刚度矩阵的性质和存储
! ! !
k ji ! kn1i
! ! !
k jj ! kn1 j
! ! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
kn1n1 ⎥⎦
过虚功原理得到证明。
6
3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值
由性质(1)可知，任一主对角线上元素kii是使 节点位移Δi为一单位位移，其它节点位移为零时必须 在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移 方向相同，因而是正值。
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0 ! kii ! kij ! kim ! 0⎥ i
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
[k ]2n×2n = ⎢0 ! k ji ! k jj ! k jm ! 0⎥ j
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
"
! !
kmi "
! "
kmj "
! "
kmm "
! "
0⎥
"
个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大
t
一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。
9
5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵
从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力 平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。 与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结 构的结构刚度矩阵[K]也是奇异矩阵，即[K]的行列 式为零。
⎢
A(16) A(19)⎥ 16
⎢
⎥
⎣
A(18)⎦ 18
221 2
变带宽存贮：按列存贮方式。从左到右，逐列存 放；对每一列，先存主对角线元素，然后由下而上顺 序 存 放 ， 直 到 顶 线 下 第 一 个 元 素 为 止 。 为 避 免 混 淆， 我们把存贮[K]的一维数组称为[A]。
（ Δj =1），其它位移为零时的Pi。
5
2、结构刚度矩阵是对称矩阵
已知单元刚度矩阵是对称矩阵（1.7节），
用单元刚度矩阵组集⎡ k11 k12 k13 ! k1i ! k1 j ! k1n1 ⎤
结构刚度矩阵的
⎢ ⎢
k21
k22
k23
!
k2i
!
k2 j
!
k2
n1
⎥ ⎥
过程又没有破坏 其对称性，结构 刚度矩阵必然也
⎥ ⎥
m
⎢⎣0 ! 0 ! 0 ! 0 ! 0⎥⎦
双行双列
4
结构整体刚度矩阵特性
1、结构刚度矩阵元素的力学意义
⎡ k11 k12 k13 ! k1i ! k1 j ! k1n1 ⎤⎧ Δ1=⎫0 ⎧ P1 ⎫
⎢ ⎢
k21
k22
k23
!
k2i
!
k2 j
!
k2
n1
⎥ ⎥
⎪ ⎪
Δ
2=⎪⎪0
⎪ ⎪
P2
⎪ ⎪
设节点b发生单位位移Δj=1，其它位移为零时， Δj只
能在与节点b有直接联系的 q 、 r节点引起节点力，
不能在其它节点引起节点力。所以式中，只有和q、p、
r、b节点位移的相关元素才不为零，其余的元素
都是零元素。
s
q
b bʹ′ Δj=1
其它各列的情况也是类似的。 结构的节点总数通常c 都比直接p 环绕于任r何一
17
例：计算下图半带宽。
结点数N=91，总刚[K]中的元素总数为： 82（91×2）×（91 ×2 ）=33124
最大半带宽UBW=(7+1) ×2=16，半带宽存储矩阵元素总数为182 ×16=2912，约方阵 元素的8.8%。
18
（2） 变带宽存贮（一维压缩存贮）
12
• 如果修改各结点编 ⎡1 4⎤ 号如图。则用矩阵： ⎢4 5⎥ G = ⎢⎢2 5⎥⎥ ⎢5 6⎥ ⎢⎣3 6⎥⎦
n 把各单元的子块搬 入总刚度矩阵K中 的相应位置。
• 1
5 Ki(i1)
0
0
K(3) ii
v 单元的子块搬入
00
K = 总刚度矩阵中的
位置，完全取决 于结构结点编号。 对同一结构，如 果改变了结点的
的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的
元素不变，而其它元素均为零。
ne
ne
∑ ∑ 对于整体结构，有: [k]n1×n1{δ }n1×1 = {F}n1X1
e=1
e=1
2
[K ]{Δ} = {P} （1-50）
式中：[K]为整体刚度矩阵，{Δ}为整体节点位移 列阵；{P}为整体等价节点荷载列阵。如下：
刚度矩阵的性质和存储
整体刚度矩阵
n 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整 体坐标系下，对于每个单元均有：
[k]{δ} = {F}
将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），
便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将[k]、
{δ}、{F}体积膨胀，分别扩大为n1×n1、n1×1和n1×1
⎥
N→ ⎣
×⎦
列 号 1
JC
方阵形式
行号
UBW
1 → ⎡× 0 0 × ×⎤
⎢⎢× 0 0 × 0⎥⎥
⎢× × × × ×⎥
IR → ⎢⎢× × 0 × ×⎥⎥
⎢× × 0 × 0⎥
⎢⎢× × 0 0 0⎥⎥
⎢× × 0 0 0⎥
⎢ N→ ⎣×
0
0
0
0⎥⎦
1
JC-‐(IR-‐1)
! !
kin1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎢
k j1 !
k j2 !
k j3 !
! !
k ji !
! !
k jj !
! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣kn11 kn12 kn13 ! kn1i ! kn1 j ! kn1n1 ⎥⎦
7
4、结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵
稀疏矩阵指：存在大量零元素。非零元素稀疏
排列。
⎢ k31
⎢ ⎢
!
k32 !
k33 !
! !
k3i !
! !
k3 j !
! !
k3n1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ki1
⎢ ⎢
!
ki 2 !
ki3 !
! !
kii !
! !
kij !
! !
kin1 !
⎥ ⎥ ⎥
是对称的。当然， 对称性也可以通
⎢ ⎢ ⎢
k j1 !
⎢⎣kn11
k j2 ! kn1 2
k j3 ! kn1 3
• 一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含 了许多零元素。存贮每一行的第一个非 零元素到主对角线元素。
14
（1）半带宽存贮法
行号
UBW
1 → ⎡× 0 0 × ×
⎤
⎢ ⎢
×00×0
⎥ ⎥
⎢
× × × × × ⎥
⎢ IR → ⎢
× × 0 × ×⎥⎥
⎢
× × 0 ×⎥
⎢ ⎢
× × 0⎥⎥
⎢
× ×⎥
⎢
16
举例
B = 2(4-‐1+1) = 8
B = 2(6-‐1+1) = 12
Advantages of 2D Storage 1)Space-‐saving; 2)Easy to be computerized Disadvantages of 2D Storage Enormous storage is required when local bandwidth is large.
⎢ ⎢ ⎢
k j1 !
k j2 !
k j3 !
! !
k ji !
! !
k jj !
! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
⎪ ⎪ ⎪
Δ j=⎪1
!
⎪ ⎪
⎪ Pj ⎪
⎪⎪!
⎪ ⎪
⎢⎣kn11
kn1 2
kn1 3
! kn1i
! kn1 j
!
kn1n1
⎥ ⎦
⎪⎩Δ
n1=⎪⎭0
⎪⎩Pn1 ⎪⎭
结构刚度矩阵中的任一元素kij是Δj为单位位移
K (4) ij
• 5
K (5) ji
0
K (4) ji
K K (4) (5) jj jj
• 6
u 总刚存贮
• 全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存 贮空间，很少采用。K[i,j]
• 对称三角存贮法：存贮上三角或下三角 元素。
• 半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三 角形）半带宽以内的元素 。
等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真 研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在 平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作 量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、 不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮 可以实现（也称一维数组存贮） 。变带宽存贮编程 技巧要求较高，程序较长。
⎢ ⎢×
0
0
0
×
×
×
×
0
⎥ ×⎥
⎢0 0 0 × × 0 × 0 × 0⎥
[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
![[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/25867d5d31b765ce050814be.webp)
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5
整体分析及总体刚度矩阵的性质
整体分析
单元分析得出单元刚度矩阵，下面， 单元分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组 合成结构，进行整体分析。 合成结构，进行整体分析。
1
Py1
a
Байду номын сангаас
①
2
Py 3
3
Px2
a
Px3
③ ②
4 5
④
6
图示结构的网格共有四 个单元和六个节点。 个单元和六个节点。在节 点1、4、6共有四个支杆支 承。结构的载荷已经转移 为结点载荷。 为结点载荷。 整体分析的四个步骤： 整体分析的四个步骤： 建立整体刚度矩阵； 1、建立整体刚度矩阵； 2、根据支承条件修改整体 刚度矩阵； 刚度矩阵； 解方程组，求节点位移； 3、解方程组，求节点位移； 根据节点位移求出应力。 4、根据节点位移求出应力。
a
a
整体刚度矩阵的形式
以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4，因此 k 以单元②为例，局部码i,j,m对应于总码5,2,4， i,j,m对应于总码5,2,4 % (2) 为： 子块按照总码重新排列后， 子块按照总码重新排列后，得出扩大矩阵 K 局部码 j2 m2 i2 而相应的单元刚度 总码 1 2 3 4 5 6 方程为（ 方程为（或节点力表 达式）： 达式）： 1
[ ]
局部码 总码
j1
1
m 1 , j2 , i 3 2
i1 , m 3 , j4 3
m2
4
i 2 , j3 , m 4 5
i4
6
j1 m1 j2 i3 i1
1
[ K jj ] (1)
[ K jm ] (1)
[ K ji ] (1)
有限元法刚度矩阵
有限元法刚度矩阵在工程和科学领域，有限元法是一种强大而广泛应用的数值分析方法。
其中，刚度矩阵是有限元法中的一个核心概念，它对于准确描述结构的力学行为和求解问题起着至关重要的作用。
让我们从最基础的层面来理解刚度矩阵。
想象一下，我们有一个简单的弹簧系统。
弹簧的刚度表示它抵抗变形的能力，也就是施加一定的力会产生多大的位移。
在更复杂的结构中，比如桥梁、飞机机翼或者机械零件，每个部分都有自己的抵抗变形的特性，这些特性综合起来就可以用刚度矩阵来表示。
刚度矩阵的元素反映了结构中各个节点之间的相互作用关系。
例如，如果一个结构有多个节点，每个节点在不同方向上的位移都会受到其他节点位移的影响。
刚度矩阵中的元素就定量地描述了这种影响的大小。
从数学的角度来看，刚度矩阵通常是一个对称矩阵。
这意味着矩阵的上三角和下三角部分是对称的。
这种对称性是由于物理问题的本质所决定的，它反映了结构的力学性质在不同方向上的一致性。
那么，刚度矩阵是如何构建的呢？这需要我们对结构进行离散化处理。
将复杂的结构划分成许多小的单元，每个单元都有自己的特性方程。
通过对这些单元的特性进行组合和叠加，就可以得到整个结构的刚度矩阵。
在实际应用中，有限元软件会根据用户输入的结构几何形状、材料属性和边界条件等信息，自动生成刚度矩阵。
例如，在分析一个钢梁的弯曲问题时，软件会首先将钢梁划分为一系列的小单元，然后根据钢梁的材料弹性模量、横截面形状等计算每个单元的刚度，最终组合成整个钢梁的刚度矩阵。
刚度矩阵的大小取决于结构的自由度数量。
自由度是指结构能够独立运动的方向和方式。
例如，一个平面上的节点可能有两个平移自由度（x 和 y 方向），如果考虑转动，则还会增加自由度。
结构的自由度越多，刚度矩阵的规模就越大，计算的复杂度也会相应增加。
为了更直观地理解刚度矩阵，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个由两个弹簧连接的两个质量块组成的系统。
每个质量块可以在水平方向上移动，那么这个系统就有两个自由度。
稀疏刚度矩阵存储
稀疏刚度矩阵存储稀疏刚度矩阵存储是一种在计算机科学和工程领域中常用的数据结构，用于有效地存储大规模稀疏矩阵的信息。
稀疏矩阵是指大部分元素为零的矩阵，而稀疏刚度矩阵则是在有限元分析等工程领域中常见的一种特殊矩阵，用于描述结构体系的刚度信息。
在实际工程计算中，由于稀疏刚度矩阵的特殊性，采用传统的存储方式会造成大量的存储空间浪费，而且会增加计算的复杂度和时间。
因此，研究者们提出了一种更加高效的稀疏矩阵存储方法，即稀疏刚度矩阵存储。
稀疏刚度矩阵存储的核心思想是只存储矩阵中非零元素的信息，通过记录非零元素的位置和数值，避免了存储大量冗余的零元素，从而节省了存储空间。
同时，稀疏矩阵存储方法还可以提高计算效率，因为在进行矩阵运算时，只需要考虑非零元素的计算，而无需关注零元素。
常见的稀疏刚度矩阵存储方法包括压缩稀疏行存储（Compressed Sparse Row, CSR）、压缩稀疏列存储（Compressed Sparse Column, CSC）和双重压缩稀疏矩阵存储（Compressed Row Storage, CRS）等。
这些存储方法在存储矩阵的非零元素时，采用不同的方式来组织和存储数据，以便更加高效地进行矩阵运算和计算。
在实际工程计算中，稀疏刚度矩阵存储方法被广泛应用于有限元分析、计算流体力学、结构优化等领域。
通过合理选择和使用稀疏矩阵存储方法，工程师和研究者们可以有效地提高计算效率，节约存储空间，从而更好地完成复杂结构体系的计算和分析工作。
总的来说，稀疏刚度矩阵存储是一种重要的数据存储方法，可以在工程计算和科学研究中发挥重要作用。
通过深入研究和应用稀疏矩阵存储方法，可以更好地解决大规模稀疏矩阵存储和计算的问题，为工程和科研工作提供更加有效的支持。
第三节刚度矩阵
第三节 刚度矩阵节点载荷与节点位移之间的关系、 单元刚度矩阵1. 单元刚度矩阵RymR xmmR yjj yjRxj单元 e 是在节点力作用下处于平衡。
节点 i 的节点力为则单元 e 的节点力列阵为Rxi R yi R xj R yj R xm R ym单元应力列阵为x y xyTR iR xi R yii , j , m 轮换）R eR i T R T j R m T T假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元 e 的三个节点的虚位移为eT*u i * v i * u *j v *j u *m v *m单元虚应变列阵为T**** x y xy参照式（ 3-7），则单元虚应变为 ee*B *作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为：e T e *R e单元内的应力在虚应变上所做的功为：tdxdy*eT根据虚位移原理， 可得单元的虚功方程 *eTR eTeR e*eTtdxdyTB Ttdxdy故有eTR B tdxdy将式（3-10）代入，的e T eR B D B e tdxdy（3-27）B D B tdxdy简记为e e ek R （3-29）----- 上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）其中e Tk B D B tdxdy （3-28）ek称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是6 6 矩阵。
如果单元的材料是均质的，矩阵 D 中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵 B 中的元素也是常12数，当单元的厚度也是常数时，注意到 dxdy ，于是单元刚度矩阵可简化为e Tk B TD B t将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：3-30）e 66kii k ij k imk k kji jj jm k mi k mjkmm3-31）其中任一子块 k rs （r ，s=i ，j ，m ）是一个 2×2 子矩阵，Tk rs B r D B s t（r ， s=i ， j ，m ）1）对于 平面应力问题将 B 和平面应力问题的弹性矩阵 D 代入，得k rs B r T D B s tEt4 1 21 b r bsc r csb rc s11c r b s 1b rc sc r csb r b s（r ， s=i ， j ， 3-32）2）对于平面应变问题将 B 和平面应变问题的弹性矩阵 D 代入，得（r,s=i ，j ， m ）（3-33）注：是将式（ 3-32）中的 E, 分别换成 1 E2 和 1 ）2. 单元刚度矩阵的性质e1） k 的物理意义式（ 3-29）可完整写为可见每个节点在 x 和 y 方向上有二个平衡方程， 3 个节点共 有六个平衡方程。
结构力学11.2 单元刚度矩阵
89
结构力学讲稿
uie
u
e j
EA
k
e
l 0
0 0
EA l 0
FNei 0 FSei 0 FNej
FSej
EA
l 0
0 0
EA
l 0
0 0
桁架单元的单刚也是对称的和奇异的。
第十一章 矩阵位移法
90
e
]
0 EA
l
0
0
0
12EI l3 6EI l2
0
12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
6EI l2
2EI l
EA l 0
0 12EI
l3
0
6EI
l2
0 EA
6EI l2
0
2EI
l
，称为，单元刚度矩阵，简称“单刚”。
FFSNeeii
uviiee
{F
e}
M
e i
FNej
，称为，单元杆端力列向量。{
e}
ie
u
e j
，称为，单元杆端位移列向量。
FSej
v
e j
M
e j
e j
EA
l
0
[k
第十一章 矩阵位移法
{F e} [k e ]{ e} 这意味着：1) 给定杆端位移，可唯一确定出相应的杆端力；2) 给定杆端力，不能唯一确定出杆
hypermesh刚度矩阵提取
hypermesh刚度矩阵提取标题：Hypermesh刚度矩阵提取与应用引言：在工程领域中，结构分析是一个关键的步骤，用于评估和优化设计。
而刚度矩阵是结构分析中的重要概念之一，它能够描述结构在应力和应变下的响应。
Hypermesh是一款常用于有限元分析（FEA）的前处理软件，具有强大的刚度矩阵提取功能，本文将详细讨论Hypermesh中刚度矩阵提取的方法及其应用。
一、Hypermesh简介1.1 Hypermesh的概述Hypermesh是由Altair Engineering公司开发的一款有限元前处理软件，它具有友好的用户界面和丰富的功能，被广泛应用于航天航空、汽车、机械和建筑工程等领域。
1.2 Hypermesh的刚度矩阵提取功能Hypermesh具有强大的刚度矩阵提取功能，可以根据给定的几何模型、材料属性和约束条件，自动生成结构的刚度矩阵。
刚度矩阵是描述结构在外力作用下的刚性行为的矩阵，可以用于解析分析和优化设计。
二、刚度矩阵的基本概念2.1 刚度矩阵的定义刚度矩阵是一个N×N矩阵，其中N是结构中自由度的数目。
刚度矩阵的元素表示结构中各自由度之间的相互关系和相互作用。
2.2 刚度矩阵的性质刚度矩阵是对称的，正定的，且具有零在对角线的性质。
这些性质使得刚度矩阵可以表示结构系统的稳定性和刚性。
三、Hypermesh中刚度矩阵提取的方法3.1 几何建模在Hypermesh中，需要先进行几何建模，包括创建结构模型、定义节点和单元等。
可以选择直接绘制几何模型，或导入CAD模型进行后续编辑。
3.2 材料属性定义根据结构的材料特性，在Hypermesh中定义材料属性，比如弹性模量、泊松比等。
这些材料属性将用于刚度矩阵的计算。
3.3 约束条件的设定在刚度矩阵的提取过程中，需要设定结构的边界条件，即约束条件。
Hypermesh提供了丰富的边界条件选择，可以固定节点的位移或设定节点的约束力等。
3.4 刚度矩阵的提取通过上述步骤的设定，可以直接在Hypermesh中提取结构的刚度矩阵。
弹性力学整体刚度矩阵的特点与存储方法
元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
弹性力学整体刚度矩阵的特点 与存储方法
用有限元方法分析复杂工程问题时，结点的数目比较多，整体刚度矩阵的阶数通常也是很高的。那么， 是否在进行计算时要保存整体刚度矩阵的全部元素?能否根据整体刚度矩阵的特点提高计算效率。 整体刚度矩阵具有以下几个显著的特点：对称性，稀疏性，非零系数带形分布。 1)对称性 由单元刚度矩阵的对称性和整体刚度矩阵的集成规则，可知整体刚度矩阵必为对称矩阵。利用对称性， 只保存整体矩阵上三角部分的系数即可。 2)稀疏性 单元刚度矩阵的多数元素为零，非零元素的个数只占较小的部分。如图3-26 所示的结构，结点2 只和 通过单元联接的1、3、4、5 结点相关，结点5 只和通过单元联接的2、3、4、6、8、9 结点相关。由单元 刚度矩阵的物理意义和整体刚度矩阵的形成方式可知，相关结点2、3、4、6、8、9 及结点5 本身产生位移 时，才使结点5 产生结点力，其余结点产生位移时不在该结点处引起结点力。在用分块形式表示的整体矩 阵中，与相关结点对应的分块 矩阵具有非零的元素，其它位置上的分块矩阵的元素为零，如图3-27 所示。
二维等带宽存储 设整体刚度矩阵[K]为一个n n的矩阵，最大半带宽为d。利用带形矩阵的特点和对称性， 只需要保存以d 为固定带宽的上半带的元素，称为二维等带宽存储。进行存储时，把整体刚度 矩阵[K]每行中的上半带元素取出，保存在另一个矩阵[K*]的对应行中，得到一个n x d 矩阵[K*]。 把元素在[K]矩阵中的行、列编码记为r、s，在矩阵[K*]中的行、列编码记为r*、s*，对应关 系如下： r*=r，s*=s-r+1
有限元刚度矩阵变带宽存贮法
假定结构刚度矩阵[K]在方阵存贮中有如下形式：
UBW=4
顶线
K11 K12 0 K14 0 0 0 0
K22 K23 0
0
0
0
0
K
K33 K34 0 K36 0 K44 K45 K46 0
0
0
对称
K55 K56
0
K58
K66 K67 0
K77
K
78
K88
图4-9 方阵形式的刚度矩阵[K]
变带宽存贮，也称一维数组存贮。
5.3 结构刚度矩阵的变带宽存贮 等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真研究半
带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在平衡方程求解 过程中，有些零元素只增加运算工作量而对计算结果不产 生影响。如果这些零元素不存、不算，更能节省内存和运 算时间。这就是本章要介绍的变带宽存贮，也称一维数组 存贮。
MAXA(j) = h1 +…+ hj-2 - hj-1 + 1 =（h1 +…+ hj-2 + 1）+ hj-1 = MAXA（j - 1）+ hj-1
因为永远有 MAXA(1)= 1， MAXA(2)= 2
故计算主元地址的公式可写为
MAXA(j+1)= MAXA(j)+ hj 式中， j = 2，3，…，N；
放，直到顶线下第一个元素为止。为避免混淆，我们把存
贮[K]的一维数组称为[A]。如图4-10中，A(7)里存放的就是 K34等。
A(1) A(3)
A(9)
A(2) A(5) A(8)
A(4) A(7)
A(15)
A
A(6) A(11) A(14) A(10) A(13)
整体及总体刚度矩阵的性质概述
整体及总体刚度矩阵的性质概述整体及总体刚度矩阵是一个方阵，其尺寸等于结构体系中自由度的个数。
整体刚度矩阵可以表示为K = [k11, k12, ..., k1n; k21,k22, ..., k2n; ..., kn1, kn2, ..., knn]，其中ki,j表示结构体系中第i个自由度在受到第j个自由度作用时的刚度系数。
总体刚度矩阵是整体刚度矩阵的一种特殊形式，在结构的分析与计算中较为常见。
总体刚度矩阵一般通过将各个单元的刚度矩阵逐个组合得到。
总体刚度矩阵包含了结构的所有自由度，反应了整个结构在受力作用下的刚度特性。
1. 对称性：整体及总体刚度矩阵是对称矩阵，即kij = kji。
这是由于结构在平衡状态下受力成立的一个基本条件。
对称性使得计算和分析过程更加简化，可以减少计算量。
2.正定性：整体及总体刚度矩阵是正定矩阵，即对于任意非零的向量v，v^TKv>0。
正定性保证了整体及总体刚度矩阵的特征值均为正数，即不存在零特征值。
这意味着结构不会出现无穷大的位移和变形，具有稳定性和可靠性。
3.奇异性：整体及总体刚度矩阵是奇异矩阵的条件是存在零特征值。
如果结构体系有刚度为零的单元或自由度，则整体及总体刚度矩阵的秩将小于其自由度的个数，从而成为奇异矩阵。
奇异性代表结构的不稳定性，需要进行特殊处理或修正。
4.加法性：整体及总体刚度矩阵具有加法性，即当结构被分解成若干个结构单元（子结构）时，每个子结构的刚度矩阵加和得到整个结构体系的刚度矩阵。
这使得结构计算和分析可以被分解和简化，提高了效率。
5.可逆性：整体及总体刚度矩阵是可逆矩阵，即存在逆矩阵K^(-1)，使得K·K^(-1)=K^(-1)·K=I。
逆矩阵的存在保证了结构计算的唯一性，可以通过刚度矩阵求解结构的位移和反力。
6.非线性性：整体及总体刚度矩阵的计算涉及到结构的几何非线性和材料非线性。
当结构存在较大的变形和应力非线性时，刚度矩阵的计算需要进行迭代，并考虑材料的非线性特性。