2015年高考数学母题题源系列 专题06 三次函数的图象与性质 文(含解析)
三次函数的图像与性质
【母题来源】2015安徽卷文–10
【母题原题】函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）a>0，b<0，c>0，d>0
（B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0 【答案】A ．
【考点定位】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.，属于中等题．
【试题解析】
由函数)(x f 的图象可知0>a ，令0=x ⇒0>d
又c bx ax x f ++='23)(2
，可知21,x x 是0)(='x f 的两根
由图可知0,021>>x x
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
>=>-=+030322121a c x x a b x x ⇒⎩⎨
⎧<<00c b ；故A 正确. 【命题意图】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结合函数的单调
性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力. 【方法、技巧、规律】三次函数32y ax bx cx d =+++ (0)a ≠的图象性质
1．定义域为R 2．值域为R 3．单调性 因为
2'()32f x ax bx c =++，所以224124(3)b ac b ac ∆=-=-，于是：
（1）当a ＞0时
①当23b a c -＞0时，方程
'()0f x =有两个不等的实根1x ,2x （不妨设1x ＜
2
x ）则
2'()32f x a x b x c =++的图象如下图1所示，三次函数()y f x =的图象如图2所示：
不难得到：
32
y ax bx cx d =+++在（-∞,1x ）或（2x ,+∞）上是增函数，在[1x ,2x ]上是减函数。
②当230b ac -=时，方程'()0f x =有两个相等的实根，2'()32f x ax bx c =++的图象如下图3所示，
三次函数()y f x =的图象如下图4所示：
可知3
2y ax bx cx d =+++在（-∞, +∞）上是增函数。
③23b ac -＜0时，方程'()0f x =没有实根，且'()f x ＞0恒成立。
所以32
y ax bx cx d =+++在（-∞,
+∞）上是增函数。
（2）当a ＜0时
①当23b a c -＞0时，方程
'()0f x =有两个不等的实根
1
x ,
2
x （不妨设
1
x ＜
2
x ）则
2'()32f x a x b x c =++的图象如下图5所示，三次函数()y f x =的图象如图6所示：
不难得到：3
2y ax
bx cx d =+++在[1x ,2x ]上是增函数，在（-∞,1x ）或（2x ,+∞）上是减函数。
②当2
30b ac -=时，方程'()0f x =有两个相等的实根，2'()32f x ax bx c =++的图象如下图7所示，
三次函数()y f x =的图象如下图8所示：
可知
32y ax bx cx d =+++在（-∞, +∞）上是减函数。
③23b ac -＜0时，方程'()0f x =没有实根，且'()f x ＜0恒成立。
所以3
2
y ax bx cx d =+++在（-∞, +∞）上是减函数。
4．三次方程的实根
（1）当2
3b ac -＞0时，方程'()0f x =有两个不等实根1x ,2x ，结合前面性质3易知：
①当1()f x ·2()f x ＞0时，方程()0f x =有1个实根；②当1()f x ·2()0f x =时，方程()0f x =有
2
个实根；③当1()f x ·
2()f x ＜0时，方程()0f x =有3个实根。
（2）当2
3b ac -≤0时，函数()y f x =在（-∞, +∞）上是单调函数，方程()0f x =有1个实根。
【探源、变式、扩展】对于三次函数的图象和性质，有时很难发现解题思路，但是掌握三次函数的图象与性质和规律是解题的关键．
【变式】【2009年安徽卷文】设a ＜b,函数2
()()y x a x b =--的图像可能是（ ）
【答案】
1．【2015漳州一模】已知函数()3
2
(f x ax bx x a b R =-+∈，且0)ab ≠的图象如图，且12||||x x >，则有
（ ）
A ．a ＞0，b ＞0
B ．a ＜0，b ＜0
C ．a ＞0，b ＜0
D ．a ＜0，b ＞0 【答案】D ．
2．【2013届四川省乐山一中高二下学期第二阶段（半期）考试文科数学试题（带解析）】若函数
()32f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则一定有（ ）
A ．a ＜0 b ＞0 c ＞0 d ＜0
B ．a ＜0 b ＜0 c ＞0 d ＜0
C ．a ＜0 b ＞0 c ＜0 d ＜0
D ．a ＜0 b ＜0 c ＜0 d ＜0 【答案】A ．
3.【2014合肥三模】已知函数()3
2
f x ax bx cx d =+++图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则不等
式()
0f x x
'>的解集为（ ）
A ．（-∞，-1）∪（0，1）
B ．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C ．（-1，0）∪（0，1）
D ．（-1，0）∪（1，+∞） 【答案】D
4.【2015淮北模拟】知函数()()32
0f x ax bx cx d a =+++>图象如图，则2
233
c
y ax bx =+
+的单调增区间______．
【答案】1
[)2
+∞，
5. 已知函数f (x ) = ax 3 + bx 2
+cx + d 的图像如图所示，则下列判断正确的是 A ．a < 0, b < 0, c < 0 B ．a > 0, b > 0, c < 0 C ．a > 0, b < 0, c > 0 D ．a > 0, b > 0, c > 0
【答案】D
6. 已知函数),,()(23为常数d c b d cx bx x x f +++=，当(,0)(5,)k ∈-∞⋃+∞时，0)(=-k x f 只有一个实数根；当(0,5),()0k f x k ∈-=时有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①函数)(x f 有2个极值点； ②函数()f x 有3个极值点；③方程()5f x =-的根小于()0f x '=的任意实根； ④()0f x =和
()0f x '=有一个相同的实根．其中正确命题的个数是（ ）。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
7. 【2000年北京高考】已知函数()3
2
f x ax bx cx d =+++的图象如图，则（ ）
A ．()0b ∈-∞，
B ．()01b ∈，
C ．()12b ∈，
D ．()2b ∈+∞，
【答案】A
8. 【2009安徽理科】设a ＜b ，函数()()2
y a x x b =--的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
9. 【2014江西卷文】在同意直角坐标系中，函数2
2322()2
a
y ax x y a x ax x a a R =-+
=-++∈与的图像不可能的是（ ）
【答案】B
10. 【2015西城区期末】函数()32f x ax bx cx =++的图象如图所示，且()f x f （x ）在0x x =与1x =-处取得极值，给出下列判断：①()()110f f +-=；②()20f ->；③函数()'y f x =在区间()0-∞，上是增函数．其中正确的判断是
【答案】②③。
2015届高考数学(文)达标小测3-3三角函数的图象与性质Word版含答案
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( )A ．πB ．2π C.π2 D.π4解析：由图象知T ＝π. 答案：A2．已知f (x )＝cos 2x －1，g (x )＝f (x ＋m )＋n ，则使g (x )为奇函数的实数m ，n 的可能取值为( )A ．m ＝π2，n ＝－1B ．m ＝π2，n ＝1C ．m ＝－π4，n ＝－1D ．m ＝－π4，n ＝1解析：因为g (x )＝f (x ＋m )＋n ＝cos(2x ＋2m )－1＋n ，若使g (x )为奇函数，则需满足2m ＝π2＋k π， k ∈Z ，且－1＋n ＝0，对比选项可选D. 答案：D3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin πx 的部分图象如图1所示，则图2所示的函数的部分图象对应的函数解析式可以是( )A ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12B ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12C ．y ＝f (2x －1)D ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－1 解析：图2相对于图1：函数的周期减半，即f (x )→f (2x )，且函数图象向右平移12个单位，得到y ＝f (2x －1)的图象．故选C.答案：C5．定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 cos x 1 sin x 的图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值为( )A.π8 B.π3 C.56π D.2π3解析：∵f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m 个单位得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6，为偶函数，∴m －π6＝k π＋π2 (k ∈Z )，m ＝k π＋23π，k ∈Z ，∴m min ＝23π(m >0)．答案：D6．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，则在区间[0,2π]上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，7π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，3π2 解析：设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，－y ，由题意知该点必在f (x )的图象上，∴－y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ，即g (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ，依题意得sin x ≤－cos x ⇒sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤0，又x ∈[0,2π]，解得3π4≤x ≤7π4.答案：B 二、填空题7．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________. 解析：∵f (x )＝sin(2x ＋φ)是偶函数，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵φ∈[0，π]，∴取k ＝0时，φ＝π2.答案：π28．(2014年潍坊质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x ＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2＝22sin2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，故该函数的最小正周期为2π2＝π.答案：π9．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析：因为f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0<π4ω<π2，因此ω＝43.答案：43三、解答题10．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡k π－π12，⎦⎥⎤k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0. 11．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋9π4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)的值． 解析：(1)∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋9π4，∴f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＝1＋sin π2x .∴函数f (x )的最小正周期T ＝2ππ2＝4.(2)∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4.由(1)知，函数f (x )的最小正周期为4，且2 013＝4×503＋1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝4×503＋f (1)＝2 012＋2＝2 014.12．(能力提升)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数 三角恒等变换)
4、(2015 全国新课标Ⅰ卷文、理)函数 f (x) cos( x ) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的单调
递减区间为（ ）
（A）(k 1 , k 3), k Z （B）(2k 1 , 2k 3), k Z
4
4
4
4
（C） (k 1 , k 3), k Z 44
（D） (2k 1 , 2k 3), k Z
第 6页 （共 22页）
准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力. 2．（2015 湖北理）函数 f (x) 4 cos2 x cos( π x) 2sin x | ln(x 1) | 的零点个数为．
22 【答案】2
考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.
.
6
【答案】 .
2
第 9页 （共 22页）
【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个
角，然后再化为一个三角函数一般地，有 a sin b cos a2 b2 sin( ) .第二种方法是
直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.
11 23 1 1 1
1 7
；
23
故选 A.
考点：正切差角公式.
8．(2015
重庆理)若
tan
2 tan
5
，则
cos( 3 ) 10
sin( )
5
A、1
B、2
C、3
D、4
【答案】C
【解析】
（）
【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.
三次函数的像和性质
三次函数的像和性质三次函数是指次数为3的一元多项式函数，可以表示为$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。
在这篇文章中，我们将探讨三次函数的像和性质。
一、三次函数的图像首先，让我们来了解一下三次函数的图像。
一般来说，三次函数的图像呈现出一种典型的"S"形曲线，也称为“小波浪线”。
具体来说，三次函数的图像可能表现为以下几种情形：1. 当$a>0$时，函数具有下凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$上升，再下降。
2. 当$a<0$时，函数具有上凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$下降，再上升。
3. 当$a=0$时，函数退化为二次函数。
二、三次函数的像一元函数$f(x)$的像指的是其所有可能输出的实数值的集合。
对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其像的计算方法为：1. 首先，我们需要求出$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，并找出其实根$x_1$和虚根$x_2$、$x_3$。
2. 如果$a>0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递减，在$x_1<x_2<x_3$处取得极小值，然后在$x_3<x$时单调递增。
3. 如果$a<0$，则$f(x)$在$x<x_1$时单调递增，在$x_1<x_2<x_3$处取得极大值，然后在$x_3<x$时单调递减。
4. 如果$a=0$，则$f(x)=bx^2+cx+d$，此时求出抛物线的顶点，便可得到函数的像。
三、三次函数的性质接下来，我们来探讨一些三次函数的性质。
1. 零点和极值对于一元三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其零点和极值如下所示：1.1 如果$f(x_1)=0$，则$x_1$为$f(x)$的一次零点。
1.2 如果$f(x_2)=f(x_3)=0$，则$x_2$和$x_3$为$f(x)$的二次零点。
高考数学母题题源系列 专题06 三次函数的图象与性质 文(含解析)
三次函数的图像与性质【母题来源】2015安徽卷文–10【母题原题】函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）a>0，b<0，c>0，d>0（B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0 【答案】A ．【考点定位】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.，属于中等题．【试题解析】由函数)(x f 的图象可知0>a ，令0=x ⇒0>d又c bx ax x f ++='23)(2，可知21,x x 是0)(='x f 的两根由图可知0,021>>x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>-=+030322121a c x x a b x x ⇒⎩⎨⎧<<00c b ；故A 正确. 【命题意图】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结合函数的单调性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力. 【方法、技巧、规律】三次函数32y ax bx cx d =+++ (0)a ≠的图象性质1．定义域为R 2．值域为R 3．单调性 因为2'()32f x ax bx c =++，所以224124(3)b ac b ac ∆=-=-，于是：（1）当a ＞0时①当23b a c -＞0时，方程'()0f x =有两个不等的实根1x ,2x （不妨设1x ＜2x ）则2'()32f x a x b x c =++的图象如下图1所示，三次函数()y f x =的图象如图2所示：不难得到：32y ax bx cx d =+++在（-∞,1x ）或（2x ,+∞）上是增函数，在[1x ,2x ]上是减函数。
三次函数专题(解析版)
三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠图象与性质的探究： 1、单调性。
一般地，①当24120b ac ∆=-≤时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数； ②当24120b ac ∆=->时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则：2、对称中心。
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
证明：函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 关于点（m ，n ）对称的充要条件是n x m f x m f 2)()(=++-，即：])()()([23d x m c x m b x m a +-+-+-+n d x m c x m b x m a 2])()()([23=++++++，整理得，n d mc bm am x b ma 2)2222()26(232=+++++，据多项式恒等对应系数相等,可得， a b m 3-=且d mc bm am n +++=23=)3()(ab f m f -=， 从而三次函数是中心对称曲线，且对称中心是))3(,3(ab f a b --. 可见，)(x f y =图象的对称中心在导函数)(x f y '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点（拐点）。
三次函数的性质和图像
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回 报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的 资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、 热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、 消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物 繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、 旋转和平移等。
05
三次函数与其他函数的 比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增 单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减 单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性 单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点 极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点 极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标 极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数 定义域为全体实数， 而指数函数定义域 为正实数
函数值：三次函数 在定义域内连续且 可导，而指数函数 在定义域内连续但 不可导
单调性：三次函数 可以具有单调递增 、递减或先增后减 等变化趋势，而指 数函数在定义域内 单调递增
奇偶性：三次函数 既可能是奇函数也 可能是偶函数，而 指数函数是偶函数
三次函数性质解析版
三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。
它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数△=，若方程的判别式，则在R 上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。
若方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：（i ）当时，有一个零点；（ii ）当时，有两个零点；32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠x ,,,a b c d2()32f x ax bx c '=++xx 0a >0a <)3(412422ac b ac b -=-()0f x '=0∆≤()f x (,)-∞+∞()0f x '=0∆>1x 2x ()f x 12()()0f x f x ⋅>()fx xxxx12()()0f x f x ⋅=()f x（iii ）当时，有三个零点。
3、对称中心三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称. 证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称. 4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数（1） (2012·大纲全国高考)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1答案：A（2）函数f(x)=x 3-3x 2+x -1的图象关于（ ）对称A 、直线x=1B 、直线y=xC 、点(1,-2)D 、原点(3)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033xxxx12()()0f x f x ⋅<()fx xx)0()(23>+++=a d cx bx ax x f ))3(,3(abf a b --)('x f a b x 3-=abx 3-=)3()3)(3()3()(2323abf a b x a b c a b x a d cx bx ax x f -++-++=+++=x ab c ax x g )3()(23-+=)(x f ))3(,3(a b f a b --2条1条【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.解析 由f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象关于成中心对称知选C（4）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则（ ）A 、b ∈(-∞,0)B 、b ∈(0,1)C 、b ∈(1,2)D 、b ∈(2,+ ∞解析 显然f(0)=d=0，由f(x)=ax(x -1)(x -2)知a>0，又 f(x)= ax 3-3ax 2+2ax 比较系数可知b=-3a<0，故选A(5) 试确定的a,b,c,d 符号（答：a>0,b<0,c>0,d=0）（6）（2013课标全国Ⅱ卷，10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ） （A ）x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则解析：由三次函数值域为R 知f(x)=0有解，A 正确；由性质可知B 正确;由性质可知若f(x)有极小值点，则由两个不相等的实数根,,则f(x)在（-∞,x 1)上为增函数，在上为减函数，在（x 2，,)上为增函数，故C 错。
2015高考数学(文)试题+精品试题考点解析-函数图象的判断
函数图象的判断2015浙江卷文–5【原题】函数（且）的图象可能为（ ）()1()cos f x x x x=-x ππ-≤≤0x ≠A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【考点定位】1.函数的基本性质；2.函数的图象．试题揭秘：【试题解析】解法一：∵，故函数是奇函数，∴排除11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-A ，B ；取，则，故选D.x π=11()()cos (0f ππππππ=-=--<解法二： 当时，，，∴，同理可知，当0x +→1(x x-→-∞cos 1x →()f x →-∞时，，0x -→()f x →+∞符合这一取值规律的只有D ，故选D.【命题意图】本题主要考查函数的基本性质以及函数的图象.解答本题时要根据给定函数的解析式并根据给出的图象选项情况确定函数的基本性质，利用排除法确定正确的图象.本题属于容易题.【方法、技巧、规律】函数图象的判断是高考中的常考题，一般需结合常见基本初等函数的性质，单调性，奇偶性或者是特殊点以及极限值等各方面综合考虑求解.【变式】【2014届北京市朝阳区高三第一次综合练习文科数学】函数的图象大2sin ()1x f x x =+致为（ ）A. B. C. D.【答案】A.试题精粹：1.【2014高考名师推荐数学】函数的图象大致是( )331x x y =-A.B. C. D.【答案】C.2.【2014届陕西省西北工业大学附属中学高三第六次模拟】已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如右图所示，则(2)y f x =--的图象为（ ）A. B. C. D.【答案】B.3.【2014届陕西西安铁一中国际合作学校高三下第一次模拟考试】已知函数(其中)，若的图象如下图（左）所示，则()()()f x x a x b =－－a b >()f x 的图象是 ( )() x g x a b =+【答案】A.4.【2014届河北省冀州中学高三年级模拟考试】右图可能是下列哪个函数的图象（ ）A.B. C. D. 221x y x =--14sin 2+=x x x y 2(2)x y x x e =-xx y ln =【答案】C.5.【2014届江西省上饶市高三第二次模拟考试】如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线于E ，当从左至右移动（与线段AB 有公共点）时，l AB ⊥l 把四边形ABCD 分成两部分，设，左侧部分面积为，则关于的图像大致为( )AE x =y y x【答案】C.6.【2014届江西省重点中学盟校高三第一次联考】如图，已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长是1，点是对角线上一动点，记（）,过点平行于平面E 1AC AE x =0x <<E 的截面将正方体分成两部分，其中点所在的部分的体积为，则函数1A BD A ()V x 的图像大致为( )()y V x =1AA B CD 【答案】D.7.【2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试】函数的图象大致是（ ()21x f x x =+）【答案】A.8.【2013-2014学年江西赣州六校高二上学期期末联考】如图，在棱长为的正方体1的对角线上任取一点，以为球心，为半径作一个球.设1111D C B A ABCD -1AC P A AP ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的x AP =)(x f )(x f 是（）【答案】B.9.【2014届上海华师二附中高三上学期期末考试】方程的解的个数为（ 5log sin x x =）A.1B.3C.4D.5【答案】B.10.【2014北京质检】已知函数，若关于的方程有两个不()32,2()1,2x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩x ()f x k =同的实根，则实数的取值范围是________．k(0,1)【答案】.。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
2015年高考数学试题-三角函数与解三角形,解析版
1.（15北京理科）已知函数2()cos 222x x xf x ．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】（1）2π，（2）1-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：12--.试题解析：(Ⅰ) 211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos 222x x =+-sin()42x π=+-(1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：12--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.2.（15北京文科）已知函数()2sin 2x f x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．【答案】（1）2π；（2）.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 3.（15年广东文科）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.4.（15年安徽文科）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （1）求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）π ；（2）最大值为10考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.5.（15年福建理科）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2p个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围；（2)证明：22cos ) 1.5m a b -=-(【答案】(Ⅰ) f()2sin x x =，(k Z).2x k pp =+ ；(Ⅱ)（1）(-；（2）详见解析． 【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x =，则f()g()2s i n cos x x x x +=+，利用辅助角公式变形为f()g()x x +)x j +（其中sinj j ==），方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ，等价于直线y m =和函数)y x j +有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2p a b j -和3+=2()2pa b j -，进而利用诱导公式结合已知条件求解． 试题解析：解法一：(1)将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y 2cos x=的图像，再将y 2cos x =的图像向右平移2p个单位长度后得到y 2cos()2x p =-的图像，故f()2sin x x =，从而函数f()2sin x x =图像的对称轴方程为(k Z).2x k pp =+(2)1) f()g()2sin cos )x x x x x x +=+)x j +（其中sinj j =） 依题意，sin(x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解,a b 当且仅当|1<，故m 的取值范围是(-.2)因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解， 所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),2();2pa b j a b p b j --=-+当-时, 3+=2(),32();2pa b j a b p b j --=-+ 所以2222cos )cos 2()2sin ()11 1.5m a b b j b j -=-+=+-=-=-(解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为,a b )=m x j +在区间[0,2)p 内有两个不同的解，所以sin(a j +sin(b j +.当1£+=2(),+();2pa b j a j p b j -=-+即当-时, 3+=2(),+3();2pa b j a j p b j -=-+即 所以cos +)cos()a j b j =-+(于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()a b a j b j a j b j a j b j -=+-+=+++++(22222cos ()sin()sin()[1] 1.5m b j a j b j =-++++=--+=-考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式． 6.（15年福建文科）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．7.（15年福建文科）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2cos 10cos 222x x xf x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．8.（15年新课标1理科）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ）2- （B ）2（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.9.(15年新课标1理科) 函数f(x)=的部分图像如图所示，则f （x ）的单调递减区间为(A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k (D)（）,k【答案】B10.（15年陕西理科）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11.（15年陕西文科）如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.12.（15年天津理科）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值.【答案】(I)π; (II) max ()4f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质. 13.（15年天津文科）已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.14.（15年湖南理科）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.（15年江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式11.（15年江苏）在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 【答案】（12【解析】考点：余弦定理，二倍角公式解三角形1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理2.（15北京文科）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B ==sin B =4B π∠=.考点：正弦定理.3.（15年广东理科）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = 【答案】1．【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．4.（15年广东文科）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．5.(15年安徽理科) 在ABC ∆中，,6,4A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。