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初中数学竞赛专题讲解最短路径问

题

欧阳光明（2021.03.07）

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包含：

①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题布景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年呈现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】

*欧阳光明*创编2021.03.07

*欧阳光明创编

2021.03.07

B

C

D 图(2)

E D

A

C

P

【问题10】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使

PB PA -的值最年夜．

作直线AB ，与直线l 的

交点即为P ．

三角形任意两边之差小

于第三

边．PB PA -≤AB ．

PB PA -的最年夜值＝

AB ．

【问题11】 作法

图形 原理

在直线l 上求一点P ，使

PB PA -的值最年夜．

作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即

为P ．

三角形任意两边之差小

于第三

边．PB PA -≤AB ＇．

PB PA -最年夜值＝

AB ＇．

【问题12】“费马点” 作法

图形

原理

△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC 值最小．

所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为

所求．

两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝

CD ．

一、基础过关

1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A 处到内壁的B 处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程.

2.如右图是一个长方体木块，已知3,4,2AB BC CD ===，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块正面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是。

3.正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，DN MN +的最小值为。

4.在菱形ABCD 中，2AB =，060BAD ∠=，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE PB +的最小值为

5.如图，在ABC ∆中，2AC BC ==，090ACB ∠=，D 是BC 边的中点，E 是

AB 边上一动点，则EC ED +的最小值为

l B

A l

P

A

B

l A B

l

B

P

A

B'

A

B C P

E

D

C

B

A

B

A

第1题

第2题 第3题 第4题

*欧阳光明*创编 2021.03.07

6.AB 是⊙O 的直径，2AB =，OC 是⊙O 的半径，OC AB ⊥，点D 在AC 上，D 为AC 的三等分点，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP PD +的

最小值为

7.如图，点P 关于OA 、OB 的对称点辨别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为

8.如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 辨别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 辨别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是．

9.如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4

2

，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分

线交BC 于点D ，M 、N 辨别是AD 和AB

最小值是．

例1：已知：直线112

y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D

，抛物线

2

12

y x bx c =

++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B

点坐标为 （1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形且以P 为直角极点时，求点P 的坐标．

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最年夜，求出点M 的坐标．

例2：如图，抛物线2y ax bx c =++的极点P 轴于A 、B 两点，交y 轴于点(0C ，

． （1）求抛物线的表达式．

（2）把△ABC 绕AB 的中点E 旋转180°判断四边形ADBC （3）试问在线段AC 上是否存在一点F 若存在，请写出点F 例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形