温州市2017-2018学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
高一数学试题第1 页（共 4 页）
温州市2017-2018 学年高一下学期期末教学质量检测数学试题
一、选择题：（本大题共
10 小题，每小题
4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）．1.
若
a, b, c R,且a b ，则下列结论一定成立的是（
▲
）
A. ac bc
B.
C. a
c b c D. a
2
b
2
2. 已知向量
a (1, ), A B 2a ，若点A(2,1) ，则点 B 坐标是（
▲）A. (1,31) B. (0,231) C. (4, 231) D. (3, 31)
3. 已知数列{a n }中a 1
1,a 2 2,a n 2 2a n 1 a n (n N *
) ，下列正确的是（
▲
）
A. a 4 9
B. a 5 16
C. a 6 60
D. a 7 1694.
已知
tan(
4
)
2 ，则tan ＝（
▲
）
A. 1
B. 3
C.
－3
D. －1
5.设变量x 、y 满足约束条件
1024
x
y x
x
y ，则目标函数
z 2x y 的最小值为
（▲）
A. 12
B. 20
C. 30
D. 36
6. 等比数列{a n }中，a 2 4,a 5 32 ，则下列数中不．可．能．为{a n }的前n 项和的是（▲
）
A. 30
B.
60
C.
126 D. 254
7.
若关于x 的不等式ax
2
bx c 0的解集为{x | x
1或x 3}, 那么函数 f (x) ax 2
bx c 应有
（
▲
）
A. f (2)
f (1) f (4) B.
f (4) f (1) f (2) C. f (1) f (4) f (2)
D. f (4) f (2) f (1)
8.已知等差数列{a n }中，a 2 3,
a 6 7 ，设
b n 1(1)
n n a a ，则使b 1 b 2
b n
100101
成立的最大n 的值为（▲）A. 98 B .
99
C.
100
D.
101
9.在
ABC 中，a,b,c 分别是角A, B,C 的对边，若a,b,c 成等比数列，则
tan tan sin (tan tan )
A C
B A
C 的值为
（▲ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 在数列{a n }中，a 1 1，a 2018 2018 ，且对任意n
N 都有2a n
1
a n a n
2
，则下列结论正
确的是（
▲
）
A. 对常数M ，一定存在正整数N 0，当n>N 0 时都有a n M .
B. 对常数M ，一定存在正整数
N 0，当n>N 0 时都有a n
M .
C. 存在正整数N 0，当n>N 0 时，都有a n n .
D. 存在正整数N 0，当n>N 0 时，都有a n
n .。
【新结构】2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷)+答案解析
【新结构】2023-2024学年浙江省温州市高一下学期期末教学质量统一检测数学试题（B卷）❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是()A.2B.C.2iD.2.已知向量，，则()A.2B.C.1D.3.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列是真命题的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，，则4.气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为，郊区的降雨概率为”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是()A.整个城市明天的平均降雨概率为B.明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨C.只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨D.如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多5.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则()A. B. C. D.6.一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等7.已知平面向量和满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为()A. B. C. D.8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图所示为一个棱长为1的正八面体，则其内切球的表面积为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共15分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列结论正确的是()A.B.C.若，则D.为的外接圆半径10.已知复数z满足，则下列结论正确的是()A. B.C.的最大值为2D.11.小明与小红两人做游戏，抛掷一枚质地均匀的骰子，则下列游戏中不公平的是()A.抛掷骰子一次，掷出的点数为1或2，小明获胜;否则小红获胜B.抛掷骰子两次，掷出的点数之和为奇数，小明获胜;否则小红获胜C.抛掷骰子两次，掷出的点数之和为6，小明获胜;点数之和为8，小红获胜;否则重新抛掷D.抛掷骰子三次，掷出的点数为连续三个自然数，小明获胜;掷出的点数都相同，小红获胜;否则重新抛掷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷) (解析版)
2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．3．已知函数，则f（x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（0，1）4．在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,终边与单位圆的交点为,则sin(π-α)＝( ) A．B．C．D．5．已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（）A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝8．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）A．10个B．15个C．20个D．25个二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]10．已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（）A．B．tan（π﹣θ）＝m C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（）A．1B．2C．3D．412．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝log a（x﹣b），g（x）＝b x﹣a的图象可能是（）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017-2018学年度第二学期高一数学期末教学质量检测试题及参考答案及评分标准
π 6
B．
π 4
C．
π 3
D．
π 2
8．函数 f ( x) ln( x 1) 的大致图象是
9．已知钝角 ABC 的面积是 1 ， AB 2 ， BC A． 2 B． 2
2 ，则 AC
C．
10
D． 10
10．某校随机抽取 20 个班级，调查各班关注世界杯的学生人数．把所得数据以 5 为组距 进行分组： [0,5),[5,10),[10,15),[15, 20),[20, 25),[25,30),[30,35),[35, 40] ，得到频率分 布直方图如图所示，则原始数据的茎叶图可能 是 ．．
3
, AB 8 ，点 D 在 BC 边上，且 CD 2 ， cos ADC
1 ． 7
高一数学试题答案
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18．解：（1）在 ADC 中，因为 cos ADC
1 4 3 ，所以 sin ADC ．…2 分 7 7
所以 sin BAD sin ADC B sin ADC cos B cos ADC sin B
2
，所以
6
2x
6
5 ，…………………8 分 6
1 sin 2 x 1 2 6
1 ,1] ． 2
…………………10 分
所以函数 f ( x) 的值域为 [ 18． （本小题满分 12 分） 如图，在 ABC 中, B （1）求 sin BAD ； （2）求 BD, AC 的长．
AC 2 AB2 BC 2 2 AB BC cos B 82 52 2 8 5
1 49 ． 2
浙江省温州市2017-2018学年高一下学期期末复习考试数学试题(解析版)
1．C【解析】分析：利用诱导公式可得，从而可得结果.详解：，为第三象限角，，在第三象限，故选C.点睛：本题主要考查诱导公式的应用以及三角函数在各象限内的符号，意在考查对基本概念的掌握，属于简单题.点睛：本题主要考查平面向量的数量积的公式，意在考查对基本公式、基本运算掌握的熟练程度，属于基础题.3．A【解析】分析：可化为，然后分子分母同时除以，即可得到关于的关系式，进而得到结论.详解：，故选A.点睛：本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换..4．D【解析】分析：利用向量的坐标运算，结合求得的坐标，进一步得到的坐标，再由向量共线的坐标表示列方程求的值.详解：由，得，则，，，又，得，故选D.点睛：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量共线的性质，要特别注意垂直与平行的区别，若，则，.5．A【解析】分析：根据三角函数的周期公式，求出各个函数的最小正周期，从而得出结论.详解：点睛：本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.求三角函数的周期时注意：（1）注意正弦函数余弦函数的周期与正切函数周期的区别；（2）注意先利用恒等变换化简三角函数再求值.6．C【解析】分析：由数列，可知奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数为项数），分母比分子大，即可得到通项公式.详解：由数列，可知，奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号，而分子为偶数为项数），分母比分子大，故可得到通项公式，，故选C.点睛：本题主要考查归纳猜想得出数列的通项公式，属于基础题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A 【解析】分析：由，利用诱导公式即可得结果.详解：，，故选A.点睛：本题考查给值求值问题，属于简单题. 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.9．C 【解析】试题分析：选项A 中，条件应为0,0a b c d >>>>；选项B 中当0c <时不成立；选项D 中，结论应为a d b c ->-；C 正确． 考点：不等式的性质．10．B 【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B 正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．12．A【解析】分析：由可得，，由余弦定理及特殊角的三角函数可得结果.详解：由可得，，由余弦定理可得，因为，所以角的大小为或，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.13．A【解析】分析：利用周期公式可求，由恒成立，结合范围，可求，令，即可解得的对称中心.故的对称中心为，当时，的对称中心为，故选A.点睛：本题主要考查正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.14．D 【解析】分析：由数列递推式得到，与原递推式作差后得到，可得，从而可得结果.详解：由，得，两式作差得，所以，故选D.点睛：本题考查了数列递推式，解答的关键是由已知递推式得到取时的递推式，作差后得到数列偶数项之间的关系，属于中档题.15．C【解析】不等式20{30230xx yx y+≥-+≥+-≤所表示的平面区域如下图所示，当6z x y=+所表示直线经过点()0,3B时，z有最大值18.考点：线性规划.16．A【解析】分析：对任意实数，不等式恒成立，等价于，利用基本不等式求解即可.点睛：本题考查实不等式恒成立问题以及基本不等式求最值．对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决.17．D【解析】分析：设，则，过点作的垂线，垂足为，在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得恒成立，只需即可，从而可得.详解：设，则，过点作的垂线，垂足为，只需即可，于是，因此我们得到，即是的中点，故是等腰三角形，，故选D.点睛：本题主要考查平面向量的运算法则，平面向量的数量积公式以及数量积的运算法则，向量垂直的性质，一元二次不等式恒成立问题，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.18．B【解析】分析：将原不等式写成分段函数形式，利用单调性确定的最小值，然后让不大于所求最小值即可.详解：，可得在上递减，在递增，时，的最小值为，不等式对任意实数恒成立，，，，实数的取值范围是，故选B.点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立.点睛：本题主要考查向量的坐标运算及向量相等的性质，意在考查对基础知识掌握的熟练程度.20．【解析】分析：由的值利用同角三角形函数间的基本关系求出的值，将的值代入三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，利用正弦定理求出的值，从而可得结果.详解：为三角形内角，，的面积为，，即，解得，余弦定理得，即，再由余弦定理可得，，故答案为.点睛：本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.21．2【解析】分析：由利用三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一可得结果.点睛：本题主要考查三点共线的充要条件，属于简单题. 三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一.22．4【解析】分析：变形可得，由基本不等式可得结论.详解：，，当且仅当且，即且时取等号，故答案为.点睛：本题主要考查基本不等式求最值，裂项并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 23．（1）；（2）【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间；（2）结合自变量的范围和（1）中函数的解析式,利用三角函数的有界性求解函数的值域即可.所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(2)当x∈时，2x －∈，sin ∈，f(x)∈.故f(x)的值域为.点睛：以三角恒等变换为手段，对三角函数的图象与性质进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 24．（1）A=3π；（2）b =c=1． 【解析】试题分析：（1）结合已知条件并运用正弦定理即可得出21)6sin(=-πA ，再由三角形内角和为π即可得出角A 的大小即可；（2）由三角形的面积公式S=12bcsinA 即可求出bc 的值，然后结合（1）并运用余弦定理即可得出关于b,c 的另一个等式关系，再联立方程组即可求出b,c 的值即可.试题解析：（1）由已知结合正弦定理可得sinAsinC ﹣sinCcosA ，∵sinC ≠0，∴﹣cosA=2sin （A ﹣6π），即sin （A ﹣6π）=12， 又∵A∈（0，π），∴A ﹣6π∈（﹣6π，56π），∴A ﹣6π=6π，∴A=3π. （2）S=12bcsinA ，即34=12bc 32，∴bc=1，①又∵a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣2bc ﹣2bccos 3π，即1=（b+c ）2﹣3，且b ，c 为正数，∴b+c=2，②由①②两式解得b=c=1．考点：1、三角恒等变换；2、正弦定理在解三角中的应用；3、余弦定理在解三角中的应用.【方法点睛】本题主要考查了三角恒等变换、正弦定理在解三角中的应用和余弦定理在解三角中的应用，属中档题. 其解题方法是：首先运用正弦定理或余弦定理将已知条件进行转化，然后运用辅助角公式即可求出角A 的大小，再运用三角形的面积公式可得出关于b,c的方程组，进而可求出答案即可. 其解题的关键是正确的运用三角恒等变换和正弦、余弦定理在实际问题中的应用.25．（1）见解析；（2）6详解：(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2) 由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),∴=3.∴+…+=3-,∴n>5.∴最小的正整数n为6.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。
浙江省温州市2017-2018学年高一下学期期末复习卷数学试题(含精品解析)
2018年浙江省温州市高一下数学期末复习卷二一、选择题（本大题有18小题，每小题3分，共54分，请从A、B、C、D四个选项中选出一个符合题意得正确选项填入答题卷，不选、多选、错选均得零分）1. =（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由题意利用诱导公式对所给的式子进行化简，可得结果.详解：.故选：D.点睛：熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．2. 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】试题分析：设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，根据扇形面积公式可得：，解得，所以扇形的周长是，故选择C．考点：扇形弧长、面积公式．3. 已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为( )A. (－8，1)B. (－1，)C. (1，)D. (8，－1)【答案】B【解析】分析：设出P点的坐标，根据要用的点的坐标写出两个向量的坐标，根据所给的关于向量的等式，得到两个方程，解方程组即可得到要求的点的坐标.详解：设P点的坐标为，M(3，－2)，N(－5，－1)，且，.点P的坐标为.故选：B.点睛：本题考查相等向量和相反向量，是一个基础题，解题的关键是写出要用的向量的坐标，根据两个向量相等，得到向量坐标之间的关系.4. 在等比数列{a n}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )A. 2B.C. 2或D. －2或【答案】C【解析】分析：设等比数列{a n}的公比为q，由a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，可得，联立解出即可得出.详解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，，，化为：，解得：或.故选：C.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．5. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B. <1C. lg(a－b)>0D.【解析】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的考点：不等式性质6. 函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是( )A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数【答案】D【解析】分析：利用倍角公式即可化简，再利用周期公式和奇偶性的判定方法即可得出.详解：函数，周期，且，函数f(x)是周期为的偶函数.故选：D.点睛：本题考查了倍角公式，三角函数的周期公式和奇偶性的判定方法等基础知识与基本方法.7. 若把函数y＝f(x)的图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图像，则y＝f(x)的解析式为( )A. y＝sin(2x－)＋1B. y＝sin(2x－)＋1C. y＝sin(x＋)－1D. y＝sin(x＋)－1【答案】B【解析】分析：由题意函数的图象变换，按照逐步逆推，即可得到函数的解析式，确定选项.故选：B.点睛：关于三角函数的图象变换的方法①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．(2)伸缩变换①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．8. 已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且，则向量＝( )A. ＋B. ＋C. ＋D. ＋【答案】C【解析】.故选C.9. 在各项均不为零的数列{a n}中，若a1＝1，a2＝，2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1(n∈N*)，则a2 018＝( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：将2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1两边同时除以得：，再利用等差数列的通项公式即可得出.详解：数列{a n}各项均不为零，将2a n a n＋2＝a n＋1a n＋2＋a n a n＋1两边同时除以得：，数列是首项为1，公差为2的等差数列，，.故选：C.点睛：本题考查了等差数列的通项公式，考查了变形能力与计算能力.10. 不等式<1的解集是( )A. (－∞，－1)∪(1，＋∞)B. (1，＋∞)C. (－∞，－1)D. (－1,1)【答案】A【解析】分析：利用分式不等式的解法求解即可.详解：，解得或.即不等式<1的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).故选：A.点睛：求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．11. 已知cos－sin α＝，则sin的值是( )A. －B. －C. D.【答案】B【解析】，∴cosα−sinα=，cosα−sinα=，∴=sinαcos+cosαsin=sinα−cosα=−.故选：B.12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当S n取最小值时，n＝( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C【解析】分析：由已知求出等差数列的首项和公差，写出通项公式，由通项小于等于0求得n的值即可得到答案.详解：设等差数列{a n}的首项为，公差为d，由a2＝－11，a5＋a9＝－2，得：，解得.，由，解得.当取最小值时，n等于7.故选：C.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．13. 已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是( )A. (8，10)B. (2，)C. (2，10)D. ( ，8)【答案】B【解析】试题分析：三边长分别为1,3，a，且为锐角三角形当3为最大边时，设3所对的角为，则根据余弦定理得：，，解得；当a为最大边时，设a所对的角为，则根据余弦定理得：，，解得，综上，实数a的取值范围为，故选B．考点：余弦定理的应用.14. 已知曲线f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为，且曲线关于点(x0，0)中心对称，若x0∈，则x0等于( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用两角和的正弦公式化简f(x)，然后由求得内的值.详解：的两条相邻对称轴之间的距离为，，即.，曲线关于点(x0，0)中心对称，，即，，，，.故选：C.点睛：本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法.15. 在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB等于（）A. B.C. D.【答案】A详解：角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，，又 A－C＝90°，，由正弦定理可得，，，解得，.故选：A.点睛：本题考查等差数列的性质与应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是综合性题目.16. 已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1,0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：可设不等式左边为并化简，求出的最小值，令其大于0，，得到的取值范围即可.详解：设，θ∈[0，π)，，且其对称轴为，在[－1,0]的最小值为或或，，即，，.故选：A.点睛：本题考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及灵活运用三角函数的能力，以及运算能力.17. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是( )A. －2B. －C. －D. －1【答案】B【解析】分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.详解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则，设，则，则，当时，取得最小值.故选：B.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．18. 在等比数列{a n}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先由等比数列的通项入手表示（即q得代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出的范围.详解：等比数列{a n}中，a2＝1，，当公比时，；当公比时，.故选：B.点睛：本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）19. 已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________.【答案】【解析】分析：可求，进而求，而，利用和角的正切公式求得，再利用二倍角公式即可.详解：θ∈，，，，，.故答案为：.点睛：该题考查两角和与差的正切公式、正弦公式以及二倍角的正切公式，考查学生灵活运用相关公式解决问题的能力.20. 已知平面向量α，β(α≠0)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________．【答案】【解析】分析：设，则，由已知与的夹角为120°，可得，运用正弦定理结合正弦函数的值域，从而可求的取值范围.详解：设，，如图所示：则由又与的夹角为120°，，又由，由正弦定理得，.故答案为：.点睛：本题主要考查了向量的加法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质.21. 函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图像如图所示，那么f(0)＝________．【答案】-1【解析】分析：由函数的图象求出A和的值，可得函数的解析式，从而求得答案.详解：由图象可得A=2，,，，..故答案为：-1.点睛：由图象确定函数解析式由函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象确定A、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．22. 已知a>b>0，求a2＋的最小值________.【答案】16【解析】分析：两次利用基本不等式即可得出.详解：，，当且仅当，即时取等号.a2＋的最小值为16.故答案为：16.点睛：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．三、解答题（本大题有3小题，共30分）23. 已知函数f(x)＝2sin(0≤x≤5)，点A，B分别是函数y＝f(x)图象上的最高点和最低点．(1)求点A，B的坐标以及的值；(2)设点A，B分别在角α，β的终边上，求tan(α－2β)的值．【答案】（1）3（2）【解析】(1)∵0≤x≤5，∴≤≤，∴－≤sin≤1.当＝，即x＝1时，sin＝1，f(x)取得最大值2；当＝，即x＝5时，sin＝－，f(x)取得最小值－1.因此，点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5，－1)．∴·＝1×5＋2×(－1)＝3.(2)∵点A(1,2)、B(5，－1)分别在角α、β的终边上，∴tanα＝2，tanβ＝－，∵tan 2β＝＝－，∴tan(α－2β)＝.24. 已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设与的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝2sin2－ (cos θ＋sin θ)·(cos θ－sin θ)的最大值与最小值．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.由题意可得bc sin θ＝3，由0≤·≤6可得0≤≤1，可得θ∈；（2）利用三角恒等变换化简函数即可.详解：(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.因为0≤·≤6，所以0≤bc cos θ≤6.又bc sin θ＝3，所以0≤≤1.又θ∈(0，π)，当cos θ＝0时，θ＝；当θ≠时，1≤tanθ，所以θ∈.综上所述，θ的取值范围为.(2)f(θ)＝2sin2－ (cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝2sin2－ (cos2θ－sin2θ)＝1－cos－cos 2θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＝2sin＋1.因为θ∈，所以2θ－∈，则≤sin≤1，故2≤2sin＋1≤3.故当且仅当θ＝时，f(θ)min＝2，当θ＝时，f(θ)max＝3.点睛：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角恒等变换，正弦函数的性质.25. 已知数列{a n}(n∈N*)满足：a1＝1，a n＋1－sin2θ·a n＝cos 2θ·cos2nθ，其中θ∈.(1)当θ＝时，求数列{a n}的通项公式；(2)在(1)的条件下，若数列{b n}满足b n＝sin＋cos (n∈N*，n≥2)，且b1＝1，求证：对任意的n∈N*,1≤b n≤恒成立．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）将θ＝代入可得a n＋1－a n＝0，即＝，从而可得{a n}的通项公式；（2）由(1)得a n＝，所以当n∈N*，n≥2时，，从而即可证明.详解：(1)当θ＝时，sin2θ＝，cos 2θ＝0，所以a n＋1－a n＝0，即＝.所以数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，即数列{a n}的通项公式为a n＝ (n∈N*)．(2)证明：由(1)得a n＝，所以当n∈N*，n≥2时，b n＝sin＋cos＝sin＋cos·＝sin＋cos＝sin，易知b1＝1也满足上式，所以b n＝sin (n∈N*)．因为n∈N*，所以0<≤，<＋≤，所以1≤sin≤，即对任意的n∈N*,1≤b n≤恒成立.点睛：等差、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序．(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．。
浙江省温州市部分学校2017-2018学年高一(下)期末数学试卷 Word版含解析
浙江省温州市部分学校2017-2018学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知角α的终边上一点的坐标为则角α的正弦值为（）A．B．C．D．2．下列四个结论中，正确的是（）A．a＞b，c＜d⇒a+c＞b+d B．a＞b，c＞d⇒ac＞bdC．D．3．已知向量，，如果∥，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．4．等差数列﹣3，﹣1，…，2k﹣1的项数是（）A．k+3 B．k+2 C．k+1 D．k5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a=1，c=4，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．26．已知x，y满足不等式组，则，则x+2y的最大值是（）A．3 B．7 C．8 D．107．在等比数列{a n}中，a n＞0，a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．818．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C．D．9．在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣110．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，则关于△ABC的两个判断“①一定锐角三角形②一定是等腰三角形”中（）A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题纸上11．计算：（cos15°+sin15°）（cos15°﹣sin15°）=．12．数列{a n}满足a1=1，a n+1=﹣1，则a4=．13．已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是．14．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的．（填：外心、内心、重心、垂心）15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（6）=．16．已知函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），则的最小值是．17．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11，其中正确的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，若向量与的夹角为60°，求cos（α﹣β）的值．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．（Ⅰ）求A，w及φ的值；（Ⅱ）若tana=2，求的值．20．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求f（x）=sin2θsinx+cos2θcosx （x∈R）的值域．21．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于﹣3，求a的取值范围．22．已知数列{a n}的前n项和是S n，a1=3，且a n+1=2S n+3，数列{b n}为等差数列，且公差d ＞0，b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求数列的前n项和T n．浙江省温州市部分学校2014-2015学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．已知角α的终边上一点的坐标为则角α的正弦值为（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：常规题型．分析：由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．解答：解：角α的终边上一点的坐标为，它到原点的距离为1，由任意角的三角函数定义知：sinα=，故选A．点评：本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，送分题．2．下列四个结论中，正确的是（）A．a＞b，c＜d⇒a+c＞b+d B．a＞b，c＞d⇒ac＞bdC．D．考点：不等式的基本性质．分析：根据不等式的基本性质，对答案中的四个推理，进行逐一的判断论证，分别判断其真假，即可得到答案．解答：解：当a=d=2，b=c=1时，＞b，c＜d成立，但a+c=b+d，故A错误；当0＞a＞b，0＞c＞d时，ac＜bd，故B错误；当，故C正确；当a＞b＞0时，，故D错误；故选C点评：本题考查的知识点是不等式的基本性质，其中在判断一个推理不成立时，我们仅需要举出一个反例即可．3．已知向量，，如果∥，那么实数k的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：本题是一个向量共线问题，两个向量使用坐标来表示的，根据向量平行的充要条件的坐标形式，写出成立的条件，得到关于k的方程，解方程即可得到结果．解答：解：因为∥，所以6=﹣6k，解得k=﹣1，故选A．点评：本题是一个向量位置关系的题目，是一个基础题，向量用坐标形式来表示，使得问题变得更加简单，比用有向线段来表示要好理解．4．等差数列﹣3，﹣1，…，2k﹣1的项数是（）A．k+3 B．k+2 C．k+1 D．k考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得：等差数列的通项公式为a n=2n﹣5，令2n﹣5=2k﹣1即可得到答案．解答：解：由题意可得：等差数列的首项为﹣3，公差2，所以等差数列的通项公式为a n=2n﹣5，令2n﹣5=2k﹣1可得n=k+2．故选B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且a=1，c=4，则△ABC的面积为（）A．1 B．2 C．D．2考点：正弦定理；等差数列的性质．专题：计算题．分析：由A，B及C成等差数列，根据等差数列的性质得到B的度数，进而求出sinB的值，再由a及c的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴3B=π，即B=，又a=1，c=4，则△ABC的面积S=acsinB=×1×4×=．故选C点评：此题考查了三角形的面积公式，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，根据等差数列的性质，由题意求出B的度数是本题的突破点，熟练掌握三角形的面积公式是解本题的关键．6．已知x，y满足不等式组，则，则x+2y的最大值是（）A．3 B．7 C．8 D．10考点：简单线性规划．专题：数形结合法．分析：根据不等式组中的不等式画出可行域，如图所示，然后设z=x+2y，将最大值转化为y轴上的截距，求出即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，如图所示，设z=x+2y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+2y经过点B（0，5）时，z最大，最大值为10．故选：D．点评：此题考查了简单线性规划，利用了数形结合的思想，画出相应的图形是解本题的关键．7．在等比数列{a n}中，a n＞0，a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5=（）A．16 B．27 C．36 D．81考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：先根据已知条件求出公比，再对a4+a5整理，利用整体代换思想即可求解．解答：解：设等比数列的公比为q．则由已知得：a1（1+q）=1，①a1q2（1+q）═9 ②⇒q2=9．又∵a n＞0，∴q=3．所以：a4+a5=a1•q3（1+q）=1×33=27．故选：B．点评：本题主要考查等比数列基本性质的应用．在解决这一类型题目时，一般常用方法是列出关于首项和公比的等式，求出首项和公比，也可以不求首项，直接利用整体代换思想来求解．8．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：利用向量模的平方等于向量的平方得到两个向量的关系，利用向量的数量积公式求出两向量的夹角．解答：解：依题意，∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥，=3，∴cos＜，＞==﹣，所以向量与的夹角是，故选C点评：本题考查向量模的平方等于向量的平方、利用向量的数量积公式求向量的夹角．9．在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A．2n+1﹣2 B．3n C．2n D．3n﹣1考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．解答：解：因数列{a n}为等比，则a n=2q n﹣1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2=2a n+1∴a n（1+q2﹣2q）=0∴q=1即a n=2，所以s n=2n，故选C．点评：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角，则关于△ABC的两个判断“①一定锐角三角形②一定是等腰三角形”中（）A．①②都正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①②都错误考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：根据正弦定理=化简已知的等式，由sinA不为0，得到sinB=sin2C，根据角C的范围及三角形的内角和定理得出A=C，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形，由A和C都为等腰三角形的底角，根据三角形的内角和定理得出顶角B也为锐角，从而得出三角形ABC为锐角三角形，得到关于三角形ABC两个判断都是正确的．解答：解：，∵sinA≠0，∴sinB=sin2C，因为，所以B=π﹣2C⇒B+C=π﹣C⇒π﹣A=π﹣C⇒A=C，∴△ABC一定为等腰三角形，选项②正确；且，，∴0＜B＜，即△ABC一定为锐角三角形，选项①正确．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，正弦函数的图象与性质，等腰三角形的判定，学生做题时注意运用C的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题纸上11．计算：（cos15°+sin15°）（cos15°﹣sin15°）=．考点：二倍角的余弦．专题：计算题．分析：先利用平方差公式化简后，根据三角函数的二倍角公式求得答案．解答：解：（cos15°+sin15°）（cos15°﹣sin15°）=cos215°﹣sin215°=cos30°=故答案为：点评：本题主要考查了二倍角公式的化简求值．三角函数中的基础公式特别多，在平时的训练中应多记忆．12．数列{a n}满足a1=1，a n+1=﹣1，则a4=﹣．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据题中已知条件分别将n=2，n=3和n=4代入公式中即可求得a4的值．解答：解：由题意知a1=1，；当n=2时，a2=﹣1=﹣1=﹣；当n=3时，a3=﹣1=2﹣1=1；当n=4时，a4=﹣1=﹣1=﹣；故答案为﹣．点评：本题主要考查了数列的递推公式，考查了学生的运算能力，解题时注意整体思想和转化思想的运用，同学们在平常要多加练习，属于中档题．13．已知一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（0，4]．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题．分析：一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，y=2kx2+kx+的图象在x轴上方，，由此能够求出k的取值范围．解答：解：∵一元二次不等式2kx2+kx+≥0对一切实数x都成立，由题意知k≠0，根据y=2kx2+kx+的图象∴，∴，解为（0，4]．∴k的取值范围是（0，4]．故答案为：（0，4]．点评：本题考查二次函数的图象和性质，解题时要抓住二次函数与x轴无交点的特点进行求解．主要考查了二次函数的恒成立问题．二次函数的恒成立问题分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．14．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的垂心．（填：外心、内心、重心、垂心）考点：三角形五心；向量在几何中的应用．专题：证明题．分析：由已知中在△ABC中，若，我们易根据=0，得到OB⊥AC，同理可证：OA⊥BC，OC⊥AB，进而根据三角形五心的定义，得到答案．解答：解：若即==0即OB⊥AC同理可证：OA⊥BC，OC⊥AB故点O是△ABC的三条高的交点，故点O是△ABC的垂心故答案为：垂心点评：本题考查的知识点是三角形五心，向量在几何中的应用，其中根据=0，得到OB⊥AC，将向量数量积转化为线线垂直是解答本题的关键．15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形，则f（6）=61．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．解答：解：根据前面四个发现规律：f（2）﹣f（1）=4×1，f（3）﹣f（2）=4×2，f（4）﹣f（3）=4×3，…，f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）这n﹣1个式子相加可得：f（n）=2n2﹣2n+1．当n=6时，f（6）=61．故答案为：61．点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．16．已知函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），则的最小值是4．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），可得出a+b=2，此处出现了和为定值，故的最值可以归结到基本不等式求最值问题中1的运用，由基本不等式求出最值即可解答：解：∵函数y=ax2+b图象经过点（﹣1，2），∴a+b=2∴=（a+b）×（）=2+≥2+2=4，等号当且仅当，即a=b=1时成立所以的最小值是4故答案是4点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，解题的关键是在解题的过程中，由题设条件得出a+b=2后能观察出来的最小值求法可用基本不等式，解题过程中能根据求解的情况判断出问题解决转化的方向是一个非常好的学习品质17．已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个：①d＜0；②S11＞0；③S12＜0；④数列{S n}中的最大项为S11，其中正确的序号是①②．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将S11，S12由第六项和第七项的正负判定．解答：解：由题可知等差数列为a n=a1+（n﹣1）ds6＞s7有s6﹣s7＞0即a7＜0s6＞s5同理可知a6＞0a1+6d＜0，a1+5d＞0由此可知d＜0 且﹣5d＜a1＜﹣6d∵s11=11a1+55d=11（a1+5d）＞0s12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7）＞0，s13=13a1+78d=13（a1+6d）＜0即①②是正确的，③是错误的故答案是①②点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，若向量与的夹角为60°，求cos（α﹣β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出||，||，•，代入=6cos（α﹣β），即可求出结果．解答：解：（3分）∵=3（6分）∴6cos（α﹣β）=3，cos（α﹣β）=（9分）点评：本题考查了两角和与差的余弦公式以及向量模与数量积运算公式，属于基础题．19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示．（Ⅰ）求A，w及φ的值；（Ⅱ）若tana=2，求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．分析：（1）根据函数图象的最大值和最小值确定A的值，由周期可知ω的值，最后再代入特殊值可确定φ的值．（2）先表示出f（α+）的表达式，根据tana=2求出cos2a的值代入即可得到答案．解答：解：（Ⅰ）由图知A=2，T=2（）=p，∴w=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）又∵=2sin（+φ）=2，∴sin（+φ）=1，∴+j=，φ=+2kπ，∵，∴φ=（2）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin（2x+），∴=2sin（2a+）=2cos2a=4cos2a﹣2∵tana=2，∴sina=2cosa，又∵sin2a+cos2a=1，∴cos2a=，∴=点评：本题主要考查根据图象求三角函数解析式．一般的，根据函数图象的最大值和最小值确定A的值，由周期可知ω的值，最后再代入特殊值可确定φ的值．20．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求f（x）=sin2θsinx+cos2θcosx （x∈R）的值域．考点：解三角形的实际应用；余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接BC，依题意可知AC，AB的值和∠CAB，进而由余弦定理求得BC．（Ⅱ）先根据正弦定理求得sinθ，进而根据同角三角函数基本关系求得cosθ，进而利用两角和公式化简函数的解析式，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．解答：解：（Ⅰ）连接BC，由余弦定理得BC2=202+102﹣2×20×10COS120°=700．∴BC=10．（Ⅱ）∵，∴sinθ=∵θ是锐角，∴，f（x）=sin2θsinx+cos2θcosx=∴f（x）的值域为．点评：本题主要考查了解三角形中的实际运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于﹣3，求a的取值范围．考点：一元二次不等式与二次函数．专题：计算题．分析：不等式f（x）＞﹣4x的解集为（1，3），得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值大于﹣3，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．解答：解：设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=﹣4x两个根是1，3，即ax2+（b+4）x+c=0两个根是1，3．∴∴b=﹣4a﹣4，c=3a又f（x）的最大值大于﹣3，即消去b，c得到关于a不等式，a2+5a+4＞0解得a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＜﹣4．点评：本题考查不等式与方程之间的内在联系，体现了函数与方程的数学思想，解题的过程中，要有主元素的思想，即要把条件转化成关于a的不等关系．22．已知数列{a n}的前n项和是S n，a1=3，且a n+1=2S n+3，数列{b n}为等差数列，且公差d ＞0，b1+b2+b3=15．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求数列的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由a n+1=2S n+3，a n=2S n﹣1+3（n≥2）两式作差即可求得a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a n=3n，成等比数列可求得b n，用裂项法可求得数列的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）由a n+1=2S n+3，a n=2S n﹣1+3（n≥2）得：a n+1﹣a n=2a n∴a n+1=3a n（n≥2）∴（2分），（3分）∴∴a n=3n（4分）（Ⅱ）由b1+b2+b3=15，得b2=5（5分）则b1=5﹣d，b3=5+d，则有：64=（6﹣d）（14+d）即：d2+8d﹣20=0（6分）d=2或d=﹣10∵d＞0∴d=2（7分）∴b n=b1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1（8分）∴=（10分）点评：本题考差数列求和，重点考查学生的转化思想，方程思想及裂项法求和，难点在于裂项法求和的理解与应用，属于中档题．。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
浙江省温州市2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题【考试版】
绝密★启用前浙江省温州市2017-2018学年高一下学期期末复习卷考卷考试范围：必修四、必修五.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学必修四、必修五等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，数列占比较多，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.第I卷（选择题）一、单选题1．=（）A. B.C. D.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为（）A. 2B. 4C. 6D. 83．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，则P点的坐标为( )A. (－8，1)B. (－1，)C. (1，)D. (8，－1)4．在等比数列{a n}中，如果a1＋a4＝18，a 2＋a3＝12，那么这个数列的公比为( )A. 2B.C. 2或D. －2或5．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是（）A．a2>b2 B．ba<1C．lg（a－b）>0 D．（13）a<（13）b6．函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x是( )A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数7．若把函数y＝f(x)的图像沿x轴向左平移个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x 的图像，则y＝f(x)的解析式为( )A. y＝sin(2x－)＋1B. y＝sin(2x－)＋1C. y＝sin(x＋)－1D. y＝sin(x＋)－18．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2EC AE=，则向量EM＝A.1123AC AB+ B.1126AC AB+C.1162AC AB+ D.1362AC AB+9．在各项均不为零的数列{a n}中，若a1＝1，a2＝，2a n a n＋2＝a n＋1an＋2＋a n a n＋1(n∈N*)，则a2018＝( )A. B.C.D.10．不等式<1的解集是( )A. (－∞，－1)∪(1，＋∞)B. (1，＋∞)C. (－∞，－1)D. (－1,1) 11．已知cos sin 65παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则11sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ）A. B. 45-C. D. 4512．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 613．已知锐角三角形的边长分别为1、3、，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.14．已知曲线f (x )＝sin ωx＋cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈，则x 0等于( )A.B.C.D.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB 等于（ ）A.B.C.D.16．已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x >0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.B.C.D.17．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是( )A. －2B. －C. －D. －118．在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A.B.C.D.第II 卷（非选择题）二、填空题19．已知θ∈，且sin ＝，则tan 2θ＝________.20．已知平面向量α，β(α≠0)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是________． 21．函数f (x )＝Asin(2x ＋φ)(A ，φ∈R)的部分图像如图所示，那么f (0)＝________．22．已知a >b>0，求a 2＋的最小值________.三、解答题23．已知函数f (x )＝2sin (0≤x ≤5)，点A 、B 分别是函数y ＝f (x )图象上的最高点和最低点． (1)求点A 、B 的坐标以及·的值；(2)设点A 、B 分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值． 24．已知△ABC 的面积为3，且满足0≤≤6，设与的夹角为θ.(1)求θ的取值范围； (2)求函数f (θ)＝2sin 2－(cos θ＋sin θ)·(cos θ－sin θ)的最大值与最小值．25．已知数列{a n }(n ∈N *)满足：a 1＝1，a n ＋1－sin 2θ·a n ＝cos 2θ·cos 2n θ，其中θ∈.(1)当θ＝时，求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，若数列{b n }满足b n ＝sin＋cos(n ∈N *，n ≥2)，且b 1＝1，求证：对任意的n ∈N *,1≤b n ≤恒成立．。
【全国校级联考】浙江省温州市共美联盟2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题
【全国校级联考】浙江省温州市共美联盟2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 下列函数中,最小正周期为的是( )A．B．C．D．2. 不等式的解集为( )A．B．C．或D．3. 已知向量,.若，则( )A．B．C．2 D．-24. 设，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．5. 为了得到函数y＝sin 的图象，只需把函数y＝sin 的图象( )．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6. 的内角的对边分别是，若，，，则( )A．B．C．D．7. 已知点是直线与轴的交点,将直线绕点按逆时针方向旋转,得到的直线方程是( )A．B．C．D．8. 已知函数,则下列结论中正确的是( )A．既是奇函数又是周期函数B．的图象关于直线对称C．的最大值为1D．在区间上单调递减9. 数列的前n项的和满足则下列为等比数列的是A．B．C．D．10. 已知,,则的值为( )A．B．C．D．11. 若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．12. 设为内一点,已知,则（）A．B．C．D．二、双空题13. 已知直线,过点且与平行的直线方程是_______________，点到直线的距离为______________.14. 已知数列满足,则数列的通项公式________________，数列的项和______________.15. 若向量与满足，则向量与的夹角为________________，______________.三、填空题16. 已知，且，则__________．17. 已知等比数列满足,则的最小值是______________.18. 已知函数在和上均为单减，记，则的取值范围是______________.19. 若平面向量满足，，则的取值范围为______________.四、解答题20. 已知函数，(1)求的值；(2)求的单调递增区间.21. 已知单调递增的等比数列满足,且是的等差中项.(1)求数列的通项公式；(2)设,求满足不等式的最大正整数的值.22. 已知△ABC中,,,且的面积为.(1)若,求的长；(2)当线段的长度最小时,求的值.23. 已知数列满.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设,记,求证:.。