数学知识点-学年高一数学12月月考试题及答案(新人教A版第274套)-总结

西安市远东第一中学2013-2014学年度第一学期高一年级12月月考数
学试题
一、选择题：（每题4分，共40分）
1．下列四个命题：
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行.
其中错误的命题有…………………………………………………………………………（）A. 1个 B. 2个 C. 3
个 D. 4个
2．在空间四边形各边上分别取四点，如果
能相交于点，那么…………………………………………………………（）
A．点不在直线
上 B．点必在直线BD上
C．点必在平面外D．点必在平面内
3．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的
个数是（）
A．4 B．3
C．2 D．1
4．三个平面把空间分成７部分时，它们的交线有…………………………（）
A．１条B．２条
C．３条D．１条或２条
5.下列四个命题：①已知a、b、c三条直线,其中a、b异面, a∥c,则b、c
异面。

②分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线。

③过平面
外一点有且只有一条直线与该平面垂直。

④过平面外一点有且只有一条直线
与该平面平行。

其中正确的有……（）
A.0个
B. 1个
C. 2个
D. 3 个
6．如图，在正方体中，分别为，
，，的中点，则异面直线与所成的角等于
（）
A．45° B．60° C．90° D．120°
7、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm）,则该几何体的表面积及体积为（）
A.24πcm2，12πcm3
B.15πcm2，12πcm3
C.24πcm2，36πcm3
D.以上都不正确
8．经过平面外两点与这个平面垂直的平面……………………………………………（） A．只有一个 B．至少有一个 C．可能没
有 D．有无数个
9. 若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①，//，则//；②，，则；
③，，则. ④，，则。

其中正确的命题有………………………………………………………………………（）
A.0个
B.1个
C.2
个 D.3个
10．在空间四边形ABCD中，若AB＝CD，BC＝AD，AC＝BD，则∠BAC＋∠CAD＋∠DAB的大小是……………………………………………………………………………………（）
A．90°B．在区间 [ 90°,180°] 内
C．小于180°D．180°
二、填空题：（每题4分，共20分）
11．长方体的长、宽、高分别为3，4，5，则该长方体的对角线长为__________
12．正方体中，三棱锥的体积是原正方体的体积的__ _ _
13．已知和b是成60º角的两条异面直线，则过空间一点且与、b都
成60º角的直线共有__ _条。

14．如图PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，E、F
分别是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB ②EF⊥PB
③AE⊥BC ④平面AEF⊥平面PBC ⑤△AFE是直角三角形
其中正确的命题的序号是
15．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均
为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边
长为1，那么这个几何体的体积为
西安市远东第一中学2013—2014学年度第一学期
高一年级12月月考数学答题卡
11 12 13
14 15
三、解答题：（每题10分共40分）
16 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成
的三棱锥中，
1）求直线AC与BD所成角的度数
2）求三棱锥的体积.
17 如图四边形为梯形，，，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积。

18. 如图，四棱锥中，底面是正方
形，是正方形的中心，底面
，是的中点．
求证：（1）∥平面；
（2）平面平面.
19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB, PC的中点。

（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若PA＝AD，求二面角P—DC—A的平面角的大小．
西安市远东第一中学2013—2014学年度第一学期
高一年级12月月考数学参考答案
二、填空题：（每题4分，共20分）
11 12 1/3 13 3 1 4 ①②④⑤15 1/6
三、解答题：（各10分共40分）
16． 1）90度2)
17．。

18. 证明：（Ⅰ）连结．∵是的中点，是的
中点，
∴∥，又∵平面，平面，∴
∥平面．
（Ⅱ）∵底面，
∴，又∵，且=，
∴平面．
而平面∴平面平面
19．证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………①在△ABC中，
∵ E、O分别为AB、AC的中点
∴ EO∥BC ,又
∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②
综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD ∵ EF 平面EFO
∴ EF∥平面PAD．
（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥
CD
∴ EO⊥CD 又∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面
AC
∴ EO为EF在平面AC内的射影∴ CD⊥EF．
（3）PA＝AD，则PDA＝45，易证所求的二面角为PDA＝45。

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高一12月数学月考试题含答案

高一12月数学月考（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）设集合{}{}04,13M x x N x x =<<=-≤≤，则M ∩N （）A ．{}10x x -≤≤ B ．{}14x x -≤< C ．{}13x x -≤≤ D ．{}03x x <≤ 2.（5分）命题32:,p x x x ∀∈>N 的否定为（） A ．32,x x x ∀∈≤N B ．32,x x x ∃∉≤N C ．32,x x x ∃∈≤ND ．32,x x x ∃∈<N3.（5分）函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4.（5分）函数()()lg 43f x x x =+--的定义域是（） A ．()2,4B ．()3,4C ．()(]2,33,4 D ．[)()2,33,45.（5分） “1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的（） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.（5分）在同一直角坐标系中,函数()()()0,a a f x x x g x log x =>=的图象可能是（）7.（5分）1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数。

若52=x ，3010.02lg ≈，则x 的值约为（）A. 2.301B. 2.322C. 2.507D. 2.6998.（5分）已知函数()2x f x =，且函数()g x 的图像与()f x 的图像关于y x =对称，函数()x ϕ的图像与()g x 的图像关于x 轴对称，设1()2a f =-，1()3b g =，1()3c ϕ=，则（） A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<. b a c <<二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠时，恒()()12120f x f x x x -<-，则称函数()f x 为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（）A ．()f x x =-B ．()f x =C ．()3f x x x =+D ．()23f x x =- 10.（5分）下列结论中，正确的是（） A ．函数12x y -=是指数函数 B ．函数21(1)y ax a =+>的值域是[1,)+∞ C ．若(0,1)m n a a a a >>≠，则m n > D ．函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠的图像必过定点(2,2)-11.（5分）已知实数,,a b c ．满足a b c >>且0abc <，则下列不等关系一定正确的是（） A ．ac bc >B ．c c a b> C ．2b aa b+> D ．ln ln a c b c >12.（5分）已知)(x f 为奇函数，且)1(+x f 为偶函数，若0)1(=f ,则（） A. 0)3(=fB. )5()3(f f =C. )1()3(-=+x f x fD. 1)1()2(=+++x f x f三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）1249()log 24+=__________．14.（5分）设函数113,1(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则使得()2f x ≤成立的x 的取值集合是__________．15.（5分）若幂函数221()(22)m f x m m x +=+-在其定义域上是增函数．则()f x 的解析式为__________．16.（5分）如右图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数xy x y x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛===22,,log2122的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为_______四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.（10分）已知全集为R ，[]5,a A = ，(]()+∞⋃∞-=,62,B (1)若[]2,3-=⋂B A ，求A C R ；(2)从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是B C A R ⊆的什么条件?（只需说明充分必要性，无需证明). ①[)2,3--∈a ；②()4,3∈a18.（12分）已知函数4)1()(2+-+=x k x x f ，且关于x 的不等式0)(<x f 的解集为),1(m(1)求实数k m ,的值； (2)当),0(+∞∈x 时，xx f b )(<恒成立，求实数b 的取值范围. 19.（12分）已知函数f (x )＝a －12x ＋1.(1)求证：不论a 为何实数，f (x )总为增函数； (2)确定a 的值，使f (x )为奇函数； (3)当f (x )为奇函数时，求f (x )的值域．20.（12分）若b x x x f +-=2)(，且b a f =)(log 2，2)(log 2=a f (1≠a )。

北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学含解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

人教版高一数学12月份月考试题含解析

年秋季学期钦州港经济技术开发区中学12月份考试试题高一数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1. 函数f(x)= 的值域为（）A.RB.［0,+∞)C.［0,3］D.［0,2］∪{3}2. 函数y=1- 的图象是( )3. 函数y=1- 的图象是( )4. 阅读如图所示的程序框图：输出的结果为（）A.20B.3C.5D.155. 设全集S={ a 、b 、c 、d、e}，M ={ a 、c 、d}，N ={ b 、d、e}，那么( S M )∩( S N )等于( )A. B.{d}C.{ a 、c }D.{ b 、e}6. 掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )A. B. C. D.7. f(x)= ，则f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+f(4)+f( )等于( )A.3B.C.4D.8. S n = 等于( )A. B. C. D.9. 已知函数f（x）=lg（x+2），若0＜c＜b＜a，则、、的大小关系为( )C. ＞＞D. ＞＞10. 已知a ＜b ＜0, , ,则有( )A. m ＞nB. m ＜nC. m = nD. m ≤n11. 下列各等式中，正确的是（）A. =|a|B.C.a 0 =1D.12. 已知函数f（x）=lg（x+2），若0＜c＜b＜a，则、、的大小关系为( )A. ＞＞B. ＞＞C. ＞＞D. ＞＞二、填空题13. 设函数f（x）是定义在（1，+∞）上的一个函数，且有f（x）=2f（）-1，则f（x）=_____________.14. y=x- 的值域是_________.三、解答题15. 对任意正整数,设计一个求S=1+ 的值的程序框图.16. 已知a,b,c均为正数，求证：.答案一、选择题1、D2、B3、B4、A5、A6、 B7、B8、B9、B10、A11、D12、B二、填空题13、解+ ，x∈（1，+∞）.14、{y|y≤}.三、解答题16、证明：由（a+b） 2 ≥4ab,得,即,同理可得,三式相加即可得证.。

湖北省武汉市2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题含答案

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。

2023-2024学年云南高一上册12月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年云南高一上册12月月考数学试题一、单选题1．设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【正确答案】B【分析】利用交集的定义可求A B ⋂.【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .2．2022-︒角是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【正确答案】B【分析】找到与2022-︒终边相等的角138︒，进而判断出是第几象限角.【详解】因为20226360138-︒=-⨯︒+︒，所以角2022-︒和角138︒是终边相同的角，因为138︒角是第二象限角，所以2022-︒角是第二象限角.故选：B.3．已知函数()221,13,1x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩，则()()0f f 等于（）A ．－2B ．0C ．1D ．3【正确答案】A【分析】先求出()0f ，然后根据()0f 的值求解即可得到.【详解】由已知得，()02011f =⨯+=，所以()()()2011312f f f ==-⨯=-.故选：A.4．函数()2xf x x =+在下列哪个区间存在零点（）A ．()2,3B ．()1,2C ．()1,0-D ．()3,2--【正确答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】解：因为2x y =与y x =在定义域R 上单调递增，所以()2xf x x =+在R 上单调递增，又()1112102f --=-=-<，()002010f =+=>，即()()100f f -⋅<，所以()2xf x x =+在()1,0-上存在唯一零点.故选：C5．已知3log 0.3a =，0.33b =，0.20.3c =，则A ．a b c <=，0.2000.30.31c <=<=，所以a c b <<故选D本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性，及特殊值在比较大小中的应用，属于中档题.6．已知计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（）A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元【正确答案】A【详解】由题可知，9年后计算机的价格为：93312810018100240033⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A7．已知tan 2θ=,则cos sin sin cos θθθθ-+的值为（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【正确答案】A【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cosθ,将弦化切,代入求解即可.【详解】 tan2θ=,∴cos sin1tan121 sin cos tan1123θθθθθθ---===-+++.故选:A.8．中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为67π，扇面所在大圆的半径为20cm，所在小圆的半径为8cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A．288πB．144πC．487πD．以上都不对【正确答案】B【分析】根据扇形的面积公式求出大扇形、小扇形的面积，进而相减即可得到扇面的面积.【详解】由题意得，大扇形的面积为11612002020277Sππ=⨯⨯⨯=，小扇形的面积为21619288 277Sππ=⨯⨯⨯=，所以扇面的面积为121200192144 77S Sπππ-=-=.故选：B二、多选题9．如图所示，可以表示y是x的函数的图象是（）A．B．C ．D ．【正确答案】ACD【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，即可判断．【详解】解：对于B ：对每一个x 的值，不是有唯一确定的y 值与之对应，不是函数图象；对于A 、C 、D ：对每一个x 的值，都有唯一确定的y 值与之对应，是函数图象；故选：ACD ．10．下列结论正确的是（）A ．76π-是第三象限角B ．角α的终边在直线y x =上，则α=()4k k Z ππ+∈C ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角【正确答案】BC【分析】利用象限角的定义可判断A 选项的正误；利用终边相同角的表示可判断B 选项的正误；利用三角函数的定义可判断C 选项的正误；利用特殊值法可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，75266πππ-=- 且56π为第二象限角，故76π-为第二象限角，A 错；对于B 选项，根据终边相同角的表示可知角α的终边在直线y x =上，则α=()4k k Z ππ+∈，B 对；对于C 选项，由三角函数的定义可得3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，取6πα=，则角α为锐角，但23πα=，即角2α为锐角，D 错.故选：BC.11．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞单调递增的函数有（）A ．422y x x =+B ．22y x =+C ．||y x =D ．2y =【正确答案】ABC【分析】逐一分析选项函数的性质，选出符合题意的函数.【详解】422y x x =+定义域为R ，为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，A 选项正确；22y x =+定义域为R ，为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，B 选项正确；y x =定义域为R ，为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，C 选项正确；2y =定义域为[)0,∞+，为非奇非偶函数，D 项错误.故选：ABC.12．已知偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()1f x x =-．则下列说法中正确的有（）A ．9122f ⎛⎫-=⎪⎝⎭B ．()f x 的值域为[]0,1C ．()()()()01220251012f f f f ++++= D ．关于x 的方程()()()20f x bf x b -=∈⎡⎤⎣⎦R 在()2,3-内的根的个数可能是7个【正确答案】ABD【分析】利用函数的周期性和奇偶性可判断A选项；求出函数()f x 在[]1,1-上的值域，结合周期性可判断B 选项；利用函数的周期性求出()()()()0122025f f f f ++++ 的值，可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为()()2f x f x +=，则函数()f x 是周期为2的周期函数，又因为()f x 为偶函数，且当[]0,1x ∈时，()1f x x =-，所以，91111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 对；对于B 选项，因为函数()f x 为周期函数，且周期为2，要求函数()f x 的值域，只需求出函数()f x 在[]1,1-上的值域即可，当[]1,0x ∈-时，则[]0,1x -∈，则()()[]10,1f x f x x =-=+∈，当[]0,1x ∈时，()[]10,1f x x =-∈，所以，函数()f x 在区间[]1,1-上的值域为[]0,1，故函数()f x 的值域为[]0,1，B 对；对于C 选项，()0101f =-= ，()1110f =-=，且函数()f x 是周期为2的周期函数，故()()()()()()01220251013011013f f f f f f ++++=+=⎡⎤⎣⎦ ，C 错；对于D 选项，由()()20f x bf x -=⎡⎤⎣⎦可得()0f x =或()f x b =，作出函数()f x 在()2,3-上的图象如下图所示：由图可知，方程()0f x =在()2,3-内的根有两个，当01b <<时，直线y b =与函数()f x 在()2,3-内的交点有5个，故当01b <<时，关于x 的方程()()20f x bf x -=⎡⎤⎣⎦在()2,3-内的根有7个，D 对.故选：ABD.三、填空题13．命题:p x ∃∈R ，10x +≥．则命题p 的否定为：__________．【正确答案】x ∀∈R ，10x +<.【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由全称量词命题的否定可知，命题p 的否定为：x ∀∈R ，10x +<.故x ∀∈R ，10x +<.14．已知角α的终边与单位圆的交点为4355P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则2sin tan αα+=______.【正确答案】920##0.45【分析】根据三角函数的定义可得正弦与正切值，代入即可求解.【详解】角α的终边与单位圆的交点为4355P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则3sin 5α=，3tan 4α=-，则6392sin tan 5420αα+=-=故92015．函数()()log 31a f x x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点___________.【正确答案】()4,1【分析】令4x =即可得到定点坐标.【详解】当4x =时，1y =，故恒过定点为()4,1，故答案为.()4,116．若函数22,1()3,1ax x f x x ax x +≤⎧=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围为__________．【正确答案】(]0,1【分析】根据分段函数函数在R 上单调递增，则每一段都为增函数，且根据1x =右侧的函数值不小于左侧函数值列不等式求解.【详解】因为函数22,1()3,1ax x f x x ax x +≤⎧=⎨-+>⎩在R 上单调递增，所以012213a a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪+≤-+⎪⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1故(]0,1四、解答题17．若角α的终边经过点(),4P x ，且cos 5xα=，求sin α的值．【正确答案】4sin 5α=或sin 1α=.【分析】由条件根据三角函数的定义列方程求x ，再由三角函数定义求sin α.【详解】依题意cos 5x α=，所以3x =±或0x =.当3x =5=，4sin 5α=，当3x =-5=，4sin 5α=，当0x =4=，sin 1α==，所以4sin 5α=或sin 1α=.18．计算下列各式：(1))238227⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)9log 4663log 4log 32++.【正确答案】(1)109(2)3【分析】（1）根据根式、指数运算进行化简求值.（2）根据对数运算进行化简求值.【详解】（1）原式233214241011339399⎡⎤⎛⎫=+=-+=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）原式2233log 2log 2663log 43log 631232⎛⎫=⨯+=+=+= ⎪⎝⎭.19．已知1sin 3α=-，求cos α，tan α的值．【正确答案】cos 3tan 4αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos tan αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为1sin 3α=-，所以α在第三、四象限；当α在第三象限时，cos 3α=-，1sin 3tan cos 43ααα-=；当α在第四象限时，cos 3α=，1sin 3tan cos 43ααα-==-；综上可得cos tan αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 3tan 4αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩20．已知函数()y f x =，其中()2()22xf x a a a =--⋅是指数函数．（1）求()f x 的表达式；（2）解不等式：log (1)log (2)a a x x +<-．【正确答案】（1）()3x f x =；（2）1{|1}2x x -<<（1）根据指数函数的定义，有2221a a --=，结合0,1a a >≠求a ，写出()f x ；（2）由（1）的结论，结合对数函数的性质及其单调性列不等式组求解集即可.【详解】（1）()y f x =是指数函数，所以2221a a --=，解得3a =或1a =-(舍)，∴()3x f x =.（2）由（1）知：33log (1)log (2)x x +<-，∴102021x x x x+>⎧⎪->⎨⎪->+⎩，解得112x -<<，解集为1{|1}2x x -<<.21．为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某部手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x （单位：千部）手机，需另投入可变成本()R x 万元，且()210200800,040,81008018500,40.x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额－固定成本－可变成本）(1)求2023年的利润()W x （单位：万元）关于年产量x （单位：千部）的函数关系式；(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)()2106001050,040,81008250,40.x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；(2)90，8070万元.【分析】（1）()()800250W x x R x =--代入分段函数化简即可.（2）分别求分段函数的最值，取最大值即可.【详解】（1）()()()2280025010200800106001050,040,800250810081008250,40.8002508018500x x x x x x W x x R x x x x x x x ⎧--++⎧-+-<<⎪⎪=--==⎨⎨⎛⎫--+≥--+-⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩（2）2106001050,040y x x x =-+-<<，当30x =时，max 7950y =；8100825082508070y x x ⎛⎫=-++≤-= ⎝⎭，当且仅当90x =时等号成立.故当产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润为8070万元22．已知定义在[]1,1-上的函数()f x 对于任意的x 、[]1,1y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，有()0f x >，()11f =．(1)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(2)若对任意1x 、[]21,1x ∈-，[]1,1a ∈-，总有()()212221f x f x m am -≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+【分析】（1）判断出函数()f x 为奇函数，令0x y ==，可求出()0f 的值，再令y x =-可得出()f x -、()f x 的关系，即可得出结论；（2）利用函数单调性的定义分析出函数()f x 在[]1,1-上为增函数，求出函数()f x 在[]1,1-上的最大值和最小值，可得出关于m 的不等式组，解之即可.【详解】（1）证明：函数()f x 为奇函数，理由如下：因为()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得()()020f f =，所以()00f =，令y x =-得()()()00f f x f x =-+=，所以()()f x f x -=，故函数()f x 为奇函数．（2）解：因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，任取1x 、[]21,1x ∈-且12x x <，即1211x x -£<£，则210x x ->，则()()()()()2121210f x f x f x f x f x x -=+-=->，则()()12f x f x <，所以()f x 在[]1,1-上单调递增，则()f x 在[]1,1-上的最大值为()11f =，最小值为()()111f f -=-=-，故1x ∀、[]21,1x ∈-，()()()()12max min 224f x f x f x f x ⎡⎤-≤-=⎣⎦，因为1x ∀、[]21,1x ∈-，()()212221f x f x m am -≤-+恒成立，所以2214m am -+≥恒成立，即2230ma m -+-≥恒成立，令()223g a am m =-+-，则[]1,1a ∀∈-，()0g a ≥恒成立，所以，()()2212301230g m m g m m ⎧=--≥⎪⎨-=+-≥⎪⎩，解得3m ≤-或3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围是(][),33,∞∞--⋃+.。

2023-2024学年河南省南阳市高一上册12月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省南阳市高一上册12月月考数学试题一、单选题1．命题“x ∀∈R ，212x x >-”的否定是（）A ．x ∀∈R ，212x x <-B ．x ∀∈R ，212x x ≤-C ．x ∃∈R ，212x x ≤-D ．x ∃∈R ，212x x<-【正确答案】C【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】原命题的否定为x ∃∈R ，212x x ≤-.故选：C.2．函数()122x f x -⎛= ⎝⎭的定义域为（）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】化简函数，找出函数有意义的关系式20x >，解出即可.【详解】因为()122x f x -⎛= ⎝⎭所以()f x =，所以函数要有意义则：202x ->，即1222x ->，即12x >-，所以函数的定义域为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选：D.3．函数2||()22x xx x f x -+=+部分图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由()0f x =的解及解的个数判断.【详解】因为函数的定义域为R ，又()22||||()()2222x xx x x x x x f x f x ---+-+-===++，所以函数()f x 是偶函数，排除AD ，令()0f x =，得0x =，且只有一个解，排除C ，故选：B4．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取7位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，4，则这组数据的第75百分位数是（）A ．7B ．7.5C ．8D ．9【正确答案】C【分析】把该组数据从小到大排列，计算775%⨯，从而找出对应的第75百分位数；【详解】解：依题意可得这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、8、9，且775% 5.25⨯=，所以这组数据的第75百分位数为8.故选：C5．已知32log a =，0.010.3b =，c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b<<【正确答案】B【分析】结合指数函数、对数函数性质可大致判断()()1,2,0,1,a b ∈∈2c =，进而比大小.【详解】因为332log log 8a ==，3331log 3<log 8log 92=<=，0.0100.31b <=<，故()()1,2,0,1,a b ∈∈22c ===，所以b a c <<.故选：B.6．某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为n 的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n =（）A ．48B ．72C ．60D ．120【正确答案】D【分析】根据题意，先求出分层抽样的抽样比例:3000n ，然后分别求出抽取的高中生和初中生人数，根据条件即可求解.【详解】由题意可知：分层抽样按照:3000n 的比例进行抽取，则高中生抽取的人数为：3180030005n n⨯=；初中生抽取的人数为：2120030005n n⨯=；因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则322455n n -=，解得：120n =，故选.D7．已知,a b 为正实数，以下不等式成立的有（）①11b b a a +>+；②22ab ab +>；③22244a b ab b +>-；④11a a -+≥A ．②④B ．②③C ．②③④D ．①④【正确答案】C【分析】对于①③做差因式分解与零比大小；对于②基本不等式验证；对于④数形结合验证.【详解】，只有b a >时①成立；2ab ab+≥ab =，②恒成立；()222224420a b ab b a b b +-+=-+≥，当且仅当2a b =，0b =时等号成立.故22244a b ab b +>-在a ，b 均为正实数时恒成立，③恒成立；令a x =，则11a a -+≥可以看成当0x >时，函数21,111,01x x y x x x -≥⎧=-+=⎨<<⎩的函数值恒大于1由函数图象可知④恒成立.故选:C.8．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度．若25a T =℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：lg 20.30≈，lg11 1.04≈）（）A ．9分钟B ．10分钟C ．11分钟D ．12分钟【正确答案】B【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25a T =℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以11501025511h⎛⎫== ⎪⎝⎭，又水温从75℃降至45℃，所以()1452575252t h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即12022505th ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11110222115tt t hh ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以10112lg22lg 2120.315log 101051lg111 1.04lg 11t -⨯-===≈=--，所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.二、多选题9．当()0,1x ∈时，幂函数a y x =的图像在直线y x =的上方，则a 的值可能为（）A ．13B ．2-CD ．3【正确答案】AB【分析】由题意，转化为当01x <<时，a x x >恒成立，解不等式即可．【详解】解：由题意，转化为当01x <<时，a x x >恒成立，两边取对数得lg lg a x x >，由01x <<得lg 0x <，∴1a <，故选：AB.10．5月6日，小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图.根据图中的信息可得（）A ．护士每隔6小时给小明测量一次体温B ．近三天来，小明所测体温数据的极差为3.7摄氏度C ．近三天来，小明所测体温数据的中位数是37.5摄氏度D ．如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，可以出院，那么小明最快5月10日凌晨6时出院【正确答案】ACD【分析】根据体温折线图一一分析即可.【详解】解：由体温折线图得到护士每隔6小时给小明测量一次体温，故A 正确；近三天来，小明的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度，故极差为39.536.8 2.7-=摄氏度，故B 错误；近三天小明所测体温数据从小到大排列为36.8、37、37、37.1、37.2、37.5、38、38、39、39.2、39.5，故中位数为37.5，故C 正确；从5月8日18点开始体温不超过37.2摄氏度，按照连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，则小明最快5月10日凌晨6时出院，故D 正确．故选：ACD11．下列命题为真命题的是（）A ．设a ，b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的既不充分也不必要条件B ．“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根”的充要条件C ．当0ac b >>时，x ∀∈R ，20ax bx c ++>成立D ．x ∃，y ∈R ，使224250x y x y +-++=成立【正确答案】BD【分析】A.根据充分，必要条件的定义，即可判断；B.根据方程根的情况列式求解；C.写出24b ac ∆=-，判断是否正负；D.写成完全平方式形式，即可判断.【详解】由0ab ≠得0a ≠且0b ≠，故00a ab ≠⇒≠，但00ab a ≠⇒≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故A 错误；若二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根，则满足2Δ40ac b ac <⎧⎨=->⎩，解得0ac <，所以“0ac <”是“二次方程20ax bx c ++=有一正根一负根”的充要条件，故B 正确；方程20ax bx c ++=的24b ac ∆=-，正负无法确定，故C 错误；因为()()222242521x y x y x y +-++=-++，所以当2x =，1y =-时，等式成立，故D 正确.故选:BD.12．已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A ．()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的图象关于点()0,1对称C ．函数()f x 在定义域上单调递减D ．若实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【正确答案】ABD【分析】利用函数解析式，求解可得()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可判断A ，利用()()2f x f x -+=可判断B ，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C ，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A 选项，对任意的x ∈R 0x x x +>+≥，所以函数())ln1f x x x =+++的定义域为R ，又因为()())()1]ln()1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，所以()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B 选项，因为函数()f x 满足()()2f x f x -+=，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())lnh x x =，该函数的定义域为R ，()()))()22ln ln ln 10h x h x x x x x -+=++=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，则()()()2f a f b f b >-=-，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．函数()328x f x x =+-的零点()01,x m m ∈-，则整数m 的值为______.【正确答案】2【分析】利用函数零点的存在性定理分析求解即可．【详解】函数()328x f x x =+-，因为()121850f =+-=-<，()248840f =+-=>，又函数()f x 在R 上为单调递增函数，所以存在唯一的零点()012x ∈，，又零点()01,x m m ∈-，所以2m =．故2．14．已知()e lg5xf x =，则()()1e f f +=______.【正确答案】lg5【分析】分别令e 1x =和e ，求出对应的x ，然后代入求()()1f f +e 即可.【详解】令e 1x =，则0x =，令e e x =，则1x =，所以()()1e 0lg51lg5lg5f f +=⨯+⨯=.故答案为.lg 515．已知2:8150p x x -+<，()():250q x m x m --<，其中0m >.若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】312m ≤≤【分析】解出,p q 的范围，并设{}|A x x p =∈、{}|B x x q =∈，根据q 是p 的必要不充分条件，得出AB ，根据集合包含关系即可得出.【详解】解28150x x -+<可得35x <<，即:35p x <<，因为0m >，所以52m m >，解()()250x m x m --<可得25m x m <<，即:25q m x m <<.设{}{}||35A x x p x x =∈=<<，{}{}||25,0B x x q x m x m m =∈=<<>，因为若q 是p 的必要不充分条件，所以AB ，所以有2355m m ≤⎧⎨≥⎩，且不能同时取等号，所以312m ≤≤.故答案为.312m ≤≤16．已知函数()42e ,4,1441, 4.x x f x x x x -⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若方程()()0f x m m -=∈R 恰有四个不同的实根，则m 的取值范围是______.【正确答案】()()40,e1,8- 【分析】方程分离参数后，画出()y f x =的的图象，观察图象可得结果.【详解】∵()0f x m -=恰有四个不同的实根，即：()f x m =∴()y f x =和y m =恰有四个不同的交点，又∵当4x ≤时，444e ,04()ee ,0x x x x f x x ----⎧≤≤==⎨<⎩当>4x 时，()()22144178f x x x x =-+=--，∴如图所示，又∵4(0)e f -=，(4)1f =，(7)8f =，∴()()40,e1,8m -∈ 故答案为.()()40,e 1,8- 四、解答题17．已知全集U =R ，集合{}R 5321A x x =∈-≤-≤，集合(){}2R log 21B x x =∈-≤.(1)求A B ⋂，A B ⋃；(2)求()R B A ⋃ð.【正确答案】(1){}01A B x x ⋂=≤≤，{}12A B x x ⋃=-≤<；(2)()R {2B A x x ⋃=≥ð或1}x ≤【分析】（1）由对数函数单调性解不等式得集合B ，根据集合的交集、并集运算求解；（2）根据补集运算、并集运算求解即可.【详解】（1）由题意得，{}11A x x =-≤≤，不等式()2log 2102202x x x -≤⇔<-≤⇔≤<，可得{}02B x x =≤<，∴{}01A B x x ⋂=≤≤，{}12A B x x ⋃=-≤<；（2）由（1）知，R {0B x x =<ð或2}x ≥∴()R {2B A x x ⋃=≥ð或1}x ≤.18．为了让学生更多地了解冬奥知识，石家庄某中学举行了一次“冬奥知识竞赛”，共有900名考生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[)50,6040.08[)60,700.16[)70,8010[)80,90160.32[]90,100合计50(1)填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）.(2)补全频率分布直方图.(3)若成绩在[)70,90内的学生获得二等奖，请估计该校获得二等奖的学生为多少人？【正确答案】(1)答案见解析(2)直方图见解析(3)468【分析】（1）在频率分布表中，各组的频数=频率⨯样本容量，再根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）根据频率分布表补全频数分布直方图；（3）首先求出样本中成绩在[)70,90内的频率，结合共有900名学生参加了这次竞赛可得答案.【详解】（1）解：由已知样本容量为50，故第二组的频数为0.16508⨯=，第三组的频率为010500.2=，第四组的频数为：50(481016)12-+++=，频率为：120.2450=，故频率分布表为：分组频数频率[)50,6040.08[)60,7080.16[)70,80100.20[)80,90160.32[]90,100120.24合计501（2）解：频率分布直方图如下所示：（3）解：样本中成绩在[)70,90的频率为0.20.320.52+=，所以估计该校获得二等奖的学生为9000.52468⨯=人.19．设()()()log 2log 4a a f x x x =++-（0a >，且1a ≠）.(1)若()23f =，求实数a 的值及函数()f x 的定义域；(2)求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)2a =，()2,4-(2)①当1a >时，函数()f x 的值域为(],2log 3a -∞，②当01a <<时，函数()f x 的值域为[)2log 3,a +∞.【分析】（1）根据()23f =求得a ，根据函数定义域的求法求得()f x 的定义域.（2）先求得()f x 的定义域，结合二次函数的知识求得()f x 的值域.【详解】（1）因为()()()()log 2log 40,1a a f x x x a a =++->≠，且()23f =，所以()2log 4log 23log 23a a a f =+==，解得2a =，所以()()()22log 2log 4f x x x =++-的定义域需满足2040x x +>⎧⎨->⎩，解得24-<<x ，即函数()f x 的定义域为()2,4-.（2）()()()()()()22log 2log 4log 28log 19a a a a f x x x x x x =++-=-++=--+，由24-<<x ，根据二次函数的性质可得()20199x <--+≤，①当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增，函数()f x 的值域为(],2log 3a -∞，②当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减，函数()f x 的值域为[)2log 3,a +∞.20．已知()g x 是定义在()2,2-上的奇函数，且()()2f x g x =+.(1)若()4f a =，求()f a -的值；(2)对任意的1x ，()22,2x ∈-，12x x ≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，解关于x 的不等式()()214f x f x -+>.【正确答案】(1)0；(2)13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据函数的奇偶性计算()()f a f a +-即可得解；（2）由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦可推出函数()f x 单调递减，可得()()2g x f x =-单调递减，不等式可转化为()()21g x g x ->-，利用单调性求解即可.【详解】（1）因为()g x 是奇函数，所以()()0g a g a +-=，则()()()()224f a f a g a g a +-=++-+=，因为()4f a =，所以()0f a -=；（2）不妨设1222x x -<<<，则120x x -<，又因为()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以()()120f x f x -<，则()f x 在()2,2-上单调递增，所以()()2g x f x =-在()2,2-上单调递增；因为()()214f x f x -+>，所以()()21220f x f x --+->，所以()()210g x g x -+>，又因为()g x 为奇函数，所以()()21g x g x ->-，又因为()g x 在()2,2-上单调递增，所以221222,21x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩132213223213x x x x ⎧-<<⎪⎪⇒-<<⇒<<⎨⎪⎪>⎩，则不等式()()214f x f x -+>的解集为13,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．已知22m n +=，且1m >-，0n >.(1)求121m n++的最小值；(2)求224221m n n m +++的最小值.【正确答案】(1)3；(2)45.【分析】（1）由已知推得()1213m n ++=，将121m n ++变形为()1412123m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭，展开用基本不等式，即可求得121m n ++的最小值；（2）原式可变形为9169122m n +-++，进而求出()()12215m n +++=，用“1”的代换将9169122m n +-++变形为()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭-，展开用基本不等式，即可求得224221m n n m +++的最小值.【详解】（1）因为123m n ++=，()1213m n ++=，所以()14121214121123m n m n m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭+=+=++24(1)14512333n m m n ++++++=≥=，当且仅当()41212m n m n +=+，且22m n +=，即0m =，1n =时等号成立，则121m n++的最小值为3.（2）()()()()222222222212422122111n m n m m n n m n m n m ----+=+=+++++++()()()()2221818161911n n m m n m +-+++-++=+++()892181611n m n m =++-+++-++98911m n =+-++9169122m n =+-++，因为1225m n +++=，所以()()12215m n +++=，所以原式()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭=-()()92216191612295n m m n +++++++=-，9≥494955=-=当且仅当()()922161122n m m n ++=++，且22m n +=，即87m =，37n =时等号成立，则224221m n n m +++的最小值为45.22．设a ∈R ，已知函数()22x x a f x a+=-为奇函数.(1)求实数a 的值；(2)若a<0，判断并证明函数()f x 的单调性；(3)在（2）的条件下，函数()f x 在区间[](),m n m n <上的值域是()2,2m n k k k ⎡⎤⋅⋅∈⎣⎦R ，求k 的取值范围.【正确答案】(1)1-或1(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析(3)(0,3-【分析】（1）直接根据奇函数定义()()f x f x -=-，代入解析式即可求出参数a 的值；（2）由（1）知，当a<0时，得1a =-，代入解析式中，利用单调性的定义即可证明函数的单调性；（3）首先根据函数单调性可得()()2,2,m n f m k f n k ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩，即212,21212,21m m m n n n k k ⎧-=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，令20x t =>，将原问题转化为()2110kt k t +-+=在()0,∞+上有两个不同实根，然后根据二次函数根的分布与系数关系求解参数的取值范围即可.【详解】（1）由函数()f x 为奇函数，有()()0f x f x -+=，有1220122x x x xa a a a +++=--，有()()1122022x x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有221212022x x x x a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+⋅-+--⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有21a =，得1a =±.①当1a =时，()2121xx f x +=-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()1112211212x x x x f x f x ++-===---，符合题意；②当1a =-时，()2121x x f x -=+，定义域为R ，()()1112211212x x x xf x f x ---===-++，符合题意.由上知1a =-或1；（2）当a<0时，有1a =-，即()f x 定义域为R ，结论为：()f x 在R 上单调递增.设R 上任意两个实数1x ，2x ，且12x x <.()()()()()()()()()()()1221121212121212212121212222121212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x -+--+----=-==++++++，而21220x x ->，1210x +>，2210x +>，∴()()()12122202121x x x x -<++，即()()12f x f x <得证，则()f x 在R 上单调递增；（3）由m n <知22m n <，由()2,2m n k k k ⎡⎤⋅⋅∈⎣⎦R 知22m n k k ⋅<⋅，所以0k >，由（2）知()f x 在R 上单调递增，结合题意有()()2,2,m n f m k f n k ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩得212,21212,21m m m n n n k k ⎧-=⋅⎪⎪+⎨-⎪=⋅⎪+⎩，即m ，n 是21221x x x k -=⋅+的两个不同实根，令20x t =>，则()2110kt k t +-+=在()0,∞+上有两个不同实根，有()212120,140,10,10,k k k k t t k t t k >⎧⎪∆=-->⎪⎪-⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩可得03k <<-，故实数k的取值范围为(0,3-.。

2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题(含解析)

2023-2024学年上海市高一上册12月月考数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则A B ⋃=_________.【正确答案】{1,2,3,4}直接根据并集定义得到答案.【详解】集合{1,2,3},{2,4}A B ==，则{1,2,3,4}A B ⋃=.故答案为.{1,2,3,4}本题考查了并集计算，属于简单题.2．函数()f x _______________.【正确答案】(]3,1-【分析】由根式函数定义域的求法得到103xx-≥+，再转化为()()()310,3x x x +-≤≠-，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】因为103xx-≥+，所以()()()310,3x x x +-≤≠-，解得31-<≤x ，所以函数()f x =(]3,1-.故(]3,1-本题主要考查函数定义域的求法以及分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______．【正确答案】()12f x x =【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=，所以()12f x x =.故答案为.()12f x x =4．函数4()f x x x =+，1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为__________．【正确答案】174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据对勾函数的单调性分析出()f x 的单调性，然后即可求解出()f x 的最值，从而()f x 的值域可确定出.【详解】由对勾函数的单调性可知：4()f x x x =+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]2,4上单调递减，所以()()min 24f x f ==，又()()max 1max ,42f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，且11178222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()4415f =+=，所以()max 172f x =，所以()f x 的值域为174,2⎡⎤⎢⎣⎦，故答案为.174,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．若函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，则()3f =______.【正确答案】5先利用函数偶函数的定义求得解析式，再求()3f 的值.【详解】因为函数()()()2f x x x a =+-是偶函数，所以()()11f f -=，即()131a a --=-，解得2a =，所以()3f =5故56．已知()(21)1n f x x =-+，则函数()y f x =的图象恒过的定点P 的坐标为__．【正确答案】(1,2)【分析】令211x -=求解即可.【详解】令211x -=，得1,2x y ==，故函数()f x 图象过定点(1,2)P ，故(1,2)7．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且它在[0,)+∞上单调递增，那么使得(2)()f f a -≤成立的实数a 的取值范围是_________【正确答案】(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】利用函数是偶函数得到不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f （﹣2）≤f （a ）等价为f （2）≤f （|a |），即2≤|a |，∴a ≤﹣2或a ≥2，故(,2][2,)-∞-+∞ ．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到f （a ）＝f （|a |）是解决偶函数问题的关键．8．设8log 9a =，3log 5b =，则lg 2=__________．（用a 、b 表示）【正确答案】223ab+【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．【详解】由8log 9a =，3log 5b =，则328222log 9log 3log 33a ===即32log 23a=又3332log 10log 2log 53b a=+=+233ab a +=则3lg 323aab =+2lg 33log 3lg 22a==，则lg3lg 232a =32223323a ab a ab =⨯=++，故答案为.223ab+9．设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【正确答案】89根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由0∆≥，解得23m ≤，然后由()2212121222x x x x x x ++⋅=-，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m ∆=-+-≥，解得23m ≤，所以112222322,2x x x x m m m +=⋅-=+，则()2212121222x x x x x x ++⋅=-，()22232222m m m +-=-⨯，2232m m =-+，237248m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2212x x +的最小值为2237823489⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故8910．已知函数()e e ,0x xy a b a b -=+>的最小值为2，则a b +的最小值为__．【正确答案】2【分析】利用基本不等式与指数函数的性质求解即可【详解】因为e 0,0,0,e 0x x a b ->>>>，所以e e 2x x y a b -=+≥=，仅当ln ln 2b ax -=时取等号，又e e x x y a b -=+的最小值为2，所以1ab =，所以2a b +≥，当且仅当1a b ==时取等号．故211．若一个非空数集F 满足：对任意,a b F ∈，有a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，有aF b∈，则称F 为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2021F ∈；（3）集合{|3,Z}P x x k k ==∈为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【正确答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当a b =时，0a b -=属于数域，故（1）正确，（2）若数域F 有非零元素，则1bF b=∈，从而112,21,,202012021F F F +=∈+∈+=∈ ，故（2）正确；（3）由集合P 的表示可知得x 是3的倍数，当6,3a b ==时，623a P b==∉，故（3）错误，（4）若F 是有理数集，则当a ，b F ∈，则a b +，a b -，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故312．已知函数2(3)1,1()11log ,14a a x a x f x x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()f x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．【正确答案】3(1,]2根据函数()f x ()f x 在R 上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.【详解】解：因为函数()f x 在R 上是增函数，所以(3)1y a x a =-+-在区间(,1)-∞上是增函数且211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上也是增函数，对于函数(3)1y a x a =-+-在(,1)-∞上是增函数，则303a a ->⇒<；①对于函数2[1,11log ,)4a y x ax x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝+∞⎭，（1）当01a <<时，12a<，外函数log a y u =为定义域内的减函数，内函数2221111(424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上是增函数，根据复合函数“同增异减”可得01a <<时函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是减函数，不符合题意，故舍去，（2）当1a >时，外函数log a y u =为定义域内的增函数，要使函数211log 4a y x ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,)+∞上是增函数，则内函数2221111()424a a u x ax x -=-+=-+在[1,)+∞上也是增函数，且对数函数真数大于0，即21104u x ax =-+>在[1,)+∞上也要恒成立，所以2212215111044a a a a a ⎧≤≤⎧⎪⎪⎪⇒⇒≤⎨⎨<⎪⎪-+>⎩⎪⎩，又1a >，所以12a <≤，②又()f x 在R 上是增函数则在衔接点处函数值应满足：22111531log 1044a a a a a a ⎛⎫-+-≤-+⇒+-≤ ⎪⎝⎭，化简得5322a -≤≤，③由①②③得，312a <≤，所以实数a 的取值范围是3(1,]2.故答案为.3(1,]2方法点睛：利用单调性求参数方法如下：（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；（2）需注意若函数在区间[,]a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．二、单选题13．若实数a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．1>a b B ．222a b ab +≤C ．2b a a b+≥D ．11a b<【正确答案】B【分析】根据特殊值判断ACD ，由不等式性质判断B.【详解】当2,1a b ==-时，1ab<，故A 错误；因为222()20a b a b ab -=+->，所以222a b ab +<，故B 成立；当1,1a b ==-时，2b aa b+≥不成立，故C 错误；当当2,1a b ==-时，11a b>，故D 错误.故选：B14．函数()222x xx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】根据函数的奇偶性先排除B,D ，再利用特殊值排除选项C ，进而求解.【详解】函数()222x xx f x -=+的定义域为R ，且22()()()2222x x x x x x f x f x ----===++，则函数()f x 为偶函数，故排除选项B,D ；又因为当0x >时，()0f x >，故排除选项C ，故选.A15．在物理中，我们已学习过匀加速直线运动以及如下式子：2001,2t v v at s v t at =+=+，22102v v as -=，现小明以加速度(0)a a ≠做匀加速直线运动，在A 地处的速度为1v ，在B 地处的速度为2v ，则它在A 地和B 地的中点处的速度3v 满足（）A ．123122v v v v v =+B ．1232v v v +=C ．1232v vv +<<D ．3v =【正确答案】D【分析】由匀加速直线运动的公式结合已知条件求解即可【详解】因为匀加速直线运动速度与位移的关系为22102v v as -=，所以由题意得223122s v v a -=⋅，222322s v v a -=⋅，所以3v =A 、B 、C 均错.故选：D.16．命题p ：存在R a ∈且0a ≠，对于任意的x ∈R ，使得()()()f x a f x f a +<+；命题1q ：()f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2q ：()f x 单调递增，存在00x <使得()00f x =，则下列说法正确的是（）A ．只有1q 是p 的充分条件B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【正确答案】C【分析】对于命题1q ：当0a >时，结合()f x 单调递减可得出()()()()f x a f x f x f a +<<+，对于命题2q ：当00a x =<时，()()00f a f x ==，结合()f x 单调递增可得出()()f x a f x +<，进而可得()()()f x a f x f a +<+，由充分条件的定义可判断1q ，2q ，进而可得正确选项.【详解】对于命题1q ：当0a >时，x a x +>，因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +<，因为()0f x >恒成立，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题1q 可得出p 成立，所以1q 是p 的充分条件；对于命题2q ：当00a x =<时，x a x +<，()()00f a f x ==，因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()()f x a f x f a +<+，所以由命题2q 可得出p 成立，所以2q 是p 的充分条件；所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C.三、解答题17．已知全集U =R ，集合{}22|440,{||25|3}A x x x a B x x =--+≤=-≥.(1)当3a =时，求A B ⋂；(2)当“x A ∈”是“B R ð”的必要非充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)[1,1][4,5]- (2)(,2][2,)-∞-+∞ 【分析】（1）将3a =代入，解一元二次不等式以及绝对值不等式求出集合,A B ，再根据集合的交运算即可求解.（2）求出B R ð，根据题意可得()B R ðA ，再由集合的包含关系即可求解.【详解】（1）当3a =时，{}{}{}22244045015A xx x a x x x x x =--+≤=--≤=-≤≤∣，{||253}{|253B x x x x =-≥=-≥∣或253}x -≤-{|4x x =≥或1}x ≤，所以{11A B x x ⋂=-≤≤或}[][]451,14,5x ≤≤=-⋃.（2）由（1）可得()1,4R B =ð，{}()()()(){}22440220A x x x a x x a x a ⎡⎤=--+≤=+--+≤⎣⎦∣∣，当0a >时，{}22A x a x a =-≤≤+，当0a =时，{}2A =，当0a <时，{}22A x a x a =+≤≤-，“x A ∈”是“R x B ∈ð”的必要不充分条件，则()B R ðA ，显然0a =，不成立；当0a >时，2124a a -≤⎧⎨+≥⎩，解不等式可得2a ≥，此时2a ≥；当0a <时，2124a a +≤⎧⎨-≥⎩，解不等式可得2a ≤-，此时2a ≤-，所以实数a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞ .18．已知11()f x a x=-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性并说明理由；(2)判断函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性并证明.【正确答案】(1)非奇非偶函数，理由见解析(2)增函数，证明见解析【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可求解；（2）利用函数单调性的定义即可求解.【详解】（1）函数()y f x =是非奇非偶函数，理由如下：由题意可知，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()1111()f x a x a x -=-=+-，11()f x a x-=-+，所以()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，所以函数()y f x =是非奇非偶函数；（2）函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调递增，证明如下：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，因为120x x <<，所以121212120,00,x x x x x x x x --<<>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.所以函数()y f x =在区间(0,)+∞上是增函数.19．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度）随时间变化的函数符合01()(12)kt m c t kV-=-，其函数图象如图所示，其中V 为中心室体积（一般成年人的中心室体积近似为600)，0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值．此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2ktc t c -=⋅，其中c为停药时的人体血药浓度．(1)求出函数1()c t 的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【正确答案】(1)()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．【分析】（1）根据已知条件及函数的图象，利用点在图象上列方程求解即可；（2）根据已知条件得出最迟停止注射时间，利用函数关系式及对数的运算性质即可求解.【详解】（1）令0m N KV=，则1()(12)kt c t N -=-，由图象可知，图象经过(4,8)，(8,12)两点，则()()481281212k k N N --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1614N k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()1411612t c t -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭；（2）由题意，可知有治疗效果的浓度在4到15之间，所以浓度为15时为最迟停止注射时间，故()141161215t c t -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，解得16t =，浓度从15降到4为最长间隔时间，故142()1524t c t -=⨯=，即144215t -=，两边同时取以2为底的对数，则14224log 2log 15t -=，即221lg(310)lg152log 4log 15224lg 2lg 2t ⨯⨯-=-=-=-lg31lg 20.4810.322 1.93lg 20.3+-+-=-≈-=-，所以 1.9347.7t =⨯≈，所以最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时开始进行第二次注射．20．已知幂函数223()()m m f x x m -++=∈Z 是奇函数，且()f x 在(0,)+∞为严格增函数．（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求2212log ()log [2()]y f x f x =-，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】（1）0m =，3()f x x =；（2）162x -=时取到最小值为34；2x =时，取得最大值13．（1）由()f x 单调递增得出312m -<<，又m Z ∈，得0m =或1m =，再根据函数奇偶性即可得出结果；（2）化简函数为()222log 13log 9y x x =++，令2log t x =可得213964y t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈，在(0,)+∞为增函数，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数，不符合题意；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log y x x x x =-++=，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2213319649y t t t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭=，所以2193t t y ++=在11,6t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，当16t =-即21log 6x =-，162x -=时min 34y =；因为1517(1)16666⎛⎫---=<--= ⎪⎝⎭，当1t =时，即2log 1x =，2x =时max 93113y =++=.本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的最值，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质是解题的关键，属于常考题型.21．已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数．(1)当1a =时，解不等式()2f x <的解集；(2)当6a =时，写出函数()y f x =的单调区间；(3)若在[0,2]上存在2021个不同的实数(1,2,,2021)i x i = ，122021x x x <<<L ，使得122320202021|()()||()()||()()|8f x f x f x f x f x f x -+-++-= ，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)(,2)-∞(2)增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，减区间为[3,6](3)(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值号解不等式即可；（2）根据二次函数直接写出函数单调区间即可；（3）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解.【详解】（1）当1a =时，()|1|f x x x =-，当1x >时，2()2f x x x =-<，解得12x -<<，所以12x <<，当1x =时，()02f x =<成立，当1x <时，2()2f x x x =-+<，解得1x <，综上，不等式()2f x <的解集为(,2)-∞；（2）当6a =时，()226,666,6x x x f x x x x x x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩，所以由二次函数的单调性知，()f x 的严格增区间为(,3]-∞和[6,)+∞，严格减区间为[3,6]；（3）①当0a ≤时，()()f x x x a =-在[0,2]上严格增，所以12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211(()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得2a ≤-；②当4a ≥时，()()f x x a x =-在[0,4]上严格增，12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 213220212020(()())(()())(()())f x f x f x f x f x f x =-+-++- 20211()()(2)(0)2(2)f x f x f f a =-≤-=-，所以2(2)8a -≥，解得6a ≥，③当24a ≤<时，()f x 在[0,]2a 上严格增，在[],22a 上严格减，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x -+-++- ()()0222a a f f f f ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224(4)4442a a a a =⨯-+=-+<，不满足条件，④当02a <<时，()f x 不单调，max ()max{(),(2)}42a f x f f =<，122320202021|()()||()()||()()|f x f x f x f x f x f x-+-++- max 2()8f x ≤<，不满足条件，所以实数a 的取值范围为(,2][6,)-∞-+∞ ．关键点点睛：本题的关键在于求12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x +-+-++- 的最大值或利用放缩法求函数的最大值的上界，最大值只需满足不小于8，而最大值的上界小于8不符合题意即可得出参数的取值范围，结合二次函数及绝对值不等式的性质对a 需结合单调性分类讨论.。

吉林省长春市2023-2024学年高一上学期12月月考试题数学含答案

长春2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷（答案在最后）出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数()ln(12)f x x =-的定义域为（）A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭2.实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A.a c b<< B.a b c<< C.b a c<< D.b<c<a 3.已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（）.A.B.C. D.4.已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A.2B.3C.5D.75.设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 的不等式()1g x ≤的解集是（）A.(],e -∞ B.(],1-∞ C.[]0,e D.[]0,16.已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（）A.B.C.23D.137.已知α为锐角，且3cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B. C.D.28.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A.2B.4C.6D.8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（）9.下列选项中正确的是（）A.()sin 3sin απα-=B.7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.()tan tan απα--=- D.5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭10.下列所给函数中值域为()0,∞+的是（）A.()23f x x -= B.()1xf x e=C.()()23log 1f x x =+ D.()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩11.若105a =，1020b =，则（）A.4a b += B.lg 4b a -= C.22lg 5ab < D.lg 5b a ->12.下列正确的命题是（）A .5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .若()cos cos 2f x x =，则()3sin 302f ︒=C.若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D.若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．14.若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.15.设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.16.已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x=++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----+18.已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．19.已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．20.已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.21.已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．22.已知函数()1lg 1xf x x -=+.（1）求不等式()()()lg20ff x f +>的解集；（2）函数()()30,1xg x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.长春2023-2024学年第一学期第二次月考高一年级数学试卷出题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数()ln(12)f x x =-的定义域为（）A.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.【详解】定义域要求120x ->，即12x <.故选：B ．2.实数0.2,a b c ===的大小关系正确的是（）A.a c b <<B.a b c<< C.b a c<< D.b<c<a【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得到a b c 、、的范围从而得到答案.【详解】000.21a <=<=，0.20b =<=，1c =>=，所以b a c <<，故选：C.3.已知对数函数()log a f x x =是增函数，则函数()1fx +的图象大致是（）.A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.【详解】由题意，1a >，()()1log 1afx x +=+，()()11f x f x -+=+，所以函数()1f x +是偶函数，当0x =时，()()01log 010af+=+=，故排除选项C 、D ，当0x >时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.故选：B【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.4.已知函数2log ,0()91,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则31((1))(log )2f f f +的值是A.2B.3C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.【详解】函数2log ,0()91,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则2(1)log 10f ==，0((1))(0)912f f f ==+=，而331log log 202=-<，因此，33log 2log 222331(log )(log 2)91(3)12152f f =-=+=+=+=，所以31((1))(log 2572f f f +=+=故选：D5.设()e ,0ln ,0x x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则关于x 的不等式()1g x ≤的解集是（）A.(],e -∞ B.(],1-∞ C.[]0,e D.[]0,1【答案】A 【解析】【分析】分0x ≤、0x >解不等式()1g x ≤，综合可得出原不等式的解集.【详解】当0x ≤时，由()e 1xg x =≤可得0x ≤；当0x >时，由()ln 1g x x =≤可得0e x <≤.综上所述，不等式()g x 的解集为(],e -∞.故选：A.6.已知点(1,2)在α的终边上，则cos α=（）A.5B.5C.23D.13【答案】B 【解析】【分析】根据终边上的点，结合三角函数的定义求余弦值即可.【详解】由题设cos 5α==.故选：B7.已知α为锐角，且3cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.2-B. C.D.2【答案】D 【解析】【分析】注意到πππ632αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用同角三角函数的关系求角π6α+的正弦，再利用诱导公式求角π3α-的正弦、余弦，从而得到π3α-的正切.【详解】因为α为锐角，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭且πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 06ππsin cos 166ααα⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩得πsin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由诱导公式得ππππsin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππcos sin 363αα⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以π3sin π33tan π32cos3ααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.故选:D8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kteθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）.A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B 【解析】【分析】根据题意将数据120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ =代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=o，0100θ= ，60θ= ，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ =时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝，所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ，故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（）9.下列选项中正确的是（）A.()sin 3sin απα-=B.7cos sin 2απα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.()tan tan απα--=- D.5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】利用诱导公式一一验证即可；【详解】解：sin(3)sin()sin()sin απαππαα-=-=--=-，故A 不正确；71cos cos sin 22απαπα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；tan()tan()tan απαα--=-=-，故C 正确；51sin sin cos 22παπαα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD10.下列所给函数中值域为()0,∞+的是（）A.()23f x x -= B.()1xf x e=C.()()23log 1f x x =+ D.()15,01,0x x f x x x ⎧⎪>=⎨⎪-+≤⎩【答案】AD 【解析】【分析】A.利用幂函数的性质判断；B.令()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，转化为指数函数判断；C.令211t x =+≥，转化为对数函数判断；D.分0x >和0x ≤讨论求解判断.【详解】A.因为()23f x x -=的定义域为{}|0x x ≠，因为函数在()0,∞+上是减函数且为偶函数，所以其值域是()0,∞+，故正确；B.令()()1,00,t x=∈-∞⋃+∞，则()()()10,11,x f x e =∈⋃+∞，故错误；C.令211t x =+≥，则()()23log 1[0,)f x x =+∈+∞，故错误；D.当0x >时，()()0,f x ∈+∞，当0x ≤时，()[1,)f x ∈+∞，综上：()()0,f x ∈+∞，故正确；故选：AD11.若105a =，1020b =，则（）A.4a b +=B.lg 4b a -= C.22lg 5ab < D.lg 5b a ->【答案】BC 【解析】【分析】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，再利用对数运算公式对,a b 进行a b +，b a -，ab 运算，从而可判断各选项.【详解】由105,1020a b ==，得lg 5,lg 20a b ==，则()lg 5lg 20lg 520lg1002a b +=+=⨯==，选项A 错误；20lg 20lg5lglg 4lg55b a -=-==<，选项B 正确，选项D 错误；()2lg 5lg 20lg 5lg 4lg 5lg 5lg 4lg 5ab =⨯=⨯+=⨯+，lg 4lg5<Q ，222lg 5lg 4lg 5lg 5lg 5lg 52lg 5⨯+<⨯+=∴，22lg 5ab <∴，选项C 正确.故选：BC.12.下列正确的命题是（）A.5πlg sin 02⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.若()cos cos 2f x x =，则()sin 302f ︒=C.若()1sin π2α+=-，则()1sin 4π2α-=-D.若()tan π2α+=，则()()()()sin πcos π3sin πcos παααα-+-=+--【答案】ACD【解析】【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.【详解】对于A 项，5ππlg sin lg sin lg1022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 项正确；对于B 项，因为()cos cos 2f x x =，所以1(sin 30)(cos 60)cos1202f f ︒︒︒===-，故B 项错误；对于C 项，因为()1sin πsin 2αα+=-=-，所以1sin 2α=，所以()1sin 4πsin()sin 2ααα-=-=-=-，故C 项正确；对于D 项，因为()tan πtan 2αα+==，所以()()()()sin πcos πsin cos sin cos tan 1213sin πcos πsin cos sin cos tan 121αααααααααααααα-+---+++=====+---+---，故D 项正确.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.半径为2，面积等于45π的扇形的圆心角的大小是_________．【答案】25π【解析】【分析】根据扇形面积公式即可求出．【详解】设扇形的圆心角的大小为α，由212S r α=可得，241252πα=⨯⨯，解得25πα=．故答案为：25π．14.若函数5()log f x x =（0x >），则方程(1)(3)1f x f x ++-=的解x =________.【答案】4.【解析】【分析】根据对数的运算性质，可得(1)(3)5x x +-=，解得答案．【详解】解：因为5()log f x x =，所以()()555(1)(3)log 1log 3log (1)(3)f x f x x x x x ++-=++-=+-，5(1)(3)log (1)(3)1f x f x x x ++-=+-= 即(1)(3)5x x +-=，所以4x =或2x =-（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．15.设函数()2222x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，，，若()()121f a f a +≤-，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得()f x 在R 上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.【详解】由于当2x <时，()2xf x =为增函数，且()()24f x f <=，由于当2x ≥时，()2f x x =为增函数，且()()24f x f ≥=，∴()f x 在R 上为增函数，∵()()121f a f a +≤-，∴121a a +≤-，解得2a ≥，所以实数a 的取值范围为[2,)+∞，故答案为：[2,)+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 图像关于点1(,0)2中心对称，且当12x >时，1()f x x m x =++，若()f x 的值域为R ，则实数m 的取值范围为________．【答案】(,2]-∞-【解析】【分析】由题可得函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，进而可得当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，利用基本不等式即得.【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，又当12x >时，1()f x x m x =++，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞，()f x 单调递增，要使函数()f x 的值域为R ，则当12x >时，1()0f x x m x =++≤有解，又当12x >时，12x m m m x ++≥=+，当且仅当1x x =，即1x =取等号，∴20m +≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-.四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）3log 2832lg 2lg 253log 9log 64+++⨯（2）2102329272()(3)(()483----+【答案】（1）8；（2）132【解析】【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.【详解】(1)原式6232=lg 4lg 252log 3log 23+++⨯2lg100263=++⨯2248=++=；(2)原式34413162992=--++=18.已知角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】sin 17α=，cos 17α=-，tan 4α=-.【解析】【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.【详解】角α的终边落在直线4y x =-上，且0x ≤，取角α的终边上的点(1,4)P -，则||r OP ===，所以sin17α==，cos 17α==-；4tan 41α==--.19.已知1sin cos 5θθ+=，(0,)θπ∈，求下列各式的值．（1）sin cos θθ⋅；（2）sin cos θθ-．【答案】（1）1225-；（2）75．【解析】【分析】（1）由1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，利用三角函数的基本关系式，即可求解；（2）由（1）知sin cos 0θθ⋅<，得出可得sin θcos θ0->，结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】（1）由题意知1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，可得21(sin cos )12sin cos 25θθθθ+=+⋅=，解得12sin cos 25θθ⋅=-．（2）由（1）知12sin cos 025θθ⋅=-<，所以sin 0,cos 0θθ><，可得sin θcos θ0->，所以sin cos θθ-===75=．20.已知函数3sin cos tan()22()cos()sin(3)x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-，且1()3f α=.（1）求2sin cos sin 2cos αααα-+的值；（2）求222sin sin cos cos αααα--的值.【答案】（1）17-；（2）-1.【解析】【分析】（1）用诱导公式化简函数得()tan f x x =，已知条件为1tan 3α=，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；（2）由“1”的代换得2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+，然后分子分母同除以2cos αtan α的函数再代入求值．【详解】（1）cos sin (tan )()tan cos sin x x x f x x x x -==-∵1()3f α=，∴1tan 3α=2sin cos 2tan 1sin 2cos tan 2αααααα--=++121131723⨯-==-+（2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos αααααααααα----=+2211212tan tan 19311tan 119ααα⨯----===-++．【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系，齐次式求值问题．关于sin ,cos αα的齐次分式均可化为关于tan α的函数求值．21.已知定义在R 上的函数2()51x f x m =-+（1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）若()f x 是奇函数，求m 的值；（3）若()f x 的值域为D ，且[3,1]D ⊆-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）[1,1]-【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.【小问1详解】证明：设12x x <且12,x x R∈则()()()()()121212122552251515151x x x x x x f x f x m m -⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭121212510,510,550x x x x x x <∴+>+>-< ()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x 在R 上单调递增【小问2详解】()f x 是R 上的奇函数，22()()05151x x f x f x m m -+-=-+-=++即225202205151x x x m m ⎛⎫⨯-+=⇒-= ⎪++⎝⎭1m =【小问3详解】由22500225151x x x m m m >⇒<<⇒-<-<++(2,)D m m =-，[3,1]D ⊆-23111m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨≤⎩m 的取值范围是[1,1]-22.已知函数()1lg1x f x x -=+.（1）求不等式()()()lg20f f x f +>的解集；（2）函数()()30,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）()3,+∞【解析】【分析】（1）求得()f x 的定义域和值域及函数的单调性，得1111012x x -<<+，解不等式即可得到所求范围；（2）求得当01x ≤<时，()f x 的值域；以及讨论1a >，01a <<时()g x 的值域，由题意可得()f x 和()g x 的值域存在交集，即可得到所求范围；【小问1详解】由101x x ->+，可得11x -<<，故函数定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()11lg lg 11x x f x f x x x +--==-=--+，即()f x 为奇函数.又()()1212lg lg lg 1111x x f x x x x -++-⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭，函数211y x =-++在()1,1-上单调递减，值域为()0,∞+.由复合函数的单调性质知()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()lg20f f x f +>，转化为()()()lg2f f x f >-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()lg2lg2ff x f f >-=-，因为()f x 在()1,1-上单调递减，所以()1lg2f x -<<-，即11lg lg21x x --<<-+，即1111012x x -<<+，即111102x x x ++<-<，解得19311x <<，则原不等式的解集为19,311⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，所以[)0,1x ∈时，()f x 的值域与()g x 的值域有交集.因为()2lg 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭在[)0,1上是减函数，()01f =，所以()f x 的值域为(],0-∞，当1a >时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递减，故()g x 的值域为(]3,2a -，所以30a -<即3a >，当01a <<时，()3xg x a =-在[)0,1上单调递增，故()g x 的值域为[)2,3a -，不符.综上所述，实数a 的取值范围为()3,+∞.。

2023-2024学年全国高中高一上数学人教A版月考试卷(含解析)

2023-2024学年全国高一上数学月考试卷考试总分：141 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 如图，阴影部分表示的集合为( )A.B.C.D.2. 若，，为实数，下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，则3. 若非空集合，，满足，且不是的子集，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 已知，，则下列不等式成立的是（）A ∩(B)∁U B ∩(A)∁U A ∪(B)∁U B ∪(A)∁U a b c a >b c >d ac >bda b a aba b >0>ab >a 2b 2A B C A ∩B =C B A x ∈A x ∈C a <0b <−1>>a aA.B.C.D. 5. 设，，若，则，的值为（）A.，B.，C.，D.，6. 已知：平行于同一平面的两条直线可能互相垂直；：两两互相平行的三条直线共面，则下列为真命题的是( )A.B.C.D.7. 函数＝的图象恒过点，若点在直线＝上，其中，则的最小值为（）A.B.C.D.8. 若，则关于的不等式的解集是( )A.B.a >>a b a b2>>a a b2a b >>a a b a b2>a >a b a b2T ={(x,y)|ax +y −3=0}S ={(x,y)|x −y −b =0}S ∩T ={(2,1)}a b a =1b =−1a =−1b =1a =1b =1a =−1b =−1p 1p 2∧p 1p 2∨p2p 1¬∧p 1p 2¬∨p 1p 2y (x +3)−1(a >0,a ≠1)log a A A mx +ny +10mn >0+1m 8n16182022a <0x −4ax −5>0x 2a 2{x|x >5a 或x <−a}{x|x >−a 或x <5a}{x|5a <x <−a}C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 已知集合＝，为自然数集，则下列表示正确的是（）A.B.＝C.D.10. 已知，，则 A. B. C. D.11. 下列四个不等式中，解集为的是（）A.B.C. D.12. 下列函数中，最小值是的是（）A.B.C.{x|5a <x <−a}{x|−a <x <5a}P {x |＝4}x 2N 2∈PP {−2,2}{∅}⊆PP N()∅−+x +1≤0x 22−3x +4<0x 2+6x +9≤0x 22y =(a >1)−2a +2a 2a −1y =++2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√y =+x 21x 2=+2D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）13. 全称命题“，”的否定是________．14. 设集合，则集合的子集个数是________.15. 不等式的解集为，则实数的取值范围是________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）16. 已知函数的定义域为集合，函数＝，的值域为集合．（1）求，；（2）求，．17. 已知不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若＝，求不等式的解集．18. 设全集为，集合＝，＝．Ⅰ当＝时，求，；Ⅱ若＝，求实数的取值范围．19. 某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：方案二：不收取管理费，每度元．（1）求方案一的收费（元）与用电量（度）间的函数关系．若老王家九月份按方案一缴费元，问老王家该月用电多少度？（2）老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？20. 已知集合，集合，，.当时，则是的什么条件？若是的必要条件，求实数的取值范围．21. 设＝．y =+x 22x∀x >03+2x >2x 2A ={1,2,3}A a +ax −3<0x 2R a A y +x +2x 2x ∈R B A B A ∪B A ∩B ∁R a +5x −2>0x 2M 1∈M a M {x |<x <2}a −5x +−1>0x 2a 2R A {x |−2x −3<0}x 2B {x |x ≥a}()a 1A ∩B (A ∪B)∁R ()A ∩B A a 2300.5300.60.58L(x)x 35A ={x|−3ax +2≤0}x 2a 2B ={x|−x −2≤0}x 2p :x ∈A q :x ∈B (1)a =1p q (2)q p a f(x)(m +1)−mx +m −1(m ∈R)x 2f(x)>0（1）若不等式解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．f(x)>0∅m f(x)>0x m参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解答】解：图中的阴影部分表示的是集合与的补集的交集，即为，故选 . 2.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可．【解答】对于：若，，，均小于，则不正确，对于：若，则，则，即，故不正确，对于：若，则，即，故不正确，对于：若，则，正确，3.【答案】BB A B ∩(A)∁U B A a >0b c d 0B a a 2b 2>a 2ab b 2ab >a b b a B C a b >0>ab >a 2b 2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用【解析】无【解答】解：因为，所以“”“”；反之，若“”，但“”不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.4.【答案】C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】由已知可得，，然后根据比较与的大小．【解答】因为，，所以，，又因为，所以．5.【答案】C【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】根据集合的表示法，元素即是集合中的元素，也是集合中的元素，代入方程求解即可．【解答】A ∩B =C x ∈C x ∈A x ∈A x ∈C x ∈A x ∈C B >0a b <0a b 2>1b 2a a b 2a <0b <−1>0a b <0a b 2>1b 2a <a b 2(2,1)T S解：根据题意：是方程组的解，代入求得，．故选6.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】无【解答】解：据题设分析知，为真命题，为假命题，所以“”为假命题，“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题．故选．7.【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】由题意可得定点，＝，把要求的式子乘进行变形，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵函数＝，且的图象恒过定点，令＝，求得＝，＝，可得．∵点在直线＝上，∴＝，即＝．则＝，当且仅当且＝即，时取等号，8.【答案】B{x =2y =1{ax +y −3=0x −y −b =0a =1b =1C p 1p 2∧p 1p 2∨p 1p 2¬∧p 1p 2¬∨p 1p 2B A(−2,−1)2m +n 11y (x +3)−1(a >0log a a ≠1)A x +31x −2y −1A(−2,−1)A mx +ny +10−2m −n +102m +n 1+=(+)(2m +n)1m 8n 1m 8n 10++×2≥10+2=18n m 8m n ⋅n m 16m n −−−−−−−−√=n m 16m n 2m +n 1m =16m =23一元二次不等式的应用【解析】写出等价不等式组，根据，解不等式组即可【解答】解：∵，∴，等价于或又∵，∴或.故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,B【考点】集合的包含关系判断及应用元素与集合关系的判断【解析】集合＝＝．为自然数集，由此能求出结果．【解答】集合＝＝．为自然数集，在中，，正确；在中，＝，正确；在中，，故错误；在中，不是的子集，故错误．10.【答案】A,B,D【考点】由基本不等式证明不等关系对勾函数求最值a <0−4ax −5>0x 2a 2(x +a)(x −5a)>0{ x +a >0，x −5a >0{ x +a <0，x −5a <0，a <0x >−a x <5a B P {x |＝4}x 2{−2,2}N M {x |＝4}x 2{−2,2}N A 2∈P B P {−2,2}C ∅⊆P C D P N D根据基本不等式及其性质，结合的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解【解答】对于，因为，所以从而，正确．对于，因为，所以，解得所以，正确．对于，令，在为增函数，所以在上单调递增，从而，即，错误对于，因为，所以，正确．故选：11.【答案】B,D【考点】一元二次不等式的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．n A a +b =ab +=11a 1b a +2b =(a +2b)⋅(+)=3+++≥3+21a 1b 2b a a a a b ⋅2b a⋅=3+2b 2–√−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−− B ab ∈()a +b 22a +b ∈()a +b 22a +b ≥4+≥22a 25=22a 2≥2=82a+52–√24−−√−−−−−−−−−−−−−−−−√−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√C ab =t (t ≥4),f (t)=t +1t [1,+∞)f (t)[4,+∞)f (t)≥174ab +≥1ab 174D ≤2(+)=2(+)1a −√1b √21a 1b +≤1a −√1b √2–√ABD【解答】解：对于，，当且仅当，即时取等号，故正确；对于，，当且仅当，即时取等号，显然不成立，故错误；对于，，当且仅当时取等号，故正确；对于，当时，无最小值，故错误．故选.三、填空题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）13.【答案】“，”【考点】全称命题的否定【解析】无【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题知，命题“，”的否定是“，”．故答案为：“，”．14.【答案】【考点】子集与真子集的个数问题【解析】此题暂无解析【解答】A y ==−2a +2a 2a −1(a −1+1)2a −1=(a −1)+≥2=21a +1(a −1)⋅1a −1−−−−−−−−−−−−√a −1=1a −1a =2AB y =+≥2+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=+2x 2−−−−−√1+2x 2−−−−−√=−1x 2B C y =+≥2=2x 21x 2⋅x 21x 2−−−−−−√x =±1C D x <0D AC ∃x >03+2x ≤2x 2∀x >03+2x >2x 2∃x >03+2x ≤2x 2∃x >03+2x ≤2x 28=83解：集合中含有个元素，则集合的子集个数为.故答案为：.15.【答案】【考点】一元二次不等式的应用【解析】分三种情况讨论：当等于时，原不等式变为，显然成立；当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即小于时，由此可得结论．【解答】解：当时，得到，显然不等式的解集为；当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于，故解集为不可能．当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；综上，的取值范围为故答案为：四、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）16.【答案】＝＝，因为，所以；，，＝．【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】A 3A =8238−12<a ≤0(1)a 0−3<0(2)a >0R (3)a <0x △0(1)a =0−3<0R (2)a >0y =a +ax −3x 2y 0R (3)a <0y =a +ax −3x 2R x △=+12a <0a 2a(a +12)<0−12<a <0a −12<a ≤0−12<a ≤0A {x |−2x ≥5}x 2{x |x ≤0或x ≥2}A ∩B ∁R {x |x ≤0}由，所以，解得；所以的取值范围是．若＝，则＝的两个根，由根与系数的关系知，解得＝，所以不等式，即为：，所以，解得，所以不等式的解集为}．【考点】一元二次不等式的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】（1）由题可得＝，＝，所以＝．因为＝，所以：＝．（2）因为＝，所以．所以．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】1∈M a ⋅+5⋅1−3>016a >−3a (−7,+∞)M {x |<x <3}+5x −226a −2a −5x +−1>0x 2a 5−8−5x +7>0x 2+6x −3<0x 2−4<x <{x |−7<x <A {x |−1<x <3}B {x |x ≥3}A ∩B {x |1≤x <3}A ∪B {x |x >−3}(A ∪B)∁R {x |x ≤−1}A ∩B A A ⊆B a ≤−1，①当时，令＝，解得＝（舍去）．②当时，令＝，解得＝．∴老王家该月用电度电．令＝，由（1）可得：．显然为所求．①当时，令＝，解得，∴．②当时，令＝，解得．则．综上可得：．选择方案一比选择方案二好．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1），分类讨论解出即可得出．（2）令＝，由（1）可得：．显然为所求．分类讨论解出即可得出结论．【解答】，①当时，令＝，解得＝（舍去）．②当时，令＝，解得＝．∴老王家该月用电度电．令＝，由（1）可得：．显然为所求．①当时，令＝，解得，∴．②当时，令＝，解得．则．综上可得：．选择方案一比选择方案二好．20.【答案】解：当时，，，所以，所以是的充分不必要条件．因为是的必要条件，所以．而．当时，，所以所以，故；L(x)={0.5x +2,0<x ≤300.6x −1,x >300<x ≤300.5x +235x 66x >300.6x −135x 6060g(x)0.58x −L(x)g(x)={ 0.08x −2,0<x ≤30−0.02x +1,x >30g(x)>00<x ≤30g(x)0.08x −2>0x >2525<x ≤30x >30g(x)−0.02x +1>0x <5030<x <5030<x <50L(x)={ 0.5x +2,0<x ≤300.6x −1,x >30g(x)0.58x −L(x)g(x)={0.08x −2,0<x ≤30−0.02x +1,x >30g(x)>0L(x)={0.5x +2,0<x ≤300.6x −1,x >300<x ≤300.5x +235x 66x >300.6x −135x 6060g(x)0.58x −L(x)g(x)={ 0.08x −2,0<x ≤30−0.02x +1,x >30g(x)>00<x ≤30g(x)0.08x −2>0x >2525<x ≤30x >30g(x)−0.02x +1>0x <5030<x <5030<x <50(1)a =1A ={x|−3x +2≤0}={x|1≤x ≤2}x 2B ={x|−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}x 2A B p q (2)q p A ⊆B A ={x|−3ax +2≤0}x 2a 2={x|(x −a)(x −2a)≤0}a >0A ={x|a ≤x ≤2a}{a ≥−1，2a ≤2，−1≤a ≤10<a ≤1A ={0}当时，，成立；当时，，所以所以，故.综上所述，实数的取值范围为．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断集合的包含关系判断及应用根据充分必要条件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，，所以，所以是的充分不必要条件．因为是的必要条件，所以．而．当时，，所以所以，故；当时，，成立；当时，，所以所以，故.综上所述，实数的取值范围为．21.【答案】由不等式解集为，可得，即为，可得，a =0A ={0}a <0A ={x|2a ≤x ≤a}{2a ≥−1,a≤2,−≤a ≤212−≤a <012a [−,1]12(1)a =1A ={x|−3x +2≤0}={x|1≤x ≤2}x 2B ={x|−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}x 2A B p q (2)q p A ⊆B A ={x|−3ax +2≤0}x 2a 2={x|(x −a)(x −2a)≤0}a >0A ={x|a ≤x ≤2a}{a ≥−1，2a ≤2，−1≤a ≤10<a ≤1a =0A ={0}a <0A ={x|2a ≤x ≤a}{2a ≥−1,a ≤2,−≤a ≤212−≤a <012a [−,1]12f(x)>0∅m ≤−即的取值范围是，-]；由不等式对一切实数恒成立，当＝，即＝时，则不恒成立；当时，的图象为开口向下的抛物线；当，且，由，即为，解得，即的取值范围是（，．【考点】一元二次不等式的应用函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答m (−∞f(x)>0x m +15m −1f(x)>0m +7<0f(x)m +1>7△<0m >m +∞)。

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