人教版数学九年级上册《一元二次方程解法》复习课件
一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
典型例题讲解
1. 用提公因式法解方程
例（1） x(x-2)=x-2
解: x(x-2)-(x-2)=0 移项(方程右边为0)
(x –2)(x-1)=0 提公因式化为(x+a)(x+b)=0的形式
x- 2=0 或 x-1=0 x1=2, x2= 1
化为一元一次方程
2.用平方差或完全平方公式解
（1）形如 x2 a2 0 运用平方差公式得：
(x a)(x a) 0 x a 0或x a 0 x1 a x2 a
（2）形如 x2 2ax a2 0 的式子运用完全平方公式得：
(3) 2y2-4y-2=0
(4) x(x-1)=3(x-1)
温馨提示： （求根公式法）
（因式分解法）
选择一元二次方程的解法的优先顺序
是：先考虑能否用直接开平方法和因式 分解法， 如果不能用这两种特殊方 法，再用公式法和配方法。
2.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2.
3.判定方程 x2-4x+5=0 的根的情况是（C ）
(1) (2X-1) 2 =1 （直接开平方法）
(2) X2+6X=7 （配方法或求根公式法）
(3) 2y2-1=2y （求根公式法）
(4) x(x-2)=x-2 （因式分解法） (5) x2-３x=28 （因式分解法）
温馨提示： 选择一元二次方程的解法的优先顺序是： 先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不 能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
直接开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1 左边是完全平方式，右边是非负数
解: (2x-1)=±1
两边直接开平方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
典型例题讲解
例 用配方法解下列方程
x2+6x=7
解：x 2 6x 7
（1）当△ ﹥0， 方程有两个不相等的实数
（2）当△ =0，
x 解 : b .
12
2a
x x 方程有两个相等的实数根
（3）当△ ＜0，方程没有实数根
解: b 0 b .
1 2 2a
2a
3.代入求根公式 :
X=
4.写出方程的解： x1=?,
x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.没有实数根； D.无法确定。 4.把方程 x2-4x+3=0配方成(x+k)2=h的注意形:K式的符，号
则k= 2 , h= 1 .
5.三角形两边长分别是3和6，第三边是方程
x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长（ B ）
A.11 B.13 C.11或13 D.11和13
解一元二次方程的关键：
降次---把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来求出两个解。
降次---解一元二次方程的方法有：
(1)直接开平方法 (2) 配方法
(3)公式法
(4)因式分解法
如何选择解法：
（1）不完整形式的方程：缺一用直；
缺常用分。 （2）完整形式的方程：先分后公，最后选配
1.用适当的方法解下列方程：
① 把二次项系数化为1；把常数项移到方程右边； ②两边加上一次项系数绝对值一半的平方； ③方程左边配成完全平方式，右边是常数项; ④直接开平方解方程。
三、公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。
2.求判别式△ =b2-4ac的值，并与O比较来判定根的情况
典型例题讲解
公式法： 例 2y2-1=2y
解: 2y2-2y – 1=0 化为一般形式(方程右边为0) ∵a=2, b= -2, c= -1 找出 a, b, c(注意符号)
∴b 2-4ac=(-2)2-4×2× (-1)=12＞0 算出b 2-4ac的值，
并判断根的情况。
∴方程有两个不相等的实数根
解答题，一元二次方程的解法也常与二次函数等其 他知识出现在综合题中。
一元二次方程的概念：
只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是 2 （二次） 的整式方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c = 0 (a≠0)
二次项系 一次项系
数：a 数：b
常数项： c
A 1.基础训练：下列一元二次方程有（ ）
y=
(2) 22
12 1
3
代入求根公式x12 b
b2 4ac 2a
2
y1=
1 2
3,
y2=
1
2
3
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
2.理论依据是:如果A×B=O,则A=O或B=O.
3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
x2 6x 9 7 9
x 32 16
x 3 4
x1 1 x2 7
二、配方法
概念：把方程左边配成完全平方式的方法,再 两边开平方得到了一元二次方程的根,这种解 法称为配方法
即一元二次方程变形(mx+n) 2 =p (p ≥ 0 )的形式
配方法解一元二次方程的步骤：
（1）4x-
1 2
x²+
3 =0
是
（3）x²-3=x(x-1) 不是
（2）3x²- y -1=0 不是
1
（4）x + x =0 不是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 将一元二次方程x(3x-1)=2x2+5化
为一般形式x2 -x-5=0 。其中二次
项系数 1 ，一次项系数 -5 ， 常数项 -1 .
21.2
一元二次方程解法复习课
进一步巩固一元二次方程的定义，灵活运 用直接开平方法，配方法，公式法和因式分 解法解一元二次方程，建立知识体系，体会 转化等数学思想。
综合运用一元二次方程的知识解决有关问 题，培养解题能力，感受数学的严谨性，结论 的正确性。
一元二次方程的定义和解法，特别是对方程中
a≠0的考查，考题有填空题和选择题，也有简单的
课时小结：
温馨提示：
1.形如x²=p 或（x+k）²=h的方程可以用直接开平方法求解；
2.千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式 的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程 的一个根丢失了。要利用因式分解法求解；
3.当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的 时候可以用配方法求解；
4.当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用 公式法求解，公式法是万能的。
(x a)2 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例（2）x(x+2)+1=0
解：原方程变形为：
x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
1.用适当的方法解下列方程：
(1) (x-1) 2 =3（直接开平方法）(2)5cm，蚂蚁甲以
APO
B
2cm/s的速度从A爬到0，
蚂蚁乙以3cm/s的速度从O
到C，问：经过几秒两只
蚂蚁和O点围成的三角形
Q
的面积为300cm2?
C
典型例题讲解
1. 用提公因式法解方程
例（1） x(x-2)=x-2
解: x(x-2)-(x-2)=0 移项(方程右边为0)
(x –2)(x-1)=0 提公因式化为(x+a)(x+b)=0的形式
x- 2=0 或 x-1=0 x1=2, x2= 1
化为一元一次方程
2.用平方差或完全平方公式解
（1）形如 x2 a2 0 运用平方差公式得：
(x a)(x a) 0 x a 0或x a 0 x1 a x2 a
（2）形如 x2 2ax a2 0 的式子运用完全平方公式得：
(3) 2y2-4y-2=0
(4) x(x-1)=3(x-1)
温馨提示： （求根公式法）
（因式分解法）
选择一元二次方程的解法的优先顺序
是：先考虑能否用直接开平方法和因式 分解法， 如果不能用这两种特殊方 法，再用公式法和配方法。
2.方程x2= 2x 的解是 x1=0; x2=2.
3.判定方程 x2-4x+5=0 的根的情况是（C ）
(1) (2X-1) 2 =1 （直接开平方法）
(2) X2+6X=7 （配方法或求根公式法）
(3) 2y2-1=2y （求根公式法）
(4) x(x-2)=x-2 （因式分解法） (5) x2-３x=28 （因式分解法）
温馨提示： 选择一元二次方程的解法的优先顺序是： 先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，如果不 能用这两种特殊方法，再用公式法和配方法。
直接开平方法： 典型例题讲解
例1 (2x-1)2=1 左边是完全平方式，右边是非负数
解: (2x-1)=±1
两边直接开平方
2x-1=1 或 2x-1= -1 降次－ 转化为一元一次方程
x1=1, x2=0
解一元一次方程
典型例题讲解
例 用配方法解下列方程
x2+6x=7
解：x 2 6x 7
（1）当△ ﹥0， 方程有两个不相等的实数
（2）当△ =0，
x 解 : b .
12
2a
x x 方程有两个相等的实数根
（3）当△ ＜0，方程没有实数根
解: b 0 b .
1 2 2a
2a
3.代入求根公式 :
X=
4.写出方程的解： x1=?,
x2=?
(a≠0, b2-4ac≥0)
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.没有实数根； D.无法确定。 4.把方程 x2-4x+3=0配方成(x+k)2=h的注意形:K式的符，号
则k= 2 , h= 1 .
5.三角形两边长分别是3和6，第三边是方程
x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长（ B ）
A.11 B.13 C.11或13 D.11和13
解一元二次方程的关键：
降次---把一个一元二次方程转化为两个一元 一次方程来求出两个解。
降次---解一元二次方程的方法有：
(1)直接开平方法 (2) 配方法
(3)公式法
(4)因式分解法
如何选择解法：
（1）不完整形式的方程：缺一用直；
缺常用分。 （2）完整形式的方程：先分后公，最后选配
1.用适当的方法解下列方程：
① 把二次项系数化为1；把常数项移到方程右边； ②两边加上一次项系数绝对值一半的平方； ③方程左边配成完全平方式，右边是常数项; ④直接开平方解方程。
三、公式法
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式。并写出a，b，c的值。
2.求判别式△ =b2-4ac的值，并与O比较来判定根的情况
典型例题讲解
公式法： 例 2y2-1=2y
解: 2y2-2y – 1=0 化为一般形式(方程右边为0) ∵a=2, b= -2, c= -1 找出 a, b, c(注意符号)
∴b 2-4ac=(-2)2-4×2× (-1)=12＞0 算出b 2-4ac的值，
并判断根的情况。
∴方程有两个不相等的实数根
解答题，一元二次方程的解法也常与二次函数等其 他知识出现在综合题中。
一元二次方程的概念：
只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是 2 （二次） 的整式方程叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c = 0 (a≠0)
二次项系 一次项系
数：a 数：b
常数项： c
A 1.基础训练：下列一元二次方程有（ ）
y=
(2) 22
12 1
3
代入求根公式x12 b
b2 4ac 2a
2
y1=
1 2
3,
y2=
1
2
3
1.因式分解的方法有：
(1) 用提公因式法;(2)应用公式法；（3）十字相乘法。
2.理论依据是:如果A×B=O,则A=O或B=O.
3.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
x2 6x 9 7 9
x 32 16
x 3 4
x1 1 x2 7
二、配方法
概念：把方程左边配成完全平方式的方法,再 两边开平方得到了一元二次方程的根,这种解 法称为配方法
即一元二次方程变形(mx+n) 2 =p (p ≥ 0 )的形式
配方法解一元二次方程的步骤：
（1）4x-
1 2
x²+
3 =0
是
（3）x²-3=x(x-1) 不是
（2）3x²- y -1=0 不是
1
（4）x + x =0 不是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 将一元二次方程x(3x-1)=2x2+5化
为一般形式x2 -x-5=0 。其中二次
项系数 1 ，一次项系数 -5 ， 常数项 -1 .
21.2
一元二次方程解法复习课
进一步巩固一元二次方程的定义，灵活运 用直接开平方法，配方法，公式法和因式分 解法解一元二次方程，建立知识体系，体会 转化等数学思想。
综合运用一元二次方程的知识解决有关问 题，培养解题能力，感受数学的严谨性，结论 的正确性。
一元二次方程的定义和解法，特别是对方程中
a≠0的考查，考题有填空题和选择题，也有简单的
课时小结：
温馨提示：
1.形如x²=p 或（x+k）²=h的方程可以用直接开平方法求解；
2.千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式 的时候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程 的一个根丢失了。要利用因式分解法求解；
3.当方程的一次项系数是方程的二次项系数的两倍的 时候可以用配方法求解；
4.当我们不能利用上边的方法求解的时候就就可以用 公式法求解，公式法是万能的。
(x a)2 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例（2）x(x+2)+1=0
解：原方程变形为：
x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
1.用适当的方法解下列方程：
(1) (x-1) 2 =3（直接开平方法）(2)5cm，蚂蚁甲以
APO
B
2cm/s的速度从A爬到0，
蚂蚁乙以3cm/s的速度从O
到C，问：经过几秒两只
蚂蚁和O点围成的三角形
Q
的面积为300cm2?
C
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人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件
2024/9/13
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
初三数学 人教版九年级上册(新) 第21章 一元二次方程 复习课 课件(14张)
▪ 2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号
a=3 b=-4 c=-7
。
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
▪公式法步骤：
① 先化为一般形式；
②确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
▪分解因式法步骤:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
( 公式 法）
▪ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
▪ 7、 ３x２ -８x-３=０
(分解因式法）
▪ 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
把握住：一个未知数，最高次数是2 一元二次方程的定义 ， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
2 5∴
6
3
4 ∴x1=
x238 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）把y+2看作一个
=0
未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
(y+2)(y+2-3)=0
右边开平方 后，根号前 取“±”。
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程 3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0
先变为一般 形式，代入 时注意符号
a=3 b=-4 c=-7
。
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
x 4 100
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
▪公式法步骤：
① 先化为一般形式；
②确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
x
若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
▪分解因式法步骤:
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解。
( 公式 法）
▪ 6、 x２＋６x-1=0
( 配方 法）
▪ 7、 ３x２ -８x-３=０
(分解因式法）
▪ 8、 y2- 2 y-1=0
( 公式 法）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
把握住：一个未知数，最高次数是2 一元二次方程的定义 ， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a0）
2 5∴
6
3
4 ∴x1=
x238 =
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）把y+2看作一个
=0
未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=
(y+2)(y+2-3)=0
人教版初中数学课标版九年级上册21.2解一元二次方程(共22张PPT)
(4) x2 共同点：
px
(
2p)2
=(
xp 2 )2
适用于(4)吗?
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 右边:所填常数等于一次项系数的一半.
填空：
x2 10x __2_5__ (x __5__)2
x2 12x __3_6__ (x __6__)2
25
5
x2 5x ____4__ (x __2__)2
解: 移项得： 2x2 -3x 1
二次项系数化为1得：x2 3 x 1
2
2
配方得：
x2 3 x (- 3)2 - 1 (- 3)2 2 4 24
(x 3)2 1 4 16
开平方得： x 3 1
4
∴原方程的根为： x1 1，
41 x2 2
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.化1：把二次项系数化为1; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
x1 3 10, x2 3 10
(2)x2=6－5x
x1 6, x2 1
(3) －x2＋4x－3=0 x1 3, x2 1
注意:解第(2)题时要先移项,变形成x2+5x=6的 形式;
如果方程的二次项系数为负,则先把二次 项系数化为正.
13
例2: 你能用配方法解方程
2x2 1 3x 吗？
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 8.1023: 19:5223 :19Aug -2110-A ug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。23:19: 5223:1 9:5223: 19Tues day, August 10, 2021
人教版九年级数学上册《解一元二次方程》PPT课件
感悟新知
归纳
知2－讲
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一 次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程 了．
感悟新知
例2 用直接开平方法解下列方程．
知2－练
(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.
解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.
感悟新知
知2－练
1 一元二次方程 ( x＋1 )( x－1 ) ＝2x＋3 的根的情 况是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
感悟新知
知2－练
直开平方法
降次
转化
配方法
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第3课时 一元二次方程根 的判别式
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的情况的判别 一元二次方程根的判别式的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程， 那么老师这里有一手绝活，就是：我随便拿到一个 一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能 很快知道它的根的大致情况，同学们想知道老师是 如何做到的吗？
33
∴ 方程有两个不相等的实数根
知2－练
感悟新知
总结
知2－讲
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的方法： 先将一元二次方程化成一般形式 ax2＋bx＋c=0，当
方程中的 a，b，c 是常数时，直接求出 Δ =b2－4ac 的值， 确定方程根的情况； 当方程中的 a， b， c 含有字母时， 求出 Δ =b2－4ac 后再对含有字母的代数式进行讨论，进 而确定该方程根的情况 .
人教版初三数学一元二次方程全章复习课件PPT
配方法 公式法 x b b2 4ac (b2 4ac 0)
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
2a
因式分解法
初中数学
7
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式 (1) △=b2-4ac
(2) 一元二次方程根的情况
△>0 方程有两个不等的实数根； △=0 方程有两个相等的实数根； △<0 方程无实数根.
初中数学
8
初中数学
14
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (1) 求证：方程总有两个实数根；
(1) 证明：△=[-(k+3)]2-4×1×(2k+2) =(k+3)2-8k-8 = k2-2k+1 =(k-1)2.
∵(k-1)2≥0, ∴方程总有两个实数根.
初中数学
15
例3 关于x的一元二次方程 x2-(k+3)x+2k+2=0. (2) 若方程有一个根小于1,求k的取值范围．
知识回顾与例题
1. 一元二次方程的概念 等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并 且未知数的最高次数是2 (二次) 的方程.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
初中数学
4
初中数学
知识结构
实际问题 实际问题的答案
一元二次方程 ax2+bx+c=0 解 方 程
方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根
3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判别式
(3) 一元二次方程根的判别式的应用
➢不解方程,判断 (证明) 方程根的情况. ➢ 已知方程根的情况,确定方程中字母的值或
解一元二次方程(因式分解法)(课件)九年级数学上册(人教版)
面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m.
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
人教版初中数学2011课标版九年级上册21.2解一元二次方程(共18张PPT)
08
分类讨论
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
有两个不相等的实数根，分别是：
x 1 b2 b a 24 a c,x2 b2 b a 24 a c
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
有两个相等的实数根，分别是：
x1
x2
b 2a
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
用公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式为：
b b2 4ac x
2a
2.公式法解一元二次方程的步骤如下：
变形
确定系数
计算
代入
定解
3.一元二次方程根的判别式为： b24ac
△>0△=0方程有两个Fra bibliotek不相等的实数 根。
方程有两个 相等的实数根。
△<0
方程没有实 数根。
16
布置作业 必做题
教材17页 4，5 同步练习册
1.变形:化已知方程为 一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.
2.确定系数:用a,b,c
x b b2 4ac
写出各项系数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac的值;
25
10
4.代入:把有关数值
28
代入公式计算;
5
x1
6 5 ; x2
解：x 2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b2 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
b
b2 4ac
分类讨论
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
有两个不相等的实数根，分别是：
x 1 b2 b a 24 a c,x2 b2 b a 24 a c
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
有两个相等的实数根，分别是：
x1
x2
b 2a
b24ac0时一元二次方程 ax2bxc0(a0)
用公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式为：
b b2 4ac x
2a
2.公式法解一元二次方程的步骤如下：
变形
确定系数
计算
代入
定解
3.一元二次方程根的判别式为： b24ac
△>0△=0方程有两个Fra bibliotek不相等的实数 根。
方程有两个 相等的实数根。
△<0
方程没有实 数根。
16
布置作业 必做题
教材17页 4，5 同步练习册
1.变形:化已知方程为 一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0.
2.确定系数:用a,b,c
x b b2 4ac
写出各项系数;
2a
4 256 4 16 .
3.计算: b2-4ac的值;
25
10
4.代入:把有关数值
28
代入公式计算;
5
x1
6 5 ; x2
解：x 2 b x c 0 aa
x2 b x c
a
a
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b2 4a2
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
b
b2 4ac
人教版九年级上数学《一元二次方程解法》复习课件
5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化 成非负数. 6.利用直接开平方的方法去解.
一元二次方程的解法：（配方法） 例：（2） x 2 6 x 7 0
解： x 2 6 x 7 2
配方时应注意
x 6 x 9 7 9 — — 2 x 3 2
①先将二次项系数 转化为1 ②两边都加上一次 项系数一半的平方 Nhomakorabeax3 2
x1 3 2 , x2 3 2
注：当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
为偶数时常用配方法比较简便。
公式法解一元二次方程的解题过程 1. 把方程化成一元二次方程的一般形式 2. 写出方程各项的系数（系数包括前面符号）
3. 计算出b2-4ac的值，看b2-4ac的值与0的关 系，若b2-4ac的值小于0，则此方程没有实 数根 。
方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先 要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二 次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程,
1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0，配方后得到的方程 2（x+1）² =1 是 。
2. 若9a
m2 4 m 4
与5a9是同类项，则 m 5或-1
（因式分解法） 一元二次方程的解法： 例：（y 2)2
3( y 2)
解:原方程化为 （y+2) 2﹣3（y+2）=0 把y+2看作一个 (y+2)(y+2-3)=0 整体，变成 (y+2)(y-1)=0 a×b=0形式(即 两个因式的积 y+2=0 或 y-1=0 的形式)。 ∴y1 y2=1 ,选择适当的方法.配 注：在解一元二次方程时 ,=-2 要先观察方程
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O