2018-2019学年河北省邢台市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年河北省邢台市高一下学期期末数学试题一、单选题1．直线2320x y +-=的斜率是（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．32【答案】A【解析】一般式直线方程0Ax By C ++=的斜率为A k B=-． 【详解】直线2320x y +-=的斜率为2233k ==--. 故选A 【点睛】此题考察一般直线方程的斜率Ak B=-，属于较易基础题目 2．在等差数列中，若，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】通过等差数列的性质可得答案. 【详解】 因为，，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，难度不大. 3．在中，内角所对的边分别为，若，，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用正弦定理可求得，再通过可得答案.【详解】 因为，所以，所以，则或，因为，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度较小.4．已知圆C 经过点()15A ，，且圆心为()21C -，，则圆C 的方程为 A ．()()22215x y -++= B ．()()22215x y ++-= C ．()()222125x y -++= D ．()()222125x y ++-=【答案】D【解析】先计算圆半径，然后得到圆方程. 【详解】因为圆C 经过()15A ，，且圆心为()21C -， 所以圆C 的半径为()()2221155r =--+-=，则圆C 的方程为()()222125x y ++-=. 故答案选D 【点睛】本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键. 5．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】B【解析】直角利用待定系数法可得答案. 【详解】 因为，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的相关计算，难度不大.6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，且sin a b C =，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．不确定【答案】C【解析】通过正弦定理可得in 0()s A B -=可得三角形为等腰，再由sin a b C =可知三角形是直角，于是得到答案. 【详解】因为cos cos a B b A =，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，即A B =.因为A B =，所以a b =，又因为sin a b C =，所以sin 1C =，所以2C π=，故ABC ∆的形状是等腰直角三角形. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.7．已知圆()22:216M x y +-=，过点()2,5P 作圆M 的最长弦AB 和最短弦CD ，则直线AB ，CD 的斜率之和为 A ．1- B ．56-C ．1D ．56【答案】D【解析】根据圆的几何性质可得最长弦是直径，最短弦和直径垂直，故可计算斜率，并求和. 【详解】由题意得，直线AB 经过点()2,5P 和圆M 的圆心()0,2弦长最长，则直线AB 的斜率为1523202k -==-，由题意可得直线AB 与直线CD 互相垂直时弦长最短，则直线CD 的斜率为223k =-，故直线AB ，CD 的斜率之和为12325236k k +=-=． 【点睛】本题考查了两直线垂直的斜率关系，以及圆内部的几何性质，属于简单题型.8．某船从A 处向东偏北30o 方向航行B 处，然后朝西偏南60o 的方向航行6千米到达C 处，则A 处与C 处之间的距离为（ ）A B ．C ．3千米D ．6千米【答案】B【解析】通过余弦定理可得答案. 【详解】设A 处与C 处之间的距离为x 千米，由余弦定理可得()222626cos 603012x ︒︒=+-⨯-=，则x =【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.9．已知m ，n ，l 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若m α⊂，n ⊂α，l β⊂，m l P ，n l ∥，则αβ∥B ．若m αP ，n αP ，m βP ，n βP ，则αβ∥C ．若m α⊂，m n A =I ，l m ⊥，l n ⊥，l β⊥，则αβ∥D ．若m n P ，m α⊥，n β⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】逐一分析选项，得到答案. 【详解】A.根据条件可知，若//m n ，不能推出//αβ；B.若//m n ，就不能推出//αβ；C.条件中没有n ⊂α，所以不能推出//αβ；D.因为m n P ，m α⊥，所以n α⊥，因为n β⊥，所以αβ∥． 【点睛】本题考查了面面平行的判断，属于基础题型，需要具有空间想象能力，以及逻辑推理能力.10．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，6AB =，13AA =，5AC BC ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，则三棱锥1A AEF -的体积为（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】B【解析】等体积法：11A AEF F AEA V V --=.求出1AEA V 的面积和F 到平面11ABB A 的距离，代入公式1h 3V S =即可． 【详解】由题意可得，1AA E △的面积为11136922AA AB ⋅=⨯⨯=，因为6AB =，5AC BC ==，1AA ⊥平面ABC ，所以点C 到平面11ABB A 的距离为4h ==，即点F 到平面11ABB A 的距离为4，则三棱锥1F AA E -的体积为194123⨯⨯=.故三棱锥1A AEF -的体积为12. 【点睛】此题考察了三棱锥体积的等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于较易题目． 11．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由题可知数列的连续四项，从而可判断，再分别列举满足符合条件的情况，从而得到公比. 【详解】 因为数列有连续四项在集合中，，所以数列有连续四项在集合中，所以数列的连续四项不同号，即.因为，所以，按此要求在集合中取四个数排成数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，所以数列的公比为.【点睛】本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大.12．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，10AB AC ==2BC =，点M 为ABC V 内切圆的圆心，若1010tan 15PMA +∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．689πB ．3481πC ．1369πD ．1363481π【答案】C【解析】求三棱锥P ABC -的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面ABC V 的距离为12PA ，根据正切1010tan PMA +∠=和MA 的长求PA ，再和MA 的长即可通过勾股定理求出球半径R ，则表面积24S R π=.【详解】取BC 的中点E ，连接AE （图略）.因为AB AC =，所以点M 在AE 上，因为AB AC ==2BC =，所以3AE ==，则ABC V 的面积为112)2322ME ⨯⋅=⨯⨯，解得13ME =，所以3AM ==因为tan PA PMA AM ∠==，所以2PA ==.设ABC V 的外接圆的半径为r ，则()2231r r -+=，解得53r =.因为PA ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为3R ===，故三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为213649R ππ=. 【点睛】此题关键点通过题干信息画出图像，PA ⊥平面ABC 和底面ABC V 的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目．二、填空题13．已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________. 【答案】12π【解析】圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即=2rh S π，带入数据即可． 【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为4π，则该圆柱的侧面积为4312ππ⨯=.【点睛】此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目．14．在等比数列{}n a 中，32a =，916a =，则7a =__________． 【答案】8【解析】可先计算出公比，从而利用473a a q =求得结果.【详解】因为2831912,16a a q a a q ====，所以61682q ==，所以22q =，则4273228a a q ==⨯=.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.15．光线从点(1,4)射向y 轴，经过y 轴反射后过点(3,0)，则反射光线所在的直线方程是________.【答案】30x y +-=（或写成3y x =-+）【解析】光线从点(1,4)射向y 轴，即反射光线反向延长线经过(1,4)关于y 轴的对称点(1,4)-，则反射光线通过(1,4)-和(3,0)两个点，设直线方程求解即可。
【详解】由题意可知，所求直线方程经过点(1,4)关于y 轴的对称点为(1,4)-，则所求直线方程为4313y x =---，即30x y +-=. 【点睛】此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。
16．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC V 的面积为)2224a b c +-，且4c =，则ABC V 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]【解析】通过观察ABC V 的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以)2221sin 2a b c ab C +-=，求出tan C =3C π=.再由正弦定理即可将+a b 的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可．【详解】因为ABC V )222a b c +-，所以)2221sin 42a b c ab C +-=222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=sin C C =，即tan C =3C π=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以2sin )sin sin 8sin 36a b A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC V 为锐角三角形，所以62A ππ<<sin 16A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭…，则ssin()86A π<+…，即8a b <+….故ABC V 的周长的取值范围是4,12]+.【点睛】此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．三、解答题17．已知直线1:10l ax y a +++=与22(:1)30l x a y +-+=. （1）当0a =时，求直线1l 与2l 的交点坐标； （2）若12l l P ，求a 的值. 【答案】（1）(2,1)--；（2）1-.【解析】（1）当0a =时，直线1:10l y +=与2:230l x y -+=联立即可．（2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可． 【详解】（1）当0a =时，直线1:10l y +=与2:230l x y -+=，联立10230y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，故直线1l 与2l 的交点坐标为(2,1)--. （2）因为12l l P ，所以(1)203(1)(1)0a a a a --=⎧⎨--+≠⎩，即2(2)(1)040a a a -+=⎧⎨-≠⎩解得1a =-. 【点睛】此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是同一条直线），属于基础简单题目．18．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(23)cos 2cos 0b c A a B -+=.（1）求cos A 的值；（2）若3,5a b c =+=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23；（2）5. 【解析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用sin()sin 0A B C +=≠即可得到答案； （2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案. 【详解】（1）(23)cos 2cos 0b c A a B -+=，所以2sin cos 3sin cos 2sin cos 0B A C A A B -+=，所以2(sin cos sin cos )3sin cos A B B A C A +=，即2sin()3sin cos A B C A += 因为A B C π++=，所以sin()sin 0A B C +=≠，所以3cos 2A =，即2cos 3A =.（2）因为2cos 3A =，所以sin A =. 由余弦定理可得2222102cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为3,5a b c =+=，所以2210353bc =-，解得245bc =.故ABC ∆的面积为1124sin 225bc A =⨯=【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.19．在等比数列{}n a 中，39a =，42954a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a ；（2）3nn S n =⋅.【解析】（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果； （2）先求出{}n b 通项，利用错位相减法可以得到前n 项和n S . 【详解】（1）因为39a =，42954a a +=，所以213119954a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩故{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==. （2）由（1）可得1(21)3n n b n -=+⋅，则22135373(21)3(21)3n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅++⋅L ，①2313335373(21)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅L ，②①-②得2312323232323(21)323n n nn S n n --=+⨯+⨯+⨯++⨯-+⋅=-⋅L故3nn S n =⋅.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力 及计算能力，难度中等.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，24AD PD ==，6AB =，25PA =，60BAD ∠=︒，点Q 在棱AB 上.（1）证明：PD ⊥平面ABCD .（2）若三棱锥P ADQ -的体积为23，求点B 到平面PDQ 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3913. 【解析】（1）线面垂直只需证明PD 和平面ABCD 内两条相交直线垂直即可，易得CD ⊥PD ，另外PAD △中已知三边长通过勾股定理易得AD PD ⊥,所以PD ⊥平面ABCD ．（2）点B 到平面PDQ 的距离通过求得三棱锥B PDQ -的体积和PDQ V 面积即可，而=B PDQ P BDQ V V --,带入数据求解即可． 【详解】（1）证明：在PAD △中，24AD PD ==，PA =所以22220AD PD PA +==. 所以PAD △是直角三角形，且90ADP ∠=︒，即PD AD ⊥. 因为CD ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以PD CD ⊥. 因为AD CD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD. （2）解：设AQ x =.因为4=AD .60BAD ∠=︒，所以ADQ △的面积为11sin 60422AD AQ x ︒⋅⋅=⨯=.因为PD ⊥平面ABCD ，所以三棱锥P ADQ -的体积为123⨯=解得3x =.因为6AB =，所以3BQ AQ ==，所以BDQ △的面积为则三棱锥P BDQ -的体积为123⨯=. 在ADQ △中，4=AD ，60BAD ∠=︒，3AQ =，则DQ ==.设点B 到平面PDQ 的距离为h ，则11232h ⨯=13h =，即点B 到平面PDQ 的距离为13. 【点睛】此题考察立体几何的证明，线面垂直只需证明线与平面内的两条相交直线分别垂直即可，第二问考察了三棱锥等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于中档题目． 21．已知圆C 过点()1,1A ，()3,1B -，圆心C 在直线250x y --=上，P 是直线34100x y -+=上任意一点．（1）求圆C 的方程；（2）过点P 向圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，求四边形PMCN 的面积的最小值．【答案】（1）()()22314x y -+-=（2）【解析】（1）首先列出圆的标准方程()()()2220x a y b r r -+-=>，根据条件代入，得到关于,,a b r 的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，12222S PM PM =⨯⨯⨯=，这样求面积的最小值即是求PM 的最小值，当点P 是圆心到直线的距离的垂足时，PM 最小. 【详解】解：（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>．由题意得()()()()222222250,11,31,a b a b r a b r ⎧--=⎪⎪-+--=⎨⎪-+--=⎪⎩解得3,1,2.a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩故圆C 的方程为()()22314x y -+-=．另解：先求线段AB 的中垂线与直线250x y --=的交点，即2,25,y x y x =-⎧⎨=-⎩解得3,1,x y =⎧⎨=⎩从而得到圆心坐标为()3,1，再求24r =，故圆C 的方程为()()22314x y -+-=． （2）设四边形PMCN 的面积为S ，则2PMC S S =V ． 因为PM 是圆C 的切线，所以PM CM ⊥， 所以12PMC S PM CM PM =⋅=V ，即22PMC S S PM ==V ． 因为PM CM ⊥，所以PM ==因为P 是直线34100x y -+=上的任意一点，所以3PC ≥=，则PM =≥2PMC S S =≥V故四边形PMCN 的面积的最小值为 【点睛】本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.22．在数列{}n a 中，11a =，1120n n n n a a a a ++-+=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21nn a b n =+． （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列． （2）若23n t S t -≤<对*n ∈N 恒成立，求t 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）15,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）根据已知可变形为111n na a +-=常数；（2）首先求数列{}nb 的通项公式，然后利用裂项相消法求111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若满足23n t S t -≤<对*n ∈N 恒成立，需满足()min 23n t S -≤，()max n t S > ，求t 的取值范围. 【详解】（1）证明：因为1120n n n n a a a a ++-+=， 所以112n n n n a a a a ++-=-，，则1112n na a +-=． 又111a =， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知121n n a =-，则121n a n =-． 因为21nn a b n =+，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111111112335572121221n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 易知n S 单调递增，则11132n S S =≤<． 所以1233t -≤，且12t ≥，解得1523t ≤≤．故t 的取值范围为15,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据1n n a a +-的正负判断单调性，然后求最值.。
2018-2019学年河北省邢台市高一下学期第三次月考数学试题Word版含解析
2018-2019学年河北省邢台市高一下学期第三次月考数学试题一、单选题1．过点(1,2)-，且斜率为2的直线方程是（ ） A ．240x y -+= B ．20x y += C ．250x y -+= D ．230x y +-=【答案】A【解析】由直线的点斜式计算出直线方程 【详解】因为直线过点(1,2)-，且斜率为2，所以该直线方程为22(1)y x -=+，即240x y -+=.故选A【点睛】本题考查了求直线方程，由题意已知点坐标和斜率，故选用点斜式即可求出答案，较为简单2．不等式23760x x --≥的解集为（ ） A ．23,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2(,3],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．2,[3,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】运用一元二次不等式的解法来求解，可以先因式分解，结合图像来求解集 【详解】不等式23760x x --≥可以因式分解为(3)(32)0x x -+≥，又因为其图像抛物线开口向上，要求大于或等于零的解集，则取两根开外，故不等式的解集为[)2,3,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，故选D 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，较为简单3．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则a =（ ） A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．4【答案】B【解析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值 【详解】因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单4．在ABC ∆中，若sin :sin :sin A B C =，则B =（ ） A ．30 B ．60 C ．120 D ．150【答案】C【解析】运用正弦定理结合题意得到三边的数量关系，再运用余弦定理求出结果 【详解】因为sin :sin :sin A B C =，所以::a b c =.设a x =，则b =，c x =，由余弦定理可得2222222)1cos 222a cb x x B ac x +-+-===-，故120B =.故选C 【点睛】本题考查了运用正弦定理、余弦定理求解角度问题，熟练掌握公式并运用公式求解是解题关键，较为基础5．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．10【答案】B【解析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法6．若直线:40l x y -+=被圆222(1)(3):C x y r -+-=截得的弦长为4，则圆C 的半径为（ ）A B ．2CD ．6【答案】C【解析】先求出圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求出半径 【详解】由题意可得，圆C 的圆心到直线l 的距离为d ==，则圆C 的半径为=.故选C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，结合弦长公式求出圆的半径，较为基础7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若tan :tan :A B a b =，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形【答案】A【解析】结合已知条件及正弦定理进行化简，求出三角形的形状 【详解】因为tan :tan :A B a b =，所以tan tan b A a B =，所以sin sin sin sin cos cos B A A BA B=，因为0A π<<，0B π<<，所以sin 0A ≠，sin 0B ≠，所以cos cos A B =，即A B =，故ABC ∆是等腰三角形.故选A 【点睛】本题考查了运用正弦定理求解三角形形状，在运用正弦定理时注意边角之间的互化，需要掌握解题方法8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，7457S S a -=，则4a =（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B【解析】结合已知条件和等比数列的性质运用先求出公比q ，然后求出结果 【详解】因为7457S S a -=，所以76557a a a a ++=，所以555260a q a q a +-=，即260q q +-=，解得2q =（3q =-舍去），则3418a a q ==.故选B【点睛】本题考查了等比数列的性质运用，结合已知条件即可求出结果，较为基础 9．直线l ：20ax y +-=与圆22:2440M x y x y +--+=的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【答案】C【解析】求出圆的圆心坐标和半径，然后运用点到直线距离求出d 的值和半径进行比较，判定出直线与圆的关系 【详解】因为圆22:2440M x y x y +--+=，所以圆心(1,2)M ，半径1r =，所以圆心M 到直线l 的距离为1d =<=，则直线l 与圆M 相交.故选C【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式求出d 和半径比较，得到直线与圆的位置关系10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若150a >，且14150a a +<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．27B ．28C ．29D ．30【解析】由已知条件先计算出d 的取值范围，然后运用等差数列的求和公式求出最小值 【详解】因为14150a a +<，所以()()128281415281402a a S a a +⨯==+<，因为14150a a +<，150a >，所以数列{}n a 的公差0d >，所以14160a a +>，所以()()1291416292929022a a a a S +⨯+==>，故要使0nS>，29n ≥.故选C【点睛】本题考查了数列的基础性质运用，在求解时要结合题意先求出d 的取值范围，然后求出结果，需要掌握解题方法11．某船在小岛A 的南偏东75，相距20千米的B 处，该船沿东北方向行驶20千米到达C 处，则此时该船与小岛A 之间的距离为（ ）A ．千米B ．千米C ．20千米D ．【答案】D【解析】结合题意运用余弦定理求出结果 【详解】由题意可得，在ABC ∆中，20AB BC ==，120ABC ︒∠=，则AC ===故选D【点睛】本题考查了运用余弦定理求解实际问题，首先要读懂题目意思，将其转化为解三角形问题，然后运用公式求解12．已知点(, 6)A m m +，(2, 8)B m m ++，若圆22:44100C x y x y +---=上存在不同的两点,P Q ，使得PA PB ⊥，且QA QB ⊥，则m 的取值范围是（ ）A ．(22--B ．(C ．(22--+D ．(【解析】结合题意将其转化为圆和圆的位置关系，两圆相交，计算出圆心距，然后求出结果 【详解】依题意可得，以AB 为直径的圆22(1)(7)2x m y m --+--=与圆22(2)(2:)18C x y -+-=相交，则圆心距d =，解得22m --<<-+故选A 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，在解答过程中要先读懂题目的意思，将其转化为圆与圆的位置关系，本题还需要一定的计算量，属于中档题二、填空题13．已知直线1:3210l x y -+=与2:3220l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离为___．【答案】13【解析】题目中的两条直线为平行线，运用公式进行求解 【详解】因为直线1l ：3210x y -+=与2l ：3220x y --=平行，所以1l 与2l 之间的距离为13d ==. 【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离，直接运用公式求出结果即可，较为简单 14．已知0xy >，则9x y y x+的最小值为_______． 【答案】6【解析】运用基本不等式求出结果 【详解】因为0xy >，所以0x y >，90y x >，所以96x y y x +≥=，所以最小值为6 【点睛】本题考查了基本不等式的运用求最小值，需要满足一正二定三相等15．若圆221:(1)(1)4C x y +++=与圆222:(2)(3)C x y m -+-=相切，则m =____．【答案】9或49【解析】由题意两圆相切，可知两圆内切或者外切，则计算出圆心距，求出m 的值 【详解】因为圆221:(1)(1)4C x y +++=与圆222:(2)(3)C x y m -+-=，所以圆心距5d ==，因为圆1C 与圆2C 相切，所以2d =或2d =，所以9m =或49m =. 【点睛】本题考查了已知圆的位置关系求参量的值，注意两圆相切分为内切和外切，求出两个结果16．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=，PA =，则直线PC 与平面PAB 所成的角为_____．【答案】30（或6π） 【解析】结合题意先构造出线面角，然后根据边的数量关系求出线面角的大小 【详解】作CH AB ⊥，垂足为H .因为PA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，所以PA CH ⊥.因为CH AB ⊥，AB PA A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，则直线PC 与平面PAB 所成的角为CPH ∠.因为60ABC ︒∠=，四边形ABCD是菱形，所以2CH CD =，因为PA =，所以PC ==.在CPH ∆中，CH PH ⊥，则1sin 2CH CPH PC ∠===，故直线PC 与平面PAB 所成的角为30. 【点睛】本题考查了求线面角的大小，需要先根据题意构造出线面角，然后再计算，构造线面角是关键三、解答题17．已知直线1l ：210x my ++=与2l ：4(1)20mx m y +++=.（1）若12l l ⊥，求m 的值； （2）若12l l ∥，求m 的值.【答案】（1）0m =或9m =-.（2）12m =-【解析】（1）由两直线垂直，代入公式12120A A B B +=求出m 的值 （2）由两直线平行，代入公式12210A B A B -=且两直线不重合求出m 的值 【详解】解：（1）因为12l l ⊥，所以24(1)0m m m ⨯++=， 解得0m =或9m =-.（2）因为12l l ∥，所以22(1)402(1)0m m m m ⎧+-=⎨-+≠⎩，解得12m =-. 【点睛】本题考查了由两直线的位置关系求出参量的值，代入公式即可求出结果，较为基础 18．在数列{}n a 中，11a =，121(2)1n n a a n n n -=+≥-，设1n n a b n =+.（1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）见证明；（2）2nn a n n =⋅-【解析】（1）结合已知条件，运用等比数列的定义进行证明 （2）先求出数列{}n b 的通项公式，然后再求出数列{}n a 的通项公式 【详解】（1）证明：因为1nn a b n =+，所以1111n n a b n --=+-， 所以11111nn nn a b n a b n --+=+-， 因为1211n n a a n n -=+-，所以1111121221121111n n n n n n a a b n n a a b n n -----⎛⎫⨯+⨯+ ⎪-⎝⎭-===++--，故数列{}n b 是等比数列.（2）解：由（1）可知，数列{}n b 是等比数列，首项1112b a =+=，公比2q =，所以112n nn b b q -==.因为1nn a b n =+，所以12n n a n+=， 则2nn a n n =⋅-.【点睛】本题考查了证明数列是等比数列，求数列通项公式，结合定义即可求出结果，较为基础 19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos22sin sin cos21B C B C A ++=+.（1）求A ；（2）若4a =，ABC ∆的面积为b c +. 【答案】（1）3A π=（2）8【解析】（1）运用二倍角公式和余弦定理求出角A （2）由面积公式求出bc 的值，然后求出b c +的值 【详解】解：（1）因为cos2cos22sin sin cos21B C B C A ++=+， 所以22212sin 12sin 2sin sin 12sin 1B C B C A -+-+=-+， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，所以222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为ABC ∆的面积为1sin 2b A ==，即16bc =， 因为222b c a bc +-=，4a =，所以2232b c +=，所以8b c +==. 【点睛】本题考查了二倍角公式的化简、余弦定理解三角形、面积公式，较为综合，需要熟练运用公式来解题，掌握解题方法20．如图，已知四棱锥P ABCD -的侧棱PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是直角梯形，AD CD ⊥，AB CD ∥，24AB AD ==，6DC =，3PD =，点M 在棱PC 上，且3PC CM =.（1）证明：BM ∥平面PAD ； （2）求三棱锥M PBD -的体积. 【答案】（1）见证明；（2）4【解析】（1）取PD 的三等分点N ，使3P D D N =，证四边形ABMN 为平行四边形，运用线面平行判定定理证明（2）三棱锥M PBD -的体积可以用P BCD M BCD V V ---求出结果 【详解】（1）证明：取PD 的三等分点N ，使3PD DN =，连接AN ，MN . 因为3PC CM =，3PD DN =，所以MN DC ∥，243MN DC ==. 因为AB CD ∥，4AB =，所以AB MN ∥，AB MN =， 所以四边形ABMN 为平行四边形，所以BMAN ，因为AN ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以BM ∥平面PAD . （2）解：因为24AD =，6DC =，所以BCD ∆的面积为1162622DC AD ⋅=⨯⨯=，因为PD ⊥底面ABCD ，所以三棱锥P BCD -的高为3PD =， 所以三棱锥P BCD -的体积为16363V =⨯⨯=. 因为3PC CM =，所以三棱锥M BCD -的高为113h PD ==， 所以三棱锥M BCD -的体积为116123V =⨯⨯=， 故三棱锥M PBD -的体积为1624V V -=-=.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、三棱锥体积的计算，在证明线面平行时需要构造平行四边形来证明，三棱锥的体积计算可以选用割、补等方法21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+，在等比数列{}n b 中，11b a =，48b a =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；12n n b -=（2）(1)21n n T n =-+【解析】（1）由已知条件计算1(2)n n n a S S n n -=-=≥，然后验证当1n =时也是成立，求出通项公式（2）运用错位相减法求出前n 项和n T【详解】解：（1）因为21122n S n n =+，所以2111(1)(1)(2)22n S n n n -=-+-≥， 所以1(2)n n n a S S n n -=-=≥.当1n =时，1111122a S ==+=满足上式，所以n a n =. 因为111b a ==，488b a ==，所以3881q ==，即2q =， 所以12n n b -=.（2）由（1）可得12n n n a b n -=⋅，则0112222n n T n -=⨯+⨯++⋅，①2121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅，② 由①-②，得012222n n n T n --=++⋯+-⋅.故122(1)2112nnn n T n n -=⋅-=-+-. 【点睛】本题考查了求数列的通项公式，运用1(2)n n n a S S n -=-≥，需验证当1n =时是否成立，在遇到形如通项12n n n a b n -=⋅时可以采用错位相减法求和22．已知圆222()():M x a y a r ++-=的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y +-=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2||||||PM PA PB =⋅.记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围.【答案】（1）229x y +=（2）(1,0]-【解析】（1）先求出圆心坐标，由直线与圆相切求出半径，求得圆的方程（2）设(,)P x y ，结合已知条件求出2||||||PM PA PB =⋅即22229x y -=，然后表示出12k k 的表达式，求出取值范围【详解】解：（1）因为圆M 的圆心(,)M a a -在直线y x =上，所以a a -=，即0a =， 因为直线34150x y +-=与圆M 相切，所以3r ==， 故圆M 的方程为229x y +=.（2）由（1）知，圆心(0,0)M ，(3,0)A -，(3,0)B .设(,)P x y ，因为点P 在圆M 内，所以229x y +<.因为2||||||PM PA PB =⋅，所以22x y +=，所以22229x y -=.因为直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以13y k x =+，23y k x =-， 则221222229919218218y x k k x x x -===+---.因为22222299x y x y ⎧-=⎨+<⎩，所以292724x ≤<， 所以221192189x -<≤--，则29110218x -<+≤-. 故12k k 的取值范围为(1,0]-.【点睛】本题考查了求圆的标准方程、斜率乘积的取值范围，求解过程中运用了点到直线的距离公式，需要一定的计算量。
河北省邢台市2018-2019学年高一下学期期末考试数学
2018－2019学年度第二学期期末调研测试高一数学试题考生注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分,考试时长120分钟。
2.答题前,考生先将自己地，考号在答题卷指定位置填写清楚并将款形码粘贴在指定区域。
3.考生作答时,请将结果答在答题卷上。
第Ⅰ卷每小题选出结果后,用2B 铅笔把答题卷上对应题目地结果标号涂黑。
第Ⅱ卷请用0.5毫米地黑色墨水签字笔在答题卷上各题地答题区域内作答,超出答题区域书写地结果无效,在试题卷，草稿纸上作答无效。
4.考试结束时,务必将答题卡交回。
第Ⅰ卷（共60分）一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1.若a,b,c R ∈,a>b,则下面不等式成立地是A.11a b < B.2211a b > C.2211a b c c >++ D.a c b c >2.已知点A （x,0,2）和点B （2,3,4）,且AB =,则实数x 地值是A.5或－1B.5或1C.2或－6D.－2或63.直线10x ++=地倾斜角是A.300B.600C.1200D.15004.在△ABC 中,角A ，B ，C 对应地边分别是a ，b ，c,已知60,A a ︒==,b=4,则B 等于A.300B.450C.600D.9005.在等差数列{a }n 中,已知12a =,2316a a +=,则456a a a ++等于A.50B.52C.54D.566.在△ABC 中,角A B C 、、对应地边分别是a,b,c,已知A ＝60°,b ＝1,△ABC 则△A BC 外接圆地直径为7.圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=地位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切8.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何？”意思是：“一女子善于织布,每天织地布都是前一天地2倍,已知她5天共织了5尺布,问这女子每天织布多少尺？”依据上述已知款件,若要使织布地总尺数不少于30,该女子所需地天数至少为A.7B.8C.9D.109.若变量,x y 满足约束款件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,且5z y x =-地最大值为a,最小值为b,则a －b 地值是A.48 B.30 C.24 D.1610.已知底面边长为1,侧棱长为2地正四棱柱地各顶点均在同一个球面上,则该球地体积为B.2πD.4π11.一几何体地三视图如图所示,则该几何体地表面积为A.16B.20C.24D.2812.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,145DAD ∠= ,130CDC ∠=,那么异面直线AD 1与DC 1所成角地余弦值是二，填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2017-2018年河北省邢台市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数的最小正周期是（）A．2B．﹣2C．1D．﹣12．（5分）已知，则cos2α＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，且，则（）A．m＝2，n＝1B．m＝﹣2，n＝﹣1C．m＝﹣2，n＝1D．m＝2，n＝﹣1 5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积等于3a sin B，则c＝（）A．1B．3C．6D．96．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝﹣14，a2＝﹣8，则S12＝（）A．128B．64C．132D．667．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．9C．10D．118．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且△ABC 的面积为30，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期为π，且对任意的x∈R，都有，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于对称B．当时，f（x）取得最小值C．函数是偶函数D．f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y＝sinωx10．（5分）已知，且，，则＝（）A．B．C．D．11．（5分）若函数f（x）＝sin（2x﹣）与g（x）＝cos（x+）都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，则b﹣a的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）＝x2﹣2ax+3．若f（sin x）的值域为，则m＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知等比数列{b n}满足b5b8＝128，b6＝8，则该数列的公比q＝．14．（5分）在梯形ABCD中，，设，则＝．（用表示）15．（5分）在△ABC中，若A＝60°，，则△ABC的面积为．16．（5分）在平行四边形ABCD中，，，且，则平行四边形ABCD的面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）求不等式2x2﹣7x≤9的解集；（2）已知长方形ABCD的周长为12，求它的面积的最大值．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n＝n2+7n．（1）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n b n a n+1＝1，数列{b n}的前n项和为T n，且成等比数列，求n．19．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈（0，2]，求函数f（x）的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，求函数f（x）的值域．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B≤，（a2+c2﹣b2）sin B＝ac cos B．（1）求B；（Ⅱ）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面积．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ），向量＝（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），λ＞0．（1）若向量与的夹角为，＜β＜α＜2π，求α﹣β的值；（2）若对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，求实数λ的取值范围．22．（12分）已知函数ωx，其中ω∈（0，3），函数f（x）的图象经过两点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若存在满足﹣1≤g（x）﹣m≤1，求m的取值范围．2017-2018学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数的最小正周期是（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：函数＝﹣tan（πx﹣）的最小正周期为＝1，故选：C．2．（5分）已知，则cos2α＝（）A．B．C．D．【解答】解：，则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故选：A．3．（5分）已知0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵0＜a＜1＜b，∴0＜a2＜a＜ab，∴＞＞，故选：A．4．（5分）已知向量，且，则（）A．m＝2，n＝1B．m＝﹣2，n＝﹣1C．m＝﹣2，n＝1D．m＝2，n＝﹣1【解答】解：向量，且，∴，解得m＝2，n＝1．故选：A．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积等于3a sin B，则c＝（）A．1B．3C．6D．9【解答】解：由题意可得：ac sin B＝3a sin B，解得c＝6．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝﹣14，a2＝﹣8，则S12＝（）A．128B．64C．132D．66【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d＝﹣8，S7＝7a1+d＝﹣14，联立解得a1＝﹣11，d＝3，∴S12＝12a1+d＝66故选：D．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z＝x+2y为y＝﹣+，联立，解得A（5，3），由图可知，当直线z＝x+2y过点（5，3）时，z取得最大值11．故选：D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且△ABC 的面积为30，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：由，且△ABC的面积为30，得，①，②联立①②解得：b＝13，c＝5．∴a2+c2＝b2，即△ABC是直角三角形．故选：B．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期为π，且对任意的x∈R，都有，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于对称B．当时，f（x）取得最小值C．函数是偶函数D．f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y＝sinωx【解答】解：∵函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，故f（x）＝cos（2x+φ）．且对任意的x∈R，都有，则f（）是f（x）的最小值，故2•+φ＝2kπ+π，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝cos（2x﹣）．由于f（）＝，不是最值，故数f（x）的图象不关于对称，故排除A；当时，f（x）＝1，取得最大值，故排除B；函数＝cos2x，是偶函数，故C正确；把f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y＝cos（2x+﹣）＝cos （2x﹣），故排除D，故选：C．10．（5分）已知，且，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∵＜＜，＜α+β＜，由，，得cos（）＝，cos（α+β）＝﹣．∴＝cos[（α+β）﹣（）]＝cos（α+β）cos（）+sin（α+β）sin （）＝＝．故选：B．11．（5分）若函数f（x）＝sin（2x﹣）与g（x）＝cos（x+）都在区间（a，b）（0＜a＜b＜π）上单调递减，则b﹣a的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．12．（5分）已知f（x）＝x2﹣2ax+3．若f（sin x）的值域为，则m＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝x2﹣2ax+3，f（sin x）的值域为，∴f（sin x）＝sin2x﹣2a sin x+3＝（sin x﹣a）2+3﹣a2，∵sin x∈[﹣1，1]．∴f（﹣1）＝（﹣1﹣a）2+3﹣a2＝1+a2+2a+3﹣a2＝4+2a，f（1）＝（1﹣a）2+3﹣a2＝1+a2﹣2a+3﹣a2＝4﹣2a，∴或，解得m＝．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知等比数列{b n}满足b5b8＝128，b6＝8，则该数列的公比q＝2．【解答】解：数列{a n}是等比数列，其中b5b8＝128，b6＝8，则•b6q2＝128，则q＝＝2，故答案为：214．（5分）在梯形ABCD中，，设，则＝+．（用表示）【解答】解：＝＝+＝﹣）＝故答案为．15．（5分）在△ABC中，若A＝60°，，则△ABC的面积为3+．【解答】解：∵△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝2，∴由正弦定理得：，可得：＝，解得：sin B＝，∵AC＜BC，B为锐角，∴可得B＝45°，C＝75°，可得sin75°＝sin（45°+30°）＝，∴△ABC的面积＝×2×2×sin75°＝3+．故答案为：3+．16．（5分）在平行四边形ABCD中，，，且，则平行四边形ABCD的面积的最大值为9．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∵，且，∴＝（）•（）＝（）•（）＝＝6，∴•AB•AD≤（）2＝9，即AB•AD≤9，当且仅当时取等号，∴平行四边形ABCD的面积的最大值为9．故答案为：9．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（1）求不等式2x2﹣7x≤9的解集；（2）已知长方形ABCD的周长为12，求它的面积的最大值．【解答】解：（1）不等式2x2﹣7x≤9可化为2x2﹣7x﹣9≤0，即（2x﹣9）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤，∴原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}；（2）设长方形ABCD的长和宽分别为x和y，且x、y＞0，则它的周长为2（x+y）＝12，即x+y＝6；又长方形ABCD的面积为xy，由基本不等式得≤，∴xy≤＝32＝9，当且仅当x＝y＝3时取“＝”；∴长方形ABCD面积的最大值为9．18．（12分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n＝n2+7n．（1）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a n b n a n+1＝1，数列{b n}的前n项和为T n，且成等比数列，求n．【解答】解（Ⅰ）已知S n为数列{a n}的前n项和，且2S n＝n2+7n①，当n≥2时，②，①﹣②得：2a n＝2n+6，所以：a n＝n+3，当n＝1时，符合通项．故：a n＝n+3．（Ⅱ）由于a n b n a n+1＝1，所以：＝，则：＝，由于成等比数列，所以：，则：，解得：n＝8．19．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）的图象关于直线对称，且ω∈（0，2]，求函数f（x）的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴﹣＝+kπ，k∈Z，∴ω＝1+k，k∈Z，∵ω∈（0，2]，∴ω＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+，令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z），（2）f（x）＝sin（2x﹣）+，∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴0≤f（x）≤，∴函数f（x）的值域是[0，]．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B≤，（a2+c2﹣b2）sin B＝ac cos B．（1）求B；（Ⅱ）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B≤，（a2+c2﹣b2）sin B＝ac cos B．当B＝时，a2+c2﹣b2＝0，cos B＝0，成立；当B＜时，∴＝，∴sin B＝，∴B＝．综上，B的值为或（Ⅱ）∵b＝2，a+c＝4，∴由余弦定理cos B＝＝，把b＝2代入上式得，a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝16﹣2ac∴12﹣2ac＝ac∴ac＝4∴△ABC的面积S＝ac sin B＝＝．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ），向量＝（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），λ＞0．（1）若向量与的夹角为，＜β＜α＜2π，求α﹣β的值；（2）若对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）已知向量＝（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ）①，向量＝（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），则：＝＝（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ）②，由①②得：，，所以：，．设向量与的夹角为θ，所以：＝sin（α﹣β），由于，所以：．由于：＜β＜α＜2π，所以：，则：．（2）由于对任意实数α，β都使得|﹣|≥||成立，而：，由于，所以对任意的实数α，β都成立．由于1﹣2λsin（α﹣β）≥0对任意的实数α，β都成立，所以：，所以：，解得：，所以：．22．（12分）已知函数ωx，其中ω∈（0，3），函数f（x）的图象经过两点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若存在满足﹣1≤g（x）﹣m≤1，求m的取值范围．【解答】解：（1）函数ωx＝﹣＝[cos（2ωx﹣）+cos2ωx]＝[cos2ωx+sin2ωx]＝cos（2ωx﹣），其中ω∈（0，3），∵函数f（x）的图象经过两点，∴•＝，∴ω＝1，f（x）＝cos（2x﹣）．（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝cos（2x﹣）＝sin2x的图象．若存在，则2x∈[﹣，]，sin2x∈[﹣1，]，﹣≤g（x）≤．∵满足﹣1≤g（x）﹣m≤1，即m﹣1≤g（x）≤m+1，∴，即1﹣m≤﹣．。
河北省邢台市学高一数学下学期期末试卷含解析
2016-2017学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．角﹣2015°所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．不等式x（x﹣1）≥x的解集为（）A．{x|x≤0或x≥2}B．{x|0≤x≤3}C．{x|x≥2}D．{x|x≤0或x≥1}3．函数f（x）=sin（2x+）图象的对称轴方程可以为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=﹣4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，△ABC的面积为4，则边c的值为（）A．16 B．16C．8 D．85．已知tan（π﹣x）=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．已知△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则以下为钝角三角形的是（） A．a=3，b=3，c=4 B．a=4，b=5，c=6 C．a=4，b=6，c=7 D．a=3，b=3，c=57．在正项等比数列{an }中，a3=，S3=，则数列{an}的通项公式为（）A．×B．2×C．2×D．×3n﹣18．若a＞b＞0＞c，则以下不等式恒成立的是（）A．+＞B．＞C．ac＞bc D．a2+b2＞c29．将函数y=（sinx+cosx）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数图象的解析式是（）A．y=cos B．y=sin（） C．y=﹣sin（2x+）D．y=sin（2x+）10．在△ABC中，（sinA+sinB）（sinA﹣sinB）≤sinC（sinC﹣sinB），则A的取值范围是（）A．（0，] B．[）C．（0，] D．[）11．已知定义在R上的奇函数f（x）的周期为4，其图象关于直线x=1对称，且当x∈（2，3]时，f（x）=﹣（x﹣2）（x﹣4），则f（sin），f（sin1），f（cos2）的大小关系为（）A．f（cos2）＞f（sin1）＞f（sin）B．f（cos2）＞f（sin）＞f（sin1）C．f（sin）＞f（cos2）＞f（sin1）D．f（sin1）＞f（sin）＞f（cos2）12．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，对于第n行按从左往右的顺序依次标记第1列，第2列，…，第m列，（比如三角形数表中12在第5行第4列，18在第6行第3列），则三角形数表中2015在（）A．第63行第2列B．第62行第12列C．第64行第30列D．第64行第60列二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）13．已知数列{an }的前n项和为Sn=n（2n+1），则a10= ．14．已知x，y满足，则z=2y﹣x的最大值为．15．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进xm到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x= （单位：m）．16．已知0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，tan，则tanα=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推算步骤）17．已知等比数列{an }中，a2=，a3+a4=，且a1＞a2．（1）求数列{an }的前n项和Sn；（2）设bn =log3（a1a2）+log3（a2a3）+…+log3（anan+1），求数列{bn}的通项公式．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b的长．19．已知函数f（x）=2sin（2x+）+1；（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．20．已知不等式ax2﹣3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）=（2a+b）x﹣（x∈A）的最小值．21．已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=?，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．22．数列{an }的前n项和为Sn，若a1=3，Sn和Sn+1满足等式Sn+1=Sn+n+1．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn }满足bn=an?2，求数列{bn}的前n项和Tn．2016-2017学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．角﹣2015°所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：象限角、轴线角．专题：三角函数的求值．分析：利用终边相同的角的集合定理即可得出．解答：解：∵﹣2015°=﹣360°×6+145°，而90°＜145°＜180°，∴角﹣2015°所在的象限为第二象限．故选：B．点评：本题考查了终边相同的角的集合定理，属于基础题．2．不等式x（x﹣1）≥x的解集为（）A．{x|x≤0或x≥2}B．{x|0≤x≤3}C．{x|x≥2}D．{x|x≤0或x≥1}考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由x（x﹣1）≥x，得x（x﹣2）≥0，即可得到不等式的解集．解答：解：由x（x﹣1）≥x，得x（x﹣2）≥0，所以其解集为{x|x≤0，或x≥2}故选：A．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．3．函数f（x）=sin（2x+）图象的对称轴方程可以为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性求得函数f（x）=sin（2x+）图象的对称轴方程．解答：解：对于函数f（x）=sin（2x+）=cos2x，令2x=kπ，k∈z，求得x=，k∈z，可得函数f（x）=sin（2x+）图象的对称轴方程为x=，k∈z，故选：D．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=60°，b=2，△ABC的面积为4，则边c的值为（）A．16 B．16C．8 D．8考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：由已知根据三角形面积公式即可得解．解答：解：∵A=60°，b=2，△ABC的面积为4，∴△ABC的面积S=bcsinA==4，∴解得：C=8．故选：C．点评：本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．5．已知tan（π﹣x）=，则tan2x等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的正切．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式可求tanx，即可利用二倍角的正切函数公式即可求值．解答：解：∵tan（π﹣x）=﹣tanx=，∴tanx=﹣，∴tan2x==﹣．故选：D．点评：本题主要考查了诱导公式，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．6．已知△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则以下为钝角三角形的是（） A．a=3，b=3，c=4 B．a=4，b=5，c=6 C．a=4，b=6，c=7 D．a=3，b=3，c=5考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理判断最大角为钝角即可得出．解答：解：D．由余弦定理可得：=＜0，∴C为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．同理可得A．为锐角三角形；B．为直角三角形；C．为锐角三角形．故选：D．点评：本题考查了利用余弦定理判断三角形的形状方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．在正项等比数列{an }中，a3=，S3=，则数列{an}的通项公式为（）A．×B．2×C．2×D．×3n﹣1考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据条件建立方程组，求出公比即可得到结论．解答：解：设公比为q，（q＞0），则由a3=，S3=，得，消去首项得12q2﹣q﹣1=0，∴q=或q=﹣（舍），∴a1=2，则an=2×，故选：C点评：本题主要考查等比数列通项公式的求解，根据条件建立方程组求出首项和公比是解决本题的关键．8．若a＞b＞0＞c，则以下不等式恒成立的是（）A．+＞B．＞C．ac＞bc D．a2+b2＞c2考点：不等关系与不等式．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：对四个选项分别进行验证，即可得出结论．解答：解：A、等价于a+b＞1，不恒成立；B、∵a＞b＞0＞c，∴a﹣c＞b﹣c＞0，∴＜，∵c＜0，∴恒成立；C、取a=2，b=1，c=﹣5，则ac=﹣10，bc=﹣5，∴ac＜bc，∴ac＞bc不成立；D、取a=2，b=1，c=﹣5，则a2+b2=5，c2=25，∴a2+b2＜c2，a2+b2＞c2不成立．故选：B．点评：本题考查不等关系，考查学生的计算能力，比较基础．9．将函数y=（sinx+cosx）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数图象的解析式是（）A．y=cos B．y=sin（） C．y=﹣sin（2x+）D．y=sin（2x+）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=（sinx+cosx）=sin（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=sin（x+）的图象；再向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=sin[（x+）+]=cos x，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．在△ABC中，（sinA+sinB）（sinA﹣sinB）≤sinC（sinC﹣sinB），则A的取值范围是（）A．（0，] B．[）C．（0，] D．[）考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及正弦定理可得：a2≤b2+c2﹣bc，利用余弦定理可得cosA=，从而可求得A的取值范围．解答：解：∵（sinA+sinB）（sinA﹣sinB）≤sinC（sinC﹣sinB），∴由正弦定理可得：a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2，∴由余弦定理可得：cosA=，∴0．故选：C．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理等知识的应用，属于基本知识的考查．11．已知定义在R上的奇函数f（x）的周期为4，其图象关于直线x=1对称，且当x∈（2，3]时，f（x）=﹣（x﹣2）（x﹣4），则f（sin），f（sin1），f（cos2）的大小关系为（）A．f（cos2）＞f（sin1）＞f（sin）B．f（cos2）＞f（sin）＞f（sin1）C．f（sin）＞f（cos2）＞f（sin1）D．f（sin1）＞f（sin）＞f（cos2）考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的对称性和函数的周期性，画出函数的图象，从而得到函数的单调性，进而求出函数值的大小．解答：解：由题意得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，另外函数f（x）的周期为4，又当x∈（2，3]时，f（x）=﹣（x﹣2）（x﹣4），∴可以画出函数f（x）的图象，如图示：，可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，又﹣1＜cos2＜0＜sin＜sin1＜1，∴f（cos2）＞f（sin）＞f（sin1），故选：B．点评：本题考查了函数的周期性、奇偶性，考查数形结合思想，是一道基础题．12．把正整数按“S”型排成了如图所示的三角形数表，第n行有n个数，对于第n行按从左往右的顺序依次标记第1列，第2列，…，第m列，（比如三角形数表中12在第5行第4列，18在第6行第3列），则三角形数表中2015在（）A．第63行第2列B．第62行第12列C．第64行第30列D．第64行第60列考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：根据已知中的三角形数表，可得前n行共有个数，先确定2015所在的行数，再由该行数的排列规律判断出列数，可得答案．解答：解：由三角形数表中第n行共有n个数，故前n行共有1+2+3+…+n=个数，又由＜2015＜，故2015在第63行，该行数据从左到右依次变小，且第一个数为=2016，故2015在第63行第2列，故选：A点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）13．已知数列{an }的前n项和为Sn=n（2n+1），则a10= 39 ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用a10=S10﹣S9直接计算即可．解答：解：∵Sn=n（2n+1），∴a10=S10﹣S9=10×21﹣9×19=210﹣171=39，故答案为：39．点评：本题考查求数列某项的值，注意解题方法的积累，属于基础题．14．已知x，y满足，则z=2y﹣x的最大值为 3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=2y﹣x，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），此时z的最大值为z=2×2﹣1=3，故答案为：3点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进xm到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x= （单位：m）．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由题意设AB=x，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案．解答：解：由题意设AB=x可知∠ABC=180°﹣105°=75°，∠ACB=180°﹣135°=45°，∠A=60°，根据正弦定理可得：，即，∴x=．故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，关键在于能够画出简图．属基础题16．已知0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，tan，则tanα=．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α﹣β）的值，再利用两角和差的正切公式求得tanα的值．解答：解：∵0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，∴cos（α﹣β）=，α﹣β∈（﹣，0），∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣，即==﹣，求得tanα=．故答案为：．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推算步骤）17．已知等比数列{an}中，a2=，a3+a4=，且a1＞a2．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）设bn=log3（a1a2）+log3（a2a3）+…+log3（anan+1），求数列{bn}的通项公式．考点：数列递推式；等比数列的前n项和．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过a2=、a3+a4==a2（q+q2），可得公比，进而可得结论；（2）通过（1）可知an=，进而anan+1=，利用对数的性质计算即可．解答：解：（1）∵a2=，∴a3+a4==a2（q+q2），∴q=或﹣（舍），∴a 1===，∴S n ==﹣?； （2）由（1）可知a n ==，∴a n a n+1=?=，∴b n =log 3（a 1a 2）+log 3（a 2a 3）+…+log 3（a n a n+1） =log 3+log 3+…+log 3=﹣3﹣5﹣…﹣（2n+1） =﹣=﹣n （n+2）．点评： 本题考查求数列的通项及前n 项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a=2，A=．（Ⅰ）若b=2，求角C 的大小；（Ⅱ）若c=2，求边b 的长． 考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 解三角形．分析： （Ⅰ）根据正弦定理和已知条件求得sinB 的值，进而求得B ，最后利用三角形内角和求得C ．（Ⅱ）用余弦定理列出关于b 的表达式，整理求得b ．解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理=，∴sinB=sinA=×=，∴B=或，∵b＜a ，∴，∴．（Ⅱ）依题意，，即．∴b2﹣2b﹣8=0，又b＞0，∴b=4．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．灵活运用正弦和余弦定理解三角形问题．19．已知函数f（x）=2sin（2x+）+1；（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．（2）令f（x）=0，求出x的值，可得相邻的零点之间的间隔依次为、．f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，等价于b﹣a的最小值为2×+3×．解答：解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+）+1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（2）令f（x）=0，求出sin（2x+）=﹣，∴x=kπ﹣，或x=kπ﹣，故相邻的零点之间的间隔依次为、．y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，等价于b﹣a的最小值为2×+3×=．点评：本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性和零点，属于基础题．20．已知不等式ax2﹣3x+2＜0的解集为A={x|1＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）=（2a+b）x﹣（x∈A）的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；一元二次不等式的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得结论；（2）利用基本不等式，可求函数的最小值．解答：解：（1）由题意知：，解得a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，∴A={x|1＜x＜2}，，而x＞0时，，当且仅当，即时取等号，而，∴f（x）的最小值为12．点评：本题考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，属于基础题．21．已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=?，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）根据向量的数量积公式，倍角公式，辅助角公式，化简函数的解析式，结合f （x）图象的一条对称轴为x=，求出ω=1，代入可得f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，可得α，β的余弦值，代入差角的余弦公式，可得答案．解答：解：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=?=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x=．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（π）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=．点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，数量积公式，倍角公式，辅助角公式，两角差的余弦公式，难度中档．22．数列{an }的前n项和为Sn，若a1=3，Sn和Sn+1满足等式Sn+1=Sn+n+1．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn }满足bn=an?2，求数列{bn}的前n项和Tn．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由Sn+1=Sn+n+1，两边同除以n+1，可得﹣=1，即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）Sn ．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出数列{an}的通项，再利用错位相减法，可求数列{bn }的前n项和Tn．解答：（Ⅰ）证明：∵Sn+1=Sn+n+1，∴﹣=1，∴数列{}是以3为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得=3+n﹣1=n+2，化为Sn=n2+2n．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．又a1=3也满足．∴数列{an }的通项公式为an=2n+1．∴bn =an?2=（2n+1）?22n+1．∴Tn=3?23+5?25+…+（2n+1）?22n+1，∴4Tn=3?25+5?27+…+（2n+1）?22n+3，两式相减，整理可得Tn=．点评：数熟练掌握等差数列的定义、通项公式、错位相减法及其利用“当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，”求an的方法等是解题的关键．。
河北省邢台市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题答案(PDF)
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河北省邢台市第八中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
邢台市第八中学2018-2019年度第二学期期末考试试题高一年级数学一：选择题。
1.一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是 ( )A. 5海里/时B. 海里/时C. 10海里/时D. 海里/时【答案】C【解析】【分析】在中，计算得到，，在计算得到，得到答案.【详解】如图依题意有,,∴,从而,在中,求得,∴这艘船的速度是 (海里/时)【点睛】本题考查了三角函数的应用，属于简单题.2.若数列满足：，而数列的前项和最大时，的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】 方法一： ∵，∴，∴数列是首项为19，公差为-3的等差数列．则．所以时，取最大值．选B ．方法二： ∵，∴，∴数列是首项为19，公差为-3的等差数列．∴， ∴当时，；当时，．所以时，取最大值．选B ．点睛：求等差数列前n 项和最值的常用方法： ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； ②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； ③将等差数列的前n 项和 (A 、B 为常数)看作关于项数n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值．3.已知数列的前项和,那么它的通项公式( )A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 利用关系式代入公式得到通项公式，再验证时的情况得到答案.【详解】当时,,当时,,也满足上式,故数列的通项公式为，故选B.【点睛】本题考查了通项公式里的关系式，忘记验证时的情况是学生容易犯的错误.4.已知等比数列的公比为正数,且,则 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为，等比数列中，若，且，所以有，故选A。
考点：等比数列的性质。
点评：简单题，等比数列中，若。
5.在中分别为角所对的边,若,则此三角形一定是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】在中，，，此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.6.在中, ,,则 ( )A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【详解】由正弦定理得, 或,故选C.【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.7.在中,内角的对边分别为，若,则角等于( )A. 30°B. 60°C. 150°D. 120°【答案】D【解析】【分析】首先利用正弦定理将角的关系转换为边的关系，再利用余弦定理得到答案.【详解】由题及正弦定理,得,即,∴.又∵∴,故选D.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.8.函数的最小正周期为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可．解：由三角函数的周期公式可知，函数的最小正周期为T==π故答案为B．点评：本题考查三角函数的周期公式的应用，是基础题，送分题．9.已知是非零向量,且满足,则与的夹角是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，则，所以，所以，所以，故选B．考点：向量的运算及向量的夹角．10.已知则的值是（）A. -1B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由，得到，利用两角和的正切函数公式化简，即可得到所求式子的值．【详解】由由，得到，所以，即，则．故选：C．【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.11.在等差数列中,若,则 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给出的条件，直接运用等差数列的性质可求．【详解】∵,∴.故选C.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．12.若是第三象限的角, 则是( )A. 第一或第二象限的角B. 第一或第三象限的角C. 第二或第三象限的角D. 第二或第四象限的角【答案】B【解析】是第三象限角，，，，故当为偶数时，是第一象限角；故当为奇数时，是第三象限角，故选B.二:填空题。
河北省邢台市英才中学2018-2019学年高一数学文期末试卷含解析
河北省邢台市英才中学2018-2019学年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量，则（）A． B． C． D．参考答案：B2. 对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），当x∈[a，b]时，f （x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“Kobe函数”．若函数f（x）=k+是“Kobe函数”，则实数k的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[1，+∞）C．[﹣1，﹣)D．(，1]参考答案：D【考点】函数的值域．【分析】根据新定义，当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，可知函数f（x）是增函数，其图象与y=x有两个不同的交点．即可求解．【解答】解：由题意，当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，可知函数f（x）是增函数，其图象与y=x有两个不同的交点，可得：x=k+，必有两个不相等的实数根．即：x﹣k=，∵，即x≥1，∴1﹣k≥0，可得k≤1．那么：（x﹣k）2=x﹣1有两个不相等的实数根．其判别式△＞0，即（2k+1）2﹣4k﹣4＞0，解得：k，∴实数k的取值范围是（，1]．故选D．3. 下列四组中的函数与，是同一函数的是（）A． B．C．D．参考答案：A4. 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0，则m 的取值范围是( )A. B. C．D．参考答案：A由已知g(x)＝2x－2<0，可得x<1，要使?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，必须使x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，当m＝0时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＝0不满足条件，所以二次函数f(x)必须开口向下，也就是m<0，要满足条件，必须使方程f(x)＝0的两根2m，－m－3都小于1，即可得m∈(－4,0)．5. 设D为△ABC所在平面内一点, ,若,则等于( )A．－2 B．－3 C. 2 D．3参考答案：C若，，化为，又因为，所以可得，解得，故选C.6. 等边三角形ABC的边长为1，，，，那么等于（）A. 3B.C.D.参考答案：D【分析】在等边三角形中，得到，且向量的两两夹角都为，利用数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，在等边三角形中，，，，则，且向量两两夹角都为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7. 已知，则的值是: ( )A．5 B．7 C． 8 D．9参考答案：B8. 右图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A. 2B.4C. 4D.8参考答案：C略9. 等差数列的前n项和为，已知，，则（）A. 2014B. 4028C.0 D.参考答案：A略10. 函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时，=（）A. B. C.D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，将其图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若函数为奇函数，则的最小值为．参考答案：因为函数，将其图像向右平移个单位长度后得，又因为函数为奇函数，所以,，因为因此，最小值为.12. 已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小的圆锥与体积较大的圆锥体积之比为________．参考答案：13. 设定义在R上的函数同时满足以下条件；①；②；③当时，.则_______.参考答案：14. 若，其中是第二象限角，则____.参考答案：【分析】首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果．【详解】解：，又是第二象限角故，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．15. 若函数f（x）=a x（0＜a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，则m= ．参考答案：2或【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a 值，再求出其最小值即可．【解答】解：①当a＞1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递增，则f（x）的最大值为f（2）=a2=4，解得：a=2，最小值m=f（﹣1）==；②当0＜a＜1时，f（x）在[﹣1，2]上单调递减，则f（x）的最大值为f（﹣1）==4，解得a=，此时最小值m=f（2）=a2=，故答案为：2或．【点评】本题考查指数函数的单调性及其应用，考查分类讨论思想，对指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1），当a＞1时f（x）递增；当0＜a＜1时f（x）递减．16. （1）函数的图象必过定点，定点坐标为__________．（2）已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．参考答案：（1）（-1,-1），（2）[-1,2]17. 若f（x）=x2+a，则下列判断正确的是（）A．f（）=B．f（）≤C．f（）≥D．f（）＞参考答案：B【考点】二次函数的性质．【分析】利用作差法，即可判断两个式子的大小．【解答】解：f（）﹣==≤0，∴f（）≤，故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【市级联考】河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
绝密★启用前【市级联考】河北省邢台市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合A ={x|x 2=1}，B ={x|x 2=2x}，则A ∪B =（ ） A ．{−1,0,1,2} B ．{0} C ．{−1,1,2} D ．{1,2} 2．若45∘角的终边上有一点(4−a,a +1)，则a =（ ） A ．3 B ．−32C ．1D ．323．已知sinαtanα<0，tanαcosα<0，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知幂函数y =f(x)的图像经过点(2,√22)，则f(log 2√2)=（ ）A ．√2B ．√3C ．12 D ．15．设向量e 1⃑⃑⃑ ,e 2⃑⃑⃑ 是平面内的一组基底，若向量a =−3e 1⃑⃑⃑ −e 2⃑⃑⃑ 与b ⃑ =e 1⃑⃑⃑ −λe 2⃑⃑⃑ 共线，则λ=（ ）A ．3B ．13 C ．-3 D ．−136．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q （束）与销售单价x （元）的关系为Q =100−5x ，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为（ ）A ．15元B ．13元C ．11元D ．10元7．设函数g(x)={−1,x ∈{x|x =2k −1,k ∈Z}，则下列结论不正确的是（ ）○…………※※订※※线※※内○…………A ．g(x)的值域为{−1,1} B ．g(x)不是单调函数 C ．g(x)是奇函数 D ．g(x)是周期函数8．已知P 1(0,5)，P 2(2,−1)，P 3(−1,4)，则向量P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 在向量P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向上的投影是（ ） A ．4 B ．2√10 C ．2√2 D ．√1059．函数f(x)=sin(ωx +ϕ) (ω>0,|ϕ|<π2)的部分图像如图所示，以下说法： ①f(x)的单调递减区间是[2k +1,2k +5]，k ∈Z ； ②f(x)的最小正周期是4；③f(x)的图像关于直线x =−3对称；④f(x)的图像可由函数y =sin π4x 的图像向左平移一个单位长度得到. 正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．设a =log 63，b =lg5，c =log 147，则a,b,c 的大小关系是（ ） A ．a <b <c B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b11．已知奇函数y =f(x)的图像关于点(π2,0)对称，当x ∈[0,π2)时，f(x)=1−cosx ，则当x ∈(5π2,3π]时，f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)=−1−sinxB ．f(x)=1−sinxC ．f(x)=−1−cosxD ．f(x)=1−cosx12．在ΔABC 中，AB =2，AC =3，cosA =56，若O 为ΔABC 的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则n −2m =（ ） A ．199 B ．−4122 C ．−111 D ．1711第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知半径为2的扇形OAB的弦长AB=2√2，则该扇形的弧长是__________．14．函数f(x)=x+1x−1，x∈[2,6]的最大值为__________．15．已知tan(α+β)=1，tan(α−β)=7，则tan2β=__________．16．若函数f(x)={2x−a,x<1x2−4ax+3a2,x≥1恰有2个零点，则a的取值范围是__________．三、解答题17．已知集合A是函数y=log2(6−2x)+√2x−1的定义域，集合B={x|−1<x−a≤1}.（1）当a=−1时，求A∪B；（2）当A∩B=B时，求实数a的取值范围.18．已知α为第二象限角，f(α)=sin(π2−α)cos(3π2+α)tan(α−π)tan(−α−π)sin(−α−π).（1）化简：f(α)；（2）若tanα=−34，求f(α)的值.19．设单位向量e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 的夹角是π3，且a=−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )，b⃑=4e1⃑⃑⃑ −5e2⃑⃑⃑ .（1）求|a |；（2）求a与b⃑的夹角.20．已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)+a−2的图像经过点(π4,1).（1）求a的值以及f(x)的单调递减区间；（2）当x∈[−π2,π2]时，求使f(x)<1成立的x的取值集合.21．设a=(sinx,sin(x+π4))，b⃑=(cosx,sin(π4−x))，f(x)=2a·b⃑.（1）当x∈[−π2,0]时，求f(x)的最大值和最小值；（2）已知f(−α2)=√33，且当π2≤α≤2π时，求f(α)的值.22．已知函数f(x)=log a(√x2+1−x)（a>0且a≠1）.（2）判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并证明你的结论；（3）当a>1时，若不等式f(√x2+1)−f(−mx)<0对于x∈(0,+∞)恒成立，求m的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】解二次方程，化简集合A，B，进而求并集即可.【详解】因为A={−1,1}，B={0,2}，所以A∪B={−1,0,1,2}.故选：A【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查一元二次方程的解法，属于基础题. 2．D【解析】【分析】利用三角函数定义可得a的方程，解之即可.【详解】因为tan450=a+14−a =1，所以a=32.故选：D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 3．C【解析】【分析】利用三角函数式的符号推断角α的终边所在象限.【详解】因为sinαtanα<0，所以角α在第二或第三象限，又tanαcosα<0，所以角α在第三或第四象限，故角α在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4．A【解析】【分析】设f(x)=x a，点(2,√22)在图像上，解得a值，进而得到结果.【详解】设f(x)=x a，则2a=√22=2−12，故a=−12，f(12)=(12)−12=212=√2故选：A【点睛】本题考查幂函数的表达式，考查计算能力，属于基础题.5．D【解析】【分析】利用向量共线可得−3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ =μ(e1⃑⃑⃑ −λe2⃑⃑⃑ )，从而可得λ值.【详解】因为a与b⃑共线，所以存在μ∈R，使得a=μb⃑，即−3e1⃑⃑⃑ −e2⃑⃑⃑ =μ(e1⃑⃑⃑ −λe2⃑⃑⃑ )，故μ=−3，−λμ=−1，解得λ=−13.故选：D【点睛】本题考查平面向量共线的等价条件，考查函数与方程思想，属于基础题.6．B【解析】【分析】设每天获利y元，可得y=(100−5x)(x−6)−100（0<x≤20），结合二次函数的图像与性质求最值即可.【详解】设每天获利y 元，则y =(100−5x)(x −6)−100=−5(x −13)2+145 由x >0，Q =100−5x ≥0，得0<x ≤20， 故当x =13时，每天获利最大. 故选：B 【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况. 7．C 【解析】 【分析】利用分段函数的图像与性质逐一判断即可. 【详解】A,B 选项显然正确；因为x 与−x 的奇偶性相同，所以g(−x)=g(x)，故g(x)是偶函数，C 选项不正确； g(x)是以2为周期的周期函数，D 选项正确. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，涉及到函数的值域，函数的单调性，奇偶性，周期性，考查逻辑推理能力与数形结合能力. 8．C 【解析】 【分析】求出P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，利用|P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |即可得到结果. 【详解】因为P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−6)，P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =4，|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2，所以|P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |cosθ=P 1P 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|P 1P 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√2=2√2.故选：C【点睛】本题考查了平面向量投影的定义，解题时应根据定义代入计算即可，是基础题．9．B【解析】【分析】由图像可知f(x)的周期为8，可得ω，进而得到φ，结合正弦型函数的图像与性质逐一判断即可.【详解】由图像可知f(x)的周期为8，故ω=2π8=π4，f(x)=sin(π4x+φ)，将点(1,1)代入解析式，得1=sin(π4+φ)，故π4+φ=2kπ+π2，所以φ=2kπ+π4，k∈Z因为|φ|<π2，所以φ=π4，所以f(x)=sin(π4x+π4)，故①②错，③④正确.故选：B【点睛】已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式(1)A=y max−y min2,B=y max+y min2.(2)由函数的周期T求ω,T=2πω.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 10．A【解析】【分析】构造函数f(x)=log x x2，利用单调性比较大小即可.【详解】构造函数f(x)=log x x2=1−log x2=1−1log2x，则f(x)在(1,+∞)上是增函数，又a=f(6)，b=f(10)，c=f(14)，故a<b<c.故选：A【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.11．C 【解析】 【分析】当x ∈(5π2,3π]时，3π−x ∈[0,π2),结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数y =f(x)的图像关于点(π2,0)对称，所以f(π+x)+f(−x)=0， 且f(−x)=−f(x)，所以f(π+x)=f(x)，故f(x)是以π为周期的函数. 当x ∈(5π2,3π]时，3π−x ∈[0,π2)，故f(3π−x)=1−cos(3π−x)=1+cosx 因为f(x)是周期为π的奇函数，所以f(3π−x)=f(−x)=−f(x) 故−f(x)=1+cosx ，即f(x)=−1−cosx ，x ∈(5π2,3π] 故选：C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题. 12．D 【解析】 【分析】设D,E 分别为AB,AC 的中点，连接OD,OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，从而得到OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】设D,E 分别为AB,AC 的中点，连接OD,OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，又OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 即OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2m 2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 同理OE ⃑⃑⃑⃑⃑ =AE⃑⃑⃑⃑⃑ −AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2n 2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 因为OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2m 2|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |2−nAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 所以1−2m 2×4−5n =0，又OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC⃑⃑⃑⃑⃑ =1−2n 2|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 所以1−2n 2×9−5m =0，联立方程组{1−2m2×4−5n =01−2n2×9−5m =0，解得{m =−922n =811 ，所以n −2m =1711. 故选：D 【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．π 【解析】 【分析】利用勾股定理可知圆心角为直角，结合弧长公式得到结果. 【详解】在ΔOAB 中，AB 2=OA 2+OB 2=8， 故∠AOB =π2，故弧长l =π2×2=π故答案为：π 【点睛】本题考查弧长公式，考查计算能力，属于基础题. 14．3 【解析】 【分析】利用函数的单调性即可得到最大值. 【详解】因为f(x)=x+1x−1=1+2x−1在[2,6]上单调递减， 所以f(x)max =f(2)=3 故答案为：3 【点睛】本题考查一次分式函数的图像与性质，考查单调性的应用，考查常数分离法，属于基础题. 15．−34 【解析】 【分析】利用两角差正切公式即可得到结果. 【详解】tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=1−71+1×7=−34, 故答案为：−34【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题. 16．{α|13≤a <1或a ≥2}或写成[13,1)∪[2,+∞) 【解析】 【分析】对a 分类讨论，结合指数函数与二次函数的图像与性质进行分析即可. 【详解】①当a ≥2时，因为当x <1时，2x <2，故f(x)=2x −a 无零点，所以，当x ≥1时，f(x)=x 2−4ax +3a 2=(x −a)(x −3a)有2个零点，x 1=a ，x 2=3a ，故a ≥2；②当0<a <2时，因为当x <1时，f(x)=2x −a 有1个零点x =log 2a ， 所以当x ≥1时，f(x)=(x −a)(x −3a)只能有1个零点，x =3a ，故{a <13a ≥1，解得13≤a <1； ③当a ≤0时，f(x)无零点综上，实数a 的取值范围是{a|13≤a <1或a ≥2}.故答案为：{α|13≤a <1或a ≥2} 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．17．（1）A ∪B ={x|−2<x <3}（2）{a|1≤a <2} 【解析】【分析】(1) 当a =−1时,化简集合A 与B ，进而求并集即可；（2）由A ∩B =B 可知B ⊆A ，转化为不等式组，即可得到结果. 【详解】（1）依题意得：{6−2x >02x −1≥0，即{x <32x ≥20，解得0≤x <3，即A ={x|0≤x <3} 当a =−1时，B ={x|−1<x +1≤1}={x|−2<x ≤0} 所以A ∪B ={x|−2<x <3} （2）集合B ={x|a −1<x ≤a +1} 由A ∩B =B ，得B ⊆A ， 故{a −1≥0a +1<3 ，解得1≤a <2. 故实数a 的取值范围为{a|1≤a <2}. 【点睛】本题考查了集合的包含关系，考查集合的运算以及不等式的解法，考查计算能力，是一道基础题．18．（1）f(α)=−cosα（2）45【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得到结果； （2）利用同角关系即可得到f(α)的值. 【详解】 （1）因为f(α)=sin(π2−α)cos(3π2+α)tan(α−π)tan(−α−π)sin(−α−π)所以f(α)=cosαsinαtanα−tan(α+π)[−sin(α+π)] 所以f(α)=cosαsinαtanα−tanαsinα=−cosα（2）因为tanα=sinαcosα=−34， 所以sinα=−34cosα，代入得cos2α=1625，因为α为第二象限角，所以cosα=−45，故f(α)=−cosα=45【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，考查诱导公式与同角基本关系式，考查计算能力.19．（1）√7（2）π2【解析】【分析】(1)利用|a |2=|−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )|2结合数量积定义即可得到结果；（2）利用数量积的定义与运算律可得a·b⃑=0，从而得到结果.【详解】（1）因为e1⃑⃑⃑ ,e2⃑⃑⃑ 为单位向量，所以|e1⃑⃑⃑ |=|e2⃑⃑⃑ |=1，因为|a |2=|−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )|2=4e1⃑⃑⃑ 2+4e1⃑⃑⃑ ·e2⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ 2即|a |2=4|e1⃑⃑⃑ |2+4|e1⃑⃑⃑ ||e2⃑⃑⃑ |cosπ3+|e2⃑⃑⃑ |2，所以|a |2=4×12+4×12×cosπ3+12=7，解得：|a |=√7（2）因为a·b⃑=−(2e1⃑⃑⃑ +e2⃑⃑⃑ )(4e1⃑⃑⃑ −5e2⃑⃑⃑ )=−8e1⃑⃑⃑ 2+6e1⃑⃑⃑ ·e2⃑⃑⃑ +5e2⃑⃑⃑ 2=−8×12+6×12×cosπ3+5×12=−8+3+5=0，所以a⊥b⃑，即a与b⃑的夹角为π2.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.20．（1）a=1,f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k∈Z；（2）{x|−π2<x<π4}【解析】【分析】（1）根据函数f （x ）的图象过点(π4,1)求出a 的值，再化f （x ）为正弦型函数，求出它的单调递减区间；(2) 由f(x)<1，得sin(2x −π4)<√22,结合正弦函数图像，解三角不等式即可. 【详解】解：（1）因为函数f(x)=2sinx(sinx +cosx)+a −2的图像经过点(π4,1)， 所以1=2×√22×√2+a −2，解得a =1又f(x)=2sinx(sinx +cosx)−1=2sin 2x +2sinxcosx −1 =1−cos2x +sin2x −1=√2sin(2x −π4), 由π2+2kπ≤2x −π4≤3π2+2kπ,k ∈Z ，得3π8+kπ≤x ≤7π8+kπ,k ∈Z故f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z（2）由f(x)<1，得sin(2x −π4)<√22当x ∈[−π2,π2]时，−5π4≤2x −π4≤3π4故−5π4<2x −π4<π4，解得：−π2<x <π4故使f(x)<1成立的x 的取值集合为{x|−π2<x <π4}. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题． 21．（1）最大值1，最小值−√2（2）2−√53【解析】 【分析】（1）利用数量积运算性质、诱导公式与两角和的正弦公式、正弦函数的图像与性质即可得出f(x)的最大值和最小值； （2）由题意可得cosα−sinα=√33，进而得到cosα+sinα=−√153，从而得到结果． 【详解】（1）f(x)=2sinxcosx +2sin(x +π4)sin(π4−x) =sin2x +2sin(x +π4)cos(x +π4),=sin2x +cos2x , =√2sin(2x +π4),当x ∈[−π2,0]时，−3π4≤2x +π4≤π4，所以当2x +π4=π4，即x =0时，f(x)的最大值为√2sin π4=1 当2x +π4=−π2，即x =−3π8时，f(x)的最小值为√2sin(−π2)=−√2（2）因为f(−α2)=√33，所以√2sin(π4−α)=√33，所以cosα−sinα=√33两边平方，得1−2sinαcosα=13，所以2sinαcosα=23>0 又π2≤α≤2π，所以sinα<0，cosα<0，又(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=1+23=53，所以cosα+sinα=−√153所以sin2α=2sinαcosα=23cos2α=cos 2α−sin 2α=(cosα−sinα)(cosα+sinα)=√33×(−√153)=−√53, 所以f(α)=√2sin(2α+π4)=√2(sin2αcos π4+cos2αsin π4)=2−√53.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，三角函数的恒等变形，考查转化思想，是一道中档题．22．（1）奇函数（2）详见解析（3）1 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义判断即可； （2）利用单调性的定义判断即可；（3）利用函数性质化抽象不等式为√x 2+1>mx 对x >0恒成立，然后变量分离，转求最值即可. 【详解】（1）因为函数f(x)=log a (√x 2+1−x)的定义域为R ， 所以f(−x)=log a (√x 2+1+x)=log a (√x 2+1−x)=−log a (√x 2+1−x)=−f(x)所以函数f(x)为奇函数.（2）f(x)=log a(√x2+1−x)=log a(√x2+1+x)=−log a(√x2+1+x)当a>1时，f(x)在(0,+∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：f(x)=log a(√x2+1−x)=−log a(√x2+1+x)任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=log a(√x22+1+x2)−log a(√x12+1+x1)因为x2>x1>0，所以x22>x12，√x22+1>√x12+1，所以√x22+1+x2>√x12+1+x1所以当a>1时，log a(√x22+1+x2)>log a(√x12+1+x1)，f(x1)−f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.所以当0<a<1时，log a(√x22+1+x2)<log a(√x12+1+x1)，所以f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.（3）由（1）知，f(x)是奇函数，f(√x2+1)+f(−mx)<0，即f(√x2+1)<f(mx).当a>1时，由（2）知，f(x)在(0,+∞)上是减函数，从而在(−∞,+∞)上是减函数，故√x2+1>mx对x>0恒成立，即m<√1+1x2对x>0恒成立.因为y=√1+1x2在(0,+∞)上是减函数，所以y=√1+1x2的值域为(1,+∞).所以m≤1，故实数m的最大值为1.【点睛】本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．。
河北省邢台市2018-2019学年高一下期末数学试卷含答案解析
2018-2019学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合P={x|1＜x＜10}，Q={x|（x+2）（7﹣x）＞0}，则P∩Q等于（）A．{x|﹣2＜x＜10}B．{x|7＜x＜10}C．{x|1＜x＜7}D．{x|1＜x＜2或7＜x＜10}2．在首项为63，公比为2 的等比数列{a n}中，2019是该数列的（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB=，A=，则等于（）A．B．C．D．4．设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．5．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值与最小值分别为（）A．6，﹣3 B．1，﹣3 C．6，﹣2 D．1，﹣26．某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，学生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成绩依次成等差数列，乙、丙也是如此，他们前两次月考的成绩如表：（）第一次月考物理成绩第二次月考物理成绩学生甲80 85学生乙81 83学生丙90 86则下列结论正确的是（）A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大7．若tanα=2tanβ且tan（α﹣β）=，则tanα等于（）A．或6 B．或3 C．或﹣6 D．或﹣38．若x＞0，y＞0，且x2+=1，则的最大值为（）A．B．C．D．9．在数列{a n}中，a﹣a=﹣2，a1=5，记数列{a}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．S2B．S61C．S62D．S6310．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，为得到函数y=cos（ωx+）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．已知向量，的夹角为锐角，||=，||=，且与﹣夹角的余弦值为，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．2或3 D．﹣或12．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，tanA=，则A等于（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=，则f（f（25））=．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9+a13=8﹣ka11，S21=21，则k=．15．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，D为BC边上任意一点，则•＜0的概率为．16．已知S n，T n分别为数列{log2（1+）}与{}的前n项和，若S n+T n＞134，则n的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．（1）求{a n}；（2）若数列{b n}满足，b n+1=b n+a n，b1=a2＞0，求b n．18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且=（0＜λ＜1）．（1）当时，若=x+y，求x，y的值；（2）当AE⊥BD时，求λ的值．19．已知△ABC满足（sin2B+sin2C﹣sin2A）=2sinBsinC．（1）求tanA；（2）若BC=2，求△ABC的面积的最大值．20．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x（x∈R）．（1）若f（t﹣x）=f（t+x）且t∈（0，π），求实数t的值；（2）记函数f（x）在x∈[，]上的最大值为b，且函数f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上单调递增，求实数a的最小值．21．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosA=ccosB+bcosC．（1）若a=4，△ABC的面积为，求b，c的值；（2）若sinB=ksinC（k＞0），且△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．22．在数列{a n}中，a n+1﹣9a n=9n+1，a1=9．（1）求a n；（2）设b n=a n（1+）﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．2018-2019学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合P={x|1＜x＜10}，Q={x|（x+2）（7﹣x）＞0}，则P∩Q等于（）A．{x|﹣2＜x＜10}B．{x|7＜x＜10}C．{x|1＜x＜7}D．{x|1＜x＜2或7＜x＜10}【分析】求出集合Q的范围，再和P取交集即可．【解答】解：P={x|1＜x＜10}，Q={x|（x+2）（7﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜7}，则P∩Q={x|1＜x＜7}，故选：C．2．在首项为63，公比为2 的等比数列{a n}中，2019是该数列的（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【分析】先由首项与公比求出该等比数列的通项公式，由此能求出2019是该数列的第几项．【解答】解：在首项为63，公比为2 的等比数列{a n}中，a n=63×2n﹣1，由a n=63×2n﹣1=2019，解得n=6．故选：B．3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB=，A=，则等于（）A．B．C．D．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值可求sinB，sinA的值，利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵cosB=，B∈（0，π），A=，∴sinB==，sinA=，∴由正弦定理，可得：==．故选：D．4．设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x 的值．【解答】解：向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），∴+=（﹣2，7），又+=λ（λ∈R），∴，解得λ=﹣，x=﹣14；∴λ+x=﹣﹣14=﹣．故选：C．5．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值与最小值分别为（）A．6，﹣3 B．1，﹣3 C．6，﹣2 D．1，﹣2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z=x+y得z=4+2=6．即目标函数z=x+y的最大值为6．当直线y=﹣x+z经过点C（﹣1，﹣2）时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．代入目标函数z=x+y得z=﹣1﹣2=﹣3．即目标函数z=x+y的最小值为﹣3．故选：C6．某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，学生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成绩依次成等差数列，乙、丙也是如此，他们前两次月考的成绩如表：（）第一次月考物理成绩第二次月考物理成绩学生甲80 85学生乙81 83学生丙90 86则下列结论正确的是（）A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大【分析】分别求出甲、乙、丙第三次月考的物理成绩，根据具体的数据判断即可．【解答】解：甲、乙、丙第三次月考的物理成绩分别是90，85，82，∴甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数小于86，故A错误；在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高，故B错误；在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定，故C正确；在这三次月考物理成绩中，甲的成绩方差最大，故D错误；故选：C．7．若tanα=2tanβ且tan（α﹣β）=，则tanα等于（）A．或6 B．或3 C．或﹣6 D．或﹣3【分析】利用两角查的正切公式求得tanβ的值，可得tanα的值．【解答】解：∵tanα=2tanβ且tan（α﹣β）===，∴tanβ=3，或tanβ=，则tanα=2tanβ=6或，故选：A．8．若x＞0，y＞0，且x2+=1，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用基本不等式，即可求出的最大值【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x2+=1≥2，∴≤，∴的最大值为，故选：B．9．在数列{a n}中，a﹣a=﹣2，a1=5，记数列{a}的前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．S2B．S61C．S62D．S63【分析】运用等差数列的定义可得，数列{a}是首项为125，公差为﹣2的等差数列，运用等差数列的通项公式可得a=125+（﹣2）（n﹣1）=127﹣2n，判断数列的单调性，即可得到所求和的最大值．【解答】解：由a﹣a=﹣2，a1=5，可得数列{a}是首项为125，公差为﹣2的等差数列，可设b n=a=125+（﹣2）（n﹣1）=127﹣2n，由b n≥0，b n+1≤0，即127﹣2n≥0，125﹣2n≤0，解得62≤n≤63，即有自然数n为63．由等差数列{a}为递减数列，可得前63项均为正数，第64项起均为负数．则前63项和最大．故选：D．10．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，为得到函数y=cos（ωx+）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】根据函数f（x）的图象求出ω的值，化简f（x），根据平移法则即可得出答案．【解答】解：根据函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象知，函数的周期为T=π，=π，所以ω=2；所以f（x）=sin2x，又f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），且cos[2（x+）﹣]=cos（2x+），所以，为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度．故选：A．11．已知向量，的夹角为锐角，||=，||=，且与﹣夹角的余弦值为，则向量在方向上的投影为（）A．B．3 C．2或3 D．﹣或【分析】可由条件求出，进而得出的值，并可由和建立关于的方程，从而求出，根据投影的计算公式便可求出所求投影的值．【解答】解：根据条件，=14；∴；又∵，=；∴；解得或=﹣1，又∵向量，的夹角为锐角，∴，∴在方向上的投影为=．故选A．12．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，tanA=，则A等于（）A． B． C． D．【分析】利用正弦、余弦定理，化简a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，求出角C的值，再用B 表示出A，代入tanA=，利用三角恒等变换求出B的值，即可得出A的值．【解答】解：△ABC中，a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，∴a2sinB+2ab•cosC•sinA=0，a•sinB+2b•cosC•sinA=0，sinA•sinB+2sinB•cosC•sinA=0，cosC=﹣，且0＜C＜π，∴C=；∴A=﹣B，又tanA=，∴=，sin（﹣B）•cosB+sin（﹣B）=cos（﹣B）•sinB+cos（﹣B），∴ [sin（﹣B）cosB﹣cos（﹣B）sinB]=cos（﹣B）﹣sin（﹣B），即sin（﹣2B）=sin（﹣+B），∴﹣2B=B﹣，解得B=，∴A=﹣=．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．若函数f（x）=，则f（f（25））=﹣1．【分析】首先求出25的函数值，然后求f（25）的函数值，注意自变量范围，确定解析式．【解答】解：由已知，函数f（x）=，则f（25）=﹣=﹣2，﹣2＜0，所以f（﹣2）=，所以f（f（25））=﹣1；故答案为：﹣1．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9+a13=8﹣ka11，S21=21，则k=6．【分析】由等差数列的性质可得：S21=21===21a11，又a9+a13=8﹣ka11，解出即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得：S21=21===21a11，∴a9+a13=8﹣ka11=2，a11=1∴ka11=6，解得k=6．故答案为：6．15．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，D为BC边上任意一点，则•＜0的概率为．【分析】根据题意画出图形，过点A作AM⊥BC，垂足为M，由此得出当点D在线段MC内时，•＜0，从而求出对应的概率值．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，∴BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=22+12﹣2×2×1×cos120°=7，∴BC=；过点A作AM⊥BC，垂足为M，则AM•BC=AB•ACsin120°，∴AM==，∴BM===；当点D在线段BM内时，•=||×||×cos∠ADB＜0，故所求的概率为P===．故答案为：．16．已知S n，T n分别为数列{log2（1+）}与{}的前n项和，若S n+T n＞134，则n 的最小值为127．【分析】求得log2（1+）=log2=log2（n+1）﹣log2n，运用裂项相消求和可得S n=log2（n+1）；由=1+（）n，运用等比数列的求和公式可得T n=n+1﹣（）n．再由构造数列f（n）=log2（n+1）+n+1﹣（）n，判断单调性，即可得到所求最小值．【解答】解：log2（1+）=log2=log2（n+1）﹣log2n，则S n=log22﹣log21+log23﹣log22+log24﹣log23+…+log2（n+1）﹣log2n=log2（n+1）；=1+（）n，可得T n=n+=n+1﹣（）n．S n+T n＞134，即为log2（n+1）+n+1﹣（）n＞134，由f（n）=log2（n+1）+n+1﹣（）n在n∈N*递增，且f127=135﹣（）127∈，即有n的最小值为127．故答案为：127．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．（1）求{a n}；（2）若数列{b n}满足，b n+1=b n+a n，b1=a2＞0，求b n．【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由b1=a2＞0，取a n=4×3n﹣1，可得b1=12．变形为b n+1﹣b n=a n=4×3n﹣1，利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=4，且2a2+a3=60．∴4×（2q+q2）=60，化为：q2+2q﹣15=0，解得q=﹣5，或q=3．∴a n=4×（﹣5）n﹣1，或a n=4×3n﹣1．（2）∵b1=a2＞0，∴a n=4×3n﹣1，可得b1=12．∴b n+1﹣b n=a n=4×3n﹣1，∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=4×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+12=+12=2×3n﹣1+10．18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且=（0＜λ＜1）．（1）当时，若=x+y，求x，y的值；（2）当AE⊥BD时，求λ的值．【分析】（1）建立平面直角坐标系，表示出向量、和，利用平面向量的坐标表示和向量相等列出方程组，即可求出x和y的值；（2）设出点E（x，y），利用AE⊥BD时•=0，和与共线，列出方程组，解方程组求出点E的坐标，即可求出λ的值．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示；则A（0，0），B（0，2），C（6，0），D（3，0），当时，=，E是BC的中点，所以E（3，1），=（3，﹣2），=（6，0），=（3，1）；又=x+y，所以（3，1）=x（3，﹣2）+y（6，0）=（3x+6y，﹣2x），即，解得x=﹣，y=；（2）设点E（x，y），则=（x，y）；当AE⊥BD时，•=0，即3x﹣2y=0①；又=（x，y﹣2），=（6，﹣2），且与共线，所以﹣2x﹣6（y﹣2）=0②；由①②组成方程组，解得x=，y=；所以=（，﹣），所以=，即λ的值为．19．已知△ABC满足（sin2B+sin2C﹣sin2A）=2sinBsinC．（1）求tanA；（2）若BC=2，求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）利用正弦定理把角化边，再利用余弦定理得出cosA，从而得出tanA；（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（1）∵（sin2B+sin2C﹣sin2A）=2sinBsinC，∴b2+c2﹣a2=．∴cosA==．∴sinA==．∴tanA==．（2）由余弦定理得cosA===，∴b2+c2=+8≥2bc，∴bc≤6+2．∴S△ABC=bcsinA=bc≤+．∴△ABC的面积的最大值为．20．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x（x∈R）．（1）若f（t﹣x）=f（t+x）且t∈（0，π），求实数t的值；（2）记函数f（x）在x∈[，]上的最大值为b，且函数f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上单调递增，求实数a的最小值．【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的对称轴方程求出f（x）的对称轴方程，结合条件求出t 的值；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的最大值，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间，由条件求出a的范围和最小值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=，由得，，∵f（t﹣x）=f（t+x），∴函数f（x）的对称轴是x=t=，∵t∈（0，π），∴t=；（2）∵x∈[，]，∴，当时，f（x）=取最大值是2，即b=2，由得，，∴f（x）的单调递增区间是，∵函数f（x）在[aπ，2π]（a＜2）上单调递增，∴k=1时增区间是，k=0时增区间是，则，∴实数a的最小值是．21．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosA=ccosB+bcosC．（1）若a=4，△ABC的面积为，求b，c的值；（2）若sinB=ksinC（k＞0），且△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．【分析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；（2）利用正弦定理和余弦定理，讨论B为钝角和C为钝角时，分别求出k的取值范围．【解答】解：△ABC中，4acosA=ccosB+bcosC，∴4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，∴cosA=，∴sinA==；（1）a=4，∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2﹣bc=16①；又△ABC的面积为：S△ABC=bc•sinA=bc•=，∴bc=8②；由①②组成方程组，解得b=4，c=2或b=2，c=4；（2）当sinB=ksinC（k＞0），b=kc，∴a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（kc）2+c2﹣2kc•c•=（k2﹣k+1）c2；当B为钝角时，a2+c2＜b2，即（k2﹣k+1）+1＜k2，解得k＞4；当C为钝角时，a2+b2＜c2，即（k2﹣k+1）+k2＜1，解得0＜k＜；所以△ABC为钝角三角形，k的取值范围是0＜k＜或k＞4．22．在数列{a n}中，a n+1﹣9a n=9n+1，a1=9．（1）求a n；（2）设b n=a n（1+）﹣1，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）对等式两边除以9n+1，运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得b n=n•9n+（2n﹣1），运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．【解答】解：（1）a n+1﹣9a n=9n+1，a1=9．可得﹣=1，即有数列{}为首项为1，公差为1的等差数列，可得=1+（n﹣1）=n，即有a n=n•9n；（2）b n=a n（1+）﹣1=n•9n•（1+）﹣1=n•9n+（2n﹣1），可得前n项和S n=（1•9+2•92+…+n•9n）+（1+3+…+2n﹣1）．设T n=1•9+2•92+…+n•9n，9T n=1•92+2•93+…+n•9n+1，两式相减可得，﹣8T n=9+92+…+9n﹣n•9n+1=﹣n•9n+1，化简可得T n=（8n﹣1）+，则S n=T n+n（1+2n﹣1）=（8n﹣1）++n2．2019年8月18日。
河北省邢台市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
是符合题目要求的.
1.已知集合 A {x | 2 x 2} , B x | log2 x 2,则 A ðR B ( )
A. {x | 2 x 0}
B. {x | 2 x 0}
C. {x | 2„ x„ 4}
D. {x | 0 x„ 2}
【答案】A
【解析】
【分析】
解对数不等式求得集合 B ，由此求得 ðU B ，进而求得 A ðR B .
(0,
]
【答案】C
【解析】
【分析】
根据偶次方根的被开方数为非负数、对数真数大于零，结合三角不等式的解法，求得函数的
定义域.
sin x cos x 0, x… 0,
2k x 5 2k , k Z,
4
4
【详解】由 x 2… 0,
得 2„ x„ ,
故
x
7 4
,
3 4
4
,
得 f (x 1) f (x 2) ,则当 x>0 时, f (x 6) f (x) ,故
f (2020) f (4) f (1) f (1) f (0) 1 e .
故选：C
【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的周期性，属于基础题.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
8.函数 y 2x2 2x1 的单调递增区间为(
)
A. (, 1]
B. [1, )
C. (,1]
D. [1, )
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复合函数单调性同增异减，判断出函数的单调递增区间.