高三数学立体几何专题复习教案

B C D AP AB C 高三数学立体几何专题复习教案—— 空间的角与距离一、教学目标1、让学生掌握立体几何解答题的通法：传统法、向量法；2、通过分析学生试卷的错误，让学生规范书写，落实到细节，特别是注意解答题中的得分点，即关键语句的书写。

二、教学重难点1、重点：分析试卷中解答题第5题的解答思路，总结学生常出现的错误类型；2、难点：矫正错误，落实细节，强化变式，让学生体会高考趋势。

三、教学过程 (一)、准备过程提前1-2天先把试题发给学生做定时训练(2个选择题，2个填空题，2个解答题)，选择题和填空题重点考查简单和中档型的题目，知识点以异面直线所成的角、线面角和点到面的距离为主，解答题主要以空间图形中求二面角，重在考查学生的逻辑思维、数学语言表述和数学符号的使用、解答题步骤的书写等。

学生考完后，老师对试卷做详细的分析，对每个起的得分率和期望值做对比，得出老师上课要将的重点内容，另外对错的较少的题目，最好单独找学生分析讲解，效果会更佳。

然后老师对重点讲解的题目(第5题解答题)认真分析，每个学生犯的错误做一个扫描，再做仔细研究，分析错误的根源和本质，作到讲解彻底，起到矫正的真正目的。

错误一定要给学生总结。

最后是对第5题的强化变式训练，一定要在原题上变式，要么是条件，要么是结论。

再者要紧扣高考，重点内容重点考查，让学生体会高考的考试趋势，注意到得分点的正确书写，什么是关键语句。

(二)、评讲过程1、先让学生看展示的统计结果(大屏幕)，通过分析结果，很容易看出，第3、5、6题的得分率相对较低，而第5题得分最低，这3个题的公共考点是二面角的求法，第6题是重庆2010年理科的考题，因为很多同学比较熟悉，所以得分率较第5题偏高。

经过分析，我们只对第5题做认真讲解，只要分析透彻了，其它两个题我们也就迎刃而解，下面我们看第5题。

一边让学生认真审题，老师一边把正四棱锥P-ABCD 画到黑板上，注意把底面的直角梯形单独画出，以便下面讲解，然后条件问题上图(包括长度和平面角的大小)，让学生一目了然，更容易接受。

2、我们先看一下同学们的错误做法(1)第一小问的错误做法 (ⅰ)第一个同学的做法错误：在用向量法时，由于点P 的坐标写错，而导致整个题全部错。

老师：○1请问你是用什么方法做的？ ○2你发现什么地方错了吗？ ○3你为什么会犯这样的错误？ ○4怎么纠正你的错误？ 错误分析：对立体图形的认识不到位，即空间思维欠佳。

A BC DE F ABC DE F (ⅱ)第二个同学的做法 错误：○1证明线面垂直时，条件不充分，逻辑思维不严密； ○2用三垂线定理证明线线垂直时，对线的位置不明确。

老师：○1请问你是用什么方法做的？ ○2你发现什么地方错了吗？ ○3你为什么会犯这样的错误？ ○4怎么纠正你的错误？怎么证明BD AE ⊥？（可以让学生到黑板上来做） 错误分析：○1知识性错误：面面垂直的性质定理应用不当，缺条件； ○2方法性错误：三垂线定理的本质不清楚 — “相交垂直”证“异面垂直”。

(2)第二小问的错误做法 (ⅰ) 第一个同学的做法错误：向量书写不正确，如写成“),,(z y x ”；计算法向量错误。

老师：○1请问你是用什么方法做的？ ○2你发现什么地方错了吗？ ○3你觉得如何规范书写可以避免出现上面的错误？ ○4假设你不知道面PBD 的法向量)3,0,3(-=是否算错了，你能不能观察出或是意识到面的法向量计算错了？错误分析：对立体图形的认识不到位，即空间思维欠佳。

(ⅱ) 第二、三个同学的做法错误：○1向量的数量积计算错误；○2二面角写错了。

老师：○1你发现什么地方错了吗？ ○2假设21cos =θ没有计算错，你写成21arccos =θ对吗？ ○3怎么才能通过求两个面的法向量的夹角的余弦值，正确判断所求二面角的大小？○4怎么正确改正错误？ 错误分析：○1向量数量积运算错误； ○2没有把握向量夹角与所求二面角大小的对应关系。

(ⅲ) 第四个同学的做法错误：○1“PEA PF 面∈”； ○2“EF PF 的射影是”； ○3“是二面角的大小PFE ∠”； ○4EF 的长度计算错误。

老师：○1请问你是用什么方法做的？ ○2你发现哪些地方错了吗？如何纠正错误？ ○3你现在能正确求出EF 吗？ ○4请问同学们还有什么方法计算EF ？(可以通过提问的形式让学 生说出不同的想法)错误分析：数学语言的表述和数学符号的使用不准确；计算错误。

(3)第三小问的错误做法 (ⅰ)第一个同学的做法错误：○1题中“-”写成了“+”；○2利用向量求点到面的距离公式错误：nn AB d =老师：○1你意识到你是怎么出现的错误了吗？ ○2你觉得怎么才能避免这种错误的发生吗？C○3你能正确理解点到面的距离公式d =的意义吗？○4你怎么改正错误？ 错误分析：○1跨步太大造成运算错误；○2(ⅱ)第二个同学的做法错误：直角三角形的直角判断错误。

老师：○1你用什么方法做的？ ○2你发现什么地方错了吗？ ○3怎么判断直角三角形的直角？ 错误分析：空间图形的直觉思维欠佳，导致简单的平面图形错误。

3、总结错误类型重新返回学生的错误，让学生能迅速总结常出现的错误，从而起到立竿见影的效果。

(1)方法（思维）性错误； (2)知识性错误； (3)书写错误； (4)运算错误； (5)理解错误；(6)空间直觉思维欠佳。

4、展示本题的标准答案目的是让学生认识了自己错误后，起到马上矫正的较佳效果。

并且指出书写步骤是哪些是必须要写的关键语句，让学生体会自己与规范性答案的差距，从而更好的改正错误。

BD PA ABCD BD BD AO ABO BCD OAABCD PA ABCD PO PBC PO ABCD PBC BC PO PC PB PBC EBD AO AO PO O BC ⊥⊂⊥∴∆≅∆∴⊥∴⊂⊥⊥∴=∆=由三垂线定理得：面又，内的射影为在面面面，面面，中在，、，连结的中的中点取法一：传统法)1(15arctan 15tan 355)1()2(2的大小为二面角中，在，又中，由射影定理：在的平面角是二面角由三垂线定理，，且的射影为在面知，由连结C BD P OEPOPEO PEO Rt PO OE OAOE OB ABO Rt C BD P PEO BDPE BD OE OE BCD PE PE--∴==∠∆∴==∴⋅=∆--∠∴⊥⊥ 2532)3(=∴⊥∴=⊂⊂⊥===∆⊥∴=d PAD B BF PADBF F DF PA PAD DF PAD PA DFBF BD DF BF BFD PABF AB PB DF BF F PA 的距离，即点到面是面，面，面由勾股定理，，，中在、，连结的中点取5、总结本题的方法 (1)证线线垂直○1三垂线定理及逆定理 ○2线面垂直 ○3向量法 (2)求二面角○1通法：传统法、向量法 ○2定义法 ○3射影面积法 ○4垂面发法 (3)求点到面的距离○1通法：传统法、向量法 ○2等体积法 (三)、强化变式训练经过前面发现错误、矫正错误、总结方法的一系列过程，学生已经比较熟悉的了解了立体几何解答题的规范性解答，基本纠正了存在的常见错误。

现在我们反思提炼方法，进一步变式拓展，检测讲评效果，进一步巩固对知识的掌握。

下面通过对本题的变式（注意：要在学生刚做过的题目本身上变化，效果会更佳），让学生马上过手，强化学生思维。

1、 变式题(1)○1先让学生仔细审题，看什么地方发生了变化？发生了什么变化？ ○2给学生时间，马上检测讲评效果； ○3期间，老师巡视学生做的情况，选择不同方法的、做的好的作业 各一份，和做的较差的一份，并且看一下有没有创造性的做法， 如有也可以作为展示的材料；○4在展示台上展示刚才老师搜集的学生作业，让本人或其他人通过观 察，说自己的思路和解法，并且再次纠正可能出现的错误。

对于对 的较差的作业，给予解答思路，找到原因。

对于比较新颖的做法， 给以表扬和肯定，激发全班学生的学习兴趣，拓展学生的思维； ○5体现了数形结合思想、方程的思想，同时也体现了逆向思维。

41arccos41343cos )2,0(,)1,0,0()3,6,3(0203)0,1,2(),3,0,1(),,()2(的大小为二面角且大小为设所求二面角的平面角的法向量平面又取的法向量为设平面C BD P BCD y x n BD z x BD PB z y x n PBD --∴===∴∈=-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=--=⋅=-==θπθθ2224)3,2,1(02032)0,1,2(),0,1,2(),3,2,1(),,()3(111111111111===∴=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-+-=⋅=-=--==d BAD B n y x n AD z y x n z y x n PAD 的距离到面点取的法向量为设平面 BDPA BD PA D B A P xyz O ⊥∴=⋅=--=∴---0)0,1,2(),3,2,1()0,1,1(),0,0,1(),0,2,1(),3,0,0()1( 系如图建立空间直角坐标法二：向量法的距离。

点到面，求的平面角的余弦值为，已知二面角，为底边，是等腰三角形，，底面为直角梯形，面面将原题变为：PAD B C BD P CD BC AB BCD ABC BC PBC ABCD PBC o 412290--====∠=∠∆⊥PADCB2、 变式题(2)○1本题原条件不变，只是改变了求解的结论，学生更容易接受，并且进一步巩固评讲效果； ○2本题方法很多，入手容易。

可以让学生自己先讨论，然后由学生代表发言，讲解自己的解题方法，让其他学生给予评价，充分调动学生的积极性。

老师只做补充和总结，在各个环节肯定学生的想法，记得时刻鼓励学生，哪怕学生回答错了，也要去鼓励和启发学生，继续的分析下去，直到使其完全明白；○3具体的书写步骤，可以留做课后作业，让学生有充足的时间，通过本节可的强化，写出自己认为比较规范的解答步骤。

(四)、布置作业所成二面角的大小。

与平面求平面题条件不变的情况下第变式二：PBC PAD )5(PADCB1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， E 为棱AA 1的中点，求平面EB 1C 和平面ABCD 所 成的二面角。

D AA1BC B1C1D1E 2、如图，在四棱锥S ABCD -中，BD AD //且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，CE AS ==．求:(1)点A 到平面BCS 的距离；(2)二面角E CD A --的大小．CBASDE。