9数列与数学文化
1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有()
A.98项
B.97项
C.96项
D.95项
解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n －20，由1≤a n≤2018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项.
答案B
2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝
1，a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2数列的第________项.017
是斐波那契
解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a4＋
a 5＋a7＋a9＋…＋a2
017
＝a6＋a7＋a9＋…＋a2
017
＝a8＋a9＋…＋a2
017
＝…＝a2
016
＋a2017＝a2018，即为第2018项.答案2018
∴8a 1＋ ×17＝996，解之得 a 1＝65.
3.(2019北京海淀区质检 )中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九
百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是： 把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小 的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是( )
A.174 斤
B.184 斤
C.191 斤
D.201 斤
解析 用 a 1，a 2，…，a 8 表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列 a 1，a 2，…，a 8 是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996，
8×7
2
∴a 8＝65＋7×17＝184，即第 8 个儿子分到的绵是 184 斤.
答案 B
4.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度
音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与
A. 2f
B. 22f
C. 12
25f
D.
27f ，即第八个单音的频率为
27f .
它的前一个单音的频率的比都等于
的频率为(
)
12
2.若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音
3
3
12
27f
解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f ，公比为
12
2的等比数列，
设此数列为{a n }，则 a 8＝
答案 D
12 12
5.(2017全国Ⅱ卷 )我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔
七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔
的顶层共有灯(
)
a 1（1－27）
1－2
＝381，解得
a 1＝3.
第三种方案 a n(3)＝0.4×2n －1，S n(3)＝ ＝0.4(2n －1).
A.1 盏
B.3 盏
C.5 盏
D.9 盏
解析 设塔的顶层的灯数为 a 1，七层塔的总灯数为 S 7，公比为 q ，则依题意 S 7
＝381，公比 q ＝2.∴
答案 B
6. 某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案： 第一种，每天支付 38 元；第二种，第一天付 4 元，第二天付 8 元，第三天付 12 元，依此类推；第三种，第一天付 0.4 元，以后每天比前一天翻一番(即增加 1 倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？
解 设该学生工作 n 天，每天领工资 a n 元，共领工资 S n 元，则第一种方案 a n(1)
＝38，S n(1)＝38n ；
第二种方案 a n(2)＝4n ，S n(2)＝4(1＋2＋3＋…＋n )＝2n 2＋2n ；
0.4（1－2n ）
1－2
令 S n(1)≥S n(2)，即 38n ≥2n 2＋2n ，解得 n ≤18，即小于或等于 18 天时，第一种
方案比第二种方案报酬高(18 天时一样高).
令 S n(1)≥S n(3)，即 38n ≥0.4×(2n －1)，
利用计算器计算得小于或等于 9 天时，第一种方案报酬高，
所以少于 10 天时，选择第一种方案.
比较第二、第三种方案，S 10(2)＝220，S 10(3)＝409.2，S 10(3)>S 10(2)，…，S n(3)>S n(2).
所以等于或多于 10 天时，选择第三种方案.
7.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N的大小关系是()
A.ω>N C.ω＝N
B.ω 解析投入资金逐月值构成等比数列{b n}，利润逐月值构成等差数列{a n}，等比数列{b n}可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列{a n}可以看成关于n的一次式函数.由于a1＝b1，a12＝b12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a1＋a2＋…＋a12比总投资N＝b1＋b2＋…＋b12大，故选A. 答案A 8．(2017全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯() A．1盏C．5盏B．3盏D．9盏 解析：选B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381， 公比q＝2，依题意，得S 7＝ a 1 －27 1－2 ＝381，解得a 1 ＝3. 9．[数学建模]一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB(1 MB＝210KB)． 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n}，且a 1 ＝2，q＝2，∴a n＝2n，∵2n＝64×210＝216，∴n＝16，即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟)． 答案：48 10.(1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了() A．60里C．36里B．48里D．24里 (2)(2019北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款 [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为 的等比数列{a n }， a 1 1－ ? 设等比数列的首项为 a 1，则 解得 a 1＝192，所以 a 4＝192× ＝24，a 5＝24× ＝12， 和利息全部取出，则可取回________元． 1 2 ? 1 ? ? 26? 1 1－ 2 ＝378， 1 1 8 2 则 a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第 4 天和第 5 天共走了 36 里． (2)2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ＋p 1－ － ＋p ＋p 4] ＝a [(1＋p )5－(1＋p )] p a ＝ [(1＋p )5－1－p ]． p [答案] (1)C (2)a [(1＋p )5－1－p ] p 高中数学中国传统文化专题 1.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2 018这2 018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有() A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n－20，由1≤a n≤2 018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项. 答案 B 2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017是斐波那契数列的第________项. 解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a6＋a7＋a9＋…＋a2 017＝a8＋a9＋…＋a2 017＝…＝a2 016＋a2 017＝a2 018，即为第2 018项. 答案 2 018 3.\中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是() A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 解析用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， 专题7.1 与数学文化相关的数学考题 一、方法综述： 关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导. 二、解答策略： 类型一、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。 例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。 已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。 探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。 举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则 （Ⅰ）4位回文数有______个； （Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。 数列中包含的数学文化 数学家的故事———数学王子高斯 高斯(Carl Fried rich Gauss，1777～1855)德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 幼年时，他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁便独立发现了算术级数的求和公式；11岁发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧，得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青与资助，使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久，就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法，解决了两千年来悬而未决的几何难题。1801年，他发表的《算术研究》，阐述了数论和 高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大贡献。作为一个物理学家，他与威廉.韦伯合作研究电磁学，并发明了电极。为了进行实验，高斯还发明了双线磁力计，这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯30岁时担任了德国著名高等学府天文台台长，并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学，懂得十几门外语。他一生共发表323篇（种）著作，提出了404项科学创见，完成了4项重要发明。 高斯去世后，人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪念他发现做出17边形的方法，雕像的底座修成17边形。世人公认他是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教书真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真。 这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来。“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发。教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。 还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“ 数学文化——数列（27题） 1、“竹九节”问题 【编号第1题】 1．【2015秋?九江校级期末】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共5升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（） A．B．C．D． 【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得等差数列的首项和公差，由通项公式可得． 【解析】：由题意可得每节的容积自上而下构成9项等差数列， 且a1+a2+a3+a4=5，a9+a8+a7=4，设公差为d， 则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=5，a9+a8+a7=3a1+21d=4， 两式联立可得a1=，d=， 所以第5节的容积a5=a1+4d=． 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题． 【编号第2题】 2．【2011?湖北】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升 【考点】等差数列的性质． 【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积． 【解析】：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列， 根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4， 即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=， 把d=代入①得：a1=， 则a5=+（5﹣1）=． 故选B 【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 2、“女子织布”问题 专题二数列中的数学文化题 一．考点解读： 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．二．数学文化的典型题： （1）等差等比数列： 等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。 （2）斐波拉契数列： 斐波那契数列又称“兔子数列”，也称黄金分割数列，是这样一个数列：这个数列的第0项是0，第1项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即：0、1、1、2、3、5、8、13、21…，在数学上斐波纳契数列被以递归的方法定义：F（0）=0， F（1）=1， F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形，这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。 （3）《九章算术》： 《九章算术》是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题。（4）“莱布尼兹调和三角形”： “莱布尼兹调和三角形”：第n行有n的数它们是由整数的倒数组成的，且两端的数均为1/n，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 例1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走 一、方法综述： 关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导. 二、解答策略： 类型一、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。 例1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。 已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为。 探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。例如：2012年高考湖北卷第13题“回文数”，考查排列、组合和归纳推理等知识。本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。 举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。则 （Ⅰ）4位回文数有______个； （Ⅱ）2n＋1（n∈N+）位回文数有______个。 1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有() A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n －20，由1≤a n≤2018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项. 答案B 2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝ 1，a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2数列的第________项.017 是斐波那契 解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a4＋ a 5＋a7＋a9＋…＋a2 017 ＝a6＋a7＋a9＋…＋a2 017 ＝a8＋a9＋…＋a2 017 ＝…＝a2 016 ＋a2017＝a2018，即为第2018项.答案2018 ∴8a 1＋ ×17＝996，解之得 a 1＝65. 3.(2019北京海淀区质检 )中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九 百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是： 把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小 的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是( ) A.174 斤 B.184 斤 C.191 斤 D.201 斤 解析 用 a 1，a 2，…，a 8 表示 8 个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列 a 1，a 2，…，a 8 是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996， 8×7 2 ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第 8 个儿子分到的绵是 184 斤. 答案 B 4.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度 音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与 数学文化 一、选择题 1．【2018湖南永州】我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33?的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 2n 填入n n ?的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中， 315N =)，则10N =（ ） A. 1020 B. 1010 C. 510 D. 505 2．【2018河北廊坊八中】《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间．． 二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个问题中的中间．． 两节容量分别是（ ） A. 6766升、4133升 B. 2升、3升 C. 322升、3733升 D. 6766升、3733 升 3．【2018广东茂名高三第一次综合测试】《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯. A. 24 B. 48 C. 12 D. 60 4．【2018福建三明一中】《九章算术》卷第六《均输》中，有问题“今有竹九节，下三节容量四升，上四 节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其中“欲均容”的意思是：使容量变化均匀，即由下往上均匀变细在这个问题中的中间两节容量和是（ ） A. 611 66升 B. 2升 C. 3222升 D. 3升 5．【2018湖北襄阳】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺重量为（ ） A. 9斤 B. 9.5斤 C. 6斤 D. 12斤 6．【2018四省名校】中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214 n S n =， *N n ∈，等比数列 {}n b 满足112b a a =+， 234b a a =+，则3b =（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 16 7．【2018江西临川】《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第六日所织尺数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8．【2018河南中原】《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”， 《数学文化与数学史》期终复习提纲 Lecture 0 为什么要开设数学史 1.介绍文艺复兴时期意大利艺术大师达·芬奇（L. Da Vinci, 1452～1519）和19 世 纪英国业余数学家伯里加尔（H. Perigal, 1801～1898）、梅文鼎证明勾股定理的方法。 达·芬奇 H. Perigal的水车翼轮法 梅文鼎的方法 对学生来讲，通过对数学史的学习，有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,它不仅使学生获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解力和鉴赏力，有利于学生对数学的思考, 促进学生的数学理解，启发学生的人格成长，有利于激发学生的情感、兴趣和良好的学习态度,有利于辩证唯物主义世界观的形成, 有利于学生了解数学的应用价值和文化价值。 对于教师来讲，要使个体知识的发生遵循人类知识的发生过程，那么数学史就成为了数学教学的有效工具。将数学史作为一种资源运用到教学中，给教学提供一种新的视角，发挥其启发和借鉴的作用，并丰富课堂教学，使教学活动变得自然而有趣。这对数学教育改革也具有极其重要的意义。 Lecture 1 古代数学（II ）：美索不达米亚 3. 研究古巴比伦时期的泥版 BM 15285。设想你是一位祭司，你会提出什么数学问题？ 4. 美国哥伦比亚大学收藏的 Plimpton 322 号巴比伦泥版的内容是什么？ 泥版上有15行、4列数字，原来人们还以为是一份帐目。但是，奥地利著名数学史家诺伊格鲍尔（O. Neugebauer, 1899～1990）经过研究惊奇地发现：第3列数与第2列数的平方差竟都是平方数（少数行不满足这一规律，但显然是抄写错误所致）！例如（见下表，表中数字均为60进制）： ()()2222212011916959,149,2=-=-， 数学文化（一） 12002 年，为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”的是（）。 A、邓东皋 B、钱学森 C、齐民友 D、陈省身 正确答案： D 2“数学文化”一词最早进入官方文件，是出现在中华人民共和国教育部颁布的（）。 A、《小学数学课程标准》 B、《初中数学课程标准》 C、《高中数学课程标准》 D、《大学数学课程标准》 正确答案： C 3 数学的研究对象是从众多物质形态种抽象出来的人脑的产物，这是它与其他自然科学研究 的一个共同点。（） 正确答案：× 4广义的数学文化，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及他们的形成和发展。 正确答案：× 数学文化（二） 11998 年以后，教育部的专业目录里规定了数学学科专业，包括数学与应用数学专业、 A 、统计学 B、数理统计学C、信息与计算科学专业D、数学史与数学文化 正确答案： C 2 数学目前仅仅是一种重要的工具，要上升至思维模式的高度，还需学者们的探索。（）正 确答案：× 3数学素养的通俗说法，是指在经过数学学习后，将所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下 的东西。（） 正确答案：√ 数学文化（三） 1“数学文化”课是以数学问题为载体，以教授数学系统知识及其应用为目的。（）正确答案：× 2反证法是解决数学难题的一种有效方法。（） 正确答案：√ 数学文化（四） 1“哥尼斯堡七桥问题”最后是被谁解决的？ A、阿基米德 B 、欧拉 C、高斯 D、笛卡尔 正确答案： B 2 在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（）。 A、分析 B、概括 C、推理 D 、抽象 正确答案： D 3数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。这句话出自（）。 数学文化（一） 1 2002年，为中国少年数学论坛活动题词“数学好玩”的是（）。 A、邓东皋 B、钱学森 C、齐民友 D、陈省身 正确答案：D 2 “数学文化”一词最早进入官方文件，是出现在中华人民共和国教育部颁布的（）。 A、《小学数学课程标准》 B、《初中数学课程标准》 C、《高中数学课程标准》 D、《大学数学课程标准》 正确答案：C 3 数学的研究对象是从众多物质形态种抽象出来的人脑的产物，这是它与其他自然科学研究的一个共同点。（）正确答案：× 4 广义的数学文化，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及他们的形成和发展。（） 正确答案：× 数学文化（二） 1 1998年以后，教育部的专业目录里规定了数学学科专业，包括数学与应用数学专业、（）。 A、统计学 B、数理统计学 C、信息与计算科学专业 D、数学史与数学文化 正确答案：C 2 数学目前仅仅是一种重要的工具，要上升至思维模式的高度，还需学者们的探索。（） 正确答案：× 3 数学素养的通俗说法，是指在经过数学学习后，将所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西。（） 正确答案：√ 数学文化（三） 1 “数学文化”课是以数学问题为载体，以教授数学系统知识及其应用为目的。（） 正确答案：× 2 反证法是解决数学难题的一种有效方法。（） 正确答案：√ 数学文化（四） 1 “哥尼斯堡七桥问题”最后是被谁解决的？（） A、阿基米德 B、欧拉 C、高斯 D、笛卡尔 正确答案：B 2 在解决“哥尼斯堡七桥问题”时，数学家先做的第一步是（）。 A、分析 B、概括 C、推理 D、抽象 正确答案：D 3 数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。这句话出自（）。 A、阿基米德 B、欧拉 C、恩格斯 D、马克思 正确答案：C 4 从牛顿的著作《自然哲学之数学原理》可以看出，他是不支持数学定义中的“哲学说”的。（） 正确答案：× 5 罗素关于数学概念的描述，是从数学的公理体系角度而言的。（） 正确答案：√ 数学文化（六） 1 一堆20粒的谷粒，甲乙两个人轮流抓，每次可以抓一粒到五粒，规定谁抓到最后一把谁赢。如果甲要赢的话，甲先抓应该抓多少粒？（） A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4 正确答案：B 2 联合国宣布哪一年为“世界数学年”？（） A、2000年 B、2001年 C、2002年 D、2003年 正确答案：A 3 下列哪部作品的作者，因为数学研究方法的帮助，洗清了剽窃别人作品的罪名？（） A、《安娜·卡列尼娜》 B、《静静的顿河》 C、《战争与和平》 D、《复活》 正确答案：B 4 “没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度”，这句话出自（）。 A、Proclus B、Immanuel Kant C、C.B.Allendoerfer D、Demollins 高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化 一.专题综述 以选择题或者填空题的形式，以等差数列、等比数列为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等. 预测：以等差数列为题材考查数列中的文化 二．回顾高考 【2017课标II ，理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】 三．典例分析 例1. (2017·江西红色七校联考)《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布.( ) A.12 B.815 C.1631 D.1629 【答案】D 【解析】 每天织布数依次构成一个等差数列{a n }，其中a 1＝5，设该等差数列的公差为d ，则一月织布总 数为S 30＝30×5＋30×292d ＝150＋435d ＝390，解之得d ＝1629 . 例2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 【答案】B 2019届全国各地高三最新数学文化题 1.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完. 这样，每日剩下的部分都是前一日的一半. 如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（） A. 1 2 n a n = B. 1 2 n a n = C. 1 2 n n a ?? = ? ?? D. 2n n a= 解：C. 2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦?矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长， 心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.弦长等于4 米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（） A. 6平方米 B. 9平方米 C. 12平方米 D. 15平方米 3.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣 于齐王的中等马,,,则田忌马获胜 的概率为（）A 解：A. 4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（） A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 解：C. 5.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为a n，则a14+a15+a16+a17的值为（） A．55 B．52 C．39 D．26 解：B. 6.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望巍巍塔七层，红灯向下成培增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（）A．5 B．4 C．3 D．2 解：C. 7.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（） A．1 3 B． 1 4 C． 1 5 D． 1 6 解：A. 8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的 1.732 =， 割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据： sin150.2588 ?≈，sin7.50.1305 ?≈) A．12B．24C．48D．96 解：B. 专题03 数列与数学文化 纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。 【例1】 (2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这 个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A 32 B 322 C ．1252 D ．1272 【答案】D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为 {}n a ，则第八个单音频率为128171282)2a f -=?=，故选D ． 【试题赏析】本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就． 【例2】（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列， ∴77171(12) (21)38112 a S a -= =-=-，解得13a =．选B ． 【试题赏析】《算法统宗》是由明代数学家程大位写的数学巨著，它是一部应用数学书， 反映了中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献。 一、简单题（9选6，36分） 1、什么是可数集？为什么说全体奇数与自然数一样多？ 答：如果一个集合能与正整数集建立一一对应的映射，则称集合A是可数集。之所以说全体奇数与自然数一样多，是因为全体奇数能与自然数建立一一对应的关（1→0,3→1,5→2。。。。），用康托集合论的观点来看，这两个集合的势是相等的。因为奇数有正奇数也有负奇数，因为负奇数没有什么用处，一般情况下都不提，负奇数的个数当然与自然数中正偶数的个数相同，所以全体奇数与自然数一样多。 2、7座房子，每座房里养7只猫，每只猫抓7只老鼠，每只老鼠吃7颗麦穗，每颗麦穗可 产7赫卡特粮食，问房子，猫，老鼠，麦穗和粮食各数值总和。这一问题产生于哪个国家？哪个时代？ 7座房子，49只猫，343只老鼠，2401颗麦穗，16807赫卡特。产生于古埃及的莱茵德草书（阿姆士纸草书）；产生时间大约在公元前1650年左右。. 3、万物皆数是哪个学派的口号？如何理解这一口号？ 古希腊毕达哥拉斯学派,“他们认为,…数?乃万物之源”“数的要素即万物的要素”,用数来解释一切./毕达哥拉斯学派主张：数是万物之本源，有了数才有点，有了点才有线、面、体，有了这些几何形体才有宇宙万物. 总之，万物皆数! 4、勾股定理最早在何时、何地发现？最早的证明又出现在哪个时代，哪个国家？ 古希腊的毕达哥拉斯发现大禹治水中国 5、《几何原本》的作者是谁？他是哪个国家、哪个时代的人？ 323年－前283年）时期的亚历山大里亚. 6、《圆锥曲线》的作者是谁？作者大概生于哪个时期？ 《圆锥曲线论》是由阿波罗尼奥斯所写的一部经典巨著；托勒密四世。 7、中国最早出现的数学书叫什么？大约成于何时？ 《算数书》秦或先秦 8、中国古代“十部算经”中最重要的是什么？它大概成书于什么时期？ 《九章算术》, 约公元1世纪的汉代 9、朱世杰是哪个时代的人，他在数学上的主要贡献是什么？ 朱世杰（1249年－1314年）元代对数学的主要贡献是1.创造了一套完整的消未知数方法(多元高次方程列式与消元解法“四元术”)、2.高阶等差数列求和方法(“垛积法”)、3.高次内插法(“招差术”)。//考点：朱世杰《算术启蒙》（1299，明，商用数学通俗著作）《四元己鉴》（1303，招差术，四元术）古代数学之绝唱 二、计算题 1、从1到156，甲乙两人轮流报数，每人只能报按自然顺序报一个或者两个数，报到156的人胜，问甲先报，谁能赢？为什么？ 我们可以这样设想：若是数为1，甲数1，甲必赢，数为2.甲数1、2，甲赢，甲数1，乙数2，乙赢，但是是甲掌握主动权，所以，也算甲必可赢，数为3，甲数1，分：乙数2，甲数3.甲赢，乙数2、3，乙赢，或甲数1、2，乙数3，乙赢，但是是乙掌握主动权，所以是乙必可赢。同理4、5、6类似1、2、3，而1%3=1、2%3=2、3%3=0，故，156除以3余0，故类似于数3.因此甲先报，乙能赢。 2、今物不知其数，三三除之余2，五五除之余1，七七除之余4，问物几何？（要求详细过程）提示（口诀）三人同行七十稀，五数梅花廿（nian）一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知一一明。 数列与中国文化 1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有() A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n －20，由1≤a n≤2018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项. 答案B 2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1， a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017是斐波那契数列的第________项. 解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a6＋a7＋a9＋…＋a2017＝a8＋a9＋…＋a2017＝…＝a2016＋a2017＝a2018，即为第2018项. 答案2018 3.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是() A.174斤 B.184斤 C.191斤 D.201斤 解析用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， ∴8a1＋8×7 2×17＝996，解之得a1 ＝65. ∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤. 答案B 4.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于12 2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音 的频率为() A.3 2f B. 3 22f C. 12 25f D. 12 27f 解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为12 2的等比数列， 设此数列为{a n}，则a8＝12 27f，即第八个单音的频率为 12 27f. 答案D数列与数学文化专题 9
高考数学玩转压轴题专题7.1与数学文化相关的数学考题
数列中包含的数学文化
数学文化――数列(27题)
高考中数学文化的考查：数列中的数学文化题
最新专题7.1 与数学文化相关的数学考题(解析版)
9数列与数学文化
数学文化(文)
数学文化与数学史
尔雅公开课数学文化答案
尔雅通识课数学文化答案
高考数学文化题目的命制背景-数列中的数学文化
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专题03 数列与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)
数学文化试题答案
数列与数学文化