直线的两点式和直线的一般式方程

【精彩点拨】 解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手， 也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证．
【自主解答】
(1)法一：由 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0 知： ①当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不平行． 2 m＋1 4 ②当 m≠0 时，l1∥l2，需m＝ 3 ≠ . －2 解得 m＝2 或 m＝－3，∴m 的值为 2 或－3.
[探究共研型]
直线一般式方程的应用
探究 1 已知直线 l 过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线 l 的方程的五种形式？
3－0 3 3 【提示】 能．直线 l 的斜率 k＝ ＝－2，点斜式方程 y－0＝－2(x－2)； 0－2 y－0 x－2 3 x y 斜截式方程 y＝－2x＋3；两点式方程 ＝ ；截距式方程2＋3＝1，一般式 3－0 0－2 方程 3x＋2y－6＝0.
[再练一题] 2．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 3 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝2，∴l：3x－2y＝0； x y ②当 a≠0 时，直线设为a＋a＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(2)法一：由题意知，直线 l1⊥l2. ①若 1－a＝0，即 a＝1 时，直线 l1：3x－1＝0 与直线 l2：5y＋2＝0 显然垂 直． 3 ②若 2a＋3＝0，即 a＝－2时，直线 l1：x＋5y－2＝0 与直线 l2：5y－4＝0 不垂直．
a＋2 ③若 1－a≠0， 且 2a＋3≠0， 则直线 l1， l2 的斜率 k1， k2 都存在， k1＝－ ， 1－a a－1 k2＝－ . 2a＋3 当 l1⊥l2 时，k1· k2＝－1，
[基础· 初探] 教材整理 1 直线方程的两点式和截距式
阅读教材 P95～P96“例 4”以上部分，完成下列问题．
名称
已知条件 P1(x1， y1)， P2(x2，
示意图
方程
使用范围
两点式
y2 ) ， 其中 x1≠x2， y1≠y2 在 x，y 轴上的
y－y1 x－x1 斜率存在且 ＝ y2－y1 x2－x1 _____________ 不为 0
练习 直线 3x－2y＝4 的截距式方程是( 3x y A. － ＝1 4 2 y 3x C. － ＝1 4 －2 x
3
) y B. 1 －1 ＝4
2
x y D. 4 ＋ ＝1 －2 3
【解析】
x y 将 3x－2y＝4 化为 4 ＋ ＝1 即得． － 2 3
【答案】 D
[小组合作型]
直线的两点式方程
【解析】
)
B．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0
y－0 x－3 由两点式方程得 ＝ ，整理得 x＋y－3＝0. 1－0 2－3
小结
1.直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0， (1)若 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)． (2)若 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2.与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0，(m≠C)， 与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝0.
截距式
截距分别为 a， b 且 a≠0，b≠0
x y ＋b＝1 a _________
斜率存在且 不为 0，不过 原点
练习 一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( A．可以写成两点式或截距式 B．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C．可以写成点斜式或截距式 D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 )
(2)当 m＝0 时，l1 显然与 l2 垂直． 1 m 当 m≠0 时，l1 的斜率为 k1＝－ 2 ，l2 的斜率为 k2＝－m. m 1 － ＝－1，此时无解． ∵l1⊥l2，∴－ 2 · m 综上可知，当 m＝0 时，两直线垂直．
[构建· 体系]
1．过点 A(3,0)和 B(2,1)的直线方程为( A．x＋y－3＝0 C．x＋y＋3＝0
，即 B(3,4)．
教材整理 3
直线的一般式方程
阅读教材 P97“练习”以下至 P99“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义：关于 x，y 的二元一次方程_____________ Ax＋By＋C＝0 (其中 A，B 不同时为 0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是 A C －B ，在 y 轴上的截距是 － ____ ___. B 当 B＝0 时，这条直线垂直于 x 轴，不存在斜率．
[再练一题] 1．(1)若直线 l 经过点 A(2，－1)，B(2,7)，则直线 l 的方程为________； (2)若点 P(3，m)在过点 A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则 m＝________.
【解析】 (1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等，所以直线 l 没有两点式方程， 所求的直线方程为 x＝2. y－－1 x－2 (2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为 ＝ ，即 x＋y 4－－1 －3－2 －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
探究 2
直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？
【提示】
坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形
式都有一定的局限性．
探究 3 方程：
已知直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0， 求满足下列条件的直线 l′的
(1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
x＝x1＋x2， 2 则 y1＋y2 y＝ 2 .
练习 已知 A(1,2)及 AB 的中点(2,3)，则 B 点的坐标是________．
1＋x＝2， 2 【解析】 设 B(x，y)，则 2＋y ＝3， 2
【答案】 (3,4)
x＝3 ∴ y＝4
又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． y－2 x－－3 ∴由两点式得 ＝5 ， －3－2 2－－3 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
小结
1．由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 2．求直线的两点式方程的策略以及注意点 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式 方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方 程．
[再练一题] 3．已知两直线方程 l1：mx＋2y＋8＝0 和 l2：x＋my＋3＝0，当 m 为何值时： (1)两直线互相平行？(2)两直线互相垂直？
【解】
(1)当 m＝0 时，l1 与 l2 显然不平行．
m 当 m≠0 时，l1 的斜率 k1＝－ 2 ， 在 y 轴上的截距 b1＝－4， 1 3 l2 的斜率 k2＝－m，在 y 轴上的截距 b2＝－m. ∵l1∥l2，∴k1＝k2，且 b1≠b2， 1 3 m 即－ 2 ＝－m，且－4≠－m，∴m＝± 2. 综上可知，当 m＝± 2时，两直线互相平行．
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
直线的截距式方程
求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 l 的方程.
【精彩点拨】
解此题可以利用两种方法，第一是利用截距式，分三种情
况，截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，第二，利用点斜 式，然后利用截距的绝对值相等求斜率．
【自主解答】
法一
设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b.
x y ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为a＋b＝1. 4 －3 ∵点(4，－3)在直线上，∴a＋ b ＝1， 若 a＝b，则 a＝b＝1，直线方程为 x＋y＝1. 若 a＝－b，则 a＝7，b＝－7，此时直线的方程为 x－y＝7. ②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为 3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为 x＋y－1＝0 或 x－y－7＝0 或 3x＋4y＝0.
【解析】
由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直
线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或 点斜式． 由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0， 所以直线不一定能写成截距式， 故选 B.
【答案】 B
教材整理 2
线段的中点坐标公式
阅读教材 P96“例 4”至 P97“练习”以上部分，完成下列问题． 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
a ＋2 a－1 － 即－ · 2a＋3＝－1， 1 － a
∴a＝－1. 综上可知，当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
法二：由题意知直线 l1⊥l2. ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得 a＝± 1， 将 a＝± 1 代入方程，均满足题意． 故当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
在△ABC 中，A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)， (1)求 BC 所在直线的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
【精彩点拨】 (1)由两点式直接求 BC 所在直线的方程； (2)先求出 BC 的中点，再由两点式求直线方程．
【自主解答】
(1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得
法二
设直线 l 的方程为 y＋3＝k(x－4)，