矩阵的秩与运算

矩阵的秩与运算

一·矩阵秩的求法

求矩阵的秩主要有三种方法；(1)定义

法，利用定义寻找矩阵中非零子式的最高

阶数。(2)初等变换法，对矩阵实施初等行变

换，将其变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩

阵中非零行的行数就是矩阵的秩；(3)标准

形法，求矩阵的标准形，l的个数即为矩阵

的秩。

二·矩阵的秩与行列式

对于一个方阵A，如何判断它是

否可逆，除了根据它的行列式是否为零，还

可以根据方阵秩的大小来判断。比如方阵A（nn）

其秩R, ，若R ＜ n，则显然矩阵行列式为零，不可逆；

若R = n ,则矩阵行列式不为零，矩阵可逆。

三·矩阵的秩与线性方程组

1齐次的

齐次线性方程组

●系数矩阵R = n ，则有且仅有一个0解

●系数矩阵R ＜ n，则有无数个解。

2非齐次的

费齐次线性方程组，设系数矩阵A ,增广矩阵B

●若R(A) = R(B) = n ，则有且仅有一个解；

●若R(A) = R(B)＜n，则有无数个解；

●若R(A)≠R(B) ，则方程组无解。

四·矩阵的秩与二次曲面

说二次曲面，其实就是与二次型的关系。有定义知道，

二次型的秩定义为其矩阵的秩，这就为解决二次曲面问题找到了一个可转移的办法。

正所谓遇难则变，变则通。道家之言，诚哉大哉！！

下面将具体举例阐述，二次型总可以经线性变换成CY化为标准形（比如合同变换），而且，同的非退化线性变换化为不同的标准形，但这些标准形中所含平方项的个数是相同的，所含平方项的个数就等于二次型的秩，也就是矩阵的秩。