方差分析析因分析详解演示文稿
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方差分析1132页PPT
数理统计在化学中的应用
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
单因子方差分析的统计模型
在例中我们只考察了一个因子，称其为单因子 试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其有r 个水平，记为A1, A2,…, Ar。
在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ，因为现共有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
数理统计在化学中的应用
各总体的方差相同:
nm
SSe
(Xij Xi)2
i1 j1
mn
mn
SST
(Xij X)2
[(Xij Xi)(Xi X)]2
i1 i1
i1 j1
mn
mn
mn
(Xij Xi)2
(Xi X)]2 2
(Xij Xi)(Xi X)
i1 j1
i1 j1
i1 j1
mn
mn
m
n
(Xij Xi)2
(Xi X)2 2 (Xi X) (Xij Xi)
1
2=
22=…=
2 r
=
2
；(即
，具有方差齐次性)
从每一总体中抽取的样本是相互独立的， 即 所有的试验结果 yij 都相互独立。
每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)， i ＝1, 2,…, r ；
数理统计在化学中的应用
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
1、从总变差中区分出试验变差和条件变差，也就是将 不同因素的影响给区分开来。
2、利用F检验比较这两个变差的大小，确定出主要变 差。
3、根据主要的变差，去选择较好的分析条件，或确定 进一步试验的方向。
数理统计在化学中的应用
方差分析的基本思想
方差分析的依据是建立在变差平方和具有加和性的基础 上的。因此，如果用变差平方和来表征测定结果的总变 差，那么总变差的平方和就等于各变异因素形成的变差 平方和的总和。
第讲方差分析ppt-精品.ppt
例如，培训（单因素）是否给学生成绩（结果）造成了显著影 响；不同地区（单因素）的考生成绩是否有显著的差异等。
2.单因素方差分析步骤
（1）给出原假设H0 （2）构造检验的统计量； （3）计算检验统计量的观测值F和相应的概率值P； （4）将概率值P与给定的显著性水平进行比较，做出接受或拒绝原假
设H0的决策。
当遇到两个以上样本均值的比较问题时，这就需要方差分析的 方法。方差分析又称变异数分析（annalysis of variance,ANOVA） 或F检验（F Test），是由R.A.Fister发明的。
一、方差分析的概念
例如： 在现实生活中，影响具体某个事物（例如学生的学习成绩）的
因素（例如教师水平、教学方法、使用的教材、学生的素质、课程 性质等）往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素对学习成绩的 影响是显著的，方差分析是解决这一问题的有效方法 。
• 控制因素
– 因素的不同水平一定会导致不同的实验结果，称为控制变量（例如：教 师水平）
一、方差分析的概念
4.方差分析的用途
①均值差别的显著性检验； ②分析因素间的交互作用； ③方差齐性检验。
一、方差分析的概念
5.方差分析的思想
通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定控制变 量对研究结果影响力的大小。
SPSS提供了以下方差分析的方法： 1.One-Way ANOVA：单因素方差分析 2.Univariate：多因素方差分析 3.Multivariate：多因变量多因素方差分析 4.Repeated Measures：重复测量方差分析 5.Variance Components：方差成分分析
一、方差分析的概念
3. SPSS操作及案例分析
例一：比较不同教学方法（单因素）教学后，学生的学习成绩（结果）是 否存在显著性差异。
2.单因素方差分析步骤
（1）给出原假设H0 （2）构造检验的统计量； （3）计算检验统计量的观测值F和相应的概率值P； （4）将概率值P与给定的显著性水平进行比较，做出接受或拒绝原假
设H0的决策。
当遇到两个以上样本均值的比较问题时，这就需要方差分析的 方法。方差分析又称变异数分析（annalysis of variance,ANOVA） 或F检验（F Test），是由R.A.Fister发明的。
一、方差分析的概念
例如： 在现实生活中，影响具体某个事物（例如学生的学习成绩）的
因素（例如教师水平、教学方法、使用的教材、学生的素质、课程 性质等）往往很多，我们常常需要正确确定哪些因素对学习成绩的 影响是显著的，方差分析是解决这一问题的有效方法 。
• 控制因素
– 因素的不同水平一定会导致不同的实验结果，称为控制变量（例如：教 师水平）
一、方差分析的概念
4.方差分析的用途
①均值差别的显著性检验； ②分析因素间的交互作用； ③方差齐性检验。
一、方差分析的概念
5.方差分析的思想
通过分析研究不同变量的变异对总变异的贡献大小，确定控制变 量对研究结果影响力的大小。
SPSS提供了以下方差分析的方法： 1.One-Way ANOVA：单因素方差分析 2.Univariate：多因素方差分析 3.Multivariate：多因变量多因素方差分析 4.Repeated Measures：重复测量方差分析 5.Variance Components：方差成分分析
一、方差分析的概念
3. SPSS操作及案例分析
例一：比较不同教学方法（单因素）教学后，学生的学习成绩（结果）是 否存在显著性差异。
方差分析(ANOVA)PPT参考课件
三、多个样本均数的两两比较
34
2020/1/15
方差分析能说明什么问题？
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不
足 分析终止
拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等
哪两两均数之间相等？哪两 两均数之间不等？
需要进一步作多重比较
35
2020/1/15
能否用T检验呢 当有k个均数需作两两比较时，比较的次数共 有c= ＝ k!/(2!(k-2)!)=k(k-1)/2
18~岁 21.65 20.66
… … 18.82 16 22.07 8.97
30~岁 27.15 28.58
… … 23.93 16 25.94 8.11
45~60岁 20.28 22.88 … … 26.49 16 25.49 27 7.19
2020/1/15
基本步骤
（1）建立假设，确定检验水准
2020/1/15
单因素方差分析 （1） 方差齐性检验
结果分析
2020/1/15
Test of Homogeneity of Variances
no
Levene Statistic 3.216
df1 2
df2 33
Sig. .053
Levene方法检验统计量为3.216，其P值为0.053，可 认为样本所来自的总体满足方差齐性的要求。
方差分析（ANOVA）
1
2020/1/15
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
2
2020/1/15
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
方差分析法PPT课件
计算各样本平均数 y 如i 下:
表 6－2
型号
ABCDE F
yi
9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8
•5
引言 方差分析的基本概念和原理
两个总体平均值比较的检验法 把样本平均数两两组成对:
y 1与 y ,2 与y 1 ,…y 3 与 y ,1 与y 6 ,…y ,2 与y 3 ,共有y (5
6.3 显著性检验
利用(6-17)式来检验原假设H0是否成立.对于给定的显著水
平,可以从F分布表查出临界值
A的值.
F(k1,k(再m根1)据),样本观测值算出F
当 FAF(k1,时k(m ,拒1绝))H0,
当 FAF(k1,,时k(m ,接1 受))H0。
即：如果H0成立，F应等于1；相反应大于1，而且因素的影响越大， F值也越大
m
km
T Tj Yij
•38
j1
作统计假设：6种型号的生产线平均维修时数无显 著差异，即
H0： i=0（i=1,2,…,6）,H1:i不全为零
•37
6.3 显著性检验
计算SA及SE
k
SA
k
m
i1
(Yi
Y)2
Ti2
i1
m
T2 km
k
km
km
Ti2
SE i1
(Yij Yi)2
j1
i1
j1Yij2i1m
m
Ti Yij
j 1
相当于检验假设
H0 : i 0 (i=1,2,…,k) , H1 : αi不全为零
•29
6.3 显著性检验
可以证明当H0为真时,
ST
2
~2(k
第五讲方差分析上详解演示文稿
31 第三十一页，66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
32 第三十二页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
调整后的结果：
Robust Tests of Equality of Means
数学
Statistica df1 df2 Sig.
Welch
（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
30 第三十页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
各分组的方差相同是进行单因素的方差分析的前提 条件之一，当该条件不满足时应该如果处理呢？ Ø解决办法：调整F检验 qSPSS提供了两个调整F值：Brown-Forsythe F 和 Welch’s F
图5-7 在菜单中选45择“Univariate”命令
第四十六页，共66页。
图5-8 “Univar4i6ate”对话框（一）
第四十七页，共66页。
图5-9 “Univariate:47Options”对话框（一）
图5-10 “Univariate: Post Hoc Multiple48Comparisons for Observed Means”对话框
到，经假设检验得出多个总体均数不全相等的提示后，才决定的 多个均数的多重事后比较。 v LSD (Least-significant difference) 最小显著差数法，用t检验完成各组 均值间的配对比较。 v S-N-K (Student-Newmnan-Keuls) 用Student Range分布进行所有 各组均值间的配对比较。如果各组样本含量相等或者选择了 “Harmonic average of all groups”即用所有各组样本含量的调和 平均数进行样本量估计时还用逐步过程进行齐次子集(差异较小 的子集)的均值配对比较。在该比较过程中，各组均值从大到小按顺序排
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
在可选项对话框进行指定：
32 第三十二页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
调整后的结果：
Robust Tests of Equality of Means
数学
Statistica df1 df2 Sig.
Welch
（5）输出结果的最后部分是各组观察变 量均值的折线图，如图5-6所示。
30 第三十页，共66页。
5.2.4 方差齐次性检验未通过的解决办法
各分组的方差相同是进行单因素的方差分析的前提 条件之一，当该条件不满足时应该如果处理呢？ Ø解决办法：调整F检验 qSPSS提供了两个调整F值：Brown-Forsythe F 和 Welch’s F
图5-7 在菜单中选45择“Univariate”命令
第四十六页，共66页。
图5-8 “Univar4i6ate”对话框（一）
第四十七页，共66页。
图5-9 “Univariate:47Options”对话框（一）
图5-10 “Univariate: Post Hoc Multiple48Comparisons for Observed Means”对话框
到，经假设检验得出多个总体均数不全相等的提示后，才决定的 多个均数的多重事后比较。 v LSD (Least-significant difference) 最小显著差数法，用t检验完成各组 均值间的配对比较。 v S-N-K (Student-Newmnan-Keuls) 用Student Range分布进行所有 各组均值间的配对比较。如果各组样本含量相等或者选择了 “Harmonic average of all groups”即用所有各组样本含量的调和 平均数进行样本量估计时还用逐步过程进行齐次子集(差异较小 的子集)的均值配对比较。在该比较过程中，各组均值从大到小按顺序排
第十 方差分析优秀课件
2、自由度的计算
dtfn1
例10-3
n k1（n相等时）
dfb k1
dwf nk dft dfb
dtf918
dbf312 dw f826
kn1 （n相等时）
3、方差（均方）的计算
St2MtS
XXt 2 SS t
dtf
df t
Sb 2MbS
XXt 2
dbf
SS b df b
Sw 2MwS
n X22 n X2 n X2
n 2 k n 2
SSbk nX nX
例10-1
学法
X
∑X ∑X2 n M
A 6 5 7 18 110 3 6
B 11 9 10 30 302 3 10
C
5 4 6 15
77 3 5
∑ －－－
63 489 9 7（Mt）
X X2 n
StSX2 nX2
X X t2 X X 2 k nXXt2 k nXXt2 k nXX2
总平方和 组间平方和 组内平方和
SS t SS b SS w
计算式
St S XX t2X2 nX2
SbS X X t2nX2
X2
n
Sw S XX 2X2nX2
SSt SSb
k n
2
SSt
C 80 73 70 76 82 5
D 76 74 80 78 82 5
∑
20
∑X
382 420 381 390 1573
∑X2
29276 35314 29129 30460 124179
St S 12 4 11 4 22 7 7 0 4 9 3 .5 65 2
Sb S32 8 4 22 2 5 3 02 8 312 9 1 0 25 20 7 2.3 0 50 5 Sw S 46 .52 520 .50 5262
第四章 方差析课件共158页PPT资料
蛇毒浓度4种：0.000mg/kg、0.030mg/kg、 0.050mg/kg、 0.075mg/kg。
1. 按水平数选基本拉丁方 r=4 2. 随机排列拉丁方的行、列
随机数 08 76 33 97 序号1 3 2 4
ABCD BCDA CDAB DABC
ABCD
CDAB
CBAD
B C D A 1. 3行对调 B C D A 2. 4列对调 B A D C
182
108
48
338
Σ jΧ 2
5054
2050
608
7712
X
26
18
6
22.8
H0: 1 = 2 = 3 H1: 1 2 3或不全相等 = 0.05
SS总= x X 2
x2(x)2 x2C n
SS总=7712－5440.19=2271.81
SS组内= SS总－ SS组间=2271.81－1523.81=748.00 组间 = K – 1 = 3－1 = 2 组内= N－K = 21－3 = 18
4
5
合计
n
7
6
8
21
Σ jΧ
182
108
48
338
Σ jΧ 2
5054
2050
608
7712
X
26
18
6
22.8
第四章 方差分析
Analysis of variance ANOVA
第四章 方差分析
应用及资料要求
方差分析的基本思想 完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 交叉设计资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较 析因设计资料的方差分析 正交设计资料的方差分析 多元（多变量）方差分析 常用的数据转换方法 课堂讨论
1. 按水平数选基本拉丁方 r=4 2. 随机排列拉丁方的行、列
随机数 08 76 33 97 序号1 3 2 4
ABCD BCDA CDAB DABC
ABCD
CDAB
CBAD
B C D A 1. 3行对调 B C D A 2. 4列对调 B A D C
182
108
48
338
Σ jΧ 2
5054
2050
608
7712
X
26
18
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H0: 1 = 2 = 3 H1: 1 2 3或不全相等 = 0.05
SS总= x X 2
x2(x)2 x2C n
SS总=7712－5440.19=2271.81
SS组内= SS总－ SS组间=2271.81－1523.81=748.00 组间 = K – 1 = 3－1 = 2 组内= N－K = 21－3 = 18
4
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合计
n
7
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Σ jΧ
182
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48
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Σ jΧ 2
5054
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X
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第四章 方差分析
Analysis of variance ANOVA
第四章 方差分析
应用及资料要求
方差分析的基本思想 完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 交叉设计资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较 析因设计资料的方差分析 正交设计资料的方差分析 多元（多变量）方差分析 常用的数据转换方法 课堂讨论
第五章方差分析144页PPT
较同需时估没计有一充个分利S用xi 资xj 料，所故提使供得的各信次息比而较使误误差差的估估计计的不精统确一，
性降低，从而降低检验的灵敏性。
上一张 下一张 主 页 退 出
例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
上一张 下一张 主 页 退 出
1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
上一张 下一张 主 页 退 出
表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j
xi.
)
0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
性降低，从而降低检验的灵敏性。
上一张 下一张 主 页 退 出
例如，试验有5个处理 ，每个处理 重复 6次，共有30个 观测值。进行t检验时，每次只能利用两个处理共12个观 测值估计试验误差 ，误差自由度为 2(6-1)=10 ；若利 用整个试验的30个观测值估计试验误差 ，显然估计的精 确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用t检 法进行检验时 ，由 于估计误差的精确性低，误差自由度
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
上一张 下一张 主 页 退 出
1 方差分析的基本原理与步骤
1.1 线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n 次重复，共有nk个观测值。试验资料的数据模式 如表5-1所示。
上一张 下一张 主 页 退 出
表5-1 k个处理每个处理有n个观测值的数据模式
用 t 检验，须采用方差分析法。
上一张 下一张 主 f variance) 是由英国统计学家
R.A.Fisher于1923年提出的。
方差分析是将k个处理的观测值作为一个整体 看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解 为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进 而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方 差估计值构造F统计量，计算F值，检验各样本所属 总体平均数是否相等。
束，即
n
(xi
j
xi.
)
0（i=1,2,…,k。故处理内自
j1
由度为资料中观测值的总个数减k，即kn-k 。
处理内自由度记为dfe，
dfe=kn-k=k(n-1)
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方差分析析因分析详解演示文 稿
（优选）方差分析析因分析
析因设计（factorial design）ANOVA 所关心的问题
1. 两个或两个以上处理因素 的各处理水平 间的均数有无差异？即主效应有无统计学 意义？
2. 两个或两个以上处理因素之间有无交互作 用？
3
一、析因设计
析因设计的实例
例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效(胆固醇 降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固醇 的作用？②两种药间有无交互作用
体重（g）
性别
雄性
昆明种
24～25
0.7038
0.9425
0.3335
泸白种
24～25
0.0628
0.0942
0.0471
13～15
0.0126
0.0094
0.0125
完全随机三因素2×2×2析因设计
雌性 0.1885 0.3403 0.2503 0.9550 0.9215 0.8514 0.4712 0.0880 0.1759 0.2513 0.3676 0.1327
均匀设计 等)
15
二、析因设计的方差分析
（一）两因素两水平 （二）两因素三水平 （三）三因素多水平
（一）两因素两水平 完全随机析因设计的方差分析
两因素析因设计的ANOVA
两个处理因素：A、B
符号
A、B因素各有a、b个水平，共有a×b种组合
每一组合下有n个受试对象
全部实验受试对象总数为a×b×n
例4：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射次数下药
剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应如
何？②二者间有无交互作用？
配伍组编号 日注射量A
注射次数B
B1（少）
B2（多）
促肾上 1
A1
腺皮质
2 3
激素
4
33.6 37.1 34.1 34.6
33.0 30.5 33.3 34.4
1
A2
33.0
甲药
乙药
用
不用
用
64
56
78
44
80
42
不用
28
16
31
25
23
18
完全随机的两因素2×2析因设计
例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率(％)，问①不
同缓解程度、不同化疗期淋转率是否相同？②两
者间有无交互作用
缓解程度 完全缓解
未缓解
化疗期 46 51 41 32 45 52
41 34 39 28 26 33 31 35
问： (1) 护士年龄的主效应？ (2) 疾病病种的主效应？ (3) 护士年龄与疾病病种间是否存在交互作用？
9
析因设计的特点
➢2个或以上（处理）因素（factor）（分类 变量）
➢2个或以上水平（level） ➢2个或以上重复（repeat）（样本数） ➢每次试验涉及全部因素，即因素同时施加 ➢观察指标（观测值）为计量资料（独立、
i (i=1, 2…,α)表示因素A的水平号，
j (j=1, 2, …,b)表示因素B的水平号，
k (k=1, 2 ,…,n)表示在每一组合下的受试对象 号
18
例6：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通
过率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？ 缝合后时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
单独效应
B的效应
A的效应
主
效
B的效应
应
A的效应 A因素主效应解释为：束膜缝合与外膜缝合相比(不考
虑缝合时间)，神经轴突通过率提高了6%。
B因素主效应解释为：缝合后2月与1月相比(不考虑缝
合方法)，神经轴突通过率提高了22%。
11
析因设计--有关术语
➢单独效应（simple effects）：其它因素 （factor）的水平（level）固定为某一 值时，某一因素的效应
➢主效应（main effects）：某因素各单独 效应的平均效应
➢交互作用（Interaction）：某一因素效 应随着另一因素变化而变化的情况。 （如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…
析因设计的优点
• 可同时观察多个因素的效应，提高 了实验效率；
• 能够分析因素间的交互作用； • 允许一个因素在其他各因素的几个
水平上来估计其效应，所得结论在 实验条件的范围内是有效的
13
析因设计的缺点
当研究因素较多，且每个因素的水 平数也较多时，析因设计要求的试验可 能太多，以至到了无法承受的地步。
正态、等方差）
• 析因实验可分析多种交互作用；
• 二个因素间的交互作用称为一级交互作用， 三个因素间的交互作用称为二级交互作用， 四个因素间则称为三级交互作用，乃至更 高级的交互作用。
• 如，观察三个因素的效应，其一级交互作 用为：A×B，A×C与B×C，二级交互作用 为A×B×C。
• 当析因实验设计因素与水平过多时，使交 互作用分析内容繁多，计算复杂，带来专 业解释困难，一般多用简单的析因实验。
28.5
2
29.5
31.8
3
29.2
29.9
4
30.7
28.3
1
A3
31.4
30.7
2
28.3
28.2
3
28.9
28.4
4
28.6
30.6
随机配伍的两因素3×2析因设计
例5: 两因素：疾病种类（A）与护士年龄（B） a=4（心脏病、肿瘤、脑血管意外、结核病） b=3（20～、30～、40～）; n=5；Yijk为访视时间
• 因素对定量观测结果的影响是平等的，即在专业
上没有充分证据认为哪些因素对定量观测结果影
响大、另一些影响小(若实验因素对观测结果影 响在专业上能排出主、次顺序, 称为系统分组或 嵌套设计;
• 可准确估计各因素及其各级交互作用效应大小
(若某些交互作用的效应不能准确估计，就属于
非正规的析因设计，如分式析因设计、正交设计、
如2因素，各3水平5次重复需要试验 为45次；
如有6个因素，每个因素都有3个水 平，析因设计至少需要做 36 = 729次试验， 如果每个因素的水平数增加到5个，则析 因设计至少需要做 56 = 15625次试验，这 是不能接受的
析因实验设计的其他特点
• 要求实验时全部因素同时施加,即每次做实验都 涉及到每个因素一个特定水平(若实验因素施加 有先后顺序之分， 称为分割或裂区设计);
37 50
时期 化疗间隙 56 36 46 47 63 56 54 39 53 58 66 51 57 64 45 45
完全随机的两因素2×2析因设计
例3:小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤
细胞生长特征影响的结果(肿瘤体积cm3)问①
A,B,C各自的主效应如何?②三者间有无交互作用?
种别A
（优选）方差分析析因分析
析因设计（factorial design）ANOVA 所关心的问题
1. 两个或两个以上处理因素 的各处理水平 间的均数有无差异？即主效应有无统计学 意义？
2. 两个或两个以上处理因素之间有无交互作 用？
3
一、析因设计
析因设计的实例
例1：甲乙两药治疗高胆固醇血症的疗效(胆固醇 降低值mg％），问①甲乙两药是否有降低胆固醇 的作用？②两种药间有无交互作用
体重（g）
性别
雄性
昆明种
24～25
0.7038
0.9425
0.3335
泸白种
24～25
0.0628
0.0942
0.0471
13～15
0.0126
0.0094
0.0125
完全随机三因素2×2×2析因设计
雌性 0.1885 0.3403 0.2503 0.9550 0.9215 0.8514 0.4712 0.0880 0.1759 0.2513 0.3676 0.1327
均匀设计 等)
15
二、析因设计的方差分析
（一）两因素两水平 （二）两因素三水平 （三）三因素多水平
（一）两因素两水平 完全随机析因设计的方差分析
两因素析因设计的ANOVA
两个处理因素：A、B
符号
A、B因素各有a、b个水平，共有a×b种组合
每一组合下有n个受试对象
全部实验受试对象总数为a×b×n
例4：研究小鼠在不同注射剂量和不同注射次数下药
剂ACTH对尿总酸度的影响。问①A、B各自的主效应如
何？②二者间有无交互作用？
配伍组编号 日注射量A
注射次数B
B1（少）
B2（多）
促肾上 1
A1
腺皮质
2 3
激素
4
33.6 37.1 34.1 34.6
33.0 30.5 33.3 34.4
1
A2
33.0
甲药
乙药
用
不用
用
64
56
78
44
80
42
不用
28
16
31
25
23
18
完全随机的两因素2×2析因设计
例2：白血病患儿的淋巴细胞转化率(％)，问①不
同缓解程度、不同化疗期淋转率是否相同？②两
者间有无交互作用
缓解程度 完全缓解
未缓解
化疗期 46 51 41 32 45 52
41 34 39 28 26 33 31 35
问： (1) 护士年龄的主效应？ (2) 疾病病种的主效应？ (3) 护士年龄与疾病病种间是否存在交互作用？
9
析因设计的特点
➢2个或以上（处理）因素（factor）（分类 变量）
➢2个或以上水平（level） ➢2个或以上重复（repeat）（样本数） ➢每次试验涉及全部因素，即因素同时施加 ➢观察指标（观测值）为计量资料（独立、
i (i=1, 2…,α)表示因素A的水平号，
j (j=1, 2, …,b)表示因素B的水平号，
k (k=1, 2 ,…,n)表示在每一组合下的受试对象 号
18
例6：研究不同缝合方法及缝合后时间对家兔轴突通
过率（％）的影响，问①两种缝合方法间有无差别？ 缝合后时间长短间有无差别？②两者间有无交互作用
完全随机的两因素2×2析因设计
单独效应
B的效应
A的效应
主
效
B的效应
应
A的效应 A因素主效应解释为：束膜缝合与外膜缝合相比(不考
虑缝合时间)，神经轴突通过率提高了6%。
B因素主效应解释为：缝合后2月与1月相比(不考虑缝
合方法)，神经轴突通过率提高了22%。
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析因设计--有关术语
➢单独效应（simple effects）：其它因素 （factor）的水平（level）固定为某一 值时，某一因素的效应
➢主效应（main effects）：某因素各单独 效应的平均效应
➢交互作用（Interaction）：某一因素效 应随着另一因素变化而变化的情况。 （如一级交互作用AB、二级交互作用 ABC…
析因设计的优点
• 可同时观察多个因素的效应，提高 了实验效率；
• 能够分析因素间的交互作用； • 允许一个因素在其他各因素的几个
水平上来估计其效应，所得结论在 实验条件的范围内是有效的
13
析因设计的缺点
当研究因素较多，且每个因素的水 平数也较多时，析因设计要求的试验可 能太多，以至到了无法承受的地步。
正态、等方差）
• 析因实验可分析多种交互作用；
• 二个因素间的交互作用称为一级交互作用， 三个因素间的交互作用称为二级交互作用， 四个因素间则称为三级交互作用，乃至更 高级的交互作用。
• 如，观察三个因素的效应，其一级交互作 用为：A×B，A×C与B×C，二级交互作用 为A×B×C。
• 当析因实验设计因素与水平过多时，使交 互作用分析内容繁多，计算复杂，带来专 业解释困难，一般多用简单的析因实验。
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2
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1
A3
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30.7
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28.3
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3
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28.4
4
28.6
30.6
随机配伍的两因素3×2析因设计
例5: 两因素：疾病种类（A）与护士年龄（B） a=4（心脏病、肿瘤、脑血管意外、结核病） b=3（20～、30～、40～）; n=5；Yijk为访视时间
• 因素对定量观测结果的影响是平等的，即在专业
上没有充分证据认为哪些因素对定量观测结果影
响大、另一些影响小(若实验因素对观测结果影 响在专业上能排出主、次顺序, 称为系统分组或 嵌套设计;
• 可准确估计各因素及其各级交互作用效应大小
(若某些交互作用的效应不能准确估计，就属于
非正规的析因设计，如分式析因设计、正交设计、
如2因素，各3水平5次重复需要试验 为45次；
如有6个因素，每个因素都有3个水 平，析因设计至少需要做 36 = 729次试验， 如果每个因素的水平数增加到5个，则析 因设计至少需要做 56 = 15625次试验，这 是不能接受的
析因实验设计的其他特点
• 要求实验时全部因素同时施加,即每次做实验都 涉及到每个因素一个特定水平(若实验因素施加 有先后顺序之分， 称为分割或裂区设计);
37 50
时期 化疗间隙 56 36 46 47 63 56 54 39 53 58 66 51 57 64 45 45
完全随机的两因素2×2析因设计
例3:小鼠种别A、体重B和性别C对皮内移植SRS瘤
细胞生长特征影响的结果(肿瘤体积cm3)问①
A,B,C各自的主效应如何?②三者间有无交互作用?
种别A