非线性系统分析

dx2 2 n x2 n2 x1 dx1 x2
系统的奇点(平衡点)满足
dx2 0 dx1 0
解得 x 0, x 0
1 2
为系统的奇点。
系统的特征根为
2 1， -1 2 n n
对于不同的阻尼比二阶系统的特征根不同，系统的时域响应由
特征根决定，而时域响应和响应的导数决定系统的相轨迹。
两边积分得： 双曲线方程
2 x x2 1 2 A A 第 1章 /引 论n
特征根为一对符号相反
的实根，响应依然单调
发散的，相轨迹是一族
双曲线，如图所示。这
时的奇点也是坐标原点，
称为鞍点。
相轨迹
第1 章 引 论
以上分析表明，二阶线性系统特征根在复 平面上位置不同时，时域响应的形式不同， 相轨迹的形状也完全不同。可见相轨迹的 形状与系统闭环极点的位置密切相关，与 奇点类型也密切相关。
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰
能力。
2．饱和特性
y
M
a
k
0
M
a
x
M y kx M
x a | x | a xa
饱和特性对系统性能的影响： （1）将使系统的开环增益有所降低，对系统的稳定性有 利； （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降。
条件，非线性系统的校正。
7.1 非线性系统概述 控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件 或环节时，此系统则为非线性系统。 7.1.1 非线性系统的特点 1．非线性系统的数学描述 2.系统的瞬态响应 3.系统的稳定性 4.系统的自持振荡（自激振荡） 5.多值响应和跳跃谐振
7.1.2非线性系统的分析和设计方法
2．分段线性近似法
将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对应
的线性化微分方程描述。 3．相平面法
相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平面
上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下 系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。 4．描述函数法 描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波线 性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率法 分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非线 性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。
M y M
（2）死区继电器特性
x0 x0
M y 0 M
x a x a xa
（3）回环继电器特性
x＜a M M x＞a y x＜－a M x＜－a M
（4）死区加回环继电器特性
0 M M y 0 M M a1 x a2 x a2 x a1 a2 x a1 x a1 x a2
1.相平面，相点和相轨迹
以 x 为横坐标，x 为纵坐标的平面称为相 平面，相应的分析法称为相平面法；
1 2
相平面上的点称为相点； 由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
第1 章 引 论
7.3.1 相平面的基本概念 设二阶非线性系统的微分方程为：
f ( x, x ) 0 x
若令 x1 x, x2 x
则二阶系统可写成两个一阶微分方程，即
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
dx2 f ( x1 , x2 ) dx1 x2
或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
第1 章 引 论
7.3.2 线性系统的相轨迹
线性二阶系统微分方程为:
2 n x n2 x 0 x
x1 x, x2 x
1 x2 x 2 x 2 x x 2 n 2 n 1
相轨迹的斜率方程为:
1 1 1 2 2 2 1 2
消去时间变量t，得到相轨迹的斜率方程
dx f (x , x ) dx f (x , x )
2 2 1 2 1 1 1 2
求解可得相轨迹方程，即
x g(x )
2 1
第1 章 引 论 表示相平面上的一条曲线，即相轨迹。
相轨迹的性质：
1.一般情况下，相轨迹不相交。相点 ( x , x ) 处的 斜率由 dx f (x , x )
非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统一 的求解方法，其理论也还不完善。由于非线性系统的特点， 线性系统的分析方法均不能采用。分析非线性系统工程上 常采用的方法有：
1．线性化近似法
对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研究平 衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线性系 统近似线性化。
1、无阻尼运动（=0）
此时系统特征根为一对共轭虚根，相轨迹方程
变为
2 dx nx dx x
对上式分离变量并积分，得
x x A 2 1 / n
2
第1 章 引 论 式中，A为由初始条件决定的积分常数。
2
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一
族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在
奇点称为稳定节点。
第1 章 引 论 过阻尼二阶线性系统的响应和相轨迹
4、负阻尼运动(<0)（系统不稳定，根据极点位
置分三种情况分别讨论） (l)-1＜＜0时,特征根 为S右半平面的共轭 复根,响应为振荡发
散,相轨迹是一族从
原点向外卷的对数螺 旋线,如图所示。 奇点为坐标原点,称 为不稳定焦点。
第1 章 引 论
第1 章 引 论
第1 章 引 论
7.3.3 二阶非线性系统的线性化
对于非线性系统，描述二阶非线性系统的微 分方程为
x f (x , x ) x f ( x , x )
1 1 1 2 2 2 1 2
1 f1 ( x10 , x20 ) 0 x 2 f 2 ( x10 , x20 ) 0 x
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
f (x , x ) x
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
x1 x x2 x
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x 第1 章 引 论
一般形式为
x f (x , x ) x f ( x , x )
原点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨
迹是一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
第1 章 引 论 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共
轭复根,系统的零输入解为
x ( t ) Ae
n t
sin (d t )
d 1 2 n
表示非线性系统的平衡点（奇点），它往往不止一个。
第1 章 引 论
对于非线性系统，奇点类型与相轨迹的类型仅
适用于奇点附近的区域。整个系统的相图就可
能由几个不同类型的相轨迹组成。
对于非线性系统奇点性质分析，采用小范围线
性化的方法。
有时从系统安全性的考虑，常常加入各种限幅装置，其
特性也属饱和特性。
3．间隙特性（回环特性）
y
b
a
k
0 a
x
bsign. y y K ( x asign y )
y0 y0


-b
间隙特性对系统的影响： 一般来说，间隙使系统输出相位滞后，降低了系统的稳 定裕量，控制系统的动态特性变坏，甚至使系统振荡； 间隙的存在使系统的稳态误差扩大，稳态特性变差。
第 7章
非线性系统分析
内容提要
严格地说，由于控制元件或多或少地带有 非线性特性，所以实际的自动控制系统都 是非线性系统。 本章主要介绍分析非线性系统的两种常用 方法：相平面法和描述函数法。
知识要点
非线性系统的特点，非线性系统的相平面 法分析---相轨迹、奇点、奇线、极限环， 非线性系统的描述函数法---描述函数的定 义、非线性环节的描述函数、自持振荡的
系统的分析提供了有效工具。
7.2 典型非线性特性 按非线性环节特性的形状可以将非线性环节划分为死 区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性等。
1.死区特性（不灵敏区） 死区特性的的数学描述为：
k
y
a
0 a
x
k ( x a ) y 0 k ( x a)
x a | x | a xa
1 2
2
dx
( x1 , x2 )

2
1
2
1
f (x , x )
1 1 2
( x1 , x2 )
唯一确定，不同条件下的相轨迹是不会相交。 2. 当某一相点 ( x10 , x20 ) 满足
1 f1 ( x10 , x20 ) 0 x 2 f 2第 (1x ,x ) 0 10 x 章 引 论 20
3、过阻尼运动（＞1）
系统特征根为两负实根,已知系统零输入解的 表达式为
x(t ) A1e
征根
1t
A2 e
2t
式中,A1,A2——初始条件决定的常数；1,2——特
第1 章 引 论
不同初始条件下系统的响应曲线如图所示。 相轨迹是一族汇聚到原点的抛物线，单调地趋
于平衡点(奇点)—坐标原点，如图所示。这种
0 x
0 x
0 x
0 x
7.3 相平面分析法 相平面法是庞加莱（Poincare）提出的，它是一种求 解二阶非线性微分方程组的图解法，它比较直观、准
确地反映系统的稳定性、平衡状态的特性、不同初始