数学-2024届新高三开学摸底考试卷(九省新高考通用
2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）01
数 学
本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效。
4．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}
232A x x =-≤ {}1,0,1,2,3B =- 则A B ⋂=（ ） A ．{}1,0,3- B ．{}0,1,3 C ．{}1,0,2,3- D ．{}1,1,2- 2．已知12i z =-+ 则
z z =（ ） A ．34i 55- B ．34i 55-+ C ．43i 55-+ D ．43i 55
- 3.已知()52345601234561(1)x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++ 则3a 的值为（ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
4. 一个集合中含有4个元素 从该集合的子集中任取一个 则所取子集中含有3个元素的概率为（ ） A. 47 B. 35 C. 16 D. 14
5. 已知0x > 0y > 且26xy x y ++= 则2x y +的最小值为（ ）．
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
6. 已知3log 5a = 2log 8b =e c =则a b c 的大小关系为（ ）．
A. a c b <<
B. b<c<a
C. c<a<b
D. a b c << 7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明 后人称其为“赵爽弦图” 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 如图所示.在“赵爽弦图”中 若,,3BC a BA b BE EF === 则AE =（ ）
A ．12162525a b -
B ．16122525a b +
C ．1292525a b +
D ．9122525
a b - 8．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数 当[0,2)x ∈时 ()23,012,12
x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<<⎩ 则5()2f -=（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．1
2 D ．14
二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分 在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分。
9．某省2021年美术联考约有5000名学生参加 现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生
的考试成绩 记录他们的分数后 将数据分成7组：[)[)20303040，，，
⋯ []8090， 并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（ ）
A ．由频率分布直方图可知 全省考生的该项科目分数均不高于90分
B ．用样本估计总体 全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人
C ．若样本中分数小于40的考生有30人 则可估计总体中分数在区间[)4050，
内约200人 D ．用样本估计总体 全省考生该项科目分数的中位数为75分
10．已知函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点0,2A M ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()π,0N ()f x 的最小正周
期为T 则（ ）
A ．T 可能取12π7
B ．()f x 在()0,4π上至少有3个零点
C ．直线8π11
x =可能是曲线()y f x =的一个对称轴 D ．若函数()f x 的图象在[]0,2π上的最高点和最低点共有4个 则116ω=
11．如图所示 有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器 D 是PB 的中点 E 是CD 上的动点 则下列说法正确的是（ ）
A ．若E 是CD 的中点 则直线AE 与P
B 所成角为π2
B ．ABE 的周长最小值为434+
C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入） 则小球半径的最大值为63
D ．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入） 则小球半径的最大值为62-
12．下列命题中正确的是（ ）
A ．()0,x ∃∈+∞ 23x x >
B ．()0,1x ∃∈ 23log log x x <
C ．()0,x ∀∈+∞ 131log 2x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
D ．10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭ 131log 2x
x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分。
13．在()5
2231x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______． 14．现有一圆桌 周边有标号为1 2 3 4的四个座位 甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题 每人只能坐一个座位 甲先选座位 且甲、乙不能相邻 则所有选座方法有____种．（用数字作答）
15．已知抛物线C ：22y px =（p >0）的焦点为F 过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 相交于A B 两点 与
抛物线C 的准线交于点E 若2AB EF = 则p ＝________.
16．设(){}{}()()*1212,,,,0,1,1,2,,N ,2,,,,n n i n n S a a a a a a i n n n a a a a S ==∈=∈≥=∈∣ 定义a 的差分运
算为()()213211,,,n n n D a a a a a a a S --=---∈.用()m D a 表示对a 进行()
*N ,m m m n ∈≤次差分运算 显然 ()m D a 是一个()n m -维数组.称满足()()0,0,,0m D a =的最小正整数m 的值为a 的深度.若这样的正整数m 不存在 则称a 的深度为n .
（1）已知()80,1,1,1,0,1,1,1a S =∈ 则a 的深度为__________.
（2）n S 中深度为()
*N ,d d d n ∈≤的数组个数为__________. 四、解答题：本题共6小题 共70分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．设数列{}n a 满足1=2a 21132n n n a a -+-=⋅.求{}n a 的通项公式.
18．已知锐角ABC 的内角A B C 所对的边分别为a b c 向量(sin ,cos )m C C = (2sin cos ,sin )n A B B =-- 且m n ⊥．
(1)求角C 的值；
(2)若2a = 求ABC 周长的取值范围．
19．如图 在圆锥PO 中 已知PO ⊥底面O 2PO = O 的直径2AB = C 是AB 的中点 D 为AC 的中点.
(1)证明：平面POD ⊥平面PAC ；
(2)求三棱锥D PBC -的体积；
(3)求二面角B PA C --的余弦值.
20．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点与它的左、右两个焦点1F 2F 的距离之和为22 且它的离心率与双曲线222x y -=的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图 点A 为椭圆上一动点（非长轴端点） 1AF 的延长线与椭圆交于点B AO 的延长线与椭圆交于点C ． ①当直线AB 的斜率存在时 求证：直线AB 与BC 的斜率之积为定值； ①求△ABC 面积的最大值 并求此时直线AB 的方程．
21．已知函数()3213
f x x ax bx ab =-+++. (1)若()f x 是奇函数 且有3个零点 求b 的取值范围；
(2)若()f x 在1x =处有极大值223-
求当[]13,x ∈-时()f x 的值域.
22．已知函数()()cos 1e x f x x -=- ()()
()21e R x g x ax x a =+-∈． (1)当()0,πx ∈时 求函数()f x 的最小值；
(2)当π,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时 不等式()()e x g x xf x ≥恒成立 求实数a 的取值范围．。
2024届新高三数学开学摸底考试卷03及答案解析(九省新高考专用)
2024届新高三数学开学摸底考试卷03及答案解析（九省新高考专用）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}25A x x =<<，2311x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （）A ．{}24x x -<≤B ．{}24x x <≤C ．{}14x x -<≤D ．{}15x x -<<【答案】B【分析】根据分式不等式求解即可化简B ,进而根据集合的交集即可求解.【详解】由2311x x -≤+，得23101x x --≤+，即401x x -≤+，所以{14}B x x =-<≤∣．又{25}A x x =<<∣，所以{24}A B x x ⋂=<≤∣．故选:B ．2．在ABC 中,若tan tan tan B C B C +=且sin 2B =则C =（）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【答案】C【分析】根据tan tan tan B C B C +=利用两角和的正切公式可得60B C += ,即可得120A =o ,根据sin 2B B 的范围可得30B = ,进而可求得30C = .【详解】解:因为tan tan tan B C B C +=所以)tan tan 1tan tan B C B C +=-,即()tan tan tan 1tan tan B CB C B C++==-因为B ,C 为ABC 的内角,所以60B C += ,即120A =o ,所以060B << ,02120B << ,因为sin 2B =所以260B = ,即30B = ,所以30C = .故选:C3．已知一组数据3，5，7，x ，10的平均数为6，则这组数据的方差为（）A ．335B ．6C ．285D ．5【答案】C【分析】先根据平均数公式求出x ，再利用方差公式求解.【详解】由题意得3571065x ++++=⨯，得5x =所以这组数据的方差2128(911116)55s =⨯++++=故选：C4．已知函数()cos f x x x =-.给出下列结论：①π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的最小值；②函数()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；③将函数2sin y x =的图象上的所有点向左平移11π6个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③.【详解】()πcos 2sin 6f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，对于①，ππ2sin 232f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是()f x 的最小值，故①正确；对于②，当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，π2ππ,633x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上不具有单调性，故②错误；对于③，将函数2sin y x =的图象上的所有点向左平移11π6个单位长度，得()11πππ2sin 2sin 2π2sin 666y x x x f x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③正确，所以正确的有①③.故选：B.5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，点D 为准线l 与x 轴的交点，若30FMD ∠= ，则四边形AMDB 的面积为（）A B ．203C D ．163【答案】A【分析】由抛物线的定义可得AMF 是正三角形，设()(),,,A A B B A x y B x y ，根据几何性质求得A 点坐标，从而可得直线AB 的方程，联立直线与抛物线可求得B 点坐标，按照面积分割即可得四边形AMDB 的面积.【详解】如图，不妨设点A 在x 轴上方，由抛物线的定义可知AF AM =，因为30FMD ∠= ，所以903060AMF ∠=-= ，所以AMF 是正三角形.由24y x =可知()()1,0,1,0F D -，设()(),,,A A B B A x y B x y ，因为30,2FMD DF ∠==，所以4DM MF AM ===.所以413A x =-=.所以点A的坐标为(3,，所以直线AB313x -=-，整理得y =由24y y x⎧=⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=，解得13,3A B x x ==.将13B x =代入直线AB的方程，得13B y =--B的坐标为1,3⎛ ⎝⎭.所以()112422233BDF AMDB AMDF S S S =+=⨯+⨯+⨯⨯=四边形四边形.故选：A .6．2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A 表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B 表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C 表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（）A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 为互斥事件C ．()13P C A =D ．()16P B A =【答案】D【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A ，B 分别发生的情况数与事件A ，B 同时发生的情况数，得到()()()P AB P A P B ≠，判断出A 错误，同理可得B 错误；利用条件概率求解公式得到C 错误，D 正确.【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有2113421322C C C A 36A =种方法，事件A ：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有33A 6=种，若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有212312C C A 6=种，共有6612+=种，∴121()363P A ==，同理121()363P B ==，若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有22A 种，∴211(),()()()36189P AB P AB P A P B ==≠=，故事件A 与B 不相互独立，A 错误；同理可得，121()363P C ==，若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有22C 1=种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有1122C C 4=种情况，综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有145+=种，故(5(),)()()36P BC P BC P B P C =≠，B 错误；()()()1118163P AB P B A P A ===，D 正确；事件C ：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有33A 6=种，若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有212312C C A 6=种，共有6612+=种，∴121()363P C ==，若事件A ，C 同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有22C 1=种，若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有1122C C 4=种情况，综上：事件A ，C 同时发的情况有145+=种，∴()536P AC =，()()()55361123P AC P C A P A ===，C 错误；故选：D7．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥.若4AB =，2BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．163B ．4C ．83D ．2【答案】D【分析】设CD x =，其中0x >，利用勾股定理可求得AC ，并求出BCD △的面积，利用锥体的体积公式以及基本不等式可求得结果.【详解】设CD x =，其中0x >，如下图所示：因为AC ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以，AC BC ⊥，因为BD CD ⊥，所以，BC ==，又因为4AB =，所以，AC ===，由20120x x >⎧⎨->⎩可得0x <<11222BCD S BD CD x x =⋅=⨯=△，2211122336A BCDBCD x x V S AC x -+-=⋅=⋅≤= ，当且仅当2212xx =-时，即当x =时，该三棱锥体积取最大值为2.故选：D.8．函数()23cos22xx xf x =的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD ，再由()20f <可排除C ，即可得到结果.【详解】因为()23cos22x x x f x =，其定义域为R ，所以()()23cos22xx xf x f x -==，所以()f x 为偶函数，排除选项A ，D ，又因为()12cos423cos44f ==，因为3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos40<，所以()20f <，排除选项C.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
高三数学开学摸底考01(2024新高考新题型)-高三数学下学期开学摸底考试卷(全解全析)
2024届高三下学期开学摸底考（答案在最后）全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A ．93B ．93.5C ．94D ．94.5【答案】B【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.2．已知焦点在x 轴上的椭圆2219x y m +=的离心率12e =,则m =（）A ．12B ．-4C ．-6D ．-8【答案】A【解析】焦点在x 轴上的椭圆2219x y m +=，可知3a b c ==，∵离心率是12e =，12c a∴=，解得m =12．故选:A ．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】C【解析】因为{}n a 是等差数列，且369a a +=，故可得：189a a +=；又()819436S a a =+=.故选：C.4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则（）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m m n α⊥∥，则n α⊥C ．若,m n n α⊂∥，则m αD ．若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n⊥【答案】D【解析】作长方体1111ABCD A B C D -，如下图所示：对于A ，设m AB =，n AD =，α=平面1111D C B A ，显然,m n αα∥∥，但m n A = ，故A 错误；对于B ，设m AB =，n AD =，α=平面1111D C B A ，显然,m m n α⊥∥，但n α∥，故B 错误；对于C ，设m AB =，n AD =，α=平面ABCD ，显然,m n n α⊂∥，但m α⊂，故B 错误；对于D ，因为,m αβα⊥∥，所以m β⊥，因为n β ，所以l β∃⊂，l n ∥，因为m β⊥，l β⊂，所以m l ⊥，因为l n ∥，所以m n ⊥.故D 正确.故选：D.5．某人用字母v ，r ，y 各1个和2个字母e 拼写英语单词“every”，那么他写错这个英语单词的概率为（）A ．5960B ．910C ．1920D ．119120【答案】A【解析】对e ，v ，e ，r ，y5个字母排列也就是将e ，v ，e ，r ，y 放入5个确定的位置，先从5个位置中选出2个位置放2个e ，有25C 种方法，再将剩下3个字母全排放入其他两个位置，有33A 种方法，因此共有2353C A 60=种方法，而写对的可能只有1种，所以他写错这个英语单词的情况有60159-=种，所以他写错这个英语单词的概率为5960P =.故选：A.6．在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，23AC =，102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=（）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为23,120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以31(3,0),(,),(0,1),(3,0),2A M D --所以31(3,),(3,1)(,1)22AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故3151(,1),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴=故选：D7．若π3π,44α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ6tan 4cos 5cos 244ααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425B ．1225C ．725D ．15【答案】C 【解析】令π4t α=+，π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4t α=-，则ππ6tan 4cos 5cos 222t t t ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即6tan 4sin 5sin 210sin cos t t t t t +==，整理得()()5cos 3cos 10t t +-=，且cos 0<t ，那么3cos 5t =-，则2π7sin 2sin 2cos 212cos 225t t t α⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.故选：C.8．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线右支上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F PF F PA π∠=∠=，255PA =）A 5B ．2C 25D 52【答案】B【解析】设11PF r =，22PF r =，则1222r r a -==，如图所示：由余弦定理得22212121222cos 3F F PF PF PF PF π=+-，即()222212121212124343c r r r r r r r r r r =++=-+=+，所以212443c r r -=，从而222212121212164243c r r r r r r c r r -+=++=+=因为1212F PF F PA APF S S S =+△△△，所以1212111sin sin s 2in 223233r r r PA r PA πππ⋅⋅+⋅⋅=，整理得：()1212r r r r PA =+⋅，即224425164353c c --=整理得4252280c c -+=，解得24c =或225c =（舍去），所以2c =，1a =，2ce a==.故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，方程()13f x =在()0,π的解为()1212,x x x x <，则下列结论正确的是（）A ．2ω=B ．函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在5π,π12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()12cos 2x x +=-【答案】ABD【解析】由函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，得2ππT ω==，所以2ω=，故选项A 正确；因为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()πππsin 2sin π0333f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项B 正确；由5ππ12x <<，得ππ52π233x <-<，所以函数()f x 在5π,π12⎛⎫⎪⎝⎭上先减后增，故选项C 错误；当()0,πx ∈时，ππ5π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，依题意有12ππ1sin 2sin 20333x x ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知，12πππ222332x x -+-=⨯，即125π6x x +=，所以()125πcos cos6x x +==D 正确.故选：ABD.10．设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（）A ．若0z z ⋅=，则0z =B ．若z z R -∈，则z R∈C ．若2cos isin55z ππ=+，则1z =D ．若12i 3i z z --=++，则z 的最小值是12【答案】ABD【解析】设()i ,z a b a b R =+∈，对于选项A ：()()22i i 0a b a b b z a z ⋅=+-=+=，所以0a b ==，所以0z =，故选项A 正确；对于选项B ：()()i i 2i R a b a b z z b +--==∈-，所以0b =，即z a R =∈，故选项B 正确；对于选项C ：2cosisin55z ππ=+，则1z =≠，故选项C 不正确；对于选项D ：12i 3i z z --=++即i 12i i 3i a b a b +--=+++表示点(),a b 到点()1,2M 和到点()3,1N --的距离相等，所以复数z 对应的点的轨迹为线段MN 的垂直平分线，因为MN 中点为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，123314MN k --==--，所以MN 的中垂线为()14123b a -=-+，整理可得：8650a b ++=，所以z ==表示点()0,0到8650a b ++=的距离，所以min 12z ==，故选项D 正确，故选：ABD.11．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()()()22f x y f x f y f x f y +=⋅--⋅-，且()00f ≠，()20f -=，则（）A ．()21f =B ．()f x 是偶函数C ．()()2221f x f x ⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦D ．()()202311Z i f i i ==∈∑【答案】BC【解析】()()()()()22f x y f x f y f x f y +=⋅--⋅-，令0x =，2y =，则()()()()()202200f f f f f =⋅-⋅=，故选项A 错误；令0x y ==，则()()()()()()()0002200f f f f f f f =⋅-⋅=⋅，又()00f ≠，所以()01f =，令2y =，则()()()()()()22202f x f x f f x f f x +=⋅--⋅=--，所以函数()f x 关于()2,0对称，令2x y ==，则()()()()()422001f f f f f =⋅-⋅=-，令4y =，则()()()()()()4422f x f x f f x f f x +=⋅--⋅-=-，()()=f x f x -，又函数()f x 的定义域R ，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 正确；令y x =-，则()()()()()022f f x f x f x f x =⋅---⋅+，又()01f =，()()=f x f x -，()()22f x f x +=--，所以()()2221f x f x ⎡⎤⎡⎤++=⎣⎦⎣⎦，选项C 正确；因为()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的一个周期为8，令2x =，1y =，则()()()()()()321011f f f f f f =⋅-⋅=-，所以()()310f f +=，所以()()310f f -+-=，所以()()()()57310f f f f +=-+-=，()()()6220f f f =-==，()()801f f ==，所以()()()()()()()()12345678f f f f f f f f +++++++()()()()()()()()135724680001010f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤=+++++++=++-++=⎣⎦⎣⎦，()()()()()()()()()()()202312521234567812i f i f f f f f f f f f f =⎡⎤=⨯+++++++++⎣⎦∑()()()()()()()()()()()()3456701357246f f f f f f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤+++++=+++++++⎣⎦⎣⎦0000101=+++-+=-，所以()()202311Z i f i i ==-∈∑，故选项D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若集合{}22240A x x x =--≤，{}222B x m x m =<<+，A B ⋂=∅，则2m 的最小值为.【答案】6【解析】由22240x x --≤，解得46x -≤≤，所以{}46A x x =-≤≤，因为A B ⋂=∅，20m ≥，所以26m ≥，所以2m 的最小值为6.13．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面圆的半径分别为1l αβ--的平面角为π2，则球O 的表面积为.【答案】16π【解析】设两个半平面αβ，截球O 的两个截面圆的圆心分别为12,O O ，连接12,,O P O P OP ，如图所示由球的截面圆性质及球的切线性质得12,,OO OO OP l αβ⊥⊥⊥，且121,O P O P ==由题意可知12,l O P l O P ⊥⊥，所以12O PO ∠为二面角l αβ--的平面角，即1290O PO ∠=︒，因为αβ⊥，l αβ= ，1O P l ⊥，1O P α⊂，所以1O P β⊥，所以12//O P OO ，同理：21//O P OO ，故四边形12O O OP 为矩形，所以222212O P O P OP R +==，得24R =，则球O 的表面积24π16πS R ==.14．定义：{}max ,x y 为实数,x y 中较大的数．若,,0a b c >，则11max ,,⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭a b bc c ac a b 的最小值为．【答案】2【解析】设11max ,,⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭a M b bc c aca b ，则由题意可得110,0,0≥+>≥+>≥+>aM b M bc M c ac a b，因为11⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c bc ac a ，所以①当1c ≥时，110+≥+>bc b a ac ，只需考虑1,≥+≥+aM bc M c a b，所以11≥+≥+≥M bc b a a ，1≥+≥+≥a a M c b b所以24≥M ，可得2M ≥，当且仅当1a b c ===时取等号；②当01c <<时，110<+<+bc b a ac ，只需考虑1,≥+≥+aM b M c ac b，所以21114⎛⎫⎛⎫≥++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a Mbc a bc ac b a bc ，可得2M ≥，当且仅当1,1==a bc 时取等号.综上所述，M 的最小值为2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）3k =；（2）答案见解析；【解析】（1）()1()0f x x k x x'=+->，∵曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，∴(1)1f '=-，即21k -=-，故3k =；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当2k ≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥-=-≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，211()x kx f x x k x x-+'=+-=，令()0f x '=，得210x kx -+=.∵240k ∆=->，∴方程()0f x '=有两不等实根12x x ==.∵120x x k +=>，1210x x =>，∴210x x >>.令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<.所以()f x 在0,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,22k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当2k ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x在0,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.方法二：（常规方法）：讨论24k ∆=-的符号.当240k ∆=-≤，即22k -≤≤时，210-+≥x kx 恒成立，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增；当240k ∆=->，即2k <-或2k >时，方程()0f x '=有两不等实根12,x x .（i ）当2k <-时，由12120,10x x k x x +=<=>知120x x <<，则12()()()0x x x x f x x--'=>恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增；（ii ）当2k >时，由12120,10x x k x x +=>=>知210x x >>，()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<.故()f x 在1(0,)x 、2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减.综上，当2k ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x在0,2k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.16．（15分）一个骰子各个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6，现抛掷该股子2次，记第一次正面朝上的数字为1Y ，第二次正面朝上的数字为2Y ，记不超过12Y Y 的最大整数为Y ．（1）求事件“Y 0=”发生的概率，并判断事件“16Y =”与事件“Y 0=”是否为互斥事件；（2）求Y 的分布列与数学期望．【答案】（1）()5012P Y ==，事件“16Y =”与事件“Y 0=”为互斥事件；（2）分布列见解析，()4136E Y =【解析】（1）当2Y 取16,Y 取值为1,2,3,4,5时，Y 0=，当2Y 取15,Y 取值为1,2,3,4时，Y 0=，当2Y 取14,Y 取值为1,2,3时，Y 0=，当2Y 取13,Y 取值为1，2时，Y 0=，当2Y 取12,Y 取值为1时，Y 0=，所以()12345506612P Y ++++===⨯，当16Y =时，261,0Y Y ≥≠，事件“16Y =”与事件“Y 0=”不能同时发生，为互斥事件；（2）Y 的取值为0,1,2,3,4,5,6，()12,Y Y 取值为()()()()()()()()()()1,1,2,2,3,2,3,3,4,3,5,3,4,4,5,4,6,4,5,5，()()6,5,6,6时，()1211663P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()()()()2,1,4,2,5,2,6,3时，()412669P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()()3,1,6,2时，()2136618P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()4,1时，()1146636P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()5,1时，()1156636P Y ===⨯，()12,Y Y 取值为()6,1时，()1166636P Y ===⨯，所以Y 的分布列为Y 0123456P5121319118136136136所以()511111141012345612391836363636E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（15分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且11,.2BD CD BD CD DE ==⊥⊥平面ABCD ，且12DE BF DE == BF .点,H G 分别为线段,DC EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<.（1）证明：直线GH 平面BCF ；（2）是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析【解析】（1）如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立坐标系.()()()((2,0,0,0,1,0,2,1,0,,C B A E F -.()(((2,1,0,0,0,,2,,BC BF AE EF =-==-=.设平面BCF 的法向量为()1111,,n x y z =，则由11111200,0,0x y BC n BF n -=⎧⎪⋅=⋅=⎨=⎪⎩ ，取11x =得()11,2,0n = .因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EFλλ==解得(),0,0,0,,,,2222H G GH λλλλλ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以10n GH ⋅=，且GH ⊄平面BCF ，所以GH 平面BCF（2）设平面AEF 的法向量为()2222,,n x y z =则由2222222200,0,0x y AE n EF n y ⎧-=⎪⋅=⋅=⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .所以2sin cos ,n GH θ=1λ=.18．（17分）已知()0,0O 、()1,0E -、()1,0F ，圆221:4C x y +=，抛物线()22:20C y px p =>，过F 的直线与抛物线2C 交于A 、B 两点，且2OA OB p ⋅=-．（1）求抛物线的方程；（2）若直线AE 与圆1C 交于M 、N 两点，记AOB 面积为1S ，MON △面积为2S ，求12S S ⋅的取值范围.【答案】（1）22y x =；（2）22,23⎫⎪⎣⎭【解析】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 与x 轴重合，则直线AB 与抛物线2C 只有一个交点，不合乎题意，设直线AB 的方程为1x my =+，与22y px =联立得2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，122y y p =-，因为2212121212122y y OA OB x x y y y y p p p ⎛⎫⋅=+=+=-=- ⎪⎝⎭，解得1p =，故抛物线的方程22y x =．（2）由122y y m +=，122y y =-，得11212S OF y y =⋅⋅-=，设直线AE 的方程为1x ny =-，即10x ny -+=，则原点到直线AE的距离1d =≤，得2MN ==22121S MN d n =⋅⋅=+，联立11x my x ny =+⎧⎨=-⎩可得112n m x n m y n m +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即点2,n m A n m n m +⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以222n m n m n m +⎛⎫=⋅ ⎪--⎝⎭，则222n m -=且22n≥，则12S S ⋅==令21n t +=，则3t ≥，1103t<≤，则1223S S ⎫⋅=⎪⎪⎣⎭，综上，12S S ⋅的取值范围为3⎫⎪⎣⎭．19．（17分）已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 中的项(1,2;1,2,,)ij a i j n == 互不相同，且满足下列条件：①{}1,2,,2ij a n ∈ ；②()112(1)0(1,2,,)m m m a a m n +--<= .则称这样的数表2n A 具有性质P .（1）若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值；（2）对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n =；（3）对于具有性质P 的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）21128n n +【解析】（1）满足条件的数表22A 为141424233231⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，所以1112a a +的值分别为5，5，6.（2）若当11121n a a a +++ 取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =.由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数，不妨设此时数表为1112122222n n n a a a A n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n =.②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，此时转化为①的情况.综上可知，存在正整数(1)k k n ≤≤，使得12k a n =.（3）当n 为偶数时，令2n k =，()1k n ≤≤，对任意具有性质P 数表11121221222n n n a a a A a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，一方面，122214241,22,2()()()(41)(43)(21)k k a a a a a a k k k -+-++--+-+++ ≤，因此212141,222242,2()()3k k a a a a a a k +++++++ ≤．①另一方面，211(1351)i i a a i n -=-，，，，≥ ，因此11131,2121232,21()()k k a a a a a a k --++++++- ≤.②记111121,2221222,2,n n S a a a S a a a =+++=+++ ．由①+②得2123S S k k +-≤.又21282S S k k +=+，可得21112k k S +≤.构造数表2143415427433231312142638413n k kk k k k k k k k k A k k k k k k k ++-+-+-+-+⎛⎫= ⎪++++-⎝⎭可知数表2n A 具有性质P ，且2211111228k k n n S ++==.。
2024届新高三理科数学开学摸底考试卷3及答案解析(课标全国专用)
2024届新高三理科数学开学摸底考试卷3及答案解析（课标全国专用）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,1【答案】C【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}{}N 120,1,2A x x =∈-≤≤=，又{}2,1,0,1B =--，所以{}0,1A B = .故选：D2．若复数z 满足i 43i z =-，则z =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】先根据复数除法的运算求出复数z ，再由模长公式计算模长即可求解【详解】因为43i34i iz -==--，所以5z =.故选：C.3．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（）A ．19和2B ．19和3C ．19和4D ．19和8【答案】C【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项.【详解】解：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，∴121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=4=．故选：C ．【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.4．下列函数中，既是奇函数，又在R 上单调递增的函数有（）A ．sin y x x =-B ．2y x x =+C ．e e x x y -=+D ．1y x x=+【答案】C【分析】由函数奇偶性排除选项AB ；由定义域排除选项D ；再求导判断单调性判断C 作答.【详解】对于C ，令()e e x x f x -=+，其定义域为R ，而()e e ()x x f x f x -=-=+，即函数e e x x y -=+是偶函数，A 错误；对于B ，函数2y x x =+的定义域为R ，是非奇非偶函数，B 错误；对于A ，令()sin g x x x =-，其定义域为R ，()sin()()g x x x g x -=---=-，即sin y x x =-是奇函数，()1cos 0g x x '=-≥，当且仅当2π,Z x k k =∈时取等号，因此函数sin y x x =-在R 上单调递增，A 正确；对于D ，函数1y x x=+的定义域为{R |0}x x ∈≠，不符合题意，D 错误.故选：A5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()P μσξμσ-≤≤+≈68.27%，()22P μσξμσ-≤≤+≈95.45%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B【分析】正态分布2(0,3)N 中，0,3μσ==，根据正态分布的对称性求解即可.【详解】正态分布2(0,3)N 中，0,3μσ==，所以(33)(0303)P P ξξ-<<=-<<+≈68.27%，(66)(023023)P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈95.45%，所以[]1(36)(66)(33)2P P P ξξξ<<=-<<--<<≈13.59%，故选：B.6．已知圆2214850:O x y x y ++--=与圆2222(2)(0:)O x y r r ++=>只有一个公共点，则r =（）A ．1B ．4C ．9D ．1或9【答案】D【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意两圆相内切，则圆心距等于半径之差的绝对值，即可得到方程，解得即可.【详解】圆2214850:O x y x y ++--=，即()()222425x y ++-=，圆心为()12,4O -，半径15r =，圆2222(2)(0:)O x y r r ++=>，圆心()22,0O -，半径为r ，所以124O O ==因为两圆只有一个公共点，所以两圆相外切或相内切，显然两圆不能相外切，所以211r O r O =-，即54r -=，解得1r =或9r =.故选：D7．x xe e y x--=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】研究函数的奇偶性，再研究函数值的变化趋势．【详解】()f x 是偶函数，排除D ，x →+∞时，()f x →+∞，排除A 、B ．故选C ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象．解题方法是排除法．可通过解析式研究函数的性质（如奇偶性、单调性、对称性等），排除一些选项，研究函数的特殊值，函数值的正负、函数值的变化趋势等再排除一些选项，直到只剩下一个选项为正确选项．8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为0G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.3≈）（）A ．75B ．74C ．73D ．72【答案】C【分析】由已知可得45D =，再由1840.5()0.25G⨯<，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可．【详解】由题设可得18180.50.4D =，则45D =，所以1840.50.25G ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即()()()45218lg18lg 2lg5182lg 211820.31518log 72452lg 2l 2g53lg 2130.31lg 5G --⨯->===≈=--⨯-，所以所需的训练迭代轮数至少为73次．故选：C ．9．已知点O 为坐标原点，直线1y x =-与抛物线C ：22y px =()0p >相交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，若M 到C 的准线的距离等于12AB ，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据抛物线定义可知直线1y x =-过抛物线的焦点，从而求出焦点坐标可得p 的值.【详解】如图，假设直线1y x =-不过抛物线焦点F ，过A 、B 、M 分别做准线的垂线，垂直分别为E 、D 、G ，则GM 是直角梯形AEDB 的中位线则1()2GM AE BD =+又因为12GM AB =，所以AE BD AB+=由定义可知AE BD AF BF AB +=+=所以A 、B 、F 三点共线由直线1y x =-可得F 的坐标为(1,0)所以2p =.另解：设A ()11,x y ，B ()22,x y ，联立方程组21,2,y x y px =-⎧⎨=⎩得()22110x p x -++=，则()1221x x p +=+，121=x x ，所以M 到C 的准线的距离等于312p +．因为2AB =，所以312p +=2p =．10．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现将ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A ．存在点P ，使得PE CF ∥B ．存在点P ，使得PE ED ⊥C ．三棱锥P AED -的体积最大值为26D ．当三棱锥P AED -的体积达到最大值时，三棱锥P AED -外接球表面积为4π【答案】A【分析】连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，确定PG AE ⊥，AE DE ⊥，若CF AE ∥，得到AE ，PE 重合，不成立，A 错误，PG ⊥平面AECD 时，PE ED ⊥，B 正确，计算得到CD 正确，得到答案.【详解】如图所示：连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，PG AE ⊥，连接PF ，FE ，2PG =，2FG =，AE DE ==222AD AE ED =+，故AE DE ⊥，对选项A ：CF AE ∥，若PE CF ∥，又AE PE E ⋂=，则AE ，PE 重合，不成立，错误；对选项B ：当PG ⊥平面AECD 时，ED ⊂平面AECD ，则PG ED ⊥，又AE DE ⊥，PG AE G = ，,PG AE ⊂平面PAE ，故ED ⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，故PE ED ⊥，正确；对选项C ：当PG ⊥平面AECD 时，三棱锥P AED -体积最大，最大值为1132⨯=对选项D ：PG ⊥平面AECD ，GF ⊂平面AECD ，故PG GF ⊥，1PF =，故1FA FE FD FP ====，故F 是三棱锥P AED -外接球球心，半径为1R =，故外接球表面积为24π4πS R ==，正确.故选：A.11．函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,]π内的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则ω的取值范围为A ．24,33⎡⎤⎢⎣⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】A【解析】根据x 的取值范围，求出3x πω+的取值范围，再根据函数的值域得到533πππωπ≤+≤即可解得.【详解】解：函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，,333x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦1()1,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴11cos 32x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以533πππωπ≤+≤，解得2433ω≤≤,故ω的取值范围为24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题.12．12．设13a =，3ln 2b =，1tan 2c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】根据指数函数及对数函数的单调性即可比较,a b ，构造函数()()tan ,0,1f x x x x =-∈，()()()ln 1,0,g x x x x =-+∈+∞，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得解.【详解】因为3327e 28⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以133e 2>，所以1331ln ln e 23>=，所以b a >，令()()tan ,0,1f x x x x =-∈，则()()22221sin 1tan 0,0,1cos cos xf x x x x x'=-==>∈，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()1002f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11tan 022->，所以11tan 22>，令()()()ln 1,0,g x x x x =-+∈+∞，则()()0,0,1xg x x x '=>∈+∞+，所以函数()g x 在()0,∞+上递增，所以()1002g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即13ln 022->，即13ln 22>，所以13tan ln 22>，即c b >，综上，a b c <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造函数()()tan ,0,1f x x x x =-∈，()()()ln 1,0,g x x x x =-+∈+∞，利用中间量12来比较,b c 的大小是解决本题的关键.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若232nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】40【分析】根据二项式系数和为232n =，求出n ，即可求出二项式展开式中常数项.【详解】因为二项式系数和232n =，因此5n =，又()()5521055132C C 2kkk k kk k T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令2k =，常数项为()225C 240-=.故答案为：40.14．已知数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，*n ∈N ，若716a =，354a a =，则2a 的值为______.【答案】12-或12【分析】由等比的定义结合其性质得出2a 的值.【详解】因为221n n n a a a ++=，*n ∈N ，所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q.由716a =，23544a a a ==，得42a =±，3748a q a ==±，所以2q =±.当2q =时，42a =，则212a =；当2q =-时，42a =-，则212a =-.综上，2a 的值为12-或12.故答案为：12-或1215．已知F 是双曲线2222:1x y C a b -=的左焦点，A 是C 的右顶点，过点A 作x 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点M ，连接FM 交另一条渐近线于点N .若2FN FM =，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】2【分析】根据题意即可得出()(),0,,0A a F c -，所以(),M a b ，再由2FN FM =可得N 为FM 的中点，即,22a c b N -⎛⎫⎪⎝⎭，代入另一条渐近线b y x a =-可得2c a =，即可计算出离心率为2.【详解】如下图所示：易知()(),0,,0A a F c -，则过点A 作x 轴的垂线方程为x a =，不妨设x a =与渐近线by x a=交于点M ，则可得(),M a b ，又2FN FM = 可得，N 为FM 的中点，即,22a c b N -⎛⎫⎪⎝⎭；又N 在另一条渐近线b y x a =-上，即22b b a ca -=-⋅，解得2c a =；所以双曲线C 的离心率为2c e a==.故答案为：216．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．【答案】9π2【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得2AB AC ==体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.【详解】由题可知三棱锥-P ABC 的体积为：211112326623P ABCAB AC V AB AC AP AB AC -+⎛⎫=⨯⋅⋅⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2AB AC ==时等号成立，此时，12PA AB AC ===，，将三棱锥-P ABC 补成长方体PEFG ABDC -，则三棱锥-P ABC外接球的直径为23R =，则32R =，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为349ππ32R =.故答案为：9π2.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知数列{}n a 满足15a =，123n n n a a +-=（*n ∈N ）.记3nn n b a =-.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】(1)证明见解析(2)()1212n n ++-【分析】（1）由等比数列定义证明1n nb q b +=即可；（2）使用错位相减法求和即可.【详解】（1）由已知，∵123n n n a a +-=，∴132n n n a a +=+，∵3n n n b a =-，∴()11133233223232n n n n n n n n n n n b a a a a b +++=-=+-⨯=-⨯=-=，又∵15a =，∴1113532b a =-=-=，∴易知数列{}n b 中任意一项不为0，∴12n nb b +=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由第（1）问，1222n n n b -=⨯=，∴2n n n c nb n =⋅=，∴设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，①2⨯得，234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，①-②得，2341222222n n n S n +-=+++++-⋅ ，∴()111212222212n n n n n S n n +++--=-⋅=-+-⋅-，∴()1212n n S n +=+-.∴数列{}n c 的前n 项和为()1212n n ++-.18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：日均收看世界杯时间（时）[]0.5,1(]1,1.5(]1.5,2(]2,2.5(]2.5,3(]3,3.5频率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．(1)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；非足球迷足球迷合计女70男40合计(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：()2P K k≥0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关(2)分布列见解析，()1E X=【分析】（1）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断；（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率14P =，则14,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出相应的概率，从而得到分布列与数学期望.【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.20.050.25+=，则在抽取的200人中，“足球迷”有2000.2550⨯=人，所以22⨯列联表如下：非足球迷足球迷合计女701080男8040120合计15050200所以()222007040801010011.11110.82815050801209K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.25，所以从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率14P =，所以14,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即X 的可能取值为0、1、2、3、4，所以()040411810C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()131411271C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222411272C 144128P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()31341133C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4441114C 144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为X1234P812562764271283641256所以()1414E X =⨯=.19．在图1中，ABC 为等腰直角三角形，90B Ð=°，AB =，ACD 为等边三角形，O 为AC 边的中点，E 在BC 边上，且2EC BE =，沿AC 将ACD 进行折叠，使点D 运动到点F 的位置，如图2，连接FO ，FB ，FE ，使得4FB =．(1)证明：FO ⊥平面ABC ．(2)求二面角E FA C --的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出FO AC ⊥，再由勾股定理逆定理得出FO OB ⊥，即可证明；（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作EM AC ⊥，垂足为M ，作MN AF ⊥，垂足为N ，连接EN ，首先由线面垂直得出AF NE ⊥，则二面角E FA C --的平面角为ENM ∠，在Rt EMN △中，求出cos ENM∠即可．【详解】（1）证明：连接OB ，因为ABC 为等腰直角三角形，90B Ð=°，AB =所以4AC =，因为O 为AC 边的中点，所以122OB AC ==，在等边三角形FAC 中，4AF AC FC ===，因为O 为AC 边的中点，所以FO AC ⊥，则FO =又4FB =，所以222FO OB FB +=，即FO OB ⊥，因为AC OB O = ，AC ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以FO ⊥平面ABC ．（2）方法一：因为ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，O 为边AC 中点，所以OB AC ⊥，由（1）得FO ⊥平面ABC ，则以O 为坐标原点，OB ，OC ，OF的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()0,2,0A -，42,,033E ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,0,3F ，所以(3AF =，48,,033AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面FAE 的法向量为(),,n x y z =，由00AF n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得223048033y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，得()23,3,1n =- ，易知平面FAC 的一个法向量为()1,0,0m =，设二面角E FA C --的大小为θ，则3|cos |2m n m nθ⋅==，由图可知二面角E FA C --为锐角，所以二面角E FA C --的余弦值为32．方法二：作EM AC ⊥，垂足为M ，作MN AF ⊥，垂足为N ，连接EN ，因为FO ⊥平面ABC ，EM ⊂平面ABC ，所以EM FO ⊥，又因为AC FO O ⋂=，,AC FO ⊂平面AFC ，所以EM ⊥平面ACF ，又AF ⊂平面AFC ，所以EM AF ⊥，又MN AF ⊥，MN EM M⋂=，,MN EM ⊂平面EMN ，所以AF ⊥平面EMN ，又EN ⊂平面EMN ，所以AF EN ⊥，又平面AFC 平面AEF AF =，所以二面角E FA C --的平面角为ENM ∠，因为EM OB ∥，所以23EM EC CM OB BC OC ===，所以43EM =，1233OM OC ==，在Rt AMN 中，60FAC ∠=︒，28233AM AO OM =+=+=，所以8sin 603MN =︒所以83EN =，所以cos 2MN ENM EN ∠==，即二面角E FA C --的余弦值为2．20．已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)动直线l 过点()0,1A ，且与轨迹C 分别交于S ，T 两点，点Q 与点S 关于y 轴对称（点Q 与点T 不重合），求证：直线QT 恒过定点．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）设动圆P 与圆M 相切的切点为B ，得到42PM PN MN +=>=，根据椭圆的定义即可判断点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，再求出方程即可；（2）根据题意可知直线QT 的斜率显然不为0，不妨设直线QT 的方程为x my t =+，设()11,T x y ，()22,Q x y ，则()22,S x y -，再联立椭圆和直线QT 的方程，消去x 整理得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理求得12y y ，12y y +，再利用T ，A ，S 三点共线得到3t m =-，进一步得到直线所过的定点.【详解】（1）设动圆P 与圆M 相切的切点为B ，则42PM PN PM PB MN +=+=>=，所以点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以b ==所以椭圆的方程为22143x y +=，即点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=．（2）由题意可知直线QT 的斜率显然不为0，不妨设直线QT 的方程为x my t =+，设()11,T x y ，()22,Q x y ，则()22,S x y -，联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2223463120m y mty t +++-=，所以212231234t y y m -=+，122634mt y y m -+=+，因为T ，A ，S 三点共线，所以121211y y x x --=-，所以()()()()1212110y my t my t y -+++-=，即()()1212220my y t m y y t +-+-=，所以()2223122·6·203434t mtm t m t m m ----=++，解得3t m =-，故直线NQ 的方程为()33x my m m y =-=-，所以直线过定点()0,3．21．已知函数()()3ln 010f x ax x a =+≠.(1)讨论()f x 的单调性.(2)若函数()f x 有两个零点12x x ，，且12x x <，证明：12310x x +>.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)先求导函数，对参数a 分类讨论，即可得单调区间.(2)将零点代入原方程并作差，可得121212310ln x x x x x x -=⋅，从而得121121310ln x x x x x -=⋅，212121310ln x x x x x -=⋅,再换元12x t x =，问题转化为证明()()1ln 001h t t t t t =--<<<恒成立，即可证明.【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()ln ln 1f x a x a a x '=+=+.①当0a >时，令()0f x '<，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；令()0f x ¢>，得1x e >，则()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.②当a<0时，令()0f x '<，得1x e >，则()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；令()0f x ¢>，得10x e <<，则()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当a<0时，()f x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.（2）证明：因为12x x ，为()f x 的两个零点，所以113ln 010x x+=，223ln 010x x+=，两式相减，可得121233ln ln 01010x x x x -+-=，即1122123ln 10x x x x x x-=⋅，121212310ln x x x x x x -=⋅，因此，121121310ln x x x x x -=⋅，212121310ln x x x x x -=⋅.令12x t x =，则121113513310ln 10ln 10ln t t t x x ttt---+=⋅+⋅=⋅，令()()1ln 01h t t t t t =--<<，则()22211110t t h t t t t-+'=+-=>，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，所以()()10h t h <=，即1ln 0t t t --<.因为01t <<，所以11ln t t t->，故12310x x +>得证.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为θπ2=．(1)写出C 的普通方程；(2)写出直线l 的直角坐标方程并判断l 与C 有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．【答案】(1)()222y x y =+≥(2)无交点，证明见解析【分析】（1）对参数方程进行消元，且利用基本不等式得到限制条件即可；（2）将直线l 转化成直角坐标方程，代入C 的方程，结合限制条件2y ≥即可求解【详解】（1）由y=212yt t=++，又因为1x t t=+，所以22yx =+，因为2y==即1t =时，取等号，所以C 的普通方程为()222y x y =+≥；（2）由直线l 的极坐标方程为θπ2=可得直线l 的直角坐标方程为0x =，代入C 的普通方程可得22y =，解得y =因为2y ≥，所以y =y 无解，所以l 与C 没有交点[不等式选讲]23．已知函数()233f x x x =-++.(1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)[]3,3-(2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解；(2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩，解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3-（2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3xxxx-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0xx-+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。
数学高三开学摸底考试卷(九省新高考通用)02(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02
数学
本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
故选：D.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程。
2025届新高三数学开学摸底考试卷01(新九省地区专用)(答案及评分标准)
2025届新高三开学摸底考试卷数学·答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678C B BD A A B D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BC BDAD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．1051314．4四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【详解】（1）由sin2A A+=可得1sin122A A+=，即sin(1π3A+=，...............3分由于ππ4π(0,π)(,)333A A∈⇒+，故ππ32A+=，解得π6A=....................................................6分（2）由题设条件和正弦定理sin sin2sin2sin sin cosC c BB C C B B=⇔=，又,(0,π)B C∈，则sin sin0B C≠，进而cosB=π4B=，..........................................8分于是7ππ12C A B=--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos4C A B A B A B B A=--=+=+=，.....................................10分由正弦定理可得，sin sin sina b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c==...............................................................................................................12分故ABC的周长为2+分16．（15分）【详解】（1）依题意可得上顶点()0,A b，左，右焦点分别为()1,0F c-，()2,0F c，所以()1,AF c b=--，()2,AF c b=-，又120AF AF ⋅=，所以()22120AF AF c b ⋅=-+-= ，即22b c =，即222a c c -=，所以222a c =，所以离心率2c e a ==；..........................................................................5分（2）由（1）可得b c =，a =，则椭圆方程为222212x y c c+=，射线1AF 的方程为b y x b x c c=+=+，联立222212y x cx y c c =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得2340x cx +=，..................................................................8分解得0x =或43B x c =-，则13B y c =-，即41,33B c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.................................................12分所以83AB ===，解得c =2a =，所以2ABF △的周长222112248ABF C AB AF BF AF BF AF BF a =++=+++== ． (15)分17．（15分）【详解】（1）设,AC BD 相交于点O ，因为2AB BC CD DA ====，所以四边形ABCD 是菱形，所以DB AC ⊥，且O 为BD 的中点，连接PO ，因为PD PB =，所以DB PO ⊥，................................................................................3分因为,AC PO ⊂平面,PAC AC PO O ⋂=，所以DB ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以DB PC ⊥...........................................................................................6分（2）过点O 作平面ABCD 的垂线Oz ，以,,OB OC Oz 所在的直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)()(),0,1,0,BC D .因为,DB PO DB AC ⊥⊥，所以POC ∠是二面角P BD C --的平面角，所以2π3POC ∠=，且结合已知有3PO =，..............................................................................................9分因为PO 在平面yOz 内，所以由已知及平面几何的性质，得3330,,22P ⎛- ⎝⎭，所以5333333330,,,3,,,3,,222PC PD PB ⎛⎛=== ⎝⎭⎝⎭⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以533022333302y z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，.........................................................................................12分令33y =5,3z x ==-，所以()3,33,5n =-是平面PCD 的一个法向量，设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，所以||3361sin 61||||2361PB n PB n θ⋅===⨯ ，即直线PB 与平面PCD 36161分18．（17分）【详解】（1）函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，..................................................................................................1分当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；......................................................3分当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得111x a =+，211x a =+，因为10a -<<，所以011a <+<，则2111a -<+<-，所以当()2,11x a ∈-+-时()0f x '<，当()111x a a ∈++-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减；.................................................................................................................4分当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1-上单调递增，在)1,+∞上单调递减．........................................6分综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1-上单调递增，在)1,+∞上单调递减．...............................8分（2）（ⅰ）由（1）可知10a -<<．............................................................................................................10分（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1上单调递增，在)1,+∞上单调递减，所以()f x 在1x 处取得极大值，在1x =处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa ==-<极大值，..........................................................12分又())110f f-<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，.......................................................................................................................................15分所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1-上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．....................................................................................................17分19．（17分）【详解】（1）因为(1)(23)(15)n n a n n =--≤≤所以123451,1,3,5,7a a a a a ===-==-，所以数列{}n a 的“min 点”为3，5，.............................................................................................3分（2）依题意，()()11122112nnn a S a-==--，因为数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，所以存在()2n n ≥，使得1111n n S a S a +<+，所以()()1111112121n n a a a a -+<+-，即()111222221n nna a --<⋅-.因为2n ≥，所以220n->，所以21121n a <-，................................................................6分又21n-随n 的增大而增大，所以当2n =时，121n-取最大值13，所以2113a <，又10a >，所以10a <<当10a <<时，有212111S S S S +<+，所以数列1n n S S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭存在“min 点”，所以1a的取值范围为3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，................................................................................................9分（3）①若()12n a a n ≥≥，则数列{}n a 不存在“min 点”，即0p =.由10m a a -≥得，10m a a -≤，所以1m a a p -≤，②若存在n a，使得1n a a <.下证数列{}n a 有“min 点”.证明:若21a a <，则2是数列{}n a 的“min 点”;若21a a ≥，因为存在n a ，使得1n a a <，所以设数列{}n a 中第1个小于1a 的项为1n a ，则()11121n i a a a i n <≤≤≤-，所以1n 是数列{}n a 的第1个“min 点”.综上，数列{}n a 存在“min 点”...........................................................................11分不妨设数列{}n a 的“min 点”由小到大依次为123,,,,p n n n n ，则1i n a +是11121,,,,,i i i i i n n n n n a a a a a ++++- 中第1个小于i n a 的项，故1111i i i i n n n n a a a a +++--≤-，因为()112n n a a n m -≥-≤≤，所以11n na a --≤，所以1111i i n n a a ++--≤，所以11i i n n a a +-≤所以()()()()112231111p p pm n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --≤-=-+-+-++- ()()()()1122331111p p n n n n n n n n a a a a a a a a ----≤-+-+-++- ()11111.p ≤++++ 个所以1m a a p -≤.综上，1ma a p -≤，得证.........................................................................................................17分。
2023-2024学年高三数学下学期开学摸底考试卷新高考专用数学(全解全析)
2024届高三下学期开学摸底考全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A ．250x y -+=B ．230x y +-=C ．240x y -+=D ．20x y +=【答案】C【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线230x y ++=的斜率为12-，故所求直线的斜率为2，所以，过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是()221y x -=+，即240x y -+=.故选：C.2．一组数据按从小到大排列为1,4,4,4,,7,8x ，若该组数据的第60百分位数是众数的74倍，则这组数据的平均数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】按百分位数和平均数的定义计算即可.【详解】由题意该组数据共7个数，70.6 4.2⨯=,故第60百分位数为从小到大第5个数x ，又众数为4，故7474x =⨯=，故该组数据的平均数为14372857+⨯+⨯+＝，故选：B3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1020SS =（）A ．37B ．310C ．311D ．314【答案】B【分析】根据等差数列片段和性质及已知，设()50S t t =≠，求得10203,10S t S t ==，即可得结果.【详解】由等差数列片段和性质知：510515102015,,,,S S S S S S S --- 是等差数列.由51013S S =，可设()50S t t =≠，则103S t =，于是510515102015,,,,S S S S S S S --- 依次为,2,3,4,t t t t ，所以2023410S t t t t t =+++=，所以1020310S S =.故选：B4．如图，圆锥形容器的高为3厘米，圆锥内水面的高1h 为1厘米，若将圆锥容器倒置，水面高为2h ，下列选项描述正确的是（）A ．2h 的值等于1B ．()21,2h ∈C ．2h 的值等于2D ．()22,3h ∈【答案】D【分析】设圆锥形容器的底面积为S ，由相似的性质可得未倒置前液面的面积为49S ，根据圆锥的体积公式求出水的体积；再次利用相似的性质表示出倒置后液面面积，由水的体积建立关于2h 的方程，解之即可求解.【详解】设圆锥形容器的底面积为S ，未倒置前液面的面积为1S ，则2114()9S h h S h -==，所以149S S =，则水的体积为114193233927S S S ⨯-⨯⨯=；设倒置后液面面积为2S ，则222222222,9S h Sh Sh S S h h ⎛⎫=∴==⎪⎝⎭，则水的体积为322211932727Sh S h S ==，解得2 2.67h =≈.故选：D.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()()222:0,3,0C x a y a a a A -+-=>-，若圆C 上存在点P ，使得2PA PO =，则正数a 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,2C ．2⎤⎦D ．1,3⎡+⎣【答案】D【分析】设(,)P x y ，根据条件得到22(1)4x y -+=，从而将问题转化成22(1)4x y -+=与圆C 有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果.【详解】设(,)P x y ，则由2PA PO =整理得到22(1)4x y -+=，又点在圆C 上，所以22(1)4x y -+=与圆C 有交点，又22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =，圆C 的圆心为(,)a a ，半径为R a =，所以22a a -≤+，解得13a ≤≤+故选：D.6．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【答案】D【详解】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.7．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，且在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值范围是（）A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．51,3⎡⎤⎢⎣⎦C ．58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1117,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】利用整体法，结合三角函数图像性质对π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭进行最值分析，对区间2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上进行单调分析；【详解】当π03x <<时，因为0ω>，则ππππ6636x ωω-<-<-，因为函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上存在最值，则πππ362ω->，解得2ω>，当2ππ3x <<时，2πππππ3666x ωωω-<-<-，因为函数()f x 在2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则()2πππππ,ππ,π36622k k k ωω⎛⎫⎛⎫--⊆-+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，所以2ππππ,362ππππ,62k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩其中k ∈Z ，解得()312223k k k ω-≤≤+∈Z ，所以312223k k -≤+，解得73k ≤，又因为0ω>，则{}0,1,2k ∈．当0k =时，203ω<≤；当1k =时，513ω≤≤；当2k =时，5823ω≤≤．又因为ω>2，因此ω的取值范围是58,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心.8．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12133PF PF λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，12π2F PF ∠=，则椭圆离心率的取值范围为（）A ．2523⎢⎣⎦B ．15,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21024⎢⎣⎦D ．15,28⎡⎤⎢⎣⎦【答案】C【分析】设2PF t =，由椭圆定义和勾股定理得到()22211e λλ+=+，换元后得到()22211112221m λλ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+，根据二次函数单调性求出21528e ≤≤，得到离心率的取值范围.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，由椭圆的定义可得，122PF PF a +=，可设2PF t =，可得1PF t λ=，即有()12t a λ+=，①由12π2F PF ∠=，可得222124PF PF c +=，即为()22214t c λ+=，②由2÷②①，可得()22211e λλ+=+，令1m λ=+，可得1m λ=-，即有()222221221112221m m m m λλ+-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭+，由133λ≤≤，可得443m ≤≤，即11344m ≤≤，则2m =时，取得最小值12；43m =或4时，取得最大值58.即有21528e ≤≤，得21024e ≤≤.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②根据条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设z ，1z ，2z 是复数，则下列命题中正确的是（）A ．若1z =，则1z z ⋅=B ．若2z =，则4z z ⋅=C ．若122i z z =，则122z z =D ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=【答案】BC【分析】由复数的相关知识逐项判断即可.【详解】若1z =，设i z a b =+，所以221a b +=，则()222i 2i z z a b a ab b ⋅=+=+-不一定为1，故A 错误；若2z =，设i z a b =+，所以224a b +=，则()()22i i 4z z a b a b a b ⋅=+-=+=不一定为4，故B 正确；若122i z z =，设2z a bi =+，()1i 2i=2+2i z a b b a =+-，则2z =122z z ==，故C 正确；若1212z z z z +=-，设1i z a b =+，2i z c d =+，12z z +12z z -=()()()()2222a cb d ac bd +++=-+-，即0ac bd +=，()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++不一定为0，故D 错误；故选：BC.10．已知tan 2tan αβ=，则（）A ．π,0,2αβ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得2αβ=B ．若2sin cos 5αβ=，则()1sin 5αβ-=C ．若2sin cos 5αβ=，则()7cos 2225αβ+=-D ．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()tan αβ-的最大值为4【答案】BD【分析】根据方程22tan 2tan 1tan βββ=-无解，可判定A错误；根据题意求得1cos sin 5αβ=，结合两角差的正弦公式，可判定B 正确；结合两角和的正弦公式，求得3sin()5αβ+=，利用余弦的倍角公式，可判定C 错误；化简1tan()12tan tan αβββ-==+，结合基本不等式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若2αβ=，可得22tan tan tan 21tan βαββ==-因为tan 2tan αβ=，可得22tan 2tan 1tan βββ=-，解得tan 0β=，又因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 0β>，所以方程无解，所以A 错误；对于B 中，因为tan 2tan αβ=，可得sin 2sin cos cos αβαβ=，所以sin cos 2cos sin αβαβ=，又因为2sin cos 5αβ=，所以1cos sin 5αβ=，则5sin co s 1s n s co sin i ()αβαβαβ-==-，所以B 正确；对于C 中，由3sin()sin cos cos sin 5αβαβαβ+=+=，则()27cos 2212sin ()25αβαβ+=-+=，所以C 错误；对于D 中，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得tan 0β>，且tan 2tan αβ=，则2tan tan tan 1tan()11tan tan 12tan 2tan tan αββαβαββββ--===≤+++，当且仅当12tan tan ββ=时，即tan 2β=时，等号成立，所以tan()αβ-的最大值为4，所以D 正确.故选：BD.11．已知函数()132log 2xf x x+=-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 值域为RB ．函数()f x 是增函数C ．不等式()()3130f x f x -+<的解集为12,63⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()()11111101020232022222023f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+-++++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】对于A ，令()2,2,22x t x x +=∈--，利用换元法和对数函数的性质即可求得；对于B ，令2,2xt x+=-由复合函数的单调性进行判断即可；对于C ，利用函数的奇偶性和单调性进行解不等式；对于D ，由()()0f x f x -+=即可求解.【详解】对于A ，令()2,2,22x t x x+=∈--，又因为24122x t x x +==----在()2,2-上递增，所以()0,t ∈+∞，由对数函数的性质可得，13log y t =的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为24122x t x x +==----在()2,2-上递增，13log y t =在()0,∞+上递减，由复合函数的单调性可知，()132log 2xf x x+=-为减函数，故B 错误；对于C ，因为()132log 2xf x x +=-的定义域为()2,2-，且()132log 2x f x x --=+,()()11133322log log log 1022x x f x f x x x +-+-=+=-+，所以()f x 为奇函数，且()f x 在()2,2-上为减函数，不等式()()3130f x f x -+<等价于()()313f x f x -<-即()()313f x f x -<-，等价于3132312232x xx x ->-⎧⎪-<-<⎨⎪-<<⎩，解得1263x <<，故C 正确；对于D ，因为()()0f x f x -+=且()00f =，所以()()()11111101020232022222023f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-+-++++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.12．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，2AD CD ==，四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，则（）A ．AB ⊥BC B ．2P ABCD P ACDV V -->C ．2P ABCD O ABCDV V --=D ．点O 不可能在平面PBC 内【答案】AC【分析】A 选项，推出,,,A B C D 四点共面，结合AD CD ⊥得到AB ⊥BC ；B 选项，若四边形ABCD 为正方形，此时2P ABCD P ACD V V --=；C 选项，得到球心O 在PD 的垂直平分线上，故O 到平面ABCD 距离为P 到平面ABCD 距离的一半，C 正确；D 选项，举出实例，D 错误.【详解】A 选项，四棱锥P ABCD -的外接球为,,,P A C D 为顶点的球，而,,,A B C D 四点共面，故这四点必共圆，又AD CD ⊥，故AC 为直径，AB ⊥BC ，A 正确：B 选项，由A 可知，,,,A BCD 四点共圆，又2AD CD ==，AC 为直径，若四边形ABCD 为正方形，此时ACD ABC S S = ，2P ABCD P ACD V V --=，B 错误；C 选项，因为PD ⊥平面ABCD ，所以球心O 到,P D 两点的距离相等，即球心O 在PD 的垂直平分线上，故O 到平面ABCD 距离为P 到平面ABCD 距离的一半，故2P ABCD O ABCD V V --=，C 正确；D 选项，当四边形ABCD 为正方形时，连接,AC BD ，相交于点M ，则OM ⊥平面ABCD ，结合球心O 在PD 的垂直平分线上，此时O 为PB 中点，点O 在平面PBC 上，D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则U A =ð.【答案】{1,6,7,8,9}-【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合x ∈Z ，y Z ∈，用列举法表示集合,U A ，再结合补集的定义，即得解【详解】由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z {}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴=故{1,6,7,8,9}U A =-ð故答案为：{1,6,7,8,9}-14．已知向量,a b的夹角为π3，()-⊥a b b r r r ，则a b =，a b a b+=-．【答案】2【分析】根据向量垂直的表示得()0a b b -⋅= ，利用数量积的运算性质计算可得a b；根据a b +=与a b -=a ba b+- .【详解】由向量,a b的夹角为π3，且()-⊥a b b r r r ，得()22102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=-= ，所以2,2a a b b==．因为a b +==，a b -==== ，所以a b a b+=-故答案为：23.15．已知2n n a =，数列{}n c 为1122334564789105,,,,,,,,,,,,,,,a b a b b a b b b a b b b b a ，规律是在k a 和1k a +中间插入k 项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列{}n b ，则数列{}n c 的前30项和为．【答案】829【分析】因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列的前30项中含有{}n a 的前7项，含有{}n b 的前23项，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】因为2n n a =，所以{}n a 为等比数列，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，由于12345621+++++=，2162730+=<，123456728++++++=，2873530+=>，因此数列{}n c 的前30项中含有{}n a 的前7项，含有{}n b 的前23项，所以所求和为()721223222323829122⨯-⨯⨯⎛⎫+⨯+= ⎪-⎝⎭．故答案为：829.16．若存在正实数,x y 满足()ln e 10x yx y x x x-++≥，则y 的最大值为．【答案】1e/1e -【分析】不等式变形，换元后得到ln ln 1e e x x t t x t +=++≥，令ln x t z +=，则1e z z +≥，再令()1e zf z z =+-，求导得到其单调性，得到1e z z +≤，从而1e z z +=，解得0z =，得到故e xxy =，0x >，求导，得到单调性和最值，求出答案.【详解】存在正实数,x y 满足()lne 10x yx y x x x-++≥，不等式两边同除以y 得()ln e 10xx y x x y x y-++≥，令0y t x =>，则11ln e 0x x t t t +-+≥，即ln ln 1e e x x t t x t +=++≥，令ln x t z +=，则1e z z +≥，令()1e zf z z =+-，则()1e z f z '=-，当0z >时，()0f z '<，()f z 单调递减，当0z <时，()0f z '>，()f z 单调递增，故()f z 在0z =处取得极大值，也是最大值，故()()00f z f ≤=，即1e z z +≤，综上，1e z z +=，解得0z =，故ln 0ln 0ex y xx t x y x +=⇒+=⇒=，0x >，故1e x xy -'=，当01x <<时，10e xx y -'=>，e x x y =单调递增，当1x >时，10e xx y -'=<，e x xy =单调递减，故当1x =时，ex x y =取得极大值，也是最大值，最大值为1e .故答案为：1e【点睛】常见的不等式放缩有e e x x ≥，e 1x x ≥+，()ln 10x x x ≤->，11ln1x x ≤-，111ln 11x x x⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭等，再求参数取值范围或证明不等式时，常常使用以上不等式进行适当变形进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2A B =，23c b =．(1)求cos B 的值；(2)边AC 的垂直平分线交边BC 于点D，若AD =ABC 的面积．【答案】4.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，借助余弦定理建立方程组，消元计算即可；（2）分析边角关系，在ABD △中通过正弦定理得c =.【详解】（1）因为2A B =，所以sin sin2,A B =即sin 2sin cos A B B =．在ABC 中，由正弦定理得2cos a b B =．在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，所以22222a c b a b ac+-=⨯②．因为23c b =，所以32c b =①．将①代入②得a =，所以2cos 224a Bb b ===..........................5分（2）结合（1）问：在ABC中，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==211cos cos22cos 116BDA C C ∠==-=-．因为()0,πBDA ∠∈，所以sin BDA ∠==因为()0,πB ∈，所以sin 4B =．在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD cB BDA=∠，解得：c =所以23a c ===ABC的面积1sin 2S ac B =⨯=..........................10分18．（12分）设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.(1)求,a b ；(2)证明：()35f x x>-.【答案】(1)5,2==-a b (2)证明见解析【分析】（1）根据切线方程，求得切点与切线斜率，建立方程，可得答案；（2）由（1）写出函数解析式，化简整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案.【详解】（1）函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b ..........................6分（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x>-等价于23ln 525x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>.故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()22312525555h x x x x ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭.故()()>g x h x ，即()35f x x>-..........................12分19．（12分）如图，平面ABCD ⊥平面ABS ，四边形ABCD 为矩形，ABS 为正三角形，SA =，O 为AB 的中点.(1)证明：平面SOC ⊥平面BDS ；(2)已知四棱锥S AOCD -的体积为2，求点D 到平面SOC 的距离.【答案】(1)证明见详解(2)3【分析】（1）利用平面几何知识结合已知条件可以证明BD CO ⊥，再利用面面垂直的性质进一步证明BD SO ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即得证.（2）不妨设BD CO E ⋂=，则点D 到平面SOC 的距离即为DE 的长度，结合附加条件四棱锥S AOCD -的体积为2可以求得所有棱长，最终利用平面几何知识即可求解.【详解】（1）一方面：因为ABS 为正三角形且O 为AB 的中点，所以OS AB ⊥（三线合一），又因为平面ABCD ⊥平面ABS 且平面ABCD ⋂平面ABS AB =，并注意到OS ⊂平面ABS ，所以由面面垂直的性质可知OS ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以由线面垂直的性质可知OS BD ⊥；另一方面：由题意不妨设BC AD a ==，则CD AB AS BS ====，因为ABS 为正三角形且O 为AB 的中点，所以2a OB OA ==，π36cos 622SO BS a =⋅=⨯=，所以tan 2AD ABD AB ∠==，且2tan 2aBO BCO CB a ∠===，注意到ABD ∠与BCO ∠均为锐角，所以ABD BCO ∠=∠，不妨设BD CO E ⋂=，因为π2CBE BCE CBE ABD CBA ∠+∠=∠+∠=∠=，所以π2BEC ∠=，即BD CO ⊥.综合以上两方面有BD OS ⊥且BD CO ⊥，注意到OS OC O = ，OS ⊂平面SOC ，OC ⊂平面SOC ，所有由线面垂直的判定有BD ⊥平面SOC ，又因为BD ⊂平面BDS ，所以平面SOC ⊥平面BDS ...........................6分（2）由（1）可知BD ⊥平面SOC ，则点D 到平面SOC 的距离即为DE 的长度，一方面梯形AOCD 的面积为()21112224S OA CD AD a a a ⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，h SO ==，所以有四棱锥S AOCD -的体积为2311133424V S h a a a =⋅⋅=⨯⨯=，另一方面由题可知四棱锥S AOCD -的体积为2V =，3=a =因为CD AB ∥，所以CDE ABD ∠=∠，由（1）可知tan 2ABD ∠=，所以2tan 2CDE ∠=，所以6cos 3CDE ∠=，所以cos DE CD CDE =⋅∠=..........................12分20．（12分）已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】(1)215；(2)3835.【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【详解】（1）,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215............................6分（2）由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=............................12分21．（12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的浙近线方程为20,,x y A B ±=分别是双曲线C 的左､右顶点.(1)求C 的标准方程；(2)设P 是直线1x =上的动点，直线,PA PB 分别与双曲线C 交于不同于,A B 的点,M N ，过点B 作直线MN 的垂线，垂足为D ，求当AD 最大时点P 的纵坐标.【答案】(1)2214x y -=；(2)2±.【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出b 即可得双曲线方程.（2）设出直线MN 的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线MN 过的定点，结合几何意义求解即得.【详解】（1）双曲线222:14x y C b-=的渐近线方程为2b y x =±，即20bx y ±=，依题意，1b =，所以C 的标准方程为2214x y -=............................4分（2）由（1）知，(2,0),(2,0)A B -，设()()()011221,,,,,P y M x y N x y ，显然直线MN 不垂直于y 轴，否则由双曲线的对称性，点P 在y 轴上，不符合题意；设直线:(2,2,0)MN x ty m t m =+≠±≠±，由2244x ty m x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得222(4)240t y tmy m --+=+，有22222244(4)(4)16(4)0t m t m t m ∆=---=+->，则212122224,44tm m y y y y t t --+==--，于是2121242()m ty y y y m -=-+，...........................6分由,,P A M 三点共线得直线,PA MA 的斜率满足01132y y x =+，同理，由,,P B N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即2112(2)3(2)0y ty m y ty m ++++-=，整理得()()121243220ty y m y m y +-++=，即()()()()21212243220m y y m y m ym--++-++=，则12(4)[(2)(2)]0m m y m y ---+=，因此4m =或()()12220m y m y --+=，若()()12220m y m y --+=，又12224tm y y t -+=-，得1222(2)(2),44m t m ty y t t -+--==--，结合212244m y y t -=-，从而()()2222224444m t m t t--=--，即224t t =-，不成立，即()()12220m y m y --+≠，因此4m =，满足0∆>，............................10分则直线:4MN x ty =+恒过点()4,0H ，点D 在以HB 为直径的圆22(3)1x y -+=上，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，):2,1,62AM y x P ⎛⎫=±+± ⎪ ⎪⎝⎭，所以当AD 最大时，点P的纵坐标为2±.............................12分【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为y kx m =+，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k ，m 的关系，然后推理求解.22．（12分）已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.(1)当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；(2)若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；(3)若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【详解】（1）由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}..............................3分（2）由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；............................7分（3）不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2Mn a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m Mn m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤..............................12分【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
数学-2024届新高三开学摸底考试卷(新高考专用)02(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。
每小题列出的四个“”3级科赫曲线，……r的部分组成，则称log3A．2【答案】D【详解】由题意Koch由图象可知，当1a ≤时，存在存在故选：B二、多项选择题（本大题共选项中有多项是符合题目要求的，漏选得9．下列结论中，所有正确的结论是（A ．若0,0a b c d >><<，则B ．命题[)0:1,,e x p x ∞∃∈+C ．若0a b <<且0c >，则D ．若()20,,x ax x ∀∈+∞<【答案】AB【详解】对A ，0c d <<，则正确；12．已知函数()(e f x x =A ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点B ．()f x '为函数()f x 的导函数，若函数若函数()()h x f x a '=-有两个零点，线y a =有两个交点，由图可知，2111ea -<<，故对于C ：由B 得：()0f x '>在()()2ln f ax f x ≥恒成立，等价于设()2ln x h x x =，则()(2h x '=令()0h x '>，解得：0e x <<因为32214e 32-<-<-<-，由图可知54,65a ⎡--⎢⎣∈故答案为:5422,,65e 3⎡⎫⎛⎫--⋃--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）17．设全集U =R ，23log 1x A x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，B =(1)当a ＝1时，求A B ⋂，()U A B ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数【详解】（1）令301xx ->+可得()()310x x -+<，解得所以{}13A x x =-<<，{|1U A x x =≤-ð或}3x ≥当1a =时，[]0,7B =，所以{}|03A B x x =≤< ，(1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量()f t 、国外市场的日销售量()g t 与第一批产品A 的上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？【详解】（1）当030t ≤≤时，设()f t kt b =+，则有03060b k b =⎧⎨+=⎩，解得20k b =⎧⎨=⎩，所以()2f t t =，当3040t <≤时，设()f t mt n =+，则有3060400m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得6240m n =-⎧⎨=⎩，所以()6240f t t =-+，综上()2,0306240,3040t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，设()()22060g t a t =-+，则有400600a +=，解得320a =-，所以()()()2233206060402020g t t t t t =--+=-+≤≤；（2）设每件产品的利润为()h t ，日销售利润为()F t ，当020t ≤≤时，设()h t k t '=，则有2060k '=，解得3k '=，所以()3h t t =，。
理科数学-新高三开学摸底考试卷(考试版)
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 1．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,1,4,5,6U A ==,{}1,2,3,5B =,则5∉（ ） A ．()U A BB ．()U B A C ．A B D ．A B2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（ ）A ．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%B ．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%C ．经营净收入比转移净收入大约多659元D ．财产净收入约为173元4．已知a b ，是平面内两个非零向量,那么“a b ∥”是“存在0λ≠,使得||||||a b a b λλ+=+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3sin 375︒≈,）A ．34B ．43C．4D．36．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（ ）A ．21cos 41x xy x =+B ．22sin 1xy x =+ C ．22(e e )1x x y x -+=+ D ．32sin 1x xy x -+=+ 7．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了45︒之后,表面积增加了（ ）A ．54 B．54-C．108-D．81-8．设M 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,P 是C 上的一个动点．当P 运动到下顶点时,||PM 取得最大值,则C 的离心率的取值范围是（ ） A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦9．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ,4AB AC ==,点(1,3)B -,点(4,2)C -,且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r -+-+=相切.则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为（ ） A．B．C．D ．610.已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为正方形,12,1AA AB ==,P 为1CC 的中点,过,,A B P 三点作平面α,则该四棱柱的外接球被平面α截得的截面圆的周长为（ ）ABC ．2πD 11.若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切,直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切,则12k k 的值为（ ） A ．12B ．1C ．eD ．2e12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ,(1)f x +为偶函数,且1(3)()f x g x -+=,1()(1)f x g x --=,则下面判断错误的是( )A ．()f x 的图象关于点(2,1)中心对称B ．()f x 与()g x 均为周期为4的周期函数C ．20221()2022i f i ==∑D ．2023()0i g i ==∑二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．53x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是__________.14．某高校鼓励学生深入当地农村拍摄宣传片,带动当地旅游业的发展,帮助当地居民提升经济收入.若统计发现在某一时段内,200部宣传片的浏览量X （万次）服从正态分布()1.5,0.09N ,则该时段内这200部宣传片中浏览量在(]0.9,1.8万次的个数约为______.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈） 15．如图,四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,AC 平分DAB ∠,π3ABC ∠=,33AB BC ==,则sin DAB ∠的值_______.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ,点,P Q 在抛物线上,且满足π3PFQ ∠=,设弦PQ 的中点M 到y 轴的距离为d ,则1PQd +的最小值为__________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（12分）．如图,四棱锥-P ABCD 中,底面ABCD 为等腰梯形,AB CD ∥,12AD DC AB ==,且平面PAD ⊥平面ABCD ,PD AD ⊥.(1)求证：BD PA ⊥；(2)PB 与平面ABCD 所成的角为30,求二面角--A PB C 的正弦值.18.（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n a + (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)能否从{}n a 中选出以1a 为首项,以原次序组成的等比数列()121,,,,1m k k k a a a k =.若能,请找出公比最小的一组,写出此等比数列的通项公式,并求出数列{}n k 的前n 项和n T ；若不能,请说明理由.19.（12分）人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学,自诞生以来,理论和技术日益成熟.某公司成立了,A B 两个研究性小组,分别设计和开发不同的AI 软件用于识别音乐的类别.记两个研究性小组的AI 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为12,P P .为测试AI 软件的识别能力,计划采取两种测试方案.方案一：将100首音乐随机分配给,A B 两个小组识别,每首音乐只被一个AI 软件识别一次,并记录结果； 方案二：对同一首歌,,A B 两组分别识别两次,如果识别的正确次数之和不少于三次,则称该次测试通过.(1)若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中,A 组占23；在错误识别的音乐数中,B 组占12.（i ）请根据以上数据填写下面的22⨯列联表,并通过独立性检验分析,是否有95%的把握认为识别音乐是否正确与两种软件类型有关？（ii ）利用（i ）中的数据,视频率为概率,求方案二在一次测试中获得通过的概率； (2)研究性小组为了验证AI 软件的有效性,需多次执行方案二,假设1243P P +=,问该测试至少要进行多少次,才能使通过次数的期望值为16？并求此时12,P P 的值.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d K -=++++,其中n a b c d =+++.20.（12分）已知双曲线:C ()22210y x b b-=>的左、右焦点分别为1F ,2F ,A 是C 的左顶点,C 的离心率为2．设过2F 的直线l 交C 的右支于P 、Q 两点,其中P 在第一象限．(1)求C 的标准方程；(2)若直线AP 、AQ 分别交直线12x =于M 、N 两点,证明：22MF NF ⋅为定值； (3)是否存在常数λ,使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在,求出λ的值；否则,说明理由． 21.（12分）已知函数()()2111ln 22f x x a x b x x x ⎛⎫=----+ ⎪⎝⎭,其中,R a b ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在三个零点123,,x x x （其中123x x x <<）. （i ）若1a >,函数()1ln 2g x x x =+,证明：()102b g a a a<-<-；（ii ）若01a <<,证明：()221313111121138112381a a x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++++--<⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2240x y x +-=．曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（β为参数）．以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线θα=（0ρ≥,π02α<<）交曲线1C 于点P ,直线()π2θαρ=+∈R 与曲线1C 和曲线2C 分别交于点M 、N ,且点P 、M 、N 均异于点O ,求MPN △面积的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()1g x x =-的最小值为m ,()()f x g x x =+的最小值为n ．实数a ,b ,c 满足a b c m ++=,abc n =,ab ,0c >．(1)求m 和n ； (2)证明：a b +<。
2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型)
一、单选题二、多选题1.的展开式中的系数是A ．10B ．4C ．-10D ．-42.已知函数有零点,则实数的取值范围是( ).A．B．C．D．3. 全集，集合，（i 为虚数单位），下列成立的是（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线的实轴为，对上任意一点，在上都存在点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．5. 已知，若，且，则A．B．C．D．6.如图，在梯形中，，四边形为矩形，点为的中点，沿，折叠，使得点与重合于点，如图2，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7. 将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．8. 在正四面体中，点在线段上，，点在线段上，，是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．9. 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A 表示事件“甲调配出红色”；B 表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）．A ．事件A 与事件C 是独立事件B ．事件A 与事件B 是互斥事件C．D．10. 已知双曲线：上、下焦点分别为，，虚轴长为，是双曲线上支上任意一点，的最小值为2024届高三新改革适应性模拟测试数学试卷六（九省联考题型）三、填空题四、解答题.设，，是直线上的动点，直线，分别与E 的上支交于点，，设直线，的斜率分别为，.下列说法中正确的是（）A ．双曲线的方程为B．C ．以为直径的圆经过点D ．当时，平行于轴11. 已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若，且，则为直角三角形B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则C ．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形D ．若，则为钝角三角形13.已知是等差数列的前n 项和，，，则使成立的n的最小值为______．14.已知抛物线的准线方程为，焦点为F，准线与x 轴的交点为，为上一点，且满足，则______．15. 已知中，，点，，分别在线段，，上，顺次连接，，可以得到一个等边三角形，则当的面积最小时，________.（，分别为，的面积）.16.已知函数的图象经过点．(1)求的解析式；(2)求函数在区间上的值域．17.在数列中，.(1)求的通项公式.(2)设的前n 项和为，证明：.18.设二次函数，方程的两个根满足．(1)当时，证明：；(2)设函数的图象关于直线对称，证明：．19. 在如图所示的几何体中，面为正方形，，点为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，求证：面平面．20. 已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的值域21. 已知.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当且时，证明：曲线在轴的上方.。
2024届新高三开学数学摸底考试卷(新高考专用)(解析版)
2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）数学•全解全析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2,1,0,1A =--，B ={}21x x <，则()R A C B = （）A.{－2，－1，1}B.{－2，0，1}C.{－2，－1}D.{－1，1}【答案】A【详解】{|11}B x x =-<<，则{|1R B x x =≤-ð或}1x ≥，所以(){2,1,1}A B =--R ð.故选：A.2．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z+=（）A.B.2C.102D.3．已知向量(1,2),(1,3)a b ==-，且ma nb b +⊥，则n=（）A.12- B.12 C.2D.－2a A ．(1,3]B ．(1,3)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)5．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.2 B.4C.12D.146．已知直线:10l x ay +-=是圆C ：226210x y x y +--+=的对称轴，过点A ()1a -，作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |=（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【详解】圆C ：226210x y x y +--+=即22(3)(1)9x y -+-=，圆心为(3,1)，半径为r =3，由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心(3,1)，则310a +-=，解得2a =-，点A 的坐标为(1,2)--，22435,3AC BC r =+===224AB AC BC =-=.故选:C7．等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，设甲：0q >，乙：{S n }是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知sin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭＋3cos α＝13，则sin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于()A.23B.29C ．－19D ．－799．维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）猕猴桃102104106107113116119121132134柚子109113114116117121121122131132A.每100克柚子维生素C含量的众数为121B.每100克柚子维生素C含量的75%分位数为121C.每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数D.每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：oC ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将满足()()101e (R kt f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C o 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln20.7)≈A ．若()350C f = ，则()635Cf = B ．若110k =，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C o 所需的时间多11．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为()f x '，且x ∀∈R ，()()210f x f x '+>⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的有（）A.若a b <，则()()()()10f a f b f a f b -++>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B.若a b >，则()()()()10f a f b f a f b -++>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C.若f (x )是增函数，则()2f x ⎡⎤⎣⎦是减函数D.若f (x )是减函数，则()2f x ⎡⎤⎣⎦是增函数【答案】BD【详解】令函数()()()2g x f x f x =+⎡⎤⎣⎦，则()()()210g x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，则()g x 在R 上单调递增．当a b <时，()()()()()()()()()()2210g a g b f a f a f b f b f a f b f a f b -=+--=-++<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；当a b >时，()()()()()()()()()()2210g a g b f a f a f b f b f a f b f a f b -=+--=-++>⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．A 不正确，B 正确．()()()2f x g x f x =⎤⎦-⎡⎣，()g x 是增函数，若()f x 是增函数，则()2f x ⎡⎤⎣⎦的单调性不确定；若()f x 是减函数，则()2f x ⎡⎤⎣⎦是增函数．C 不正确，D 正确．故选：BD ．12．我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（）A.B.正四面体的棱切球的表面积为2πC.等长正六棱柱的棱切球的体积为43πD.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为712π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。