复数三角形式的四则运算公式
复数的三角形式及运算
r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )]
即是说，两个复数相乘，积还是一个复数，它的模 等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角 的和。简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：
模数相乘，幅角相加
复数的三角形式乘法法则有如下推论
（1）有限个复数相乘，结论亦成立。即
3 z2 2
复数三角形式的乘法
Z 2的三角形式分别是： 设 Z1 、
Z1 r1 (cos1 i sin 1 ) Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
于是 Z1 Z 2 r1 (cos1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )
Z1 r1 (cos1 i sin 1 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin(1 2 )] Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2
这就是复数三角形式的除法法则，即：
模数相除，幅角相减
例
计算下列各式
4 4 5 5 i sin ) 2(cos i sin ) 3 3 6 6
(3) 3(cos18 i sin 18 ) 2(cos54 i sin 54 ) 5(cos108 i sin 108 )
(4) [3(cos
6
i sin
6
)] 6
5
(5) [2(cos36 i sin 36 )]
复数三角形式的除法
设有复数 Z1 r1 (cos1 i sin 1 ) ，Z 2 r2 (cos 2 i sin 2 ) ， 且设 Z 2 0 ，那么
Z1 Z 2 Z n r1 (cos1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )rn (cos n i sin n ) r1 r2 rn [cos( 1 2 n ) i sin(1 2 n )]
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
复数三角运算
复数三角运算复数三角运算主要涉及复数的三角形式，即z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
1.复数的模：对于复数z=a+bi，其模定义为r=∣z∣=a2+b2。
2.复数的辐角：辐角θ是复数在复平面上与正实轴之间的夹角，可以通过tanθ=ab来计算（其中a和b分别是复数的实部和虚部）。
注意，辐角不是唯一的，因为对于任何整数k，θ+2kπ也是z的一个辐角。
3.复数的三角形式：任何复数z都可以表示为z=∣z∣(cosθ+i sinθ)，其中θ是z的一个辐角。
4.复数的三角运算：o加法：如果z1=r1(cosθ1+i sinθ1)和z2=r2(cosθ2+i sinθ2)，则z1+z2=r1 (cosθ1+i sinθ1)+r2(cosθ2+i sinθ2)。
这通常通过转换为笛卡尔形式（z=a+bi）进行加法，然后再转换回三角形式。
o乘法：如果z1=r1(cosθ1+i sinθ1)和z2=r2(cosθ2+i sinθ2)，则z1×z2=r1r2 (cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2))。
这里使用了三角恒等式cos(A+B)=cos A cos B−sin A sin B和sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B。
o除法：除法稍微复杂一些，通常也是通过转换为笛卡尔形式进行，然后再转换回三角形式。
5.复数的共轭：复数z=a+bi的共轭是z=a−bi。
在三角形式中，如果z=r(cosθ+i sinθ)，则z=r(cosθ−i sinθ)。
6.复数的模的平方：对于复数z=a+bi，其模的平方∣z∣2=a2+b2。
在三角形式中，如果z=r(cosθ+i sinθ)，则∣z∣2=r2。
这些规则使得在三角形式下进行复数运算变得相对简单和直观。
复数的三角形式
复数的三角形式1.复数的三角形式复数的幅角指的是复数Z=a+bi所对应的向量半轴为始边，向量以x轴正方向所在的射线（起点为O）为终边的角度θ，记作ArgZ。
其中，满足0≤θ<2π的辐角θ的值称为辐角的主值，记作argZ。
需要注意的是，不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍。
复数的三角形式指的是r(cosθ+isinθ)，其中r为复数Z=a+bi的模，θ为Z的一个辐角。
任何一个复数Z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。
2.复数的三角形式的运算设Z=r(cosθ+isinθ)，Z1=r1(cosθ1+isinθ1)，Z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则：3.应用例1：求下列复数的模和辐角主值1）1+i解：对于1+i，有a=1，b=1，点（1,1）在第一象限，所以r=sqrt(2)，tanθ=1，辐角主值为θ=π/4.2）4-3i解：对于4-3i，有a=4，b=-3，点（4，-3）在第四象限，所以r=5，tanθ=-3/4，辐角主值为θ=11π/6.想一想：如何求复数z=3-4i的辐角？解：对于3-4i，有a=3，b=-4，点（3，-4）在第四象限，所以r=5，tanθ=-4/3，辐角主值为θ=11π/6.复数的三角形式具有以下特征：形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为一个辐角。
下列各式是否为复数的三角形式：1）isinθ+cosθ2）2(cos(π/4)+isin(π/4))3）5(cos(5π/6)+isin(π/6))解：（1）不是，（2）是，（3）是。
例2：把下列复数转化为三角形式1）-1解：-1=cosπ+isinπ，所以r=1，θ=π。
2）2i解：2i=2(cosπ/2+isinπ/2)，所以r=2，θ=π/2.3）3-i解：3-i=2(cos(11π/6)+isin(π/6))，所以r=2，θ=11π/6.总结：将复数的代数形式z=a+bi转化为复数的三角形式的一般方法步骤是：①求复数的模：r=sqrt(a^2+b^2)；②由tanθ=b/a求出复数的辐角主值θ；③将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。
§6-4 复数三角形式运算
则有
(n ∈ N * )
这是复数三角形式的 n 次幂 (n ∈ N * ) 的运算法则，这个法则 叫做棣莫弗定理。 它表明：复数 n 次幂的模等于这个复数的模的 n 次幂， 它们辐角等于这个复数的辐角的 n 倍。也就是说，复数的 n * 次幂 ( n ∈ N ) ，是把模的 n 次幂作为幂的模，把辐角的 n 倍 作为幂的辐角。
证明 左边=
(cos 9θ + i sin 9θ ) (cos14θ + i sin14θ ) (cos 24θ + i sin 24θ )
= r1 ⋅ r2 cos (θ 1+ θ 2 ) + i sin (θ 1+ θ
2
) 。
r1 ( cosθ 1+ i sin θ
) ⋅ r2 ( cosθ 2+ i sin θ 2 ) = r1 ⋅ r2 cos (θ 1+ θ 2 ) + i sin (θ 1+ θ 2 )
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6-4 复数三角形式的运算
一、乘法 设复数 z1 = r1 ( cosθ 1+ i sin θ
z1 ⋅ z 2 = r1 (cosθ 1+ i sin θ
1
)⋅ r2 (cosθ
由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来 复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数。
例6 计算
解
复数三角形式的四则运算公式
复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法：复数的加法运算是指将两个复数相加。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的和为：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i二、复数的减法：复数的减法运算是指将一个复数减去另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的差为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i三、复数的乘法：复数的乘法运算是指将两个复数相乘。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的积为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法：复数的除法运算是指将一个复数除以另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的商为：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i以上是复数的四则运算公式，通过这些公式可以对复数进行加减乘除的运算。
在实际问题中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理、傅里叶变换等领域。
例如，在电路分析中，当电路中存在交流信号时，可以将信号表示为复数形式，利用复数的四则运算可以方便地进行电路参数计算和信号处理。
在信号处理中，复数的四则运算常用于频域分析，例如傅里叶变换。
通过将时域信号转换为频域信号，可以对信号的频谱进行分析和处理，从而实现滤波、频谱显示等功能。
总结起来，复数的四则运算是数学中一个重要的概念和工具，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过掌握复数的加减乘除运算规则，可以更好地理解和应用复数，提高数学和工程领域的解决问题的能力。
复数的三角形式
复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．2、复数的三角形式的运算：设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值 （1）i +1 （2）i -3解：（1）211122=+=+i又a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。
所以41πθ=+=）（i arg（2）213322=-+=-）（）（i有31-=θtan ，点（13-，）在第四象限，所以611623πππθ=-=-=）（i arg想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角?想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos（3））（6655ππsin i cos+例2 把下列复数转化为三角形式 （1）-1；（2）i 2； （3） i -3解：（1）2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg，所以-1=ππsin i cos +（2）22022=+=r 辐角主值为θ=()22π=i arg ，所以i2=）（222ππsin i cos+（3）21322=-+=）（）（r ，由3331-=-=θtan 和点），（13-在第四象限，得611623πππθ=-=-=）（i arg ，所以i -3=）（6116112ππsin i cos+总结：复数的代数形式bi a z +=化为复数的三角形式一般方法步骤是：①求复数的模：22b a r +=；②由a btan =θ及点）（b ,a 所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）；③写出复数的三角形式。
复数的三角形式和欧拉公式
复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示实数以外的数。
复数有两种常见的表示方法，一种是常规的代数形式，即a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位；另一种是三角形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
复数的三角形式是由欧拉公式推导而来的。
欧拉公式是数学中非常重要而优美的公式之一，它将自然对数的底e、虚数单位i和余弦函数、正弦函数之间建立了一种神奇的关系：e^(iθ)=cosθ+isinθ。
通过欧拉公式，我们可以将复数用指数形式表示为r×e^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
这样的表示形式更加简洁而且直观，方便于进行复数的运算。
复数的三角形式有许多重要的性质。
首先，复数的三角形式可以用于求解复数的乘法和除法。
当两个复数相乘时，只需要将它们的模相乘，幅角相加即可；而当两个复数相除时，只需要将被除数的模除以除数的模，被除数的幅角减去除数的幅角即可。
这使得复数的乘除运算变得简单而直观。
此外，复数的三角形式还可以用于求解复数的幂运算。
由于指数运算具有幂相乘的性质，我们可以将复数的幂表示为(r×e^(iθ))^n=r^n×e^(inθ)，其中n是正整数。
这样，我们可以通过对模进行乘方，对幅角进行n倍来求解复数的幂，从而进一步简化了运算过程。
最后，复数的三角形式还可以用于求解复数的根。
通过将复数表示为r×e^(iθ)，我们可以利用欧拉公式求解复数的n次根。
具体的方法是通过将模开n次根号，幅角除以n来求解。
这样，我们可以方便地找到复数的根，并且我们可以得到全部n个根。
综上所述，复数的三角形式是一种非常有用的表示方法，它简化了复数的运算和求解过程。
欧拉公式的推导和应用，使得我们在处理复数时更加方便、直观，并且可以通过几何的方法来理解复数的运算和性质。
因此，对于学习和应用复数的人来说，掌握复数的三角形式和欧拉公式是十分重要而有价值的。
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复数三角形式的四则运算公式
一、复数的加法运算
复数的加法运算是指将两个复数相加得到一个新的复数的计算过程。
复数的加法运算公式为：
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
其中，a和c是复数的实部，b和d是复数的虚部。
例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相加：
(3 + 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5) + (4 + 2)i = 8 + 6i
因此，复数3 + 4i和5 + 2i的和为8 + 6i。
二、复数的减法运算
复数的减法运算是指将两个复数相减得到一个新的复数的计算过程。
复数的减法运算公式为：
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相减：
(3 + 4i) - (5 + 2i) = (3 - 5) + (4 - 2)i = -2 + 2i
因此，复数3 + 4i和5 + 2i的差为-2 + 2i。
三、复数的乘法运算
复数的乘法运算是指将两个复数相乘得到一个新的复数的计算过程。
复数的乘法运算公式为：
(a + bi) * (c + di) = (a * c - b * d) + (a * d + b * c)i
例如，将复数3 + 4i和5 + 2i相乘：
(3 + 4i) * (5 + 2i) = (3 * 5 - 4 * 2) + (3 * 2 + 4 * 5)i = 7 + 22i
因此，复数3 + 4i和5 + 2i的积为7 + 22i。
四、复数的除法运算
复数的除法运算是指将两个复数相除得到一个新的复数的计算过程。
复数的除法运算公式为：
(a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)]i
其中，c和d不能同时为0。
例如，将复数3 + 4i除以5 + 2i：
(3 + 4i) / (5 + 2i) = [(3 * 5 + 4 * 2) / (5^2 + 2^2)] + [(4
* 5 - 3 * 2) / (5^2 + 2^2)]i = (23/29) + (14/29)i
因此，复数3 + 4i除以5 + 2i的商为(23/29) + (14/29)i。
复数的加法、减法、乘法和除法运算都可以通过相应的公式进行计算。
这些公式能够准确地描述复数的运算规则，使我们能够方便地进行复数的四则运算。
通过运用这些公式，我们可以轻松地求得复数的和、差、积和商，进一步拓宽了数学运算的领域。
复数的四则运算公式不仅在数学理论中具有重要的地位，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如在电路分析、信号处理、量子力学等领域都离不开复数的运算。
因此，掌握复数的四则运算公式对于我们的学习和应用是非常重要的。