南开中学九年级半期试题(附答案
南开中学初三试题答案
南开中学初三试题答案一、语文试题答案（一）阅读理解1. 文章主旨大意：本文通过讲述一位老师与学生之间的故事，强调了教育的影响力和学生自我成长的重要性。
2. 第一段的作用：开篇通过对比的方式，引出了文章的主题，即教育的力量。
3. 第二段中“春风化雨”的含义：比喻老师的教育方式细腻而富有温情，能够潜移默化地影响学生。
4. 文章中提到的“自我教育”的概念是指：学生通过自我反思和主动学习，不断提升自己的能力和素质。
5. 根据文章内容，作者认为教育的最终目的是：培养学生的自我教育能力，使其成为独立自主的个体。
（二）词语运用1. 根据上下文，第二段中“激励”的近义词是“鼓励”。
2. 第四段中“坚持不懈”的反义词是“半途而废”。
3. “卓有成效”的同义词是“成效显著”。
4. 根据语境，第五段中“探索”的同义词是“探究”。
5. “丰富多腔”一词中的“腔”字，在这里的意思是“种类”。
（三）作文题目：《我与南开共成长》我与南开共成长时光荏苒，转眼间我已在南开中学度过了三年的时光。
在这里，我不仅学到了知识，更学会了做人的道理，与南开一起成长，让我收获颇丰。
记得刚入学时，我还是一个懵懂的孩子，对一切都充满好奇。
南开中学以其深厚的文化底蕴和严谨的学术氛围，给了我一个全新的世界。
在这里，我遇到了一群优秀的老师，他们不仅传授给我知识，更用他们的人格魅力和教育智慧，影响和塑造着我。
在学习上，南开教会了我如何自主学习，如何批判性思考。
课堂上，老师们鼓励我们提出问题，引导我们自己去寻找答案。
这种教育方式让我逐渐养成了独立思考的习惯，也让我在学习中找到了乐趣。
在生活上，南开教会了我如何与人相处，如何做一个有责任感的人。
学校组织的各种活动，让我有机会与不同的人交流合作，学会了团队协作的重要性。
同时，通过参与社区服务等活动，我学会了关爱他人，体会到了助人为乐的快乐。
在南开的三年里，我也在不断地挑战自我，参加各种竞赛和活动，锻炼自己的能力。
重庆市南开中学2019届九年级上学期半期考试数学试题含答案
重庆市南岸区南开（融侨）中学2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.-2的相反数是（）A. 2B. −2C. 12D. −122.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. a>bB. |a|<|b|C. a+b<0D. a<−b4.下列计算正确的是（）A. √5+√2=√7B. 7m−4m=3C. a5⋅a3=a8D. (13a3)2=19a95.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 对国庆期间来渝游客满意度的调查B. 对我校某班学生数学作业量的调查C. 对全国中学生手机使用时间情况的调查D. 环保部门对嘉陵江水质情况的调查6.不等式组{3x2＜x+15−2(x+2)≤3的解集为（）A. −1≤x<2B. −1<x<2C. x≤−1D. x<27.如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A. 28∘B. 29∘C. 30∘D. 32∘8.市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（）A.2400x +5=2400(1+20%)xB. 2400x=2400(1−20%)x−5C. 2400x −5=2400(1+20%)xD. 2400x=2400(1−20%)x+59.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G．延长AB至E，使BE=14AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）A. 45B. 1 C. 32D. 210.如图，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C的坐标是（3，3），则k的值为（）A. 3B. −32C. −94D. −311.Surface平板电脑（如图①）因体积小功能强备受好评，将Surface水平放置时，侧面示意图如图②所示，其中点M为屏幕AB的中点，支架CM可绕点M转动，当AB的坡度i=√3时，B点恰好位于C点的正上方，此时一束与水平面成37°的太阳光刚好经过B，D两点，已知CM长12cm，则AD的长（）cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A. 16√3B. 16√3−12C. 12√3−12D. 2012.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）A. ①⑤B. ②④C. ②③④D. ②③⑤二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.写一个比√2大的无理数______．14.计算：3tan45°+√−273+3-2=______．15.周末，爸爸带亮亮到璧山枫香湖儿童公园游玩，游乐区内有红、紫、黄三种颜色的攀爬网和蓝、绿两种颜色的组合木层，由于时间关系，爸爸要求亮亮只能在三种举爬网和两种组合木层中各选一种游玩，那么亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是______．16. 如图，将二次函数y =-（x -2）2+4（x ≤4）的图象沿直线x =4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M ，若直线y =b 和图象M 有四个交点，结合图象可知，b 的取值范围是______．17. 甲骑自行车从A 地到B 地，甲出发1分钟后乙骑平衡车从A 地沿同一条路线追甲，追上甲时，平衡车电量刚好耗尽，乙立即手推平衡车返回A 地，速度变为原速度的13，甲继续向B 地骑行，结果甲、乙同时到达各自的目的地并停止行进，整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的部分关系如图所示，则A ，B 两地相距的路程为______米．18. 某公司有A ，B ，C 三种货车若干辆，A ，B ，C 每辆货车的日运货量之比为1：2：3，为应对双11物流高峰，该公司重新调配了这三种货车的数量，调配后，B 货车数量增加一倍，A ，C 货车数量各减少50%，三种货车日运货总量增加25%，按调配后的运力，三种货车在本地运完一堆货物需要t 天，但A ，C 两种货车运了若干天后全部被派往外地执行其它任务，剩下的货物由B 货车运完，运输总时间比原计划多了4天，且B 货车运输时间刚好为A ，C 两种货车在本地运输时间的6倍，则B 货车共运了______天．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）19. 先化简，再求值：（x 2-4x +4）•（1x+2+4x 2−4），其中x =2sin45°．20.近期，第八届“重庆车博会“在会展中心盛大开幕，某汽车公司推出降价促销活动，销售员小王提前做了市场调查，发现车辆的销量y（辆）与售价（万元/辆）存在如下表所示的一次函数关系：售价x（万元/辆）…2019.819.619.419.219…销量y（辆）…5678910…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每辆车的成本为11万元，在每辆车售价不低于15万元的前提下，每辆车的售价定为多少万元时，汽车公司获得的总利润W（万元）有最大值？最大值是多少？四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）21.如图是小西设计的“作已知角∠AOB的平分线”的尺规作图过程：①在射线OB上取一点C；②以点O为圆心，OC长为半径作弧，交射线OA于点D；③分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线OE．则射线OE即为∠AOB的角平分线．请观察图形回答下列问题：（1）由步骤②知，线段OC，OD的数量关系是______；连接DE，CE，线段CO，CE的数量关系是______；（2）在（1）的条件下，若∠EOC=25°，求∠ECB的度数．22.在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区---区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）【收集数据】连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：区域A0 1 3 4 5 6 6 6 7 88 9 11 14 15 15 17 23 25 30区域B 1 1 3 4 6 6 8 9 11 1214 15 16 16 16 17 22 25 26 35【整理、描述数据】（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：海豚数x0≤x≤78≤x≤1415≤x≤2122≤x≤2829≤x≤35区域A953______ ______区域B65531（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示观测点极差平均数中位数众数区域A a10.65b c区域B3413.151316请填空：上表中，极差a=______，中位数b=______，众数c=______；（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？（k≠0）23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点B的横坐标为-3．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接AO，求△AOC的面积；（3）在△AOC内（不含边界），整点（横纵坐标都为整数的点）共有______个．24.如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE于点K，且KE=DE．（1）若AB=13，且cos D=513，求线段EF的长；（2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=√2EG．25.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：平面直角坐标系中，对点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算：A⊗B=x1x2+y1y2．例如：若A（1，2），B（3，4），则A⊗B=1×3+2×4=11材料二：平面直角坐标系中，过横坐标不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线的斜率为k AB=y1−y2x1−x2．由此可以发现若k AB=y1−y2x1−x2=1，则有y1-y2=x1-x2，即x1-y1=x2-y2．反之，若x1，x2，y1，y2满足关系式x1-y1=x2-y2，则有y1-y2=x1-x2，那么k AB=y1−y2x1−x2═1．（1）已知点M（-4，6），N（3，2），则M⊗N=______，若点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，那么k AB=______；（2）横坐标互不相同的三个点C，D，E满足C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y 轴，交直线CE于点F，若DF=8，请结合图象，求直线CE与坐标轴围成的三角形的面积．x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12析式为y=-x+6．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；（3）在（2）中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】B12.【答案】D13.【答案】√3【解析】解：故答案为：（答案不确定，比大就行）根据实数的大小比较即可求出答案．本题考查实数比较，解题的关键是熟练进行实数比较大小，本题属于基础题型．14.【答案】19【解析】解：原式=3×1+（-3）+=3-3+=，故答案为：．将特殊锐角三角函数值代入、计算立方根和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值、立方根的定义和负整数指数幂．15.【答案】16【解析】解：由题意可得，选择的所有可能性是：（红，蓝），（红，绿），（紫，蓝），（紫，绿），（黄，蓝），（黄，绿），故亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是，故答案为：．根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率．本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．16.【答案】0＜b＜4【解析】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4）当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．故答案为0＜b＜4．利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17.【答案】2040【解析】解：由图可知，甲骑自行车的速度为120米/分．设乙的速度为v米/分，则有（3.5-1）（v-120）=120-45，解得v=150．设乙用x分钟追上了甲，则有（150-120）x=120，解得x=4．乙追上甲行驶的路程为：150×4=600（米），乙返回的速度为150×=50（米/分），乙返回的时间：=12（分），A，B两地相距的路程为120×（1+4+12）=2040（米）．故答案为2040．根据题意，可知甲出发1分钟后甲、乙两人相距120米，由此求出甲骑自行车的速度为120米/分．再根据甲出发3.5分钟时，两人相距45米，求出乙的速度，然后求出乙追上甲的时间，乙返回的时间，进而求出A，B两地相距的路程．本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间的关系，以及追击问题的相等关系．求出甲的速度是本题的突破口，得到乙的速度是本题的关键．18.【答案】24【解析】解：根据比例设A，B，C每辆货车的日运货量为m，2m，3m，调配前A，B，C三种货车分别为a 辆，b辆，c辆，则调配后A，C类货车分别为0.5a辆，0.5c辆，B类货车为2b辆，依题意，得：（am+2bm+3cm）（1+25%）=0.5am+2b×2m+0.5c×3m，①t（0.5am+2b×2m+0.5c×3m）=（t+4）×（2b×2m）+（0.5am+0.5c×3m）×②由①，得0.5a+1.5c=b，代入②，5bt=4b（t+4）+b×，解得t=20，∴t+4=24．故填24．设出调配前A，B，C三种货车的辆数以及每辆货车的日运货量，再根据题目的条件列出关系式求解即可得出答案．本题考查列代数式．用字母表示出A，B，C每辆货车的辆数以及日货运量来建立等量关系是解题的关键．19.【答案】解：原式=（x -2）2•[x−2(x+2)(x−2)+4(x+2)(x−2)]=（x -2）2•x+2(x+2)(x−2)=x -2，当x =2sin45°=2×√22=√2时， 原式=√2-2．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.【答案】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式：将（20，5），（19，10）代入，得：{19k +b =1020k+b=5，解得：{b =105k=−5，则y =-5x +105；（2）根据题意知，W =（x -11）y=（-5x +105）（x -11）=-5x 2+160x -1155=-5（x -16）2+125，∵x ≥15，∴当x =16时，W 取得最大值，最大值为125，答：每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W 有最大值，最大值是125万元．【解析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=（售价-进价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握熟练掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质．21.【答案】OD =OC OC =CE【解析】解：（1）由作图可知：OD=OC，DE=CE，故答案为：OC=OD，OC=CE．（2）∵CO=CE，∴∠COE=∠CEO=25°，∴∠ECB=∠COE+∠CEO=50°．（1）利用基本作图，可得结论；（2）利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．22.【答案】2 1 30 8 6【解析】解：（1）由收集数据中的数据可得，22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，故答案为：2，1；（2）由收集数据中的数据可得，a=30-0=30，b=8，c=6，故答案为：30，8，6；（3）200×=30（天），答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；（3）根据表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．本题考查极差、用样本估计总体、算术平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数、极差．23.【答案】4【解析】解：（1）∵点B在直线y=2x+4上，点B的横坐标为-3，∴B（-3，-2），∵点B在y=上，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得或，∴A（1，6），∵C（-2，0），∴S△AOC=×2×6=6．（3）如图，观察图象可知：在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个，故答案为4．（1）利用待定系数法求出点B坐标即可解决问题；（2）利用方程组求出点A坐标，根据三角形的面积公式计算即可；（3）在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个；本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=13，∵CE⊥AD，FH⊥CD，∴∠FHC=∠CED=90°，在Rt△CDE中，∵cos D=DECD =513，∴DE=5，∴CE=√CD2−DE2=12，∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE，∴∠EFK=∠ECD，∵EK=DE，∴△FEK≌△CED（AAS），∴EF=CE=12．（2）证明：如图，作EM⊥AC于M，EN⊥CF交CF的延长线于N，连接CF．∵FG⊥AC，CE⊥AD，∴∠FGC=∠FEC=90°，∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴∠FGC+∠FEC=90°，∴E，F，G，C四点共圆，∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°，∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG，∴△EGN≌△EGM（AAS），∴EN=EM，∵CN=GM，EF=EM，∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），∴FN=CM，∴FC+FG=GM+CM+GN-FN=2GM=√2EG．【解析】（1）首先解直角三角形求出EC，再证明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解决问题；（2）如图，作EM⊥AC于M，EN⊥CF交CF的延长线于N，连接CF．想办法证明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵CN=GM，EF=EM，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出FC+FG=GM+CM+GN-FN=2GM=EG；本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】0 -1【解析】解：（1）根据新的运算，M⊗N=-4×3+6×2=0；∵点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，∴y1-y2=-（x1-x2），∴k AB===-1；故答案为0，-1；（2）设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1=2x2+2y2，即x1+y1=x2+y2，由（1）可知：直线CE的斜率为k CE=-1，如图所示，则直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∵DF=8，∴围成的三角形的直角边的长为4或12，∴直线CE与坐标轴围成的三角形的面积为8或72．（1）根据材料一和材料二计算即可；（2）由C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），得出x1+y1=x2+y2，即可得出直线CE的斜率为k CE=-1，从而得出直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，然后根据图象即可求得．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式．26.【答案】解：（1）直线BC 的解析式为y =-x +6，则B （6，0）、C （0，6），把点B 、C 坐标代入二次函数表达式，解得：y =-12x 2+2x +6， 此时，顶点坐标为（2，8），A （-2，0）； （2）设M 横坐标为t ，则M 到直线BC 的距离为d =t−12t 2+2t+6−6√1+1=√22（-12t 2+3t ）， ∴当t =3时，d 最大，则M （3，152），点B 关于对称轴的对称点为A ，则AM 为MN +NB 的最小值，AM =√(3+2)2+(152)2=5√132； ∴点M 的坐标及MN +NB 的最小值分别为：（3，152），5√132； （3）OM 所在直线方程为：y =52x ， 当抛物线沿OM 直线平移时，设顶点向右平移2m ，则向上平移了5m ，新顶点坐标为（2+2m ，8+5m ）， 则y ′=-12（x -2-2m ）2+（8+5m ），把点M （3，152）代入上式，解得：m =72，（m =0舍去），则H （9，0），△BOE 绕点B 逆时针旋转60°至△BO 1E 1，此时，直线BO 1的k 值为√3，再将△BO 1E 1沿着直线O 1H 平移，得到△B 1O 2E 2，直线B 1H 的k 也为√3，则B 1H 所在的直线方程为：y =√3x -9√3，①假设：平行四边形处于CF ′HB ′1位置时，该四边形为菱形，则B ′1的y 坐标为6，则其x 坐标为9+2√3，而B′1C=9+2√3，B′1H=4√3，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH=18．故：存在，此时，点B1的横坐标为18．【解析】（1）直线BC的解析式为y=-x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y=-x2+2x+6；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d==（-t2+3t）；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；（3）OM所在直线方程为：y=x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′=-（x-2-2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m=，则H（9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C=9+2，B′1H=4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH=18．本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．。
九年级数学上册重庆市南开中学届九年级上学期半期考试数学试题(解析版)(北师大版)
重庆市南岸区南开（融侨）中学2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.-2的相反数是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数求解即可.【详解】的相反数是2.故选A.【点睛】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.2.下列图形中是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念判断．【详解】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．【点睛】考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A. a＞bB. |a|＜|b|C. a+b＜0D. a＜﹣b【答案】B【解析】【分析】根据数轴上点的位可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后对每个选项进行判断即可.【详解】解：由图可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a＜b，|a|＜|b|，a+b＞0，a＞﹣b．故选：B．【点睛】本题考点：实数与数轴.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：A、无法计算，故此选项错误；B、7m-4m=3m，故此选项错误；C、a5•a3=a8，正确；D、（a3）2=a6，故此选项错误；故选：C．【点睛】考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A. 对国庆期间来渝游客满意度的调查B. 对我校某班学生数学作业量的调查C. 对全国中学生手机使用时间情况的调查D. 环保部门对嘉陵江水质情况的调查【答案】B【解析】【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A．对国庆期间来渝游客满意度的调查适合抽样调查，不符合题意；B．对我校某班学生数学作业量的调查适合全面调查，符合题意；C．对全国中学生手机使用时间情况的调查适合抽样调查，不符合题意；D．环保部门对嘉陵江水质情况的调查适合抽样调查，不符合题意；故选：B．【点睛】考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6.不等式组的解集为（）A. ﹣1≤x＜2B. ﹣1＜x＜2C. x≤﹣1D. x＜2【答案】A【解析】【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分即可.【详解】由①得：x<2，由②得：故不等式组的解集为：.故选：A.【点睛】考查解一元一次不等式组，首先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组的解集规律：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，确定不等式组的解集7.如图，已知AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG的度数为（）A. 28°B. 29°C. 30°D. 32°【答案】A【解析】【分析】由平行线内错角相等可得∠BEG=∠FHE，再由三角形外角和定理可求解∠HFG的度数.【详解】解：由AB∥CD可得∠BEG=∠FHE=58°，再由三角形外角和定理可得∠HFG=∠FHE-∠G=58°-30°=28°，故选择A.【点睛】本题考查了平行线中的内错角相等.8.市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设计划每天绿化xm2，根据“结果提前5天完成任务”列出方程．【详解】解：设计划每天绿化xm2，则实际每天绿化的面积为（1+20%）xm2，则根据意可列方程：．故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，根据关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G．延长AB至E，使BE=AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由OG∥BC可知即可求解．【详解】解：∵OG∥BC，∴，其中：OG=BC=3，BE=AB=2，GE=BG+BE=6解得：BF=1，故选：B．【点睛】考查的是矩形性质，涉及到平行线分线段成比例，是一道基本题．10.如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C 的坐标是（3，3），则k的值为（）A. 3B. ﹣C. ﹣D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】由对称性可知：OA＝OB，由△ABC是等边三角形得三线合一知，OC⊥AB，再根据C点坐标，求出OC,OB 的长，即可求出B点坐标，再代入即可求出k值.【详解】解：由对称性可知：OA＝OB，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵C（3，3），∴OC＝3，∴OB＝OC＝，∴B（，﹣），把B点坐标代入y＝，得到k＝﹣3，故选：D．【点睛】此题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是利用反比例函数的对称性与等边三角形的三线合一.11.Surface平板电脑（如图①）因体积小功能强备受好评，将Surface水平放置时，侧面示意图如图②所示，其中点M为屏幕AB的中点，支架CM可绕点M转动，当AB的坡度i=时，B点恰好位于C点的正上方，此时一束与水平面成37°的太阳光刚好经过B，D两点，已知CM长12cm，则AD的长（）cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A. B. C. D. 20【答案】B【解析】【分析】在Rt△ABC中，解直角三角形求出BC，AC，再在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题；【详解】解：在Rt△ACB中，∵AM=BM，CM=12cm，∴AB=2CM=24cm，∵BC：AC=，设AC=x，则BC=x，则有（x）2+x2=242，∴x=12，BC=12，在Rt△BCD中，CD=，∴AD=CD-AC=16-12，故选：B．【点睛】考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A （x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确．【详解】解：①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；故选：D．【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y的值．二、填空13.写一个比大的无理数______．【答案】【解析】【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．【详解】解：因为3〉2，所以〉.故答案为：（答案不确定，比大就行）【点睛】考查实数比较，解题的关键是熟练掌握实数比较大小，本题属于基础题型．14.计算：3tan45°++3﹣2=_____．【答案】【解析】【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】原式=3×1+（﹣3）+=3﹣3+=故答案是：．【点睛】考查了实数运算，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．15.周末，爸爸带亮亮到璧山枫香湖儿童公园游玩，游乐区内有红、紫、黄三种颜色的攀爬网和蓝、绿两种颜色的组合木层，由于时间关系，爸爸要求亮亮只能在三种举爬网和两种组合木层中各选一种游玩，那么亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据题意可以写出所有的可能性，从而可以得到亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率．【详解】解：由题意可得，选择的所有可能性是：（红，蓝），（红，绿），（紫，蓝），（紫，绿），（黄，蓝），（黄，绿），故亮亮选择红色攀爬网和绿色组合木层的概率是，故答案为：.【点睛】考查列举法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．16.如图，将二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折，翻折前后的图象组成一个新图象M，若直线y=b和图象M有四个交点，结合图象可知，b的取值范围是______．【答案】0＜b＜4．【解析】【分析】利用折叠的性质确定翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4），再求出抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）和抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），从而利用函数图象得到当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．【详解】解：二次函数y=-（x-2）2+4（x≤4）的图象沿直线x=4翻折所得抛物线解析式为y=-（x-6）2+4（x≥4）当y=0时，y=-（x-2）2+4=0，解得x1=0，x2=4，则抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），抛物线y=-（x-2）2+4与x轴的交点坐标为（8，0），（4，0），所以当0＜b＜4时，直线y=b和图象M有四个交点．故答案是：0＜b＜4．【点睛】考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17.甲骑自行车从A地到B地，甲出发1分钟后乙骑平衡车从A地沿同一条路线追甲，追上甲时，平衡车电量刚好耗尽，乙立即手推平衡车返回A地，速度变为原速度的，甲继续向B地骑行，结果甲、乙同时到达各自的目的地并停止行进，整个过程中，两人均保持各自的速度匀速行驶，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分关系如图所示，则A，B两地相距的路程为______米．【答案】2040【解析】【分析】根据题意，可知甲出发1分钟后甲、乙两人相距120米，由此求出甲骑自行车的速度为120米/分．再根据甲出发3.5分钟时，两人相距45米，求出乙的速度，然后求出乙追上甲的时间，乙返回的时间，进而求出A，B两地相距的路程．【详解】解：由图可知，甲骑自行车的速度为120米/分．设乙的速度为v米/分，则有（3.5-1）（v-120）=120-45，解得v=150．设乙用x分钟追上了甲，则有（150-120）x=120，解得x=4．乙追上甲行驶的路程为：150×4=600（米），乙返回的速度为150×=50（米/分），乙返回的时间：=12（分），A，B两地相距的路程为120×（1+4+12）=2040（米）．故答案是：2040．【点睛】考查了一次函数的应用，路程、速度与时间的关系，以及追击问题的相等关系．求出甲的速度是本题的突破口，得到乙的速度是本题的关键．18.某公司有A，B，C三种货车若干辆，A，B，C每辆货车的日运货量之比为1：2：3，为应对双11物流高峰，该公司重新调配了这三种货车的数量，调配后，B货车数量增加一倍，A，C货车数量各减少50%，三种货车日运货总量增加25%，按调配后的运力，三种货车在本地运完一堆货物需要t天，但A，C两种货车运了若干天后全部被派往外地执行其它任务，剩下的货物由B货车运完，运输总时间比原计划多了4天，且B货车运输时间刚好为A，C两种货车在本地运输时间的6倍，则B货车共运了______天．【答案】24【解析】【分析】设出调配前A，B，C三种货车的辆数以及每辆货车的日运货量，再根据题目的条件列出关系式求解即可得出答案．【详解】解：根据比例设A，B，C每辆货车的日运货量为m，2m，3m，调配前A，B，C三种货车分别为a辆，b辆，c辆，则调配后A，C类货车分别为0.5a辆，0.5c辆，B类货车为2b辆，依题意，得：（am+2bm+3cm）（1+25%）=0.5am+2b×2m+0.5c×3m，①t（0.5am+2b×2m+0.5c×3m）=（t+4）×（2b×2m）+（0.5am+0.5c×3m）×②由①，得0.5a+1.5c=b，代入②，5bt=4b（t+4）+b×，解得t=20，∴t+4=24．故答案是：24．【点睛】考查列代数式．用字母表示出A，B，C每辆货车的辆数以及日货运量来建立等量关系是解题的关键．三、计算题19.先化简，再求值：（x2-4x+4）•（+），其中x=2sin45°．【答案】-2【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再代入原式进行计算即可．【详解】解：原式=（x-2）2•[+]=（x-2）2•=x-2，当x=2sin45°=2×=时，原式=-2．【点睛】考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.近期，第八届“重庆车博会“在会展中心盛大开幕，某汽车公司推出降价促销活动，销售员小王提前做了市场调查，发现车辆的销量y（辆）与售价（万元/辆）存在如下表所示的一次函数关系：售价x（万元/辆）…20 19.8 19.6 19.4 19.2 19 …销量y（辆）… 5 6 7 8 9 10 …（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每辆车的成本为11万元，在每辆车售价不低于15万元的前提下，每辆车的售价定为多少万元时，汽车公司获得的总利润W（万元）有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=-5x+105；（2）每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W有最大值，最大值是125万元．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=（售价-进价）×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式：将（20，5），（19，10）代入，得：y=kx+b，，解得：，则y=-5x+105；（2）根据题意知，W=（x-11）y=（-5x+105）（x-11）=-5x2+160x-1155=-5（x-16）2+125，∵x≥15，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为125，答：每辆车的售价定为16万元时，汽车公司获得的总利润W有最大值，最大值是125万元．【点睛】考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，理解题意找到蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式．21.如图是小西设计的“作已知角∠AOB的平分线”的尺规作图过程：①在射线OB上取一点C；②以点O为圆心，OC长为半径作弧，交射线OA于点D；③分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线OE．则射线OE即为∠AOB的角平分线．请观察图形回答下列问题：（1）由步骤②知，线段OC，OD的数量关系是______；连接DE，CE，线段CO，CE的数量关系是______；（2）在（1）的条件下，若∠EOC=25°，求∠ECB的度数．【答案】（1）OC=OD，CO=CE．（2）50°．【解析】【分析】（1）利用基本作图，可得结论；（2）利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；【详解】解：（1）由作图可知：OD=OC，CO=CE，故答案为：OC=OD，CO=CE．（2）∵CO=CE，∴∠COE=∠CEO=25°，∴∠ECB=∠COE+∠CEO=50°．【点睛】考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．22.在建设港珠澳大桥期间，大桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区---区域A或区域B．为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A，B两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请补充完整．（单位：头）【收集数据】连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A，区域B出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：区域A0 1 3 4 5 6 6 6 7 8 8 9 11 14 15 15 17 23 25 30B 1 1 3 4 6 6 8 9 11 12 14 15 16 16 16 17 22 25 26 35【整理、描述数据】（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：海豚数x 0≤x≤78≤x≤1415≤x≤2122≤x≤2829≤x≤35区域A 9 5 3 ______ ______区域B 6 5 5 3 1（2）两组数据的极差、平均数、中位数，众数如下表所示观测点极差平均数中位数众数区域A a 10.65 b c区域B 34 13.15 13 16请填空：上表中，极差a=______，中位数b=______，众数c=______；（3）规划者们选择了区域A为大桥的必经地，为减少施工对白海豚的影响，合理安排施工时间，估计在接下来的200天施工期内，区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内？【答案】（1）2，1；（2）30，8，6；（3）22≤x≤35.【解析】【分析】（1）根据题目中的数据，可以将表格补充完整；（2）根据题目中的数据可以分别求得a、b、c的值；（3）根据样本估计整体，集合表格中的数据可以求得区域A大约有多少天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．【详解】解：（1）由收集数据中的数据可得，22≤x≤28时，中华白海豚在区域A出现的数目为：2，29≤x≤35时，中华白海豚在区域A出现的数目为：1，故答案为：2，1；（2）由收集数据中的数据可得，a=30-0=30，b=8，c=6，故答案为：30，8，6；（3）200×=30（天），答：区域A大约有30天中华白海豚出现的数目在22≤x≤35的范围内．【点睛】考查极差、用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的中位数、众数、极差．23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且点B的横坐标为-3．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接AO，求△AOC的面积；（3）在△AOC内（不含边界），整点（横纵坐标都为整数的点）共有______个．【答案】（1）；（2）6；（3）4.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出点B坐标即可解决问题；（2）利用方程组求出点A坐标，根据三角形的面积公式计算即可；（3）在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个；【详解】解：（1）∵点B在直线y=2x+4上，点B的横坐标为-3，∴B（-3，-2），∵点B在y=上，∴k=6，∴反比例函数的解析式为y=．（2）由，解得或，∴A（1，6），∵C（-2，0），∴S△AOC=×2×6=6．（3）如图，观察图象可知：在△AOC内部的整数点有：（-1，1），（0，1），（0，2），（0，3）共有4个，故答案为4．【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.如图1，在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥AD于点E，过AE上一点F作FH⊥CD于点H，交CE 于点K，且KE=DE．（1）若AB=13，且cos D=，求线段EF的长；（2）如图2，连接AC，过F作FG⊥AC于点G，连接EG，求证：CG+GF=EG．【答案】（1）12；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）首先解直角三角形求出EC，再证明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解决问题；（2）如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．证明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵GN=GM，EF=EC，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=13，∵CE⊥AD，FH⊥CD，∴∠FHC=∠CED=90°，在Rt△CDE中，∵cos D==，∴DE=5，∴CE==12，∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE，∴∠EFK=∠ECD，∵EK=DE，∴△FEK≌△CED（AAS），∴EF=CE=12．（2）证明：如图，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延长线于N，连接CF．∵FG⊥AC，CE⊥AD，∴∠FGC=∠FEC=90°，∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴∠FGC+∠FEC=90°，∴E，F，G，C四点共圆，∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°，∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG，∴△EGN≌△EGM（AAS），∴EN=EM，∵GM=GN，EF=EC，∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），∴FN=CM，∴CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG．【点睛】考查平行四边形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：平面直角坐标系中，对点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算：A⊗B=x1x2+y1y2．例如：若A（1，2），B（3，4），则A⊗B=1×3+2×4=11材料二：平面直角坐标系中，过横坐标不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）的直线的斜率为k AB=．由此可以发现若k AB==1，则有y1-y2=x1-x2，即x1-y1=x2-y2．反之，若x1，x2，y1，y2满足关系式x1-y1=x2-y2，则有y1-y2=x1-x2，那么k AB=═1．（1）已知点M（-4，6），N（3，2），则M⊗N=______，若点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，那么k AB=______；（2）横坐标互不相同的三个点C，D，E满足C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），过点D作DF∥y轴，交直线CE于点F，若DF=8，请结合图象，求直线CE与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】（1）0，-1；（2）8或72．【解析】【分析】（1）根据材料一和材料二计算即可；（2）由C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），得出x1+y1=x2+y2，即可得出直线CE的斜率为k CE=-1，从而得出直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，然后根据图象即可求得．【详解】解：（1）根据新的运算，M⊗N=-4×3+6×2=0；∵点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），且满足关系式x1+y1=x2+y2，∴y1-y2=-（x1-x2），∴k AB==-1；故答案为0，-1；（2）设点C，E的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2），∵C⊗D=D⊗E，且D点的坐标为（2，2），∴2x1+2y1=2x2+2y2，即x1+y1=x2+y2，由（1）可知：直线CE的斜率为k CE=-1，如图所示，则直线CE与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，∵DF=8，∴围成的三角形的直角边的长为4或12，∴直线CE与坐标轴围成的三角形的面积为8或72．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标符合解析式．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；(3)在(2)中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B1，F 为顶点的四边形是以B1H为边的菱形．若存在，直接写出点B1的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+6；(2)点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)存在，此时，点B1的横坐标为18．【解析】【分析】（1）直线BC的解析式为y=-x+6，则B（6，0）、C（0，6），把B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y=-x2+2x+6；（2）设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d==；点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，即可求解；（3）OM所在直线方程为：y=x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′=-（x-2-2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m=，则H（9，0）．①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x 坐标为9+2，而B′1C=9+2，B′1H=4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH=18．【详解】(1)直线BC的解析式为y＝﹣x+6，则B（6，0）、C（0，6），把点B、C坐标代入二次函数表达式，解得：y＝﹣x2+2x+6，此时，顶点坐标为（2，8），A（﹣2，0）；(2)设M横坐标为t，则M到直线BC的距离为d＝＝，∴当t＝3时，d最大，则M（3，），点B关于对称轴的对称点为A，则AM为MN+NB的最小值，AM＝＝；∴点M的坐标及MN+NB的最小值分别为：（3，），；(3)OM所在直线方程为：y＝x，当抛物线沿OM直线平移时，设顶点向右平移2m，则向上平移了5m，新顶点坐标为（2+2m，8+5m），则y′＝﹣（x﹣2﹣2m）2+（8+5m），把点M（3，）代入上式，解得：m＝，（m＝0舍去），则H（9，0），△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO1E1，此时，直线BO1的k值为，再将△BO1E1沿着直线O1H平移，得到△B1O2E2，直线B1H的k也为，则B1H所在的直线方程为：y＝x﹣9，①假设：平行四边形处于CF′HB′1位置时，该四边形为菱形，则B′1的y坐标为6，则其x坐标为9+2，而B′1C＝9+2，B′1H＝4，即：B′1C≠B′1H，CF′HB′1不是菱形；②假设：平行四边形处于CHB1F位置时，该四边形为菱形，则B1的横坐标为2OH＝18．故：存在，此时，点B1的横坐标为18．【点睛】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．。
重庆南开中学2024年九年级上学期9月月考模拟数学试卷+答案
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b23．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：35．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间8．（4分）①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．729．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝．故选：B．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，故选：D．5．（4）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；故选：A．6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．故选：D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：A．8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．72【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，第二个图形有8+7＝15个正方形，第三个图形有8+7×2＝22个正方形，…第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．故选：C．9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，∵∠DTE＝∠FTA，∴∠1＝∠2，在△DME和△FNE中，，∴△DME≌△FNE（AAS），∴EM＝EN，∴AE平分∠DAN，∴∠EAD＝45°，∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝∠2＝45°﹣α，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．故选：D．10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，结果不含与e相关的项，∴①正确；②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，共有12种不同的结果，∴②错误；③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，∴③正确，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是30° ．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为142° ．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．故答案为：142°．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于5．【解答】解：根据题意得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，所以3a2+2b2﹣3a﹣2b＝3a2﹣3a+2b2﹣2b＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）＝3+2＝5．故填515．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝8．【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，），∴OD＝1，B′D＝，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，∴A（4，2），∴k＝4×2＝8．故答案为：8．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：，解得：，∴，解得2＜a≤5.5，解分式方程得y＝2a﹣5，∵y的值解为正数，∵2a﹣5＞0，且2a﹣5≠3，∵a＞2.5且a≠4，∴满足条件的整数a的值有3和5，∴3+5＝8．故答案为：8．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，，∴，∴CF＝BC﹣BF＝4，在Rt△ABF，由勾股定理得，∴，∵∠BAF+∠BF A＝90°＝∠BF A+∠CFE，∴∠BAF＝∠CFE，∴在Rt△EFC中，，∴，故答案为：3．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝5；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是2222．【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．＝，＝，＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，＝11（a﹣c）﹣1，∵F（M）能被6整除，∴a﹣c＝5．∵c≥1，∴a≥6．当a＝6时，c＝1．∵a﹣c＝b﹣d+1，∴d＝b﹣4．∴，∵G（M）为完全平方数，∴b＝3．∴d＝﹣1（舍去）．同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；当a＝8时，c＝3，M＝8531；当a＝9时，c＝4，M＝9642；∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．故答案为：5；2222．三．解答题（共8小题，满分78分）（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；（2）＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2移项得x2﹣2x＝2，配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，开方得，解得；；（2），去分母，得m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验，m＝1是原方程的根．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．【解答】（1）解：如图所示．.（2）证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，整理得：m2+13m﹣30＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，∴y1＝；（2）函数y1，y2的图象如图：函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，∵EH∥DG∥AB，∴GK⊥FN，∴四边形MNKC是矩形，∴NK＝CM，∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，∴90CM＝72×54，∴CM＝43.2（cm），∴NK＝CM＝43.2（cm），∵EH∥DG，∴∠FGK＝∠EHG＝60°，∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，∵FG＝80cm，∴FK＝40≈69.28（cm），∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，由图象可知点B与点A关于原点对称，∴B（2，3）；（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，则BE∥CF，B'B''＝1，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），∴，BE＝3，∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，∵点C在反比例函数的图象上，∴C（6，1），B''C＝，∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由（2）可知：B（2，3），C（6，1），∴解得，∴，当y＝0时，，解得x＝8，∴D（8，0），∵DP∥AB，直线AB的解析式为，∴设直线DE的解析式为，把D（8，0）代入得：12+m＝∴m＝﹣12，∴，由P是直线DE与反比例函数的交点可得：，解得，此时点P在第三象限，符合题意，当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，可得直线DP的解析式为：，再解方程组得，此时点P在第一象限，两个都符合题意，∴点P的横坐标为：．．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∴AD＝2AE＝4，∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，∴CE＝＝2，（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，又∵∠GAH＝120°，∴∠F AB＝∠CAH，∵AH＝AG，∴∠AHG＝30°＝∠ABC，∴∠ABF＝∠AHC，∴△ABF∽△AHC，∴＝，∵PH∥FG，∴△CHP∽△CGF，∴＝，又∵△ABC∽△AGH，∴＝，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝＝+1＝+1＝，∴CP＝FB；（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，∴∠BAN＝∠CBN+30°，∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，∵NE＝BN，∴△BEN是等边三角形，∴∠E＝60°，∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，∴△ABN∽△FBA，∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，∴△ANF∽△BEA，∴＝＝，∴FN＝＝＝，∴BF＝FN+BN＝，∴AB2＝BN•BF＝5+，过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，∵∠ACB＝30°，∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，∵NH∥CF，∴＝＝＝，∴NH＝AB，BH＝AB，∴CH＝BC﹣BH＝AB，∴CN2＝CH2+NH2＝9，∴CN＝3．。
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
重庆南开中学2024-2025学年度上学期期中考试初2025届数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.17−的相反数是( )．A.17− B.17C. −7D. 7【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 0的相反数是0．【详解】解：17−的相反数是17，故选：B．2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A. 蒸馏烧瓶B. 烧杯C. 圆底烧瓶D. 分液漏斗【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可．【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选C ．3. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 240b ac −<D. 0c >【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a 、b 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数确定∆的符号，由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，即可得出答案．【详解】解：A 、∵抛物线的开口向上，∴0a >，故此选项符合题意；B 、∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a−>， ∵0a >，∴0b <，故此选项不符合题意；C 、∵抛物线与x 轴的两个交点，∴240b ac ∆=−>，故此选项不符合题意；D 、∵抛物线与y 轴的交点在负半轴上，∴0c <，故此选项不符合题意；故选：A ．4. 将ABC 沿BC 方向平移至DEF ，点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，使得:5:3BC EC =，则ABC 与GEC 的周长之比为（ ）A. 2:3B. 2:5C. 5:3D. 3:5【答案】C【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质得到AB GE ∥，从而可得到ABC GEC △∽△，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：∵ABC 沿BC 方向平移至DEF ，∴AB DE ∥，即AB GE ∥，∴A EGC ∠=∠,B GEC ∠=∠,∴ABC GEC △∽△，∴ABC 与GEC 的周长之比:5:3BCEC =， 故选：C ．5. 中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA 年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排28场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x 名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）A. ()128x x −=B. ()128x x +=C. ()11282x x +=D. ()11282x x −= 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设一共有x 名选手参加组内循环赛，则每个队参加()1x −场比赛，则共有()112x x −场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：()11282x x −=， 故选：D ．6. 估计+）A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．【详解】解：++，3<<∵67∴9310+<故选：D．7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（）A. 42B. 52C. 46D. 58【答案】B【解析】【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．×+=个小圆圈，【详解】第①个图形中一共有16410×+=个小圆圈，第②个图形中一共有26416×+=个小圆圈，第③个图形中一共有36422…，∴第n 个图形中一共有()64n +个小圆圈，∴第⑧个图形中小圆圈的个数是86452×+=，故选：B ．8. 如图，AB 是O 的直径，AE 、CE 、CB 为O 的弦，132AO =，12AE =，则sin BCE ∠=（ ）A. 512B. 1312C. 513D. 125【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，求一个角的正弦值，勾股定理；根据AB 是O 的直径，得出90AEB ∠=°，再运用勾股定理算出5BE ，再结合 EBEB =，则BCE BAE ∠=∠，所以5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==，即可作答． 【详解】解：连接BE ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠=°， ∵132AO =， ∴13AB =，在Rt ABE △中，5BE ，∵ EBEB =，∴BCE BAE ∠=∠， ∴5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==， 故选：C ． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，E 为正方形内的一点，连接BE ，CE ，使得CB CE =，延长BE 与ECD ∠的角平分线交于点F ．若BEC α∠=，连接OF ，则FOD ∠的度数为（ ）A. 290α−°B. 1452α°+C. 1902α°−D. 245α−°【答案】A【解析】 【分析】连接DF ，先证明∴()SAS CEF CDF ≌，得到CEF CDF ∠=∠，从而得180CDF CEF α∠=∠=°−，继而90BFD ∠=°，然后利用直角 三角形的性质，得出OF OB =，从而有45OFB OBF α∠=∠=−°，然后由三角形外角的性质可求解．【详解】解：连接DF ，如图，∵正方形ABCD∴BC CD =，45CBD CDB ∠=∠=°，∵CB CE =∴CE CD =，CBE BEC α∠=∠=， ∴45DBE α∠=−°，∵CF 是ECD ∠角平分线∴ECF DCF ∠=∠ ∵CF CF =，ECF DCF ∠=∠，CE CD =， ∴()SAS CEF CDF ≌∴CEF CDF ∠=∠，∴180CDF CEF α∠=∠=°−∴18045135BDFCDF CDB αα∠=∠−∠=°−−°=°− ∴1354590BDF DBE αα∠+∠=°−+−°=° ∴90BFD ∠=°∵O 是对角线BD 的中点，∴OF OB =∴45OFB OBF α∠=∠=−° ∴4545290FOD OFB OBF ααα∠=∠+∠=−°+−°=−° 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明90BFD ∠=°是解题的关键．10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差“绝佳操作”．例如：对于m ，n ，p 作“绝佳操作”，得到m n m p n p −+−+−．下列说法：①对2，4−，5作“绝佳操作”结果是18；②对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有8种；③对22a ，66a −，42a 作“绝佳操作”的结果为28，则a的值为1−或1−；其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：①()242545−−+−+−−的的18=，故①正确；②当m n p >>时，则22m n m p n p m n m p n p m p −+−+−=−+−+−=−，当m p n >>时，则22m n m p n p m n m p n p m n −+−+−=−+−−+=−，当n m p >>时，则22m n m p n p m n m p n p n p −+−+−=−++−+−=−， 当n p m >>时，则22m n m p n p m n m p n p n m −+−+−=−+−++−=− 当p m n >>时，则22m n m p n p m n m p n p p n −+−+−=−−+−+=−当p n m >>时，则22m n m p n p m n m p n p p m −+−+−=−+−+−+=− ∴对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误；③当226642a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=，化简得：2260a a −−=，解得：1a =+1a =−； 当224266a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：2340a a −−=，解得：4a =（舍去）或1a =−；当266242a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：6828a −=，解得：6a =（舍去）； 当266422a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：23100a a −+=，∵()234110310∆=−−××=−<∴无解；当242266a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：8a −=，解得：8a =−（舍去）， 当242662a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：4828a −+=，解得：5a =−（舍去），综上，a 的值为11−，故③错误；∴只有①正确，共1个，二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题．．卡．中对应的横线上． 11. 计算：()01tan3012−°−−=________． 【答案】12##0.5 【解析】【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幂，负整理指数幂，特殊角的三角函数，解题的关键是掌握分负整数指数幂、零指数幂的规定，熟记特殊锐角的三角函数值．【详解】解：()01tan3012−°−−112 =−−112=− 12=． 故答案为：12． 12. 正八边形每个外角的度数为_____．【答案】45°##45度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是360°求解即可．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数是：360845°÷=°．故答案为：45°．13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：用A 、 B 、C 、D 分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：41164=． 14. 如图，点A 在反比例函数()0k yk x=≠图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，若ABO 的面积为2，则k =________．【答案】4【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是122k =，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知：221AOB S k == ， 又反比例函数的图象位于第一象限，0k >，则4k =．故答案为：4．15. 若二次函数232y x x =−+过点(),3m ，则代数式2262023m m −+=________． 【答案】2025【解析】【分析】本题考查的是抛物线的性质．掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．由于抛物线经过点(),3m ，则231m m −=，把2262023m m −+整理后整体代入即可． 【详解】∵二次函数232y x x =−+过点(),3m ， ∴2323m m −+=， ∴231m m −=，∴()222620232320232120232025m m m m −+=−+=×+=． 故答案为：2025．16. 关于x 的一元一次不等式组()341221x x x x m − ≤−+≥−+至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13222m y y−=−−−的解为非负整数，则符合条件的整数m 的值之和为________． 【答案】2 【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m 的取值范围25<≤m ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得22m y −=，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答．【详解】解：()341221x x x x m − ≤−+≥−+①② 解①得：2x ≤， 解②得：23m x −≥， ∴223m x −≤≤， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴213m −≤， 解得：5m ≤；13222m y y−=−−−， 去分母得：1243m y −=−+， 解得：2my =， ∵分式方程的解为非负整数，且2y ≠ ∴0m ≥且4m ≠的偶数， 又∵5m ≤ ∴2m =，0∴符合条件的整数m 的值之和为202+=． 故答案：2．17. 如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，点E 为AB 中点，将矩形沿着EF 所在的直线翻折至矩形ABCD 所在的平面，点B ，C 的对应点分别是B ′，C ′，B E ′与CD 交于点G ，使得CF GF =，连接AB ′，B F ′，AF ，若25B G GF ′=，则GF =________；AB F S ′= ________．【答案】 ①. 5 ②. 985【解析】【分析】过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形，根据矩形的性质，结合折叠的性质可得4GH B C ′′==，GF GE =，令5GF CF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==，可知3HF C F C H a ′′=−=，根据勾股定理即可求解，则2B G ′=，7BE B E ′==，令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，再证明B OG B AE ′′△∽△，DOA MOB ′△∽△，结合相似三角形的性质求得2855B M AD ′==，由1122AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅△△△，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD 中，4AD BC ==，AB CD =，90B C D ∠==∠=°，AB CD ∥，则BEF DFE ∠=∠，由折叠可知，BE B E ′=，CF C F ′=，4BC B C ′′==，90C C ′∠=∠=°，90EB C B ′∠=∠=°，BEF B EF ′∠=∠，则B EF DFE ′∠=∠， ∴GF GE =，为过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形， ∴4GHB C ′′==，B G C H ′′=， ∵25B G GF ′=，CF GF =，令5GFCF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==， ∴3HF C F C H a ′′=−=，由勾股定理可得：222GH GF HF =−，即：()()222453a a =−，解得：1a =，∴5GF =，则2B G ′=，7BEB E ′==， 令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，∵点E 是AB 的中点，∴7AE BE ==，即14ABCD ==， ∵AB CD ∥，∴B OG B AE ′′△∽△，B G B O GF OA ′′==∴OG B GAE B E ′=′，即277OG =， ∴2OG =，∴7OF OG GF =+=，则2OD CD OF CF =−−=， ∵DOA MOB ′∠=∠ ∴DOA MOB ′△∽△，∴25B M B O AD OA ′′==，则2855B M AD ′==， ∴1118987422255AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅=××+=， 故答案为：5，985． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．18. 一个四位数M 各数位上的数字均不为0，若将M 的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N ，则称N 为M 的“翻折数”，规定()11M NF M +=．例如：1235的“翻折数”为5321，()12355321123559611F +==，则()2678F =________；若()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数，59x ≤≤，18y ≤≤），M 的“翻折数”N 能被17整除，则()F M 的最大值为________． 【答案】 ①. 1040 ②. 757 【解析】【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据()11M NF M +=代入求解()2678F 即可；首先表示出s 和t 的“翻折数”，然后求出3153x y ++的取值范围，进而分类讨论求得x ，y 的值，然后代入()11M NF M +=求解即可． 【详解】根据题意可得，()267887622678104011F +==；∵()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数59x ≤≤，18y ≤≤）， ∴M 的千位数字为6，百位数字为210x −，十位数字为1y +，个位数字为1， ∴M 的“翻折数”N 为()()10001001102106y x +++−+201001006x y =++()175593153x y x y =+++++，∵59x ≤≤，18y ≤≤， ∴333153150x y ≤++≤， ∵M 的“翻折数”N 能被17整除， ∴3153x y ++能被17整除， ∵x ，y 都是整数， ∴3153x y ++是整数，∴431533x y +=+，51，68，85，102，119，136，∴当431533x y +=+时，x ，y 无整数解， 当131535x y +=+时，13x y = = （舍去）或62x y = =，当831536x y +=+时，x ，y 无整数解， 当531538x y +=+时，x ，y 无整数解， 当2315310x y +=+时，36x y == （舍去）或85x y = = ，当9315311x y +=+时，x ，y 无整数解， 当6315313x y +=+时，x ，y 无整数解，∴当62x y = =时，()5001200610216231M =+×+×+=，1326N =，()6231132668711F M +==， 当85x y = =时，()5001200810516661M =+×+×+=，1666N =，()6661166675711F M +==， ∴()F M 的最大值为757， 故答案为：1040，757．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()22()m m n m n +−+（2）2214123a a a a −+÷ +【答案】（1）2n −； （2）321a a +−． 【解析】【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则．（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】解：()22()m m n m n +−+2222(2)m mn m mn n =+−++22222m mn m mn n =+−−− 2n =−；【小问2详解】解：2214123a a a a −+÷ + 2221413a a a a a+−÷+ ()()()321·2121a a a a a a ++=+− 321a a +=−． 20. 为了全面了解学生对校史的掌握情况，公能学校开展了校史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分为四组：A ．90100x <≤；B ．8090x <≤；C ．7080x <≤；D ．6070x <≤；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：68，76，78，79，84，85，86，86，86，86， 88，89，89，91，91，94，94，95，95，100．八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． 七、八年级所抽学生的校史知识竞赛成绩统计表年级 七年级 八年级 平均数8787中位数 87 b众数 a92根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________；b =________；m =________；（2）根据以上数据分析，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生对校史的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）公能学校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加此次校史知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的成绩优秀(90)x >的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；87；40（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）415 【解析】【分析】（1）根据众数和中位数定义求a 、b 值，先求出B 组人数占的百分比为35%，即可由%110%15%35%m =−−−求出m 值；（2）根据两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，可得出结论； （3）用各年级的总人数乘以年级的优秀率，再相加，列式计算即可求解. 【小问1详解】解：在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数86a =； ∵八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． ∴B 组人数占的百分比为：7100%35%20×=， ∵C 组人数占的百分比为15%，D 组人数占的百分比为10%， ∴A 组人数占的百分比为%110%15%35%40%m =−−−=，即40m =． ∴八年级20名学生竞赛成绩的中位数在B 组，的∴把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，89，故中位数8789872b +=， 故答案：86；87；40． 【小问2详解】解：八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：750060040%20×+× 175240+415=（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数大约是415人．【点睛】本题考查众数，中位数，统计表，扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．21. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD ，分别取BC ，CD 的中点M ，N ，连接AM ，DN 交于点E ，过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P ．则四边形BPDN 是平行四边形．（1）用尺规完成以下基本作图：过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P （只保留作图痕迹）．（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形BPDN 是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥．又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴12DM CD =，12CN BC =，∴ ① ，在ADM 与DCN 中，为AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()ADM DCN SAS ≌．∴ ② ．又∵90CDN ADN ∠+∠=°，∴90DAM ADN ∠+∠=°，∴90AED ∠=°，又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°，∴ ③ ．又∵DP BN ∥ ∴四边形BPDN 是平行四边形．进一步思考，智慧小组发现任取BC ，CD 的上点N ，M （M 不与C ，D 重合），DM CN =，连接AM ，DN ，过B 作AM 的垂线，交AD 于点P ，则四边形BPDN 是 ④ ．【答案】（1）见解析 （2）DM CN =；DAM CDN ∠=∠；∥BP DN ；进一步思考：四边形BPDN 是平行四边形 【解析】【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；（2）先证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠．从而证得90AQP AED ∠=∠=°，即可得到∥BP DN ．又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论；进一步思考：证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠，再证明∥BP DN ，又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论． 【小问1详解】解：如图所示，BP 就是所求作的经过点B 垂直于AM 于Q ，交AD 于P 的直线，【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴12DM CD =，12CN BC =， ∴DM CN =，在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 进一步思考：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了2m 元，“开心果半角”单价降低了m 元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求m 的值．【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x “开心果羊角”的单价为y 元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】解：设“流沙羊角”的单价为x 元，“开心果羊角”的单价为y 元，根据题意，得37254x y x y +=+= ， 解得：2017x y = =， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得960750 1.220217m m=×−−， 解得：2m =，经检验，2m =是方程的解且符合题意， ∴m 的值为2．23. 如图1，在菱形ABCD 中，5AB =，8BD =，动点P 从点A 出发，沿着A B C −−的路线运动，到达C 点停止，过点P 作PQ BD ∥交菱形的另一边于点Q ．设动点P 行驶的路程为x ，点P 、Q 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质；（3）函数11y x b 2=+与函数y 只有一个交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ ； （2）作图见解析，当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小； （3）50b −≤<或112b =． 【解析】【分析】（1）分点P 在AAAA 上和点P 在BC 上两种情况讨论，利用相似三角形的判定及性质构造等量关系，即可得到答案；（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；（3）结合函数图象，将()5,8、()0,0和()10,0代入11y x b 2=+，分别求出b 的值，即可得出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图，点P 在AAAA 上时，05x ≤≤，∵PQ BD ∥， ∴APQ ABD ∽，∴AP PQ AB BD =即58x y=， ∴85y x =， ∵5AB =，如图，点P 在BC 上时，∵四边形ABCD 是菱形， ∴5BC AB ==， ∴10PC x =−，当点P 在BC 上时，510x <≤， ∵PQ BD ∥， ∴CPQ CBD ∽，∴CP PQ CB BD =即1058x y −=， ∴8165y x =−+，综上可知，y 关于x 的函数表达式为()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ 【小问2详解】解：由（1）所得关系式可知，x0 5 8 10 y83.2函数图象如下：性质：当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】解：如图，由图象可知，函数11y x b 2=+的图象在3l 和2l 之间时，与函数y 只有一个交点， 将()5,8代入11y x b 2=+，得：1852b =×+，解得：112b =， 将()0,0代入11y x b 2=+，得：0b =， 将()10,0代入11y x b 2=+，得：5b =−， ∴b 的取值范围为50b −≤<或112b =．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质，求一次函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．24. 如图，M 为沙坪坝区物流中心，N ，P ，Q 为三个菜鸟驿站，N 在M 的正南方向4.3km 处，Q 在M 的正东方向，P 在Q 的南偏西37°方向2.5km 处，N 在P 南偏西64°方向．（sin370.60°≈，cos370.80°≈，tan370.75°≈，sin640.90°≈，cos640.44°≈，tan64 2.05°≈）（1）求驿站P ，驿站N 之间的距离（结果精确到0.1km ）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M 出发，以30km/h 的速度沿着M N P Q ———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N ，P 两个驿站各停留6min 存放快递，请计算说明派送员能否在40min 内到达驿站Q ？【答案】（1）5.2km （2）能，理由见解析 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键．（1）过点P 作PA MN ⊥于A ，PB MQ ⊥于B ，先解Rt PBQ △，求得2km PB =，再证明2km AM PB ==，从而得出 2.3km AN =，然后解Rt PAN △，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与40min 比较即可得出答案． 【小问1详解】解：过点P 作PA MN ⊥于A ，PBMQ ⊥于B ，如图，根据题意，得37BPQ PQD ∠=∠=°，64PNA NPC ∠=∠=°， 4.3km MN =， 2.5km PQ =， 在Rt PBQ △中，∵cos PB BPQ PQ∠=， ∴()cos 2.5cos37 2.50.802km PBPQ BPQ =⋅∠=×°≈×=， ∵PA MN ⊥，PBMQ ⊥，90NMQ ∠=°，∴四边形AMBP 是矩形， ∴2km AM PB ==，∴()4.32 2.3km AN MN AM =−=−=，在Rt PAN △中，∵cos PNA ∠∴()2.3 2.3 5.2km cos cos 640.44ANPNPNA ==≈≈∠°，答：驿站P ，驿站N 之间的距离约为5.2km ． 【小问2详解】解：∵30km/h 0.5km/min =，∴()()4.3 5.2 2.50.56236min ++÷+×=， ∵36min<40min ，∴派送员能在40min 内到达驿站Q ．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =−+与抛物线()230y ax x a =−+≠交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，直线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，过P 作PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，求PQ AQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）PQ AQ 的最大值的条件下，连接BP ，将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上，M 是新抛物线上一动点，当MAB BPQ ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）2134y x x =−−+（2）PQ AQ +的最大值为4，()2,4P −（3）点M 的坐标为()2,2或 【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出点()2,0A ，再把()2,0A 代入23y ax x =−+，求出a 值即可；（2）延长PQ 交y 轴于D ，证明OAC DAQ ∽，得AC OC AQ DQ =1DQ =，求得DQ AQ =，再设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x−+ ，则211242PQ x x =−−+，112QD x =−+，所以()21244PQ AQ PQ QD PD x +=+==−++，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为2114y x x =−++，再分两种情况：当点M 在直线AB 上方时，当点M 在直线AB 下方时，分别求解即可． 【小问1详解】解：对于直线112y x =−+， 令0y =，则1102x −+=，解得：2x =， ∴()2,0A ，把()2,0A 代入23y ax x =−+，得0423a −+， 解得：14a =−， ∴抛物线的表达式2134y x x =−−+． 【小问2详解】解：延长PQ 交y 轴于D ，对于直线112y x =−+， 令0x =，则1y =， ∴CC (0,1)， ∵()2,0A∴AC ==∵PQ y ∥轴，即QD OC ∥， ∴OAC DAQ ∽∴AC OC AQ DQ =1DQ=，∴DQ AQ =， 设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x −+，∴2211113124242PQ x x x x x=−−+−−+=−−+，112QD x =−+∴()221132444PQ AQ PQ QD PD x x x =+==−−+=−++ ∵104−< ∴当2x =−时，PQ AQ +的最大值为4； ∴()2,4P −． 【小问3详解】解：联立，2134112y x x y x =−−+=−+， 解得：1143x y =− = ，2220x y = = ，∴()4,3B −，由（2）知，在PQ AQ +的最大值的条件下，抛物线的顶点为点()2,4P −，对称为直线PQ ， 当2x =−时，则()12122y =−×−+=， ∴()2,2Q −， 则2PQ =，PB QB∴BPQ BQP ∠=∠， ∵将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上， ∴点Q 平移后与点A 重合， ∵()2,2Q −，()2,0A ，∴抛物线沿射线BA 方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴抛物线顶点()2,4P −平移后到点()2,2P ′，点()4,3B −平移后到点()0,1B ′，即B ′与C 重合，∴BPQ B P A ′′ ≌，抛物线平移后的解析式为()221122144y x x x =−−+=−++，∴BPQ B P A ′′∠=∠， ∵()0,1B ′，()2,2P ′，∴P B =′=′∵()0,1B ′，()2,0A ，∴AB ′=，∴P B AB ′′′=， ∴B AP B P A ′′′′∠=∠， 当点M 在直线AB 上方时，∵MAB BPQ ∠=∠， ∴MAB B P A ′′∠=∠， ∴点M 与点P ′重合， ∴()2,2M ，当点M 在直线AB 下方时，设21,14M x x x−++， 过点M 作ME PQ ∥，交AB 于E ，交x 轴于N ，则MEA BQP ∠=∠，1,12E x x−+， 则AOC ANE △∽△，∴AC OCAE EN=，则E AE EN AC =⋅=， ∵MAB BPQ ∠=∠， ∴BPQ MAE △∽△，∴BQ PQ ME AE=，则BQ ME PQ AE =，=，整理得：32E M y y =−， 即：231111224x x x −+=−−++，解得：x =（x =，此时，M y =∴M ， 综上，符合条件的点M 的坐标为()2,2或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键．26. 在ABC 中，AC BC =，D 为线段AB 上一点，连接CD ．（1）如图1，若30B ∠=°，AC AD =，过A 作AE CD ⊥于O ，交BC 于E ，2CE =，求线段BE 的长；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥交CD 延长线于点F ，以BC 为斜边在ABC 的右侧作等腰直角三角形BCG ，过点G 作GH AB ∥，交DC 的延长线于点H ，HC FB =．猜想线段AD ，BD ，CD 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，60ACB ∠=°，过A 作AQ BC ⊥于Q ，作ACB ∠的角平分线交AQ 于M ，取CM 的中点N ，连接QN ．点K 为直线BC 上的动点，连接NK ，将QKN 沿着NK 所在直线翻折至ABC 所在平面得到Q KN ′ ，连接MQ ′，取MQ ′中点P ，连接CP ．将12CD 绕着点D 顺时针旋转至直线AB 上方DR 处，使得BDR ACD ∠=∠．当CP 取得最小值时，连接AP ，PR ，AR ，当ARP △以AP 为腰的等腰三角形时，请直接写出DR AP的值． 【答案】（1）（2）AD BD =+（3 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得120ACB ∠=°，75ACD ∠=°，得45DCE ∠=°，根据线段垂直平分线性质，得2CE DE ==，得90CED ∠=°，即得BE = （2）过点C 作CI AB ⊥于I ，得AI BI =，根据等腰直角BCG 中，90BG CG BGC =∠=°，，BF CD ⊥，得点G 、C 、F 、B 在以BC 为直径的圆上，得GCH GBF ∠=∠，结合HC FB =，得()SAS GCH GBF ≌，得GF GH BGF CGH =∠=∠，， 得90FGH ∠=°，证明45IDC H ∠=∠=°，得DI =，根据BI BD DI =+，AD AI DI =+，即得AD BD =+；（3）证明当'Q 与C 重合时，点P 与点N 重合，PC 取得最小值，当AP AR =时，设CD 中点为T ，连接RT BR CR ，，，由对称性知，点R 在ABC ∠的平分线上，得CR AR =，由BDR ACD ∠=∠，得60CDR CAD ∠=∠=°，根据RT DT CT ==，得DTR 是等边三角形，得30RCT ∠=°，90CRD ∠=°，得tan DR DCR CR ∠=；②延长CM 交AB 于L ，过B 作BS AC ∥，交DR 延长线于S ，连接CS ，则AL BL =，60CBS ACB ∠=∠=°，得60CBS CDS ∠=∠=°，得B 在过C 、D 、S 三点的圆上，得60CSD CBD ∠=∠=°，得 CDS 是等边三角形，当D 与点B 重合时，T 与Q 重合，点R 在BS 上，根据150NQB NQR ∠=∠=°，BQ RQ NQ NQ ==，，得()SAS BQN RQN ≌,得BN RN =，得AN RN =，设ABC 的边长为2，则1AL =，CL =，根据23CM CL =，N 是CM 中点，得NL =，得AN =DR AP =【小问1详解】解：AC BC = ，30B ∠=°。
重庆市南开中学春期初三下半期测试数学卷(文档版答案图片)
重庆南开中学初2016届九年级（下）半期测试数 学 试 题（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴公式为2b x a =-。
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上对应题目的正确答案标号涂黑。
1、下列实数中，是无理数的是（ ）A 、1-B 、0C 、πD 、132、如图，一块含30角的直角三角板ABC 的直角顶点A 在直线DE 上，且//BC DE ，则CAE ∠等于（ ）A 、30B 、45C 、60D 、903、将点()1,2-向右平移3个单位得到新的点的坐标为（ ）A 、()1,5-B 、()4,2-C 、()1,1D 、()2,2--4、剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，如图是一种剪纸方法的图示（先将纸折叠，然后再剪，展开后即得到图案）：下列四幅图案中，不能用上述方法剪出的是（ ）A ．B ．C ．D ．5、下列计算正确的是（ ）A 、()325a a =B 、()224ab ab =C 、44a a a ÷=D 、224a a a ⋅=6、如图，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥于点D ，且8AB =，5OC =，则OD 的长为（ ）A 、1B 、2C 、2.5D 、37、下列说法正确的是（ ）A 、四个数2、3、5、4的中位数为4B 、了解重庆初三学生备战中考复习情况，应采用普查C 、小明共投篮25次，进了10个球，则小明进球的频率是0.48、如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖。
每层均有6个正方形，且从里向外的第1层存6个正三角形，第2层有18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ）A 、54B 、90C 、102D 、1149、关于x 的分式方程232x m x +=-的解是正数，则m 可能是（ ） A 、4- B 、5- C 、6-D 、7-10、甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，之后乙组的工作效率是原来的1.2倍，甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每200件装一箱，零件装箱的时间忽略不计。
南开中学初三语文下册期中试卷及解析
南开中学初三语文下册期中试卷及解析重庆南开中学九年级下册2021年度春期半期考试语文试题(全卷共四个大题，满分150分考试时刻：120分钟)一、基础知识及运用(30分)1．下列加点字注音全对的一项是( )(3分)A．教诲(huì) 谮害(zhèn) 告罄(qìng) 狡黠(xi&e acute;)B．贪欲(lǎn) 剽悍(biāo) 褶皱(zhě) 荣膺(yīng)C．蓦然(mò) 脑髓(suǐ) 襁褓(qiǎng) 安慰(jiè)D．抽噎(yē) 踉跄(niàng) 呵责(hē) 倒坍(dān)2．下列词语书写完全正确的一项是( )(3分)A．荫庇暗哑怒不可遏清晨百姓B．狭隘骸骨恪尽职守肆无忌惮C．羁绊哂笑引颈受戳言不及意D．瘠薄聒燥周道如砥出人投地3．下列句中加点的词语运用错误的一项是( )(3分)A．近来，利比亚等国局势连续恶化引发全球金融和商品市场风云突变，加剧了各方对全球经济增长前景的担忧。
B．在了解了核辐射的相关常识后，因日本核危机催生的“囤盐族”差不多销声匿迹。
C．尽管每天训练后都精疲力竭，气息奄奄，但为了在中考体育一科中考出好成绩，初三的同学们仍坚持不懈地训练。
D．“启行之辞，逆萌中篇之意”(《文心雕龙·章句》)这句话告诉我们在文章开头要迎引、启发下文，要预先蕴蓄主题，因此我们写作文时开头需高屋建瓴，下笔才有一泻千里之势。
4．下列语段画横线处都有语病，请写出改法。
(4分)世界上所有的都市都在怀念乡村，做着还乡的梦。
①人性的堕落与茎缩是世界上所有都市的通病，但是涌入都市的大潮依旧源源不断。
②都市提供给人最多的生存，但它专门少有兄弟和伴侣，③是因为它牺牲了爽朗的人性，冒着堕落的风险，承担起了援助许多贫困乡村的责任所造成的，④它的问题正日益升华。
重庆市南开中学2023-2024学年九年级下学期期中考试化学试卷(原卷版)
化学（八）可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Na-23 Cl-35.5 Cu-64一、选择题（本大题16个小题，每题只有一个正确答案，共32分）1. 三月春意盎然，百花盛开，正是踏青春游的好时节。
下列有关活动涉及化学变化的是A. 观赏桃花B. 登高远眺C. 野外垂钓D. 生火烧烤2. 下列含碳物质中属于纯净物的是A. 天然气B. 大理石C. 乙醇D. 木炭3. 大豆根瘤菌能将空气中的N2转化为能被吸收的营养物质，水稻根部一般没有根瘤菌，施用下列物质可以达到相同效果的是A. KClB. NH4ClC. HNO3D. Ca3（PO4）24. 利用天平进行定量研究，弄清了物质燃烧本质的科学家是A. 卢瑟福B. 张青莲C. 侯德榜D. 拉瓦锡5. 牙齿是人体重要的器官之一，为防治龋齿在牙膏中加入的元素是A. 锌B. 钙C. 氟D. 硒6. 今年世界地球日主题是“全球战塑”，该主题旨在提醒我们重视塑料污染问题。
下列关于塑料的说法不正确的是A. 废弃的塑料是可回收资源B. 塑料是最常见的有机合成材料C. 可以通过肆意焚烧塑料解决“白色污染”D. 塑料是由石油炼制的产品制成，减少塑料的使用就是节约石油资源7. 试管是化学实验室中常见的仪器之一，下列用到试管的实验操作正确的是A. 检查装置气密性B. 加热液体C. 取用药品D. 处理废弃溶液8. “3·15”晚会揭露了肉类加工食品存在安全问题。
下列有关说法正确的是A. 干冰可用于卤肉的冷藏保鲜B. 将经甲醛溶液浸泡的牛肉制作成牛排C. 食用劣质的梅菜扣肉不能补充任何营养素D. 合格的火腿肠中含有防腐剂亚硝酸钠，不能食用9. 春运期间受雨雪冰冻天气影响，路面结冰，电网故障。
导致高铁列车大面积停运，内燃机车紧急救场。
下列有关叙述错误的是A. 可用氯化钠作融雪剂，消除路面积雪B. 铲雪车的铲斗常用锰钢制作，利用了合金硬度大的特点C. 高铁列车行驶时由电网供电，是将电能转化为机械能D. 内燃机车依靠燃烧柴油为动力，所以在行驶中会排放CO2、NO2等有害气体10. 下面是小南同学的课堂笔记，内容完全正确的是A．安全常识B．化学式的意义重要档案失火——用水浇灭煤气泄漏——打开排风扇换气葡萄糖（C6H12O6）中含有24个原子甲醛（CH2O）由碳元素、氢元素和氧元素组成C．物质性质与用途D．物质的鉴别氦气密度小——填充探空气球氢氧化钠易潮解——作干燥剂鉴别稀硫酸和氯化钠溶液——滴加酚酞溶液鉴别羊毛线和棉线——灼烧闻气味A. AB. BC. CD. D11. 明代《物理小知》记载了传统鎏金工艺：“以汞和金，涂银器上成白色，入火则汞去而金存，数次即黄”。
(完整版)重庆南开中学2019年初三上半期考试数学试题及解析
重庆南开中学2019年初三上半期考试数学试题及解析数学试卷（全卷共五个大题，满分 150分，考试时间120分钟）注意事项：1、 试题的答案书写在答题卡.（卷）上，不得在试卷上直接作答；2、 作图（包括作辅助线），请一律用黑色.签字笔完成。
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了 代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡...上对应题目的正确 答案标号涂黑。
1、1 2的值为（）C 、22 3 33、计算 2a 2b 3的结果是（）5、以下调查，不适合用全面调查的是（） A 、 了解湖南卫视“爸爸去哪儿”节目的收视率 B 、 旅客上飞机前的安检C 、 调查2013年全运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况D 、 了解全班同学每周体育锻炼的时间36、在 RtABC 中，C 90O ，sin A 3，则 cos A 的值是B 、（单株树的价格相同），采购小组从四个苗圃中任意抽查了 20株树苗的高度，得到下表中的 数据:甲苗圃乙苗圃 丙苗圃 丁苗圃 树苗的平均高度（米） 1.8 1.8 2.0 2.0 标准差0.20.40.20.4你认为应选（）7、重庆市园博园准备选购 500棵高度大约为 2米的树苗来进行绿化，有四个苗圃基地投标 c 6 9A 、 2a b^69B 、 8a bc 6. 9C 、8a b14、方程 20的解是（）x 1 x 31A 、 x 5B 、X 1C 、 X -^69D 、 6a bD 、原方程无解()2、下列药品商标中是中心对称图形的是（） A .B .C .D .BD@2 BC6a A 、 k D 、k 2y ax4nC 、60oB 、45°D 、75°nA 、2A 、30°2* in 2D 、2A 、甲苗圃的树苗B 、乙苗圃的树苗C 、丙苗圃的树苗D 、丁苗圃的树苗与时间t （小时）之间函数的大致图象是（）则 AOD 与 BOC 的面积之比为（） 9、某人驾车从A 地上高速公路匀速前往 B 地，中途在服务区休息了一段时间。
重庆南开中学2024年九年级上学期数学期中模拟试卷
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列各式中是分式的是（）A．B．C．D．22．（4分）大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．如图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）反比例函数y＝经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣4x B．y＝C．y＝﹣D．y＝4x4．（4分）估计2×（2﹣）的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间5．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．8B．16C．24D．326．（4分）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．7．（4分）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（）A．B．C．D．8．（4分）下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（）A．63B．64C．80D．819．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接AE、AF、EF，有EF＝BE+DF，∠BAE＝∠EFC，若DF＝2的长为（）A．8B．C．D．10．（4分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＜0；②对于任意的m，均有am2+bm+c+6＞0；③﹣5a+c＝﹣4；④若ax2+bx+c≥﹣4，则x≥﹣1；⑤；其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：tan45°﹣sin30°＝．12．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为540°，则它的边数为．13．（4分）已知一元二次方程（k+3）x2﹣4x+2＝0有实数解，则k的取值范围是．14．（4分）若二次函数y＝2x2﹣4x+7，当0＜x≤3时，y的取值范围是．15．（4分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．16．（4分）若数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x+1在直线x＝1右侧，y随x增大而增大，那么满足以上所有条件的整数a的和为．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则EF ＝，点F到C′E的距离为．18．（4分）如果一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同，且千位上的数字与个位上的数字之和等于10，则称M为“国泰民安数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M′．并规定D（M）＝M﹣M′．四位自然数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9且a，b，c，d 为整数）为“国泰民安数”，且为正整数），D（M）＝k2﹣693（k为正整数），则a+b＝，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣a（a﹣2b）；（2）（x+1﹣）÷．20．（10分）2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82．根据以上信息，解答下列问题：八九年级抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数优秀率八年级71a7030%九年级7180b c%（1）请填空：a＝，b＝，c＝；（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，∠ABC的角平分线交AC于点E．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接BF、DE，求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∠ABC＝，∴∠BAE＝∠DCF．又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA．∴，．∴∠ABE＝∠CDF，在△BAE和△DCF中：，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∠AEB＝，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，∴，∵BE∥DF，∴BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形（）（填依据）．22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→A→B方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，△BCP的面积记为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是．24．（10分）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．（1）求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：，，）25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．（3）将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105°，CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠F AC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP 所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列各式中是分式的是（）A．B．C．D．2【解答】解：，和2都是整式，为分式．故选：C．2．（4分）大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．如图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形是轴对称图形，故A符合题意；B、C、D中的图形不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意故选：A．3．（4分）反比例函数y＝经过点（﹣1，﹣4），则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣4x B．y＝C．y＝﹣D．y＝4x【解答】解：由题意，将点（﹣1，﹣4）代入反比例函数解析式y＝，∴﹣4＝．∴k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝．故选：B．4．（4分）估计2×（2﹣）的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【解答】解：2×（2﹣）＝2×2﹣2×＝4﹣2，∵36＜48＜49，∴6＜＜7，∴6＜4＜7，∴4＜4﹣2＜5，∴估计2×（2﹣）的值应在4和5之间，故选：B．5．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．8B．16C．24D．32【解答】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴＝＝，∴△ABC的周长：△DEF的周长1：3，∵△ABC的周长为8，∴△DEF的周长为24，故选：C．6．（4分）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接CD，如图：，CD＝，AC＝，∵∴∠ADC＝90°，∴tan∠BAC＝＝．故选：D．7．（4分）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴m+n＝，mn＝﹣，∴+＝＝＝＝﹣．故选：B．8．（4分）下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（）A．63B．64C．80D．81【解答】解：由所给图形可知，第①个图形中●的个数为：3＝22﹣1；第②个图形中●的个数为：8＝32﹣1；第③个图形中●的个数为：15＝42﹣1；…，所以第n个图形中●的个数为（n+1）2﹣1．当n＝8时，（n+1）2﹣1＝92﹣80（个），即第⑧个图形中●的个数为80个．故选：C．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，连接AE、AF、EF，有EF＝BE+DF，∠BAE＝∠EFC，若DF＝2，求AB的长为（）A．8B．C．D．【解答】解：如图，延长CB到G，使得BG＝DF，连接AG，过点A作AH⊥EF于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∴∠GAF＝∠BAD＝90°，∵EF＝EB+DF．∴EF＝BE+BG＝EG，在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG＝∠EAF＝45°，∵AB⊥EG，AH⊥EF，∴AB＝AH，在Rt△AEB和Rt△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（HL），∴∠BAE＝∠EAH，∵∠DAH+∠DFH＝180°，∠EFC+∠DFH＝180°，∴∠EFC＝∠DFH，∵∠BAE＝∠EFC，∴∠BAE＝∠EAH＝∠DAH＝30°，∴∠BAG＝∠EAG﹣∠BAE＝45°﹣30°＝15°，在AB上取一点T，使得GT＝AT，连接GT．∵TA＝TG，∴∠TGA＝∠TAG＝15°，∴∠GTB＝∠AGT+∠TAG＝30°，∵BG＝DF＝2，∴GT＝AT＝4，TB＝2，∴AB＝AT+TB＝4+2．故选：C．10．（4分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＜0；②对于任意的m，均有am2+bm+c+6＞0；③﹣5a+c＝﹣4；④若ax2+bx+c≥﹣4，则x≥﹣1；⑤；其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由题知，令抛物线的解析式为y＝a（x+3）2﹣6，将点（﹣1，﹣4）代入函数解析式得，4a﹣6＝﹣4，解得a＝，所以抛物线的函数解析式为y＝（x+3）2﹣6＝，所以a＝，b＝3，c＝，则abc＜0．故①正确．因为抛物线的顶点纵坐标为﹣6，且开口向上，所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），其纵坐标不小于﹣6，即am2+bm+c≥﹣6，所以am2+bm+c+6≥0．故②错误．由①中的过程可知，﹣5a+c＝﹣5×+（）＝﹣4．故③正确．因为抛物线经过点（﹣1，﹣4），且对称轴为直线x＝﹣3，所以点（﹣5，﹣4）也在抛物线上，又因为抛物线开口向上，所以当ax2+bx+c≥﹣4时，x≥﹣1或x≤﹣5．故④错误．因为a＝，所以a＜．故⑤正确．故选：B．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：tan45°﹣sin30°＝．【解答】解：原式＝1﹣＝．故答案为：．12．（4分）一个多边形的内角和与外角和的差为540°，则它的边数为7．【解答】解：设这是一个n边形，则180°（n﹣2）﹣360°＝540°，解得n＝7，答：它的边数是7．故答案为：7．13．（4分）已知一元二次方程（k+3）x2﹣4x+2＝0有实数解，则k的取值范围是k≤﹣1且k≠﹣3．【解答】解：∵一元二次方程（k+3）x2﹣4x+2＝0有实数解，∴k+3≠0且Δ≥0，即Δ＝16﹣8（k+3）≥0，解得k≤﹣1，∴k的取值范围为k≤﹣1且k≠﹣3．故答案为：k≤﹣1且k≠﹣3．14．（4分）若二次函数y＝2x2﹣4x+7，当0＜x≤3时，y的取值范围是5≤y≤13．【解答】解：y＝2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5，∴对称轴是直线x＝1，且当x＝1时，y取最小值是5．又当x＝0时，函数值为7，当x＝3时，函数值为13，∴5≤y≤13，故答案为：5≤y≤13．15．（4分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x 轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为．【解答】解：设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，点D为OB的三等分点（DB＜），∴BD＝b，OD＝b，∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∴（a+2a）×b＝a×b+5+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．16．（4分）若数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x+1在直线x＝1右侧，y随x增大而增大，那么满足以上所有条件的整数a的和为3．【解答】解：由分式方程得x＝4﹣a，∵分式方程有正整数解，∴a＝0，1，2，∵关于x的二次函数y＝x2+（a﹣2）x+1在直线x＝1右侧，y随x增大而增大，∴﹣≤1，解得a≥0，∴a＝0，1，2，∴满足以上所有条件的整数a的和为3，故答案为：3．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为AD边的四等分点（AE＞ED），连接BE，将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，BC′与AD交于点F，连接C′E．若BC＝4，AB＝2，则EF＝，点F到C′E的距离为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠A＝90°，∵E为AD边的四等分点，∴DE＝×4＝1，∴AE＝3，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，∴∠CBE＝∠FBE，∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF，∵AB2+AF2＝BF2，∴22+（3﹣EF）2＝EF2，∴EF＝；∴C′F＝4﹣＝，∵将矩形沿BE折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，∴C′D′＝CD＝2，∠D′＝∠D＝∠C＝∠D′C′F＝90°，D′E＝DE＝1，∴EC′＝＝，过F作FH⊥C′E于H，∴∠FHC′＝∠D′＝90°，∵∠C′FH+∠FC′H＝∠FC′H+∠D′C′E＝90°，∴∠C′FH＝∠D′C′E，∴△C′FH∽△EC′D′，∴＝，∴＝，∴FH＝．故答案为：，．18．（4分）如果一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同，且千位上的数字与个位上的数字之和等于10，则称M为“国泰民安数”．将M的百位上的数字与个位上的数字对调，得到一个新的四位数M′．并规定D（M）＝M﹣M′．四位自然数M＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9且a，b，c，d 为整数）为“国泰民安数”，且为正整数），D（M）＝k2﹣693（k为正整数），则a+b＝14，在此条件下，若M除以6余4，则满足条件的M的最大值与最小值的差为1878．【解答】解：∵M＝1000a+100b+10c+d，千位上的数字与个位上的数字之和等于10，∴M＝1000a+100b+10c+10﹣a＝999a+100b+10c+10，∴M′＝1000a+100（10﹣a）+10c+b＝900a+10c+b+1000，∴D（M）＝M﹣M′＝99a+99b﹣990；∵D（M）＝k2﹣693，∴99a+99b﹣990＝k2﹣693，∴k2＝99a+99b﹣297＝9×11×（a+b﹣3），∵1≤a≤9，0≤b，c，d≤9且a，b，c，d为整数，∴﹣2≤a+b﹣3≤15，∴a+b﹣3＝11，∴a+b＝14，∴b＝14﹣a，且5≤a≤9，5≤b≤9，∴M＝1000a+100b+10c+10﹣a＝999a+100b+10c+10＝999a+100（14﹣a）+10c+10＝899a+10c+1410＝149a×6+6c+235×6+5a+4c＝6×（149a+c+235）+5a+4c；∵M除以6余4，而25≤5a+4≤81，∴5a+4c＝28或34或40或46或52或58或64或70或76；当5a+4c＝28时，不符合题意，舍去，当5a+4c＝34时，解得，此时b＝8，d＝4，∴M＝6814，当5a+4c＝40时，解得，此时b＝6，d＝2，∴M＝8602，当5a+4c＝46时，解得：，此时b＝8，d＝4，不符合题意；当5a+4c＝52时，解得：，此时b＝6，d＝2，∴M＝8632，当5a+4c＝58时，解得：，此时b＝8，d＝4，∴M＝6874，当5a+4c＝64时，解得：，此时b＝6，d＝2，不符合题意；当5a+4c＝70时，不符合题意；当5a+4c＝76时，解得：，此时b＝6，d＝2，∴M＝8692，∴8692﹣6814＝1878；故答案为：14，1878．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）（a﹣2b）（a+2b）﹣a（a﹣2b）；（2）（x+1﹣）÷．【解答】解：（1）a2﹣4b2﹣a2+2ab＝﹣4b2+2ab；（2）原式＝[﹣]÷＝•＝．20．（10分）2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70），部分信息如下：八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：80，80，80，80，82．根据以上信息，解答下列问题：八九年级抽取学生竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数优秀率八年级71a7030%九年级7180b c%（1）请填空：a＝70，b＝80，c＝55；（2）根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．【解答】解：（1）八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数a＝70；九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80、80，故中位数为，九年级的优秀率为．故答案为：70，80，55．（2）九年级成绩相对更好，理由如下：九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级．（3）（人），答：估计该校八、九两个年级大约共有425人成绩为优秀．21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，∠ABC的角平分线交AC于点E．（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接BF、DE，求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∠ABC＝∠CAD，∴∠BAE＝∠DCF．又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA．∴，．∴∠ABE＝∠CDF，在△BAE和△DCF中：，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∵BE∥DF，∴BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填依据）．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB CD，∠ABC＝∠CAD，∴∠BAE＝∠DCF．又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA．∴，．∴∠ABE＝∠CDF，在△BAE和△DCF中：，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∵BE∥DF，∴BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填依据）．故答案为：∠CDA，∠ABE＝∠CDF，∠CFD．∠BEF＝∠DFE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．（10分）博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．一学习小组计划到某博物馆参观学习．（1）为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花360元组私家讲解团，后又临时增加3名同学，实际的团费虽然增加了60元，但实际的人均费用只为原来的人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；（2）该博物馆的参观路线全长3.6千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体验”两个部分，他们参观“经典讲解”部分的平均速度是1米/秒，是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共1.5小时，求“经典讲解”部分参观路线的长度为多少千米？【解答】解：（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学有x人，根据题意得：＝×，解得x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，答：该学习小组实际参观博物馆的同学有15人；（2）设“经典讲解”部分参观路线的长度为y千米，1米/秒＝36千米/小时，根据题意得：++＝，解得y＝3，答：“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线D→A→B方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，△BCP的面积记为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是3≤b ＜5．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵点D是AC的中点，∴AD＝＝2，当0≤x≤2时，∵PD＝x，∴CP＝2+x，∴y＝＝（2+x）×3＝x+3；当2＜x≤7时，如图1，过P作PH⊥BC于H，则PH∥AC，∴△PBH∽△ABC，∴，∴，∴PH＝，∵y＝＝×3×＝﹣x+；综上所述，y＝；（2）如图2，函数的图象如图所示；当0≤x≤2是y随x的增大而增大；（3）如图，当直线与经过点（0，3）时，3＝b，则b＝3，当直线经过点（2，6）时，6＝×2+b，则b＝5，结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是3≤b＜5，故答案为：3≤b＜5．24．（10分）小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．（1）求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）（2）若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：，，）【解答】解：（1）如图1，作BE⊥AD于点E，由题意得，∠A＝45°，∠ABD＝∠ABW+∠WBD＝90°+15°＝105°，∴∠D＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝30°，在Rt△ABE中，AB＝60，∠A＝45°，∴BE＝AB＝30，在Rt△BDE中，∠D＝30°，∴BD＝2BE＝60，∴小山B与亭台D之间的距离米；（2）如图2，作DF⊥BA于点F，交AB的延长线于点F，作CG⊥BA，交AB的延长线于点G，由（1）知，BD＝60，∠BED＝90°，∠ADB＝30°，∴DE＝60•cos30°＝60＝30，∴AD＝AE+DE＝30，由题意得，∠ABC＝∠ABW+∠WBC＝90°+30°＝120°，∴∠CBG＝180°﹣∠CBA＝60°，则在Rt△AFD中，∠A＝45°，AD＝30+30，∴DF＝（30＝（30＝30+30，在Rt△BCG中，∠CBG＝60°，CG＝DF＝30+30，∴BG＝＝10，BC＝2BG＝20+60，∴米，米，∵141.2＜154.6且两人速度一致，∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+5ax+b经过点D（﹣1，﹣5），且交x轴于A（﹣6，0），B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，点P在直线AD下方抛物线上运动，过点P作PE⊥AD，PF⊥DM，求PE+PF的最大值，以及此时点P的坐标．（3）将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点G，使得∠CAG＝45°，请写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出其中一个的求解过程．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；（2）过点P作PH∥y轴交AD于点H，如图1，由点A、D的坐标得，直线AD和x轴正半轴的夹角为45°，直线AD的表达式为：y＝﹣x﹣6，则∠MDA＝∠PHE＝45°，则PH＝PE，设点P（x，x2+x﹣3），则点（x，﹣x﹣6），则PE+PF＝PH+（x F﹣x P）＝（﹣x﹣6﹣x2﹣x+3）+（﹣1﹣x）＝﹣x2﹣x﹣4，∵，故PE+PF有最大值为，此时点P的坐标为：（﹣，﹣）；（3）原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度，相当于将抛物线向左平移1个单位、向上平移个单位，如图2，则新抛物线的表达式为：y＝x2+x+①，当点G在x轴下方时，设直线AG交y轴于点N，过点N作NT⊥AC于点T，由点A、C（0，﹣3）的坐标得：AC＝，在△ACN中，tan∠ACO＝tan∠TCN，∠CAN＝45°，AC＝，设CT＝x，则NT＝2x，则AT＝NT，即2x＝x+，则x＝，则CN＝x＝15，则点N（0，﹣18），由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣3x﹣18②，联立①②得：x2+x+＝﹣3x﹣18，解得：x＝（不合题意的值已舍去）；当点G在x轴上方时，同理可得：直线AG的表达式为：y＝x+2③，联立①③得：x2+x+＝x+2，解得：x＝（不合题意的值已舍去）；综上，符合条件的点G的横坐标为：或．26．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点（点D不与B，C重合），连接AD．（1）如图1，∠ADB＝105CD＝，求BD的长度；（2）如图2，D为BC中点，E为平面内一点，连接DE，CE，AE，BE，将线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF，∠F AC+∠ECB＝90°，G为线段EC上一点，AG⊥CE，求证：CE＝AF+2AG；（3）如图3，P，H为射线AD上两个点，∠BHA＝90°，AP＝2BH，将△BNP沿直线BP翻折至△BHP 所在平面内得到△BKP，直线PK与直线AB交于点T．若，当线段BP取得最小值时，请直接写出△APT的面积．【解答】（1）解：如图1，作DE⊥AC于E，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，在Rt△CDE中，CD＝，∠C＝45°，∴DE＝CE＝，在Rt△ADE中，∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝105°﹣45°＝60°，DE＝，∴AE＝，∴AC＝AE+CE＝，在Rt△ABC中，AC＝，∠C＝45°，∴BC＝＝，∴BD＝BC﹣CD＝；（2）证明：如图2，设AD和CE交于点O，∴AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD＝CD＝BC，∵线段DE绕D顺时针旋转90°得到线段DF，∴∠EFD＝90°，DE＝DF，∴∠ADB＝EDF＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴∠EBD＝∠F AB，BE＝AF，CAF+∠CAD，∴∠EBA+45°＝∠CAF+45°，∴∠EAB＝∠CAF，∵∠ADC＝90°，∴∠BCE+∠COD＝90°，∵∠AOE＝∠COD，∴∠BCE+∠AOE＝90°，∵∠BCE+∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠AOE，∴∠EBA＝∠AOE，∴点E、B、O、A共圆，∴∠BEC＝∠BAD＝45°，∴∠BEC＝，EH＝，EH＝BH，AB＝AC，∴点E在以A为圆心，AB为半径的圆上，∴AE＝AC＝AB，∵AG⊥CE，∴EG＝CG＝CE，∵EH＝BH，AE＝AB，∴AH是BE的垂直平分线，∴∠EAH＝∠BAH，∠AEH＝∠ABH，∵BH∥AG，∴∠BAG＝∠ABH，∴∠GAH＝∠BAH+∠BAG＝∠EAH+∠AEH，∵∠AHG＝∠EAH+∠AEH，∴∠GAH＝∠AHG，∴AG＝GH，∴EG＝EH+GH＝AF+AG，∴2EG＝AF+2AG，∴CE＝；（3）如图3，作CE⊥AD于E，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC+∠ACE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAH+∠CAE＝90°，∴∠BAH＝∠ACE，∵AB＝AC，∠AEC＝∠AHB＝∴△ACE≌△BAH（AAS），∴AE＝BH，∵AP＝2BH，∴AP＝2AE，∴CP＝CA＝，∴点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，设BC交⊙C于点P′，∴当点P运动在P′处时，BP最小，如图4，作AH⊥BC于H，∵BC＝AC＝，∴AH＝BC＝，BP＝BC﹣PC＝，∴S△APC＝＝，∵∠ABP＝∠C＝45°，∠BPT＝∠BPH＝∠APC，∴△BPT∽△CP A，∴，∴，∴S△BPT＝，∵S△ABC＝AC2＝，∴S△APT＝＝．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆南开中学2009-2010学年度初2010级九年级(下)半期考试数 学 试 卷代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中.1．3的倒数是( ) A ．3B ．13C ．-3D ．13-2．422x x ⋅的结果是( ) A ．82xB ．62xC ．6xD ．72x3．如图，直线12//,l l 34l l 、分别与12l l 、相交，则α∠为( ) A ．150° B ．140° C ．130°D ．120°4．下列事件是确定事件的是( ) A ．阴天一定会下雨B ．黑暗中从5把不同的钥匙中随意摸出一把，用它打开了门C ．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放新闻联播D ．在学校操场上向上抛出的篮球一定会下落 5．如图，AB 是O 的直径，30,2,ABC OA ∠==则BC 长为A ．2B ．C ．4D6．分式方程3211x x =-+的解是( )A ．5x =-B ．5x =C ．3x =-D ．3x = 7．右图是一个由相同小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是( )l 1l 2l 3l 4α(3题图)70°120°B(5题图)8．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成. 图中，第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组成，……那么组成第n 个黑色形的正方形个数是( )A ．22n +B ．41n +C ．41n -D ．4n9．如图，梯形ABCD 中，//,,AB CD AB BC ⊥M 为AD 中点，2cm,2cm,0.5AB BC CD === cm,点P 在梯形的边上沿B C D M →→→运动，速度为1cm/s ，则BPM ∆的面积2cm y 与点P 经过的路程x cm 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( )10．如图，在Rt ABC ∆中，,AB AC =D E 、是斜边BC 上两点，且45,DAE ∠=将ADC ∆绕点A 顺时针旋转90°后，得到,AFB ∆连接,EF 下列结论：①;AED AEF ∆≅∆ ②;AE ADBECD=③ABC ∆的面积等于四边形AFBD 的面积；④222;BE DC DE += ⑤BE DC DE += 其中正确的是( ) A ．①②④ B ．③④⑤ C ．①③④ D ．①③⑤二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上.11．从重庆市国资委获悉，截至2010年2月末，重庆农商行涉农贷款余额达339亿元，那么339亿元用科学计数法表示为____________________元.BABCDE F(10题图)12．分解因式：39a a -=___________________.13．已知1O 与2O 的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距127cm O O =，则两圆的位置关系为_____. 14．五张分别写有数字-1，0，1，3，4的卡片背面完全相同.现把它们洗匀后背面向上摆放在桌面上，从中任取一张，所得的数字同时作为一个点的横纵坐标，这个点在函数112y x =+的图象上侧平面内的概率是______________.15．已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点,A C 的坐标分别为(7,0),(0,4),A C 点D 的坐标为(5,0),点P 在BC 边上运动. 当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为___________________.16．如图，用铆枪把铆钉垂直压入设备时，每压一次，铆枪要短暂休息，铆枪每次压铆钉时的作用力是相同的. 随着铆钉的深入，铆钉所受的阻力也越来越大. 当铆钉进入设备部分长度足够时，每次进入设备的铆钉长度是前一次的1.2已知这个铆钉被铆枪作用3次后全部进入设备(设备足够厚)，且第一次作用后，铆钉进入设备的长度是2cm ，若铆枪总长度为cm,a 则a 的取值范围是_________.三、解答题：(本大题4个小题，每小题6分，共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.17．计算：021)()2sin 45.3π---+18．解方程组：233,413.x y x y +=⎧⎨-=⎩19．已知一个三角形的两边分别为线段,a b 、并且边a 上的中线为线段,c 求作此三角形.(要求：用尺规作图，写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法，要写结论) 已知：求作：结论：20．如图，在大树前的平地上选一点,A 测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°，在点A 和大树之间选择一点B (A B D 、、在同一直线上)，测得由点B 看大树顶端C 的仰角为45°，再量得A B 、两点间的距离为5.43米，求大树CD 的高度(结果保留两个有效数字). (测角器的高度忽略不计. 参考数据：sin 350.57,cos 350.82,tan 350.70,sin 450.71,cos 450.71≈≈≈≈≈)四、解答题：(本大题4个小题，每小题10分，共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.21．先化简，再求值：121,x x x x x --⎛⎫÷- ⎪⎝⎭其中 1.x =22．如图，一次函数1y ax b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于,A B 两点，已知OA =abc1tan ,3AOC ∠= 点B 的坐标为3(,).2m -(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；(2)观察图象，直接写出使函数值12y y <成立的自变量x23．在我校举办的课外活动中，有一项是小制作评比.作品上交时限为3月1日至30日，组委会把同学们交来的作品按时间顺序每5天组成一组，对每一组的件数进行统计，绘制成如图所示的统计图.已知从左到右各矩形的高度比为2:3:4:6:4:1. 第三组的件数是12. 请你回答： (1)本次活动共有__________件作品参赛；各组作品件数的中位数是_________件. (2)经评比，第四组和第六组分别有10件和2件作品获奖，那么你认为这两组中哪个组获奖率较高？为什么？(3)小制作评比结束后，组委会决定从4件最优秀的作品 A 、B 、C 、D 中选出两件进行全校展示，请用树状图或列 表法求出刚好展示B 、D 的概率.日期24．如图，在直角梯形ABCD 中，,//,AD DC AB DC ⊥,AB BC =AD 与BC 延长线交于点,F G 是DC 延长线上一点，AG BC ⊥于.E (1)求证：;CF CG =(2)连接,DE 若4,2,BE CE CD ==求DE 的长.A BCDEF G五、解答题：(本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.25．为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居重庆”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的.已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元.经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x(元)，年销售量为y(万件)，年获利为w(万元). (年获利=年销售额-生产成本-节电投资)(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？(3)若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利(或最小亏损)后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？26．已知：二次函数22y ax x c =-+的图象与x 轴交于A B 、两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点,C 对称轴是直线1,x =且图象向右平移一个单位后经过坐标原点.O(1)求这个二次函数的解析式； (2)直线113y x =-+交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点.若,,DBC CBE αβ∠=∠=求αβ-的值.(3)在(2)问的前提下，P 为抛物线对称轴上一点，且满足,PA PC =在y 轴右侧的抛物线上是否存在点,M 使得BDM ∆的面积等于2,PA 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说 明理由.(备用图)南开中学九年级(下)半期考试数学答案一、选择题BBCDB AACDC17．解：原式15922=⨯+-⨯………………………………5分14=………………………………………………………6分18．解：②×3得12339x y-=由①+③得：1442x=∴3x=…………………………………………………………2分将3x=代入②得：4313y⨯-=∴1y=-………………………………………………………4分∴原方程组的解为31xy=⎧⎨=-⎩……………………………………6分19．已知：线段a b c、、………………………………………………………1分求作：,ABC∆使,,AC b BC a==D是BC的中点，且AD c=……2分(或：求作,ABC∆使,,AC b BC a==BC边上的中线AD c=) 结论：如图，ABC∆即为所求.…………………………………………6分20．解：由题知35,45, 5.43A CBD AB∠=∠==米设大树CD的高为x米∵45,90CBD CDB∠=∠=ABC Dabc∴45BCD CBD ∠==∠∴CD BD x ==………………………………………………2分 ∵在Rt ACD ∆中，tan CD A AD∠=∴tan 35 5.43x x ∠=+解得 5.43tan 351tan 35x =-…………………………………………5分∵tan 350.70,≈∴ 5.430.712.671310.7x ⨯≈=≈-答：大树CD 的高度为13米. ……………………………………6分21．解：原式2121x x x x x ⎛⎫--+=÷ ⎪⎝⎭…………………………………2分 ()211x xx x -=⨯-…………………………………………4分11-=x ……………………………………………………6分当13+=x 时…………………………………………………7分113111-+=-x ………………………………………………8分3=10分22．解：(1)过点A 作AD x ⊥轴于D31tan =∠AOC∴在Rt AOD ∆中，tan AD AOC OA∠=∴AD OD=设,3OA n OD n ==(其中0>n ) ∴在Rt AOD ∆中，AO ===又10=OA= ∴1n =∴33n = ∴()3,1A ………2分 将()3,1A 代入反比例函数xk y =2中∴13k =∴3k =∴反比例函数解析式为xy 3=………………………4分将3,2B m ⎛⎫-⎪⎝⎭代入x y 3=中 ∴3232m ==-- ∴3,22B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭……………6分将()33,1,,22A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入b ax y +=1中， 得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=b a b a 23231 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==132b a∴1213y x =-…………………………………………8分(2)由图像知，当23-<x 或30<<x 时，21y y <……………………10分23. (1) 60 10.5 ………………………………2分(2)解：第四组有作品18146432660=+++++⨯(件) 第六组有作品3146432160=+++++⨯(件)∴第四组的获奖率为105,189=第六组的获奖率为2.352,93< ∴第六组的获奖率较高.…………………………………5分 (3)解：画树状图如下…………………………8分由图(表)知，所有等可能的结果有l2种，其中刚好是(B ，D)的有2种， 所以刚好展示B 、D 的概率为21.126P ==……………………10分24．(1)证明：连接.AC …………………………1分//,,DC AB AB BC =∴1, 2.CAB CAB ∠=∠∠=∠ ∴1 2.∠=∠90,.ADC AEC AC AC ∠=∠==∴,ADC AEC ∆≅∆……………3分 ∴.CD CE =90,34,FDC GEC ∠=∠=∠=∠∴,FDC GEC ∆≅∆∴.CF CG =……………………5分(2)解：由(1)知，2,CE CD ==∴48,BE CE ==∴10,AB BC CE BE ==+=∴在Rt ABE ∆中，6,AE ==∴在Rt ACE ∆中，AC ==……………………7分法一：由(1)知，,ADC AEC ∆≅∆ ∴,,CD CE AD AE ==∴C A 、分别是DE 垂直平分线上的点，∴,2.DE AC DE EH ⊥=………………………………………………8分 在Rt AEC ∆中，11,22AEC S AE CE AC EH ∆=⋅=⋅∴5AE CE EH AC⋅=== …………………………9分∴2255DE EH ===…………………………10分ABC DEF G H1 2 3 4 56 7法二：在Rt AEC ∆中，2690,∠+∠=在Rt AEH ∆中，5690,∠+∠=∴2 5.∠=∠,,AD AE AB BC ==∴57,2,CAB ∠=∠∠=∠ ∴7,CAB ∠=∠∴,ADE BAC ∆∆ ……………………………………9分∴,DE AEACBC=6,10=∴5DE =………………………………………………10分25．解：(1)当200100≤<x 时，28252+-=x y .(略解：100200.810x y -=-⋅)当300200≤<x 时，132.10y x =-+(略解：把200=x 代入28252+-=x y得12=y ，∴20012110x y -=-⋅)………………………………2分(2)当200100≤<x 时，)4801520()40(+--=y x w2000)28252)(40(-+--=x x 312051562522-+-=x x22(195)7825x =--- 0252<-，当195=x 时，78w =-最大…………………………………………4分 当300200≤<x 时，)4801520()40(+--=y x w2000)32101)(40(-+--=x x3280361012-+-=x x 21(180)4010x =---∴对称轴是直线180=x,0252<-300200≤<x∴80w <-…………………………………………6分∴投资的第一年该“用电大户”是亏损的，最少亏损为78万元.……………7分 (3)依题意可知，当200100≤<x 时，第二年w 与x 之间的函数关系为2(40)(28)7825w x x =--+-当总利润刚好为1842万元时，依题意可得184278)28252)(40(=-+--x x ……8分整理，得0380003902=+-x x 解得，200,19021==x x∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定为190元或200元.……………9分对228,25y x =-+y 随x 的增大而减小∴使销售量最大的销售单价应定为190元．………………………………10分26．解：(1)由题意，(1,0)A -对称轴是直线1=x∴(3,0)B ……………………………………………………………………1分把)0,1(-A ，)0,3(B 分别代入c x ax y +-=22得⎩⎨⎧+-=++=.690,20c a c a ……………2分解得⎩⎨⎧-==3,1c a∴这个二次函数的解析式为22 3.y x x =--………………………………3分 (2) 直线131+-=x y 与y 轴交于)1,0(D ，∴1OD =由2223(1)4y x x x =--=--得)4,1(-E连接,CE 过E 作EF y ⊥轴于F (如图1)，则1=EF抛物线223y x x =--与y 轴交于(0,3)C -∴3,1OC OB CF EF ====∴45,OBC OCB FCE ∠=∠=∠=2322=+=OC OB BC ,222=+=FE CF CE∴90,BCE BOD ∠==∠OD CE=21233==BCOB∴ODOBCE BC=∴BOD BCE ∆∆ ……………………………………6分 ∴CBE DBO ∠=∠∴45DBC CBE DBC DBO OBC αβ-=∠-∠=∠-∠=∠=………………7分 (3)设(1,)P n `PC PA =∴22,PA PC = 即2222(11)(0)(10)(3)n n ++-=+++ 解得1-=n∴222(11)(10)5PA =++--=∴25BDW S PA ∆== ………………………………8分 法一：设存在符合条件的点2(,23),M m m m --则0>m ①当M 在直线BD 上侧时，连接OM (如图1)， 则5BDM OBM ODM BOD S S S S ∆∆∆∆=+-= 即1115222M M OB y OD x OB OD ⋅+⋅-⋅=52321)32(232=-+--m m m 整理，得022532=--m m 解得21-=m (舍去)，3112=m把311=m 代入322--=m m y 得928=y∴1128(,)39M ……………………………………10分②当M 在直线BD 下侧时，不妨叫1,M 连接1OM (如图1)， 则1115BDM BOD BOM DOM S S S S ∆∆∆∆=+-=(图1)即111115222M M OB OD OB y OD x ⋅+⋅-⋅=2331[(23)]5222m m m +----= 整理，得02532=--m m 解得1212,3m m ==-(舍去)把2=m 代入223y m m =--得3-=y ∴1(2,3)M -综上所述，存在符合条件的点,M 其坐标为)928,311(或)3,2(-. ………………………………………………………………12分 法二：设存在符合条件的点2(,23),M m m m --则0>m ①当M 在直线BD 上侧时，过M 作//MG y 轴， 交DB 于G (如图2)设D B 、到MG 距离分别为12,,h h 则5BDM DMG BMG S S S ∆∆∆=-=即1211522MGh MGh -=5)(||2121=-⋅-h h y y G M53)]131(32[212=⋅+----m m m 整理，得022532=--m m 解得21-=m (舍去)，3112=m把311=m 代入322--=m m y 得928=y∴1128(,)39M ……………………………………10分②当M 在直线BD 下侧时，不妨叫1,M 过1M 作11//M G y 轴，交DB 于1G (如图2) 设D B 、到11M G 距离分别为12,h h 、则11115BDM DM G BM G S S S ∆∆∆=+= 即11111211522M G h M G h ⋅+⋅=11121()52G M y y h h -⋅+=211[1(23)]3523m m m -+---⋅= 整理，得02532=--m m 解得31,221-==m m (舍去)把2=m 代入322--=m m y 得3-=y ∴1(2,3)M -综上所述，存在符合条件的点,M 其坐标为)928,311(或)3,2(-.…………12分 法三：①当M 在直线BD 上侧时，过M 作//,MH BD 交轴于,H 连接(如图3)则5DHB BDM S S ∆∆==,即152DH OB ⋅=1352DH ⋅= ∴103DH =∴13(0,)3H∴直线BH 解析式为11333y x =-+联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=32313312x x y x y 得⎩⎨⎧=-=52y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==928311y x M 在y 轴右侧, ∴M 坐标为)928,311(…………………………………………10分②当M 在直线BD 下侧时，不妨叫1,M 过1M 作11//M H BD ，交y 轴于1,H 连接1BH (如图3)，同理可得3101=DH∴17(0,)3H -∴直线1BH 解析式为1733y x =--联立⎪⎩⎪⎨⎧--=--=3237312x x y x y 得⎩⎨⎧-==32y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=92031y x (图3)1M 在y 轴右侧，∴1M 坐标为)3,2(-综上所述，存在符合条件的点,M 其坐标为)928,311(或)3,2(-.…………12分。