第1章 生存分布与生命表 0

s
x 26 s x

100 25 100 x
x

100 26 100 x
x

1 100
x
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（4）死亡力（也称该函数为失效率、风险率或危险率函数）
①死亡力：达到x岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为 x 或者 x 。
3
p70

s 73 s 70

0.95，2
p71

s 73 s 71

0.96 ，
p5 70
1 p70× 4 p71
s s
71 70
× 4 p71
p ×e 3 70
75
－ 71 xdx
2 p71
0.89
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FX（x）：寿命随机变量X的分布函数， FX (x) Pr( X x)x 0,FX (0) 0; sX（x）：生存函数， sX (x) 1 FX (x) Pr( X x)x 0,sX (0) 1;
fX（x）：寿命随机变量X的密度函数，且
寿险精算考情分析 1．考查内容 本科目是关于寿险精算数学和实务的课程。通过本科目的学习，考生应该了解寿险精算数学的基本理论和方法、 寿险精算实务的基本原理。 对于寿险精算数学部分，对传统的精算部分，熟练掌握与保险、年金有关的生命表、保费、准备金的计算。另 外熟练掌握多元生命、多元风险模型。掌握养老金精算和多种状态转换模型的基本内容。 对于寿险精算实务部分，理解人寿保险产品的基本定价方法，初步了解人寿保险定价现金流测试的基本过程和 需要考虑的基本因素，初步具备建立寿险定价模型的能力，并对影响定价的几种主要因素有一定的认识。掌握人寿 保险产品的准备金负债的基本评估方法。对偿付能力监管制度有基本的了解。 2．考试方式 考试采用闭卷方式进行，题型为选择题（70%）和主观题（30%），考试时间为3小时，满分100分，最后按10 分制计，6分以上（包括6分）为及格。 3．讲解内容 （1）结合最新大纲讲解知识点 （2）结合经典例题及历年考试真题剖析常考考点 4．指定教材及推荐教辅 （1）指定参考书：《寿险精算》张连增主编，李晓林主审，中国财政经济出版社，2010 （2）推荐教辅：《寿险精算过关必做习题集（含历年真题）》圣才学习网 主编，中国石化出版社，2011
k
FK (x) (k) Pr[K (x) k] q h| x k1qx h0
Pr[(K k ) (S s)] Pr[k T k s] k px s qxk
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【例题1.3】已知某地区新生婴儿的寿命随机变量在(0，100)上服从均匀分布，则对该地区的（x）（x<75）的
人，其未来生命时间长度的整数部分为25岁的概率是（ ）。
A．1/(100－x) B．2/(100－x) C．3/(100－x) D．4/(100－x)
E．5/(100－x)

s(x
t) s(x s(x)
t
u)

s(x t) s(x)

s(x
t) s(x t s(x t)
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u)
t px u qx t
当u
1时,
q t|1 x

t| qx

s(x t) s(x s(x)
t
1)

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【考试要求】 1.1 引言 1.2 生命表 生命表函数与生存函数 1.3 分段年龄假设 线性假设 指数假设 双曲假设 1.4 死亡解析律 1.5 选择和终极表
第1章 生存分布与生命表
t px P（r T (x) t） P（r X x t | X x）

P（r X
t
x|
X

x）
P（r X t Pr( X
x)x）
s(x t s(x)
)t
0
当t=1时，可简写为px；
px
1 px
Pr T x 1 Pr
【答案】A
【解析】由已知得，新生婴儿寿命的分布函数为：
F
x

Pr X

x

x 1
0 100
dx

x 100
所以生存函数s(x)=Pr(X>x)=1－F(x)=(100－x)/100，
故Pr[K(x)=25]=Pr[25≤T(x)<26]=25px－26px

s x 25 s x
（4）死亡人数ndx：在x岁到x+n岁的期望死亡人数，n=1时，左下标可略去；
且ndx=lx－lx+n，dx=lx－lx+1；
（5） ：表示人口极限年龄，是生命表的年龄上限，l 0;
（6）Tx：x岁人群的未来累积生存人年数，
x 1
Tx
Lxn
n0
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xt x

y dy )

exp(
t 0

xs
ds)
s(x)
x
p0
exp(
x 0
s
ds)
X的分布函数和密度函数分别为：
FX (x)
1 s x 1 exp(
x 0
s
ds)
f X (x) s '(x) x p0 x
T(x)的分布函数和密度函数分别为：
t pxqx1。
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【例题1.2】已知： s
）。

x


1 10
100 x，0 x 10，0 则年龄为19岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（
A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5 E．1/3
x将至少活到x 1岁
s(x 1) s(x)
② t qx ：（x）在接下来的t年内死亡的概率；
t qx Pr(T (x) t) Pr(0 X x t | X x)

Pr(x X Pr( X
t x)
x)

F(x t) F(x) 1 F(x)

s(x)
s(x s(x)

t)t

0
当t=1时，可简写为qx；
qx
1qx
Pr T x 1 Pr
x将在1年内死亡

s(x) s(x 1) s(x)
③ t|u qx ：将在t年后的年u内死亡的概率，其中t| 表示延期t年；
t | u qx Pr t T x t u t u qx t qx =t px t u px
FT (x) (t) 1
t
px
1 exp(
t 0

x
s ds )
fT (x) (t) ( t px ) ' t px xt
t qx FT (x) (t)
t 0
fT (x) (s)ds

t 0
s
px x s ds
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fX (x) F 'X (x) s 'X ( x)
sX (x) 1 FX (x)
x
fX
(t)dt
0
fX
(t)dt

1
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【例题1.1】下列函数表达式可以作为生存函数的有（ ）。
（3）K(x)和S(x)
①K(x)：(x)的未来寿命的整数随机变量，K(x)=[T(x)]
S(x)：(x)的死亡年残余时间长度随机变量；
②概率及分布函数：
Pr[K (x) k] Pr[k T (x) k 1] Pr[k T (x) k 1] k px k1 px k pxqxk k| qxk 0,1, 2,
§1.2 生命表
1. 生命表函数与生存函数
（1）L(x)：数目为l0个新生儿到x岁还活着的人数；L(x)服从参数为 n l0, p s(x) 的二项分布；
（2）生存人数lx：l0个新生儿中预期生存到x岁的人数，lx=E[L(x)]；
（3） n Dx ：l0个新生儿在x岁到x+n岁死亡的人数；n=1时，左下标可略去；
【例题1.4】已知：（1）3 p70

0.95；（2）2 p71

0.96；（
3）75 71

x
dx

0.107
计算5p70=（ ）。[2008春季考试真题]
A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 E．0.89
【答案】E
【解析】设s(x)为（x）的生命函数，则
【答案】E
【解析】解法①： 解法②：
q 17|39 19

s(36) s(75) s(19)

1 10
(
64 1
81
25)

1 3
10
q 17|39 19

17
p19 39 q36

s(36) s(19)

s(36) s(75) s(36)

1 3
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含义：
x

lim
x0
s(x) s(x x s( x)
x)

lim
x0
P{x将在x

x岁之前死亡} x
x瞬间死亡的比率
x


s '(x) s(x)

f 1
(x) F ( x)

[ln s(x)]'
②死亡力与其他函数的关系
t
px
exp(
（7）平均余寿
① ex E[T (x)]

Tx lx
: (x)的平均余寿;
② ex:n

nt
0

t
px
uxt dt

n

n
px ;
（x）在n年内的平均余寿，n可以取非整数值；
1
1
③ ex E K x k k px qxk k k| qx;
（1）sx exp x 0.7 2x 1 ，x 0；
（2）s
x


1
1 x
2
，x

0；
（3）s(x) exp(x2 )，x 0。
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（2）（3） E．（1）
【答案】D
【解析】生存函数的性质有：s(0)=1；函数是单调递减的，且 lim s x 0。 x
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【要点详解】
§1.1 引言
（1）基本符号
（x）：x岁的生命；
X：某人的死亡年龄，即寿命随机变量；
T（x）：（x）的未来生命长度随机变量，并且T（x）= X－x，T（0）=X；
x
x
故该函数可以作为生存函数；
（3）由于
s(0)
1，s '(x)

2(1
x)3

0，lim x
s

x


lim
x
1
1 x
2

0，
故该函数可以作为生存函数。
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（2）生存和死亡概率 ① t px ：（x）在t年后仍然生存的概率；
（1）由于s'(x)=exp[x－0.7(2x－1)](1－0.7×2x×ln2)，s'(0)=0.5148＞0，说明该函数不满足单调递减的性质，所以
它不能作为生存函数；
（2）由于
s(0) 1，s x ex2 2x 0，lim s x limex2 0，