2018年高考数学分类汇编：不等式
E 单元
不等式
E1 不等式的概念与性质 E2 绝对值不等式的解法 E3 一元二次不等式的解法 E4 简单的一元高次不等式的解法
E5 简单的线性规划问题
14.E5【2018·全国卷Ⅰ】 若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，，，则32z x y =+的最大值
为 . 14.【答案】6
【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
当直线y=-32x+z
2经过点A （2，0）时，z 最大，所以z max =3×2+2×0=6.
14.E5【2018·全国卷Ⅱ】
若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，，，则z=x+y 的最大值为 . 14.【答案】9
【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.
当直线y x z =-+过点A （5，4）时，直线的纵截距z 最大，所以max 549z =+=.
15.E5【2018·全国卷Ⅲ】 若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩
，，
，
则1
3z x y =+的最大值是 .
15.3 【解析】 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图易知目标函数在点A （2，3）处取得最大值，最大值为2+1
3×3=3.
12.E5【2018·浙江卷】 若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，，
，则z=x+3y 的最小值是 ，最大值是 . 12.【答案】2-；8
【解析】 作出如图中阴影部分所示的可行域，
易知A （2，2），B （4，-2），C （1，1），目标函数表示斜率为-1
3的一组平行直线.由图可知，当直线x+3y-z=0经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2+3×2=8；当直线x+3y-z=0经过点B 时，z 取得最小值，最小值为()4322+⨯-=-.
13.E5【2018·北京卷】 若x ，y 满足x+1≤y ≤2x ，则2y-x 的最小值是 .
13.3 【解析】 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，联立{y =x +1，
y =2x ，得交点坐标为（1，
2），由图可知，当目标函数z=2y-x 过点（1，2）时，z 有最小值，z min =2×2-1=3.
E6 2
a b
+≤
13.E6【2018·天津卷】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则1
23a
b
+的最小值为 . 【解题提示】运用基本不等式求解. 【答案】
14
【解析】由已知得36a b -=-，由基本不等式得1122284
a b +≥==（当且仅当a=-3b=-3时取等号）.
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用 E9 单元综合
8.E9【2018·北京卷】 设集合A={（x ，y ）|x-y ≥1，ax+y>4，x-ay ≤2}，则（ ） A.对任意实数a ,(2,1)∈A B.对任意实数a ,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤3
2时,(2,1)∉A
8.D 【解析】当a=0时，A 为空集，排除A ；当a=2时，（2，1）∈A ，排除B ；当a=3
2时，作
出可行域如图中阴影部分所示，
由x y 13x y 42
-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得P （2，1），又∵ax+y>4，取不到边界值，∴（2，1）∉A.故选D.
1.【2018·北京通州区期末】 已知a ，b ∈R ，a>b>0，则下列不等式一定成立的是（ ） A . 1a >1
b B . tan a>tan b C . |log 2a|>|log 2b| D . a ·2-b >b ·2-a
1.D 【解析】 对于A ，a>b>0，则1a <1b ，故不成立；对于B ，不妨设a=3π4>b=π
4>0，则tan 3π4=-1，
tan π
4=1，故不成立；对于C ，不妨设a=2，b=1
4，则
|log 2a |=1，|log 2b |=2，故不成立.故选D . 2.【2018·唐山五校联考】 已知不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，则不等式ax 2-bx-1>0的解集是（ ） A .{x|2<x<3} B .{x |-1
2<x <-1
3} C .{x |1
3<x <1
2} D .{x |x <1
3或x <1
2}
2.B 【解析】 ∵不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，∴x 2-bx-a=0的解是x 1=2和x 2=3，
∴{
2+3=b ，
2×3=-a ，解得{
a =-6，
b =5，则不等式ax 2-bx-1>0即为-6x 2-5x-1>0，解得{x |-12<x <-1
3
}. 3.【2018·遵义联考】 已知O 是坐标原点，点A （-1，1），若点M （x ，y ）为平面区域{x +y ≥2，
x ≤1，
y ≤2
上的一个动点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 3.【0，2】
【解析】设z=OA
⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ =-x+y.在直角坐标系内作出可行域如图所示
.
由图可知，当直线z=-x+y 经过可行域内点C （0，2）时，z 有最大值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）max =-0+2=2；当直线z=-x+y 经过可行域内点A （1，1）时，z 有最小值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）min =-1+1=0.所以OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为【0，2】.
4. 【2018·衡水一中月考】 若x ，y 都是正数，且x+y=3，则4x+1+1
y+1的最小值为 .
4.95 【解析】 设m=x+1，n=y+1.∵x+y=3，∴{x =m -1，
y =n -1
，
则m+n=5，∴4x+1+1
y+1=4m +1n =(4m +1n )(m 5+n
5)=45+4n 5m +m
5n +15
≥1+2√4n 5m
·m 5n =9
5，当且仅当m=103，n=53，即x=73，y=23时取等号.。
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 不等式(原卷版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 不等式（原卷版）一，选择题1．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知2log 0.2a =,0.22b =,0.30.2c =,则( )A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b c a<<2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab+<<D ．0ab a b<<+3．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)设,满足约束款件,则地最小值是( )A ．B ．C ．D ．4．(2014高考数学课标2理科)设x ,y 满足约束款件x+y x y+x y 70-310350⎧-≤⎪≤⎨⎪--≥⎩,则z x y 2=-地最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．25．(2014高考数学课标1理科)不等式组地解集记为．有下面四个命题:。
．其中真命题是( )A ．B ．C ．D ．6．(2013高考数学新课标2理科)已知0,,a x y >满足约束款件13(3)x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若2z x y =+地最小值为1,则a 等于( )A ．14B ．12C ．1D ．2二，填空题x y 2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩2z x y =+15-9-19124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩D ()1:,,22p x y D x y ∀∈+≥-()2:,,22p x y D x y ∃∈+≥()3:,,23p x y D x y ∀∈+≤()4:,,21p x y D x y ∃∈+≤-23,p p 14,p p 12,p p 13,p p7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若x,y满足约束款件220,10,10,x yx yy+-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z=x+7y最大值为______________．8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若x,y满足约束款件0,201,x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，,则z=3x+2y地最大值为_________．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若,x y满足约束款件250,230,50,x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤则z x y=+地最大值为_________．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)若,x y满足约束款件22010x yx yy--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩, 则32z x y=+最大值为．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设满足约束款件,则地最小值为__________．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)若,满足约束款件,则地最小值为__________．13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,x y满足约束款件1020220x yx yx y-+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤,则z x y=+地最大值为_____________.14．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲，乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时。
2018北京市高考期末理科数学试题卷分类汇编之函数及导数、不等式
三、函数与不等式（一）试题细目表（二）试题解析1. （2018·西城期末·2）下列函数中，在区间上单调递增的是 （A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】D2.（2018·西城区期末·7）已知，是函数的图象上的相异两点．若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B3.（2018·西城区期末·14）已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】 ；4.（2018·石景山期末·6）给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y +=，(0,)+∞1y x =-+|1|y x =-sin y x =12y x =A B 2xy =A B A B (,1)-∞-(,2)-∞-(1,)-+∞(2,)-+∞0c =()f x ()f x c其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①④ B ．①② C ．②③ D ．③④ 【答案】C5.（2018·石景山期末·9）若1ln 2a =，0.813b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则,,a b c 的大小关系为_______. 【答案】a b c <<6.（2018·昌平区期末·6）已知函数()e e ,x x f x -=+则函数()f xA ．是偶函数，且在(,0)-∞上是增函数 B. 是奇函数，且在(,0)-∞上是增函数 C. 是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数 D. 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数 【答案】C7.（2018·丰台期末·14）已知函数()sin ,0,,x x x f x x ππ<<⎧⎪=≥()()()g x f x kx k =-∈R .①当1k =时，函数()g x 有 个零点；②若函数()g x 有三个零点，则k 的取值范围是 ．【答案】1，⎛ ⎝⎦8.（2018·通州区期末·6）已知a ，b ∈R ，0a b >>，则下列不等式一定成立的是 A. 11a b > B. tan tan a b > C. 22log log a b > D.22b a a b --⋅>⋅【答案】D9.（2018·通州区期末·14）已知函数()222x a x f x a x x ⎧+<=⎨-⎩≥‚‚‚无零点，那么实数a 的取值范围是_______.【答案】(][),40,2-∞-10.（2018·昌平区期末·14）若函数4,3,()log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （且），函数.①若，函数无零点，则实数的取值范围是 ；②若有最小值，则实数的取值范围是 ．【答案】[1,1)- ；(1,3]11.（2018·房山区期末·6）下列函数是奇函数且在区间(1,+)∞上单调递增的是（A ）3()f x x =- （B ）()f x =（C ）1()f x x x =+ （D ）1()ln 1x f x x-=+ 【答案】C12.（2018·朝阳区期末·7）已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >- 【答案】B13. （2018·东城区期末·5） 已知函数41()=2x xf x +，则()f x 的A.图像关于原点对称，且在[0,)+∞上是增函数B. 图像关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是增函数C. 图像关于原点对称，且在[0,)+∞上是减函数D. 图像关于y 轴对称，且在[0,)+∞上是减函数【答案】B四、导数与函数（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·房山区期末·19）（本小题满分13分）已知函数2()ln f x x x mx =+．（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）当0m <时，设()()f x g x x=,求()g x 在区间[1,2]上的最大值． 【答案】解：(I)当1=m 时，2()ln f x x x x =+所以'()ln 21f x x x =++. 所以(1)1f =，切点为(1,1).'(1)3f =所以曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为13(1)y x -=-即32y x =-…………………6分（II ）因为11g '()mx x m x x +=+=，[]1,2x ∈,令10mx x +=,则1x m=- 当1m ≤-时, 101m<-≤,g '()0x ≤,()g x 为减函数所以()g x 的最大值为(1)=g m当1-1m <<-时, 112<-<时所以()g x 的最大值为()1ln()g m m-=--- 当1-02m ≤<时, 12m-≥时，g '()0x ≥恒成立，()g x 为增函数所以()g x 的最大值为(2)2ln 2g m =+………………13分 2.（2018·海淀区期末·19）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：函数有且仅有一个零点； （Ⅲ）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）因为函数所以 ……………..2分 故， ……………..4分曲线在处的切线方程为 ……………..5分（Ⅱ）当时，令，则 ……………..6分故是上的增函数. ……………..7分 由，故当时，，当时，.即当时，，当时，.故在单调递减，在单调递增.……………..9分 函数的最小值为…………….10分由，故有且仅有一个零点. …………….12分（Ⅲ）当时，有一个零点；当且时，有两个零点. ……………..14分3.（2018·丰台区期末·18）已知函数()()22ln f x x ax a x a =--∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2()222xf x e ax x =---()y f x =0a ≤()f x 0a()f x 2()222xf x ax x =---e '()222xf x ax =--e (0)0f ='(0)0f =()y f x =0x =0y =0a ≤()'()222xg x f x ax ==--e '()220xg x a =->e ()g x R (0)0g =0x <()0g x <0x >()0g x >0x <'()0f x <0x >'()0f x >()f x (,0)-∞(0,)+∞()f x (0)f (0)0f =()f x 1a =()f x 0a >1a ≠()f x【答案】解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222x a x a x ax a f x x x-+--'==.由()0f x '=，可得x a =或2ax =-， 当0a =时，()0f x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()0,∞+，没有单调递减区间； 当0a >时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞. 当0a <时，()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意.当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +∞， 所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即()0f a ≥，所以222ln 0a a a a --≥，所以01a <≤.当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递增区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以()0f x ≥恒成立等价于()min 0f x ≥，即02a f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 所以222ln 0422a a a a ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，所以342e 0a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.4.（2018·石景山期末·18）已知函数ln()()x a f x x-=． （Ⅰ）若1a = ,确定函数()f x 的零点；（Ⅱ）若1a =-，证明：函数()f x 是(0,)+∞上的减函数；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线0x y -=平行，求a 的值. 【答案】解：（Ⅰ）当1a = 时，则ln(1)()x f x x -= (1)分定义域是(1,)+∞，令ln(1)x x -=……………2分 ln(1)0,2x x -==是所求函数的零点. ……………3分（Ⅱ）当1a =-时，函数()f x 的定义域是(1,0)(0,)-⋃+∞， ………4分所以2ln(1)1'()xx x f x x-++=，…………5分 令()ln(1)1xg x x x =-++，只需证：0x >时，()0g x ≤． ……………6分 又2211'()0(1)1(1)xg x x x x =-=-<+++， 故()g x 在(0,)+∞上为减函数， …………… 7分 所以()(0)ln10g x g <=-=， …………… 8分 所以'()0f x <，函数()f x 是(0,)+∞上的减函数． ……………9分（Ⅲ）由题意知，1'()|1x f x ==，且2ln()'()xx a x a f x x---=， ………… 10分所以1'(1)ln(1)11f a a =--=-，即有ln(1)01a a a--=-， ……………11分 令()ln(1)1at a a a =---，1a <，则211'()0(1)1t a a a=+>--， 故()t a 是(,1)-∞上的增函数，又(0)0t =，因此0是()t a 的唯一零点， 即方程ln(1)01aa a--=-有唯一实根0，所以0a =． ……………13分5.(2018·通州区期末·19) 已知函数，a ∈R .（Ⅰ）当0a =时，求函数的单调区间； （Ⅱ）对任意的()1,x ∈+∞，()f x >a 的取值范围.【答案】解：（Ⅰ）因为0a =， 所以()ln xf x x=，()()0,11,.x ∈+∞ (1)分所以()()ln .ln x f x x -'=21……………………2分令()f x '>0，即ln x ->10，所以.x e >……………………3分 令()f x '<0，即ln x -<10，所以.x e <……………………4分 所以()f x 在(),e +∞上单调递增，在(),01和(),e 1上单调递减. 所以()f x 的单调递增区间是(),e +∞，单调递减区间是(),01和(),e 1. (5)分（Ⅱ）因为x >1，所以ln .x >0 因为，所以对任意的()1,x ∈+∞，()f x >ln x ax->恒成立. ()f x等价于a x x <恒成立. ……………………7分 令()g x x x =，所以()g x '=……………………9分令()ln h x x =-2，所以().h x x'=1所以当x >1时，().h x '>0所以()h x 在()1,+∞上单调递增. 所以()().h x h >=10……………………11分 所以当x >1时，().g x '>0所以()g x 在()1,+∞上单调递增. 所以()().g x g >=11 所以 1.a ≤……………………13分6.（2018·昌平区期末·19）已知函数，. （I ）当a = 2时，求曲线y =在点( 0，f (0) )处的切线方程；（II ）求函数在区间[0 , e -1]上的最小值.【答案】解：（I ）f (x )的定义域为. ……………1分因为，a = 2，所以'(0)211f =-=，(0)0f =.所以 函数f (x )在点(0,(0))f 处的切线方程是 y x =. ……………4分 （II ）由题意可得.（1）当时，， 所以在上为减函数，所以在区间[0,e 1]-上，min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ……………6分(2) 当0a >时, 令，则，① 当，即时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x >，()ln(1)f x ax x =-+a R ∈()f x (1,)-+∞0a ≤'()0f x <()f x (1,)-+∞1a ≥所以f (x )在(0,e 1)-上为增函数， 所以min ()(0)0f x f ==. ② 当11e 1,a -≥-，即10ea <≤时，对于(0,e 1)x ∈-，'()0f x <，所以f (x )在(0,e 1)-上为减函数， 所以min ()(e 1)(e 1)1f x f a =-=--. ③ 当101e 1,a<-<-即11ea <<时， 当x 变化时，，的变化情况如下表：所以 . ………13分综上，当1e a ≤时，min ()(e 1)1f x a =--；当11ea <<时，min ()1ln f x a a =-+； 当时，min ()0f x =. ……………14分7. （2018·朝阳区期末·18） 已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.()f x '()f x 1a ≥【答案】解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数.又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上， ，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值0()f x .当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求. 由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得. ……………13分7.（2018•东城区期末·18）已知函数311()ln 62f x x x x x =+-. ()sin cos F x x x x ax =++()0,1()()F x f x '=()cos f x x x a =+()0,11x ()f x 1x (0,1)x ∈()g x 0()()0g x g x >=()0f x '>()f x 0(,1)x 0()()0g x g x <=()0f x '<()f x ()f x 0x x =0()0f x =()f x ()0,10x ()f x 0x ()F x ()0,1(1)cos1f a =+，(0)f a =(1)(0)f f >()f x ()0,11x ()f x 1x cos10a -≤<（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立，求a 的最小值. ()f x 的定义域为(0,)+∞. （Ⅰ）由已知得211()ln 22f x x x '=--且(1)0f '= ， ()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0， 又112(1)+0623f =-=， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为23y =.……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得211()ln 22f x x x '=--设()()g x f x '=，1(,)x e e ∈ 则211(1)(1)()x x x g x x x x x-+-'=-==， 令()0g x '=，得1x =，当x 变化时，()g x ，()g x '的变化情况如下表：则min ()(1)(1)0g x g f '===，所以()0f x '≥在上1(,)e e 恒成立， 所以()f x 在上1(,)e e 单调递增.又311()=62f x e e - 所以a 的最小值为31162e e - ……………13分。
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编13-等式与不等式(含解析)
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①B．②C．①②D．①②③
21．（2019·天津·高考真题）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
A．2B．3C．5D．6
22．（2019·浙江·高考真题）若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是
四、解答题
43．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
44．（2021·全国·统考高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
最新-2018年高考数学真题汇编 8：不等式 理 精品
2018高考真题分类汇编：不等式1.【2018高考真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A2.【2018高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b B.若2a+2a=2b+3b ，则a ＞b C.若2a-2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a-2a=a b-3b ，则a ＜b 【答案】A3.【2018高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.4.【2018高考真题山东理5】已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =-的取值范围是（A ）3[,6]2- （B ）3[,1]2-- （C ）[1,6]- （D ）3[6,]2-【答案】A5.【2018高考真题辽宁理8】设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大，最大值为55，故选D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。
该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。
高考数学考点基本不等式
基本不等式：0,0)2a ba b +≥≥≥ （1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.一、基本不等式12a b+ （1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大)4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R （5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R （7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+二、基本不等式在实际中的应用1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； 2．经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+> 0)b >等．解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解．考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配. ①拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． ②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值． ③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. （3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.典例1 若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为 A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】B【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．1．（1）已知54x <，求函数14145y x x =-+-的最大值； （2）已知*,x y ∈R (正实数集)，且191x y+=，求x y +的最小值． 考向二 基本不等式的实际应用有关函数最值的实际问题的解题技巧：（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.典例2 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级.最近北斗三号工程耗资元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（是常数），用表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为，即 (设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数． *网 （1）求关于的函数关系式；（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限．答：这种设备的最佳更新年限为15年．【名师点睛】利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的问题背景，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型0,0,0)bax a b x x+≥>>>上靠拢.2．要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元，求该容器长为多少时，容器的总造价最低为多少元？考向三 基本不等式的综合应用基本不等式是高考考查的热点，常以选择题、填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.典例3 下列不等式一定成立的是 A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k x+≥≠π∈Z C ．212||()x x x +≥∈R D ．211()1x x >∈+R 【答案】C【解析】对于A ：214x x +≥(当12x =时，214x x +=)，A 不正确； 对于B ：1sin 2(sin (0,1])sin x x x +≥∈，1sin 2(sin [1,0))sin x x x+≤-∈-，B 不正确； 对于C ：222||1(||1)0()x x x x -+=-≥∈R ，C 正确； 对于D ：21(0,1]()1x x ∈∈+R ，D 不正确. 故选C.【思路点拨】利用基本不等式判断不等关系及比较大小的思路：基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决问题.3．设正实数,x y 满足1,12x y >>,不等式224121x y m y x +≥--恒成立,则m 的最大值为 A． B．C ．8D ．16典例4 设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20176051S =，则4201414a a +的最小值为______． 【答案】32【名师点睛】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 学*4．已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是_____________.1．函数1(0)4y x x x=+>取得最小值时，x 的值为 A ．12-B ．12C ．1D ．22．已知a ,b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是 A ．a+b ≥2 B ．+≥2 C ．|+|≥2D ．a 2+b 2>2ab3．（）的最大值为 A ． B ． C ．D ．4．已知,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值为A B ．45C ．2D ．235．若正实数a ，b 满足1a b +=，则A ．11a b+有最大值4 BC ．ab 有最小值14D ．22a b +有最小值26．高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第层楼时,上下楼造成的不满意度为,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低,设教室在第层楼时,环境不满意度为,则同学们认为最适宜的教室应在楼 A ． B ． C ．D ．7．若关于x 的方程9x +(4+a )·3x +4=0有解,则实数a 的取值范围是 A ．(-∞,-8]∪[0,+∞) B ．(-∞,-4) C ．[-8,4)D ．(-∞,-8]8．若对任意正数x ，不等式211ax x≤+恒成立，则实数a 的最小值为A ．1BC ．2D ．129．已知1x >，1y >，且2log x ，14，2log y 成等比数列，则xy 有A B ．最小值2CD ．最大值210．如图，在ABC △中，点是线段上两个动点，且，则的最小值为A ．B ．C ．D ．11．已知正实数满足当取最小值时，的最大值为A ．2B ．C ．D ．12．在锐角ABC △中，为角所对的边，且，若，则的最小值为A ．4B ．5C ．6D ．713．函数的图象恒过定点，若定点在直线 上，则的最小值为A ．13B ．14C ．16D ．1214．已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为A ．9B ．C ．D ．15．当x >0时，22()1xf x x =+的最大值为 . 16．已知函数==,当时,函数()()g x f x 的最小值为 . 17．在公比为的正项等比数列中，,则当取得最小值时，_ ． 18．已知,,则的最小值为 .19．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为2*182()5y x x x =-+-∈N ，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是________万元．20．某物流公司引进了一套无人智能配货系统，购买系统的费用为80万元，维持系统正常运行的费用包括保养费和维修费两部分.每年的保养费用为1万元.该系统的维修费为：第一年万元，第二年万元，第三年2万元，…，依等差数列逐年递增.(1)求该系统使用n 年的总费用(包括购买设备的费用)；(2)求该系统使用多少年报废最合算(即该系统使用多少年平均费用最少).21．已知函数).(1)若,求当时函数的最小值;(2)当时,函数有最大值-3,求实数的值.22．(1)设x,y是正实数,且2x+y=4,求lg x+lg y的最大值.(2)若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a>1),求(a+1)(b+2)的最小值.△中，，，分别为角，，所对的边长，且．23．已知在ABC（1）求角的值；（2）若，求的取值范围．1．（2017山东理科）若，且，则下列不等式成立的是 A ． B ． C ． D ．2．（2015陕西理科）设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =<D ．p r q =>3．（2018天津理科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab+的最小值为 . 4．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．5．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 学*科*网∴当4,12x y ==时，()min 16x y +=.3．【答案】C【解析】224121x y y x +--=()()22(21)2211(1)211121x x y y y x -+-+-+-++≥-- ≥=8，当且仅当12121x x -=-，111y y -=-时等号成立.所以m .故选C ． 4．【答案】43【解析】由题意得：3﹣m ﹣2n =1，故m +2n =2， 即（m +1）+2n =3， 故1112m n ++=13（11m ++12n ）[（m +1）+2n ]=13（1+21n m ++12m n ++1）≥23=43， 当且仅当m +1=2n 时“=”成立，故填43．1．【答案】B当且仅当14x x =时取等号,此时12x =，故选B. 2．【答案】C【解析】当a ,b 都是负数时,A 不成立； 当a ,b 一正一负时,B 不成立； 当a =b 时,D 不成立， 因此只有选项C 是正确的. 3．【答案】B 【解析】∵，∴， ∴()()36922a a -++≤=，当且仅当，即时等号成立，∴（）的最大值为．故选B ． 学&【方法点睛】分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值. 5．【答案】B【解析】∵正实数a ，b 满足1a b +=，∴11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=,当且仅当12a b ==时取等号.故有最小值4，故A 不正确；由于212a b +=++=+≤,∴⩽,故有最大值，故B 正确；由基本不等式可得a +b =1⩾2,∴14ab ≤,故ab 有最大值14，故C 不正确； ∵()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=,故有最小值12，故D 不正确. 故选B.6．【答案】B7．【答案】D【解析】由9x +(4+a )·3x+4=0得4+a =943x x +-=-(3x +)≤--4,即a ≤-8, 当且仅当3x =2时等号成立.8．【答案】D 【解析】由题意可得21x a x ≥+恒成立． 由于211112x x x x=≤++（当且仅当1x =时取等号），故21x x +的最大值为12， 12a ∴≥，即a 的最小值为12，故选D ． 9．【答案】A【解析】∵x >1，y >1，∴22log 0,log 0x y >>，又∵2log x ，14，2log y 成等比数列，∴221log log 16x y =⨯，由基本不等式可得221log log 2x y +≥=， 当且仅当22log log x y =，即x y =时取等号， 故21log 2xy ≥，即xy ≥xy本题选择A 选项.10．【答案】D【解析】易知x ，y 均为正，设，共线，，，则，()141141419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4y x x y =，即24,33x y ==时等号成立. 则的最小值为，故选D ． 学&科*网11．【答案】C12．【答案】C【解析】由正弦定理及题中条件，可得，即.因为，所以.又，所以，所以，则，所以选C.13．【答案】D【解析】时，函数的值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，当且仅当时取“=”，则的最小值为，故选D ．14．【答案】B当且仅当取等号，故选B ．15．【答案】1【解析】∵x >0，∴2222()1112x f x x x x==≤=++， 当且仅当1x x=，即x =1时取等号．16．【答案】【解析】由题意可得()()g x f x =23212x x x++=311122x x ++≥1(当且仅当3122x x =,即x =).17．【答案】14【解析】2242642222244a a a a q q q q ⎛⎫+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭故答案为. 学&20．【解析】(1)设该系统使用年的总费用为依题意，每年的维修费成以为公差的等差数列，则年的维修费为则(2)设该系统使用的年平均费用为则()20.2280800.22210f n n n S n n n n ++===++≥=, 当且仅当即时等号成立.故该系统使用20年报废最合算.22．【解析】(1)因为x >0,y >0,所以由基本不等式得≥,因为2x+y =4,所以≤2,所以xy ≤2,当且仅当2x =y 时,等号成立,由242x y x y +=⎧⎨=⎩ ,解得12x y =⎧⎨=⎩, 所以当x =1,y =2时,xy 取得最大值2,所以lg x+lg y =lg(xy )≤lg 2,当且仅当x =1,y =2时,lg x+lg y 取得最大值lg 2.(2)因为ab-4a-b+1=0,所以b =,ab =4a+b-1.所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+×2+1=6a++1=6a+8++1=6(a-1)++15.因为a >1,所以a-1>0.所以原式=6(a-1)++15≥2+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a =2时等号成立.故所求最小值为27. 学#科#网1．【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B. 2．【答案】C【解析】p f ==，11(()())ln 22r f a f b ab =+==()0,+∞上单调递增，因为，所以，所以，故选C ．3．【答案】【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．4．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．5．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，。
2018年高考数学总复习不等式选讲
第三节不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式与其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法与数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式（当且仅当时取等号）①几何意义：②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：；；.有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .解析由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.变式1 不等式的解集是（）A. B. C. D.变式2 已知函数.（1）证明：；（2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.解析（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.(2)记，则，所以，因此，即的取值范围是.变式1 （2012新课标理24）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.变式 2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .变式 3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，，求的取值范围.三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 .解析不等式有解，则，故实数的取值范围是.变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 （2013福建理23）设不等式的解集为，且 .(1)求的值；(2)求函数的最小值.分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析（1）因为且，所以，且，解得.又，所以.(2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.变式1 设函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.变式 3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.例16.18 已知均为正实数，且，求证：.分析比较与的大小可通过作差法.解析.因为，，所以,,.故.所以.评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.变式 1 已知，且,. 求证：.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.（2）求并验证在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知，求证：.分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.解析原不等式等价于.令，.令，则，故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是成立.变式1 证明：当时，.三、综合法与分析法思路提示字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.1.综合法（由因到果）例16.20 证明：.分析观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.解析，，，故，即.评注类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.变式1 设，求证：.2.分析法（由果索因）例16.21 设，求证：.分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.解析要证明，只要证，即证.因为，所以.故原不等式成立.评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.变式1 若，且，求证：.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.分析假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.解析假设三式都大于，即，有①同理②③三式相加得，矛盾，故原命题成立.评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 已知正数满足，求证：.分析采用“添项”放缩法解析①同理②③①+②+③得.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：，所以.变式1 证明：.例16.24 求证：.分析采用“分母”放缩法证明.解析由题意，，则，.所以原不等式成立.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，即证明，只需证明，即. ①由，且，由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.当时，，三角形为直角三角形；当时，即，此时三角形为钝角三角形；当时，即，此时三角形为锐角三角形.六、三角换元法思路提示若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 设实数满足，，求证：.分析由，联想到三角换元.解析令，，.当，即时，取得最大值，证毕.评注三角换元在不等式证明以与求函数的最值、解析几何中参数的范围与最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.变式1 设，，求证：.七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数.（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.例16.27 设，，若，求证：.分析构造一次函数证明.解析即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.设,即证时，.而是关于的一次函数，且，，因此当时，成立，从而原不等式成立.评注本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.分析不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.解析，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，则.变式1 证明：.变式2 已知且，，求证：.例16.29 证明：当且时，有.分析本题通过构造辅助数列证明.解析构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.评注本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.例16.30 设，求证：.分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.解析如图16-34所示，构造正方形，设，则，则.变式 1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式与向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立图.证明设，由，得，又，即，，故等号成立即.2.一般形式的柯西不等式设与为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立.证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内积证法.令，，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.解析①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.②由①知，又，由柯西不等式得.变式 1 已知，，求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.解析由柯西不等式，.所以，所以.评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.变式1 已知,且，求证：.变式 2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（）A. B. C. D.2.设，则（）A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于3.若，，则的大小关系是（）A. B. C. D. 由的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（）A. B. C. D.5. 的最大值为（）A. B. C. D.6.若正数满足，则①的取值范围是；②的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，，数列满足，.（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.。
五年(2018-22)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题9 不等式(解析版)
【答案】【答案】A
【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．
【解析】由题意，可知： ， ， ，所以 ．故选A．
【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．
【题目栏目】不等式\不等式的性质及其应用\比较实数或代数式的大小
【题目来源】2019年高考天津文·第5题9．(2019年高考天津文·第2题)设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为( )
A．2B．3C．5D．6
【答案】【答案】C
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】由约束条件 作出可行域如图
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是 ．故选：B
【题目栏目】不等式\简单的线性规划问题\线性型目标函数的最值问题
【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷·第3题
7．(2019年高考浙江文理·第3题)若实数 ， 满足约束条件 则 的最大值是( )
二、多选题
12．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
解析：对于A， ，
当且仅当 时，等号成立，故A正确；对于B， ，所以 ，故B正确；
对于C， ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确； 故选：ABD
6．(2020年浙江省高考数学试卷·第3题)若实数x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的取值范围是( )
2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编(理科) 不等式选讲(精解精析版)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ ．解析：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a-<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c=324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】（1）()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图（2）依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．（2）()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由（1）知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a bab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b +-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b++-≥，即55()()4a b ab ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。
2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第3章第13课一元二次不等式及其解法Word版含答案
第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式ax2＋x－1>0一定是一元二次不等式．()(2)不等式x－2x＋1≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.()(3)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac ≤0.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]3．(教材改编)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．(－1,1) [令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意可知f (0)＝a 2－1<0，即－1<a <1.] 4．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.]5．(2017·宿迁模拟)已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13可知 ，a <0且－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝5.∴由x 2－5x ＋6<0得2<x <3.即不等式x 2－bx －a <0的解集为(2,3)．](1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练1] 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R ). 【导学号：62172074】 [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k2k＜x ＜1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0，即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ；若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0， 即⎩⎨⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 【导学号：62172075】[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.2．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(十三)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]2．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是________.【导学号：62172076】{a |0≤a ≤4} [由题意知a ＝0时，满足条件， a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.]3．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >－12，则实数a ＝________.－2 [不等式ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0，由题意可知x ＝－1及x ＝－12是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两个实数根，∴1a ＝－12，即a ＝－2.]4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.52[由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.]5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．[－1,4] [令f (x )＝x 2－2x ＋5，则f (x )＝(x －1)2＋4≥4， 由a 2－3a ≤4得－1≤a ≤4.]6．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________． [0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1， 由①②知0≤m <1.]7．(2016·苏北四市摸底考试)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由f (log 2x )<f (2)可得 －(log 2x )2＋2log 2x <－4＋4， ∴log 2x (2－log 2x )<0， ∴log 2x >2或log 2x <0， ∴x >4或0<x <1，即不等式f (log 2x )2<f (2)的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．]8．(2017·南京、盐城二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________. 【导学号：62172077】[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]9．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为________．{x |x <－ln 3} [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23，b ＝－1×13＝－13.∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13. 解得x <ln 13， ∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]10．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．b <－1或b >2 [由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则有a2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∵x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， 令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.] 二、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【导学号：62172078】[解] (1)由题意可知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立． ①当a ＝0时，符合题意， ②当a ≠0时，只需⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]． (2)∵f (x )min ＝22，∴ax 2＋2ax ＋1的最小值为12. 即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a 24a ＝12，a >0，解得a ＝12.∴不等式x 2－x －34<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <32.12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知命题∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] (1)由x 2－x －m ＝0可得m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.∵－1<x <1，∴－14≤m <2，∴M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪－14≤m <2. (2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ， ①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，a >1，即a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a <－14，即a <－14，2－a ≥2，③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不合题意．综上可得a <－14或a >94.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－2) [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·南通第一次学情检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋2.(1)若不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，求a 和b 的值；(2)若b ＝2a ＋1，对任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )>0恒成立，求x 的取值范围． [解] (1)因为不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2－bx ＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a ＝1，b ＝3.(2)令g (a )＝a ()x 2－2x －x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得x >2或x <1.故实数x 的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．4．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎨⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
2018年高考数学分类汇编：专题14不等式选讲
《2018年高考数学分类汇编》第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a3.【2018全国三卷23】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b+参考答案解答题1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解：（1）当时， 可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3.解：（1）的图像如图所示． 1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞U 13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．()y f x =y 233a ≥2b ≥()f x ax b ≤+[0,)+∞a b +5。