＝1，即2＝1，∴＝，∴C＋＝，∴C＝.11．在△中，2A＋2B＋2C＝2，那么△为( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由，得＋＋2C＝2，∴1－(2A＋2B)＋2C＝2，∴2A＋2B＋22C＝0，∴(A＋B)·(A－B)＋2C＝0，∴[－(A－B)－(A＋B)]＝0，∴··＝0，∴＝0或＝0或＝0.∴△为直角三角形．12．假设f()＝3－2x，那么f()＝( )A．3－2x B．3－2xC．3＋2x D．3＋2x[答案] C[解析] f()＝3－2x＝3－(1－22x)＝2＋22x，∴f(x)＝2＋2x2∴f()＝2＋22x＝2＋1＋2x＝3＋2x.第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13的值为．[答案] －[解析] 原式＝＝－·＝－.14．向量a、b夹角为45°，且＝1，|2a－＝，那么＝.[答案] 3[解析] ∵＝1，〈a，b〉＝45°，|2a－＝，∴42－4a·b＋2＝10，∴4－4×1×45°＋2＝10，∴2－2－6＝0，∴＝3.15．假设＝2 014，那么＋2α＝.[答案] 2 014[解析] ＋2α＝＋＝＝＝＝＝2 014.16．在△中，＝，那么2A的值为．[答案][解析] 在△中，＝>0，∴＝＝.∴2A＝＝2＝2＝2××＝.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)求值(5°－5°)·.[解析] 解法一：原式＝·＝·＝－2··＝－210°·10°＝－2.解法二：原式＝·＝·＝－·＝－2.解法三：原式＝·＝·＝·＝－2.18．(本小题总分值12分)(2021·山东烟台高一期末测试)向量a、b满足＝2，＝1，且a及b的夹角为，求：(1)a在b方向上的投影；(2)(a－2b)·b.[解析] (1)a在b方向上的投影为〈a，b〉＝2×＝2×(－)＝－1.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝2×1×－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题总分值12分)(2021·山东济宁梁山一中高一月考)α为锐角，且(＋α)＝2.(1)求α的值；(2)求的值．[解析] (1)(＋α)＝＝2，∴α＝.(2)∵α为锐角，α＝，∴α＝，α＝.∴2α＝2αα＝2××＝，2α＝1－22α＝1－2×＝.∴＝＝＝.20．(本小题总分值12分)＝－，＝，且<α<π，0<β<，求的值．[解析] ∵<α<π，0<β<，∴<α－<π.∵＝－，∴＝.又∵<<，∴－<－β<.∵＝，∴＝.故＝＝－＝×－×＝，＝＝＋＝×＋×＝，∴＝＝＝.21．(本小题总分值12分)设平面内两向量a⊥b，且＝2，＝1，k、t是两个不同时为零的实数．(1)假设x＝a＋(t－3)b及y＝－＋垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；(2)求函数k＝f(x)的最小值．[解析] (1)∵x⊥y，∴x·y＝0，即[a＋(t－3)b]·(－＋)＝0，∴－2＋t(t－3)b2－k(t－3)a·b＋·b＝0.由＝2，＝1，a·b＝0，可得－4k＋t(t－3)＝0.∵k、t不同时为0，那么t≠0，∴k＝，即f(t)＝(t≠0)．(2)f(t)＝＝.故当t＝时，f(t)＝－.22．(本小题总分值14分)向量a＝(θ，θ－2θ)，b＝(1,2)．(1)假设a∥b，求θ的值；(2)假设＝,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a∥b，∴2θ＝θ－2θ，∴4θ＝θ，∴θ＝.(2)由＝，得2θ＋(θ－2θ)2＝5，∴1－22θ＋42θ＝5.∴－22θ＋2(1－2θ)＝4，即2θ＋2θ＝－1，∴＝－.又∵0<θ<π，∴<2θ＋<，∴2θ＋＝或.∴θ＝或θ＝.。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习：1.2.2 单位圆与三角函数线]
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第一章 1.2 1.2.2一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A ．3π4或π4B ．5π4或7π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4[答案] C[解析] 作出角π4与5π4的正弦线、余弦如图所示．由图可知，角π4与5π4的正弦线、余弦线长度相等，且符号相同．2．下列不等式中，成立的是( ) A ．sin1>sin2 B ．cos1<cos2 C ．tan1>tan2 D ．cot1<cot2[答案] C[解析] 如图，由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2，故选C.3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1 D ．不能确定[答案] A[解析] 如图，设α的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则sin α＝MP ，cos α＝OM . 在△OMP 中，∵OM ＋MP >OP ， ∴cos α＋sin α>1.4．(2014·济南一中高一月考)使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A ．[－3π4，π4]B ．[－π2，π2]C ．[－π4，3π4]D ．[0，π][答案] A[解析] 如图阴影部分满足sin x ≤cos x ，故选A.5．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内的角α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π[答案] B[解析] ∵点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0tan α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α ①tan α>0 ② 由②知α在第一、三象限．由①sin α>cos α，用正弦线、余弦线得出图中的阴影部分满足． 故α的取值范围是：⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4，故选B.6．已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )A ．sin α＋cos α＝1.2B ．sin α＋cos α＝－0.9C ．sin αcos α＝ 3D ．sin α＋cos α＝－1.2[答案] D [解析] 如图，由三角函数线知， sin α＝MP ，cos α＝OM ， sin α＋cos α＝MP ＋OM ， |MP |＋|OM |>|OP |＝1， 又MP <0，OM <0， ∴MP ＋OM <－1，故选D. 二、填空题7．利用单位圆，可得满足sin α<22，且α∈(0，π)的α的集合为________． [答案] {α|0<α<π4或3π4<α<π}[解析] 如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α<22. 8．sin π5与cos π5的大小关系是________．[答案] sin π5<cos π5[解析] 如图，sin π5＝MP ，cos π5＝OM .在Rt △OMP 中，∠POM ＝π5，∠OPM ＝3π10，∴OM >MP ，cos π5>sin π5.三、解答题9．利用三角函数线，求sin α<12的角α的范围．[解析] 如图所示，首先在y 轴上找到12，过此点作平行于x 轴的直线，交单位圆于P 1与P 2两点．若sin α＝12，则α＝2k π＋π6或α＝2k π＋56π(k ∈Z )，角α所对应的正弦线分别为M 1P 1、M 2P 2，当角2k π＋π6的终边按逆时针方向旋转至2k π＋5π6时，显然sin α>12，故应舍去，所以α应取线OP 1和线OP 2以下的角，如图的阴影部分所示．故α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z .一、选择题1．已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ<2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ，0≤θ<2π}，则E ∩F ( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，π B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π4，5π4[答案] A[解析] 由单位圆中的三角函数线可知， E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|π4<θ<5π4，F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|π2<θ<π或3π2<θ<2π，∴E ∩F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|π2<θ<π.2．(2014·江西九江外国语高一月考)以下命题正确的是( ) A ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β B ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则tan α>tan β C ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β D ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则tan α>tan β [答案] D[解析] 如图，α、β都是第一象限角，cos α>cos β，则sin α<sin β，故A 错； 如图，α、β都是第二象限角，sin α>sin β，则tan α<tan β，故B 错； 如图，α、β都是第三象限角，cos α>cos β，则sin α<sin β，故C 错，只有D 正确．二、填空题3．若0≤θ<2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，5π4∪⎝⎛⎭⎫3π2，2π [解析] 如图所示，tan θ≤1，包括tan θ<0，即二、四象限，tan θ＝0，即x 轴上，0<tan θ≤1，即第一、三象限中，直线y ＝x 与x 轴所夹的部分． 4．已知sin α＋cos α＝15，那么α是第________象限角．[答案] 二或四[解析] 由单位圆中的三角函数线知，若α是第一象限角，则sin α＋cos α>1，若α是第三象限角，则sin α＋cos α<－1，若sin α＋cos α＝15，则α是第二或四象限角．三、解答题5．确定下式的符号：sin1－cos1.[分析] 在单位圆中作出1，π4的正弦线、余弦线，将sin1、cos1与sin π4比较即可．[解析] 因为π4<1<π2，如图所示，由三角函数线可得sin1>22>cos1， 故sin1－cos1>0.6．求满足下列条件的角x 的集合： (1)已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0； (2)已知tan x <0，且sin x －cos x <0.[解析] (1){x |2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z }，如图①.(2){x |2k π－π2<x <2k π，k ∈Z }，如图②.7．利用单位圆中的三角函数线求满足cos α≤－12的角α的取值范围．[解析] 作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .。
最新【成才之路】高中数学-第二、三章--平面向量-三角恒等变换综合测试题-新人教B版必修4资料
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。
【成才之路】高中数学人教B版必修4同步练习：212向量的加法.docx
第二章 2.1 2.1.2基础巩固一、选择题1. 向量(AB+MB)+(BO+BC) + dM^于( )A. BC C. AC［答案］C［解析 1 原式=AB+BC+MB+Bb+OM=AC+^=AC.2. 若°、〃为非零向量，则下列说法中不正确的是（）A. 若向量“与〃方向相反，且|如方|,则向量a+b 与“的方向相同B. 若向量a 与方方向相反，且|a|<|b|,贝!J 向量a+〃与“的方向相同［答案1 B［解析］T”与b 方向相反，且|“|v|b|时，a+b 与a 的方向相反，a+b 与〃的方向相同, 故B 不正确.3. “、b 、a+b 为非零向量，且a+〃平分"与〃的夹角，贝％ ）A. a=b C. \a\ = \h\D.以上都不对［答案］C［解析1由向量加法的平行四边形法则知，若a+b 平分"与b 的夹角，则四边形是菱 形,因此\a\ = \b\.4. △ABC 屮，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（）C. 若向量。
与方方向相同, 则向量a+h 与a 的方向相同D. 若向量“与〃方向相同,则向量a+h 与〃的方向相同B. albA. AE=AD+FA C. AB+BC+CA^O［答案］DB. DE+AF=0 D. AB+BC+AC^OB. AB［解析］AE=AD+DE,又DE^FA,故排除A；DE=AF9故庞+乔HO,排除B；AB+ BC+CA=O,排除C；故选D.5.已知下列各式：®AM+MB+BA；®AB+CA+BD+DC；③OA + OC+BO+cb.K 中结果为零向量的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］C［解析］AM+MB+BA=O, AB+CA + Bb+DC=AB+BD+DC+CA=O f OA + OC+BO + CO=OA+BO f故选C.6.在四边形ABCD中，AC=AB+AD,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形［答案］D［解析］在四边形ABCD中，AC=AB+BC t^AC=AB+AD, ：.BC=AD,・•・四边形ABCD是平行四边形.二、填空题7•如图所示, 已知梯形ABCD,AD//BC,则OA+AB+BC=［答案］0C［解析1 OA+AB+BC=OB+BC=OC.8.根据右图填空：b+c= _________ ；a+〃= ________ ；b+c+d= __________ ；f+e= _________ ;［答案1 a f f b 6［解析］由向量加法的多边形法则可知.三、解答题9.两个力鬥和局同时作用在一个物体上，其中Fi=40N,方向向东，F 2=4（）V3N, 方向向北，求它们的合力.［解析］如图所示，顶表示F ］,丽表示尺，以04、03为邻边作平行 四边形0ACB,则荒表示合力F.易知F=80N,合力F 与F|的夹角为60。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习：1.2.4 第1课时 诱导公式(一)]
第一章 1.2 1.2.4 第1课时一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32[答案] C[解析] sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. 2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35[答案] B[解析] 由题意，知cos θ＝x r ＝45，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.3．设A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则在①sin(A ＋B )－sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③tan(A ＋B )＋tan C ；④cot(A ＋B )－cot C (C ≠π2)，这四个式子中值为常数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， cot(A ＋B )＝cot(π－C )＝－cot C ，故选C. 原题四个式子中①②③式为常数． 4．下列各三角函数值： ①sin1 125°；②tan 37π12·sin 37π12；③sin3tan3； ④sin1－cos1.其中为负值的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] 1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°是第一象限的角，所以sin1 125°>0；因37π12＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0，sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；因3弧度的角在第二象限，则sin3>0.tan3<0，故sin3tan3<0；因π4<1<π2，则sin1－cos1>0.∴②③为负数．因此选B.5．化简1＋2sin (π－3)cos (π＋3)的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3) D ．以上都不对 [答案] A [解析]1＋2sin (π－3)cos (π＋3)＝1＋2sin3(－cos3)＝(cos3－sin3)2＝|cos3－sin3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0>cos3. ∴原式＝sin3－cos3.6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A ．1－k 2kB ．－1－k 2kC ．k1－k 2D ．－k1－k 2[答案] B[解析] 解法一：∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ，∴sin80°＝1－k 2， ∴tan80°＝1－k 2k ，∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k .解法二：由cos(－80°)＝k ，得cos80°＝k >0，∴0<k <1.又sin 280°＋cos 280°＝1，∴tan 280°＋1＝1cos 280°.∴tan 280°＝1k 2－1＝1－k 2k 2.∴tan80°＝1－k 2k.∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k .二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－12，则tan(α－9π)＝________.[答案] ±3[解析] cos(π＋α)＝－cos α＝－12，cos α＝12，∴tan α＝±3，tan(α－9π)＝－tan(9π－α) ＝－tan(π－α)＝tan α＝±3.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )，a <0，则cos(540°－α)＝________. [答案] 35[解析] cos α＝3a 9a 2＋16a2＝3a 5|a |＝－35， cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α＝35.三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.[解析] (1)sin(－840°)·cos1470°－cos(－420°)sin(－930°) ＝－sin840°cos1 470°＋cos420°sin930°＝－sin(2×360°＋120°)cos(4×360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2×360°＋210°) ＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210°＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°)＝－sin60°cos30°－cos60°sin30° ＝－32×32－12×12＝－1. (2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°) ＝－32－cos45°－tan45°＝－32－22－1 ＝－2＋3＋22.一、选择题1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A ．m 2－12B ．m 2＋12C ．1－m 22D ．－m 2＋12[答案] A[解析] sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ， ∴sin α＋cos α＝m ， 而sin(180°＋α)·cos(180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.2．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A ．a －1a ＋1B ．a ＋1a －1C ．－1D ．1 [答案] B[解析] tan(7π＋α)＝tan α＝a ， 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1.3．化简sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )得到的结果是( )A ．0B ．－2sec αC ．2csc αD ．2sec α[答案] B[解析] 原式＝－sin α－sin αsin α·cos α＝－2sec α.4．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B ．255C ．±255D ．52[答案] B[解析] ∵log 814＝log 232－2＝－23，∴sin α＝－23，又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. ∴tan α＝－255，∴tan(2π－α)＝－tan α＝255.二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋2sin 4π3＋3sin 2π3等于________． [答案] 0[解析] 原式＝－sin π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－sin π3－2sin π3＋3sin π3＝0.6．求值：tan (－150°)cos (－570°)cos (－1 140°)cot (－240°)sin (－690°)＝________.[答案]32[解析] 原式＝－tan150°·cos570°·cos1 140°cot240°·sin690°＝－tan (180°－30°)·cos (360°＋180°＋30°)·cos (3×360°＋60°)cot (180°＋60°)·sin (720°－30°)＝tan30°·(－cos30°)·cos60°cot60°·(－sin30°)＝33×⎝⎛⎭⎫－32×1233×⎝⎛⎭⎫－12＝32.三、解答题7．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．[解析] tan(π＋α)＝－12⇒tan α＝－12，(1)原式＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.(2)原式＝－sin α·(－cos α)＝sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1 ＝－12⎝⎛⎭⎫－122＋1＝－25.8．化简：cot α·cos (π＋α)·sin 2(3π＋α)tan α·cos 3(－π－α).[解析] 原式＝cot α·(－cos α)·sin 2(π＋α)tan α·cos 3(π＋α)＝cot α·(－cos α)·(－sin α)2tan α·(－cos α)3＝cot α·(－cos α)·sin 2αtan α·(－cos 3α)＝cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α＝1. 9．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．[解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)， ∵cos(75°＋α)＝13>0，又∵α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13.。
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修四练习：1.2.1 三角函数的定义]
第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45B ．35C ．－35D ．－45[答案] D[解析] 考查了三角函数的定义．由条件知：x ＝－4，y ＝3，则r ＝5，∴cos α＝x r ＝－45.2．若sin θ·cos θ<0，则θ在( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限[答案] D[解析] ∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ异号．当sin θ>0，cos θ<0时，θ在第二象限；当sin θ<0，cos θ>0时，θ在第四象限．3．已知角α的终边经过点P (－b,4)，且sin α＝45，则b 等于( )A ．3B ．－3C ．±3D ．5[答案] C[解析] r ＝|OP |＝b 2＋16，sin α＝4b 2＋16＝45， ∴b ＝±3.4．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan A D ．tan A2与sin C[答案] D[解析] ∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴tan A2>0，又0<C <π，∴sin A >0，故选D.5．点A (sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] ∵2 014°＝5×360°＋214°， ∵2 014°角与214°角的终边相同， 又∵214°是第三象限角， ∴2 014°角是第三象限角，根据三角函数定义知，sin2 014°<0， cos2 014°<0，故选C.6．已知角α的终边上一点P (－8m,15m )(m <0)，则cos α的值是( ) A ．817B ．－817C ．817或－817D ．根据m 确定[答案] A[解析] ∵m <0，∴点P 到原点的距离r ＝(－8m )2＋(15m )2＝－17m ， ∴cos α＝x r ＝－8m 17m ＝8－17.二、填空题7．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知角α终边上一点P (5,12)，则sin α＋cos α＝________.[答案]1713[解析] ∵角α终边过点P (5,12)，∴x ＝5，y ＝12，r ＝13. ∴sin α＝y r ＝1213，cos α＝x r ＝513，∴sin α＋cos α＝1713.8．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第__________象限角． [答案] 一或二[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号， ∴θ是第一或第二象限角． 三、解答题9．求函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x |tan x |的值域．[解析] 要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≠0cos x ≠0tan x ≠0，据三角函数定义应有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0y ≠0，∴x ≠k π＋π2且x ≠k π(k ∈Z )，即角x 的终边不能落在坐标轴上．当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，∴y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，tan x <0，∴y ＝－1； 当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，tan x >0，∴y ＝－1； 当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，tan x <0，∴y ＝－1. 综上可知，函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos ＋tan x|tan x |的值域为{－1,3}．一、选择题1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－cot α<0 D ．cot αcsc α<0[答案] B[解析] ∵α是第三象限角，∴tan α>0，sin α<0 ∴tan α－sin α>0.故选B. 2．下列说法正确的是( )A ．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0B ．角α终边上一点为P (x ，y )，则sin α的值随y 的增大而增大C ．对任意角α，若α终边上一点坐标为(x ，y )，都有tan α＝yxD ．对任意角α(α≠k π2，k ∈Z )，都有|tan α＋cot α|＝|tan α|＋|cot α|[答案] D[解析] ∵tan α、cot α的符号相同， ∴|tan α＋cot α|＝|tan α|＋|cot α|.3．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上 [答案] D[解析] ∵|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，又|tan θ|＝－tan θ，∴tan θ≤0，∴2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，∴k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .∴应选D.4．若角α的终边在直线y ＝3x 上且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4[答案] A[解析] ∵P (m ，n )在直线y ＝3x 上，且sin α<0， ∴P 位于第三象限，∴m <0，n <0. |OP |＝m 2＋(3m )2＝10m 2＝10， ∴m 2＝1，∴m ＝－1，n ＝－3， ∴m －n ＝2. 二、填空题5．函数y ＝tan x ＋lgsin x 的定义域为________． [答案] (2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋π)(k ∈Z )[解析] 要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <2k π＋πx ≠π2＋k π，k ∈Z ，即2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋π(k ∈Z )．6．若点P (3a －9，a ＋2)在角α的终边上，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是__________．[答案] (－2,3][解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或在y 轴的正半轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2>0，∴－2<a ≤3. ∴a 的范围是(－2,3]． 三、解答题7．求函数f (x )＝sin x ＋lg (9－x 2)cos x的定义域．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x >09－x 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，k ∈Z－π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z ，－3<x <3解得0≤x <π2.故函数的定义域为⎣⎡⎭⎫0，π2. 8．已知角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值． [解析] ∵点P 的坐标是(4t ，－3t )，且t ≠0， ∴r ＝OP ＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |.当t >0时，α是第四象限的角，r ＝OP ＝5t . ∴sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，α是第二象限的角， r ＝OP ＝－5t .∴sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.9．已知：cos α<0，tan α<0. (1)求角α的集合；(2)求角α2的终边所在的象限；(3)试判断sin α2、cos α2、tan α2的符号．[解析] (1)∵cos α<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的非正半轴上． ∵tan α<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．∴角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .(2)∵π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，∴π4＋k π<α2<π2＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (k ∈Z )时，π4＋2n π<α2<π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，5π4＋2n π<α2<3π2＋2n π(n ∈Z )，∴α2是第三象限角． (3)由(2)可知，当α2是第一象限角时，sin α2>0，cos α2>0，tan α2>0；当α2是第三象限角时，sin α2<0，cos α2<0，tan α2>0.。
【成才之路】高一数学人教B版必修4 同步精练：第一章 基本初等函数(Ⅱ) 阶段性测试题 Word版含解析[ 高考
阶段性测试题一(第一章综合测试题)本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．下列角与－750°角终边不同的是( ) A ．330° B ．－30° C ．680° D ．－1 110°[答案] C[解析] －750°＝－2×360°＋(－30°)， 330°＝360°＋(－30°)， 680°＝2×360°＋(－40°)， －1 110°＝－3×360°＋(－30)°， 故680°角与－750°角终边不同.2．(2015·四川德阳第五中学月考)cos300°＝( ) A ．－32 B ．－12C ．12D ．32[答案] C[解析] cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.3．(2015·潮州市高一期末测试)已知tan α＝2，则2sin α＋cos αsin α－cos α＝( )A ．2B ．5C ．1D ．－1[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴2sin α＋cso αsin α－cos α＝2tan α＋1tan α－1＝51＝5. 4．若α是钝角，则θ＝k π＋α，k ∈Z 是( ) A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二象限角或第三象限角D ．第二象限角或第四象限角[答案] D[解析] ∵α是钝角，∴π2<α<π，∵θ＝k π＋α(k ∈Z )，∴令k ＝0，则θ＝α是第二象限角，令k ＝1，则θ＝π＋α是第四象限角，故选D ．5．(2015·河南新乡市高一期末测试)已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P (sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为 ( )A ．11π6B ．5π3C ．5π6D ．2π3[答案] A[解析] ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，∴点P (32，－12)，点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝1， ∴sin α＝y r ＝－12，cos α＝x r ＝32，∴角α的最小正值为11π6.6．下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2.A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] π4和3π4终边不同，但正弦值相等，所以①错．sin π2＝1，但π2不是一、二象限角，是轴线角所以②错，对于③由定义cos α＝x x 2＋y2，所以③错，故选D ．7．(2015·广东中山纪念中学高一期末测试)下面四个函数中，既是区间(0，π2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是( )A ．y ＝cos2xB ．y ＝sin2xC ．y ＝|cos x |D ．y ＝|sin x |[答案] D[解析] 令f (x )＝|sin x |，∴f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )， ∴函数y ＝|sin x |是偶函数又函数y ＝|sin x |在(0，π2)上是增函数，且最小正周期为π.8．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移5π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y ＝sin(x ＋5π6)＝sin[π2＋(x ＋π3)]＝cos(x ＋π3)，故选A ．9．(2015·山东潍坊高一期末测试)已知函数f (x )＝12sin(2x ＋π6)，若f (x －φ)为偶函数，则φ可以为( )A ．π2B ．－π3C ．－π6D ．π6[答案] C[解析] f (x －φ)＝12sin(2x －2φ＋π6)，若f (x －φ)为偶函数，∴－2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，∴当k ＝0时，φ＝－π6，故选C ．10．如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d m(如果P 在水面上，那么d 为负数)．如果d (m)与时间t (s)之间的关系满足：d ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，且从点P 在水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中，错误的是( )A ．A ＝10B ．ω＝2π15C ．φ＝π6D ．k ＝5[答案] C[解析] 由图读出A ＝10，k ＝5，周期T ＝15 s ，∴ω＝2π15.由题意，知当t ＝0时，d ＝10sin φ＋5＝0，∴sin φ＝－12，即φ＝2k π－π6或φ＝2k π－5π6.∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.11．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] ∵f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴周期T ＝2ππ＝2，又f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．12．如果函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋32＋a 在区间[－π3，5π6]的最小值为3，则a 的值为( )A ．3＋12B ．32C ．2＋32D ．3－12 [答案] A[解析] ∵－π3≤x ≤5π6，∴0≤x ＋π3≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴f (x )的最小值为－12＋32＋a ，∴－12＋32＋a ＝3，∴a ＝3＋12.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知点P (2,3)在角α的终边上，则tan αcos 2α＝________.[答案]136[解析] 由三角函数的定义知，cos α＝322＋32＝313，tan α＝32，∴tan αcos 2α＝32913＝136.14．(2015·河南南阳高一期末测试)函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． [答案] [π3＋2k π，π＋2k π]k ∈Z[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥012－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .故函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域为[π3＋2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 15．函数y ＝|sin(13x －π4)|的最小正周期为________．[答案] 3π[解析] ∵y ＝sin(13x －π4)的周期T ＝6π，∴y ＝|sin(13x －π4)|的周期为T ＝3π.16．(2015·商洛市高一期末测试)关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；③y ＝f (x )的图象交于点(－π6，0)对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题是________． [答案] ②③[解析] 由f (x 1)＝f (x 2)＝0，得 2x 1＋π3＝m π，m ∈Z ，2x 2＋π3＝n π，n ∈Z ，∴x 1－x 2＝(m －n )π2，当m －n 为奇数时，x 1－x 2不是π的整数倍，故①错误； f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4sin[π2－(π6－2x )]＝4cos(π6－2x )＝4cos(2x －π6)，故②正确；当x ＝－π6时，f (－π6)＝4sin[2×(－π6)＋π3]＝0，故③正确，∴④不正确．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2015·广东揭阳市世铿中学高一月考)已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π＋α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．[解析] 点P 到坐标原点的距离 r ＝|OP |＝(－4)2＋32＝5，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45.∴cos (π2＋α)sin (－π＋α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－sin α·(－sin α)－sin α·cos α＝－sin αcos α＝－35－45＝34.18．(本小题满分12分)是否存在实数m ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1成立，且x 是第二象限角？若存在，请求出实数m ；若不存在，试说明理由．[解析] 假设存在m ∈R ，使sin x ＝11－m ，cos x ＝mm －1，∵x 是第二象限角，∴sin x >0，cos x <0，∴0<m <1.由sin 2x ＋cos 2x ＝1(1－m )2＋m 2(m －1)2＝1，解得m ＝0，这时sin x ＝1，cos x ＝0，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )，不是第二象限角，故m 不存在．19．(本小题满分12分)已知sin α、cos α是关于x 的方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根，求1sin α＋1cos α的值． [解析] ∵sin α、cos α是方程 8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两根， ∴sin α＋cos α＝－3m4，sin αcos α＝2m ＋18.∴(－3m4)2－2×2m ＋18＝1，整理得9m 2－8m －20＝0，即(9m ＋10)(m －2)＝0. ∴m ＝－109或m ＝2.又sin α、cos α为实根， ∴Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0.即9m 2－16m －8≥0，∴m ＝2不合题意，舍去． 故m ＝－109.∴1sin α＋1cos α＝sin α＋cos αsin αcos α＝－3m 42m ＋18＝－6m 2m ＋1＝－6×(－109)2×(－109)＋1＝－6011.20．(本小题满分12分)用“五点法”画出函数f (x )＝cos(2x －π3)在同一周期上的图象．(要求列表描点作图)．(1)先完成下列表格，然后在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(2)求函数f (x )＝cos(2x －π3)，x ∈R 的单调增区间．[解析] (1)(2)由2k π－π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2cos(2x －π4)，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)∵f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为单调递增函数，在区间[π8，π2]上为单调递减函数，且f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时，x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝m 在(0，π)内有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围． [解析] (1)观察图象，得A ＝2，T ＝(11π12－π6)×43＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．∵函数图象经过点(π6，2)，∴2sin(2×π6＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)∵0<x <π，∴f (x )＝m 的根的情况，相当于f (x )＝2sin(2x ＋π6)与g (x )＝m 在(0，π)内的交点个数情况，∴在同一坐标系中画出y ＝2sin(2x ＋π6)和y ＝m (m ∈R )的图象如图所示．由图可知，当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，∴m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.。
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第二章 2.3 2.3.3一、选择题1．已知a ＝(2,1)、b ＝(1，－2)，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] D[解析] 由a ·b ＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a ⊥b .2．已知点A (1,2)、B (2,3)、C (－2,5)，则AB →·AC →等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2[答案] B[解析] AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.3．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)、B (4,1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确[答案] C[解析] AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10.∴△ABC 为等腰直角三角形．4．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B ．17C ．－16D ．16[答案] A[解析] ∵a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， ∴λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)a －2b ＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)， 由(λa ＋b )⊥(a －2b )，得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－17.5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5 D ．25[答案] C[解析] ∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2 ＝5＋20＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.6．(2014·重庆理，4)已知向量a ＝(k,3)、b ＝(1,4)、c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152[答案] C[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，又因为(2a －3b )⊥c ，所以，(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3，－6)·(2,1)＝0，∴4k －6－6＝0，解得k ＝3，本题根据条件也可以转化为2a ·c －3b ·c ＝0化简求解．二、填空题7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a ＝(－4,3)、b ＝(－3,4)，b 在a 方向上的投影是________．[答案]245[解析] b 在a 方向上的投影为|b |cos 〈b ，a 〉＝a ·b |a |＝(－4)×(－3)＋3×45＝245.8．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. [答案]2[解析] a ＋c ＝(3,3m )，∵(a ＋c )⊥b ， ∴(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝0， ∴3(m ＋1)＋3m ＝0,6m ＋3＝0，∴m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2. 三、解答题9．已知A (2,3)、B (5,1)、C (9,7)、D (6,9)四点，试判断四边形ABCD 的形状． [解析] ∵AB →＝(3，－2)，DC →＝(3，－2)，∴AB →＝DC →. 又BC →＝(4,6)，∴AB →·BC →＝3×4－2×6＝0，∴AB →⊥BC →.∵|AB →|＝9＋4＝13，|BC →|＝16＋36＝213，∴|AB →|≠|BC →|， 故四边形ABCD 是矩形．一、选择题1．(2014·山东文，7)已知向量a ＝(1，3)、b ＝(3，m )，若向量a 、b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3[答案] B[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积． a ·b ＝3＋3m ＝|a |·|b |·cos π6＝2×9＋m 2×32.解得，m ＝ 3. 2．已知m ＝(1,0)、n ＝(1,1)，且m ＋k n 恰好与m 垂直，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．以上都不对[答案] B[解析] m ＋k n ＝(1,0)＋k (1,1)＝(1＋k ，k )， ∵m ＋k n 与m 垂直，∴(1＋k )×1＋k ×0＝0，得k ＝－1.3．若向量a ＝(1,2)、b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B ．π6C ．π4D ．3π4[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算．∵a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos<2a ＋b ，a －b >＝3×0＋932·3＝22，∴a ＋b ，a －b ＝π4.4．已知a ＝(2,4)，则与a 垂直的单位向量的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，－255B ．⎝⎛⎭⎫55，－255或⎝⎛⎭⎫－55，255 C ．⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，－55 D ．⎝⎛⎭⎫－255，55或⎝⎛⎭⎫255，－55 [答案] D[解析] 设与a 垂直的单位向量的坐标是(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝12x ＋4y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－255y ＝55，或⎩⎨⎧x ＝255y ＝－55.二、填空题5．(2014·湖北理，11)设向量a ＝(3,3)、b ＝(1，－1)，若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.[答案] ±3[解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.6．(2014·四川文，14)平面向量a ＝(1,2)、b ＝(4,2)、c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c ＝m a ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，由题意有：a·c |a||c |＝b·c|b||c|即：a·c |a|＝b·c|b|，代入得：m ＋4＋4m ＋45＝4m ＋16＋4m ＋420，解得m ＝2. 三、解答题7．设a ＝(4，－3)、b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)， (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5， |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20， 由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos45°， 得5t ＋5＝522(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0，解得t ＝－3或t ＝1.经检验知t ＝－3不符合题意，舍去．所以t ＝1.8．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得： (1)a 与b 夹角为90°； (2)a 与b 夹角为钝角； (3)a 与b 夹角为锐角． [解析] 设<a ，b >＝θ， (1)由a ⊥b 得λ＝－12.(2)cos θ＝1＋2λ5(1＋λ2)，由cos θ<0且cos θ≠－1得λ<－12.(3)由cos θ>0且cos θ≠1，得λ>－12，且λ≠2.9．已知a ＝(3,4)、b ＝(4,3)，求x 、y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1. [解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(4,3)，∴x a ＋y b ＝(3x ＋4y,4x ＋3y )． 又(x a ＋y b )⊥a ，∴(x a ＋y b )·a ＝0， ∴3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0， 即25x ＋24y ＝0，①又|x a ＋y b |＝1，∴|x a ＋y b |2＝1， ∴(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1. 整理得25x 2＋48xy ＋25y 2＝1， 即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1. ② 由①②有24xy ＋25y 2＝1，③将①变形代入③可得y ＝±57.当y ＝57时，x ＝－2435，当y ＝－57时，x ＝2435.所以⎩⎨⎧x ＝2435y ＝－57或⎩⎨⎧x ＝－2435y ＝57.。