重点高中自招必备-九年级-专题16-相似三角形的性质

专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有:1. 对应角相等；2. 对应边成比例；3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4. 周长之比等于相似比；5. 面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于△ ABC, AD丄BC,设BC =a , AD =h，试用a、h的代数式表示正方形的边长.C例题与求解【例1】如图，已知口ABCD中,过点B的直线顺次与AC,AD及CD的延长线相交于E, F, G,若BE = 5 , EF =2，则FG的长是______________ .（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.【例 2】如图，已知△ ABC 中，DE// GF// BC,且 AD : DF : FB ^1:2:3 ,贝V S\ ADE : S 四边形DFGE :目边形FBCG -(A.1：9:36B.1：4:9C.1:8: 27D. 1:8:36解题思路：△ ADE ,A AFG 都与△ ABC 相似，用△ ABC 面积的代数式分别表示厶 ADE 、四边形DFGE四边形FBCG 的面积.【例3】如图，在△ ABC 的内部选取一点 P ,过P 点作三条分别与厶 ABC 的三边平行的直线，这样所得 的三个三角形t !，t 2, t 3的面积分别为4, 9和49，求△ ABC 的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑 应用相似三角形的性质•如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到:①△ FDP IPEPHGABC;HG IEDF②=1 ;BC AC ABDE FG HI③+ +=2 ;BC ACAB④ ABC=( •.匕■、'匚石2 .上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心 独运，请读者给出证明.【例4】如图，△ ABC 中，0是三角形内一点，满足 .BAO=. CAO 二.CBO 二.ACO . 求证：BC^AC AB .（北京大学自主招生考试试题）解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题.设P 是△ ABC 内一点，满足（黑龙江省中考试题）.PAB = / PBC = / PCA户，称点P是厶ABC的布洛卡点，则有cot WBAC cot /ABC cot NACB = cot v .【例5】如图，在梯形ABCD中，AD// BC, AD = 3, DC =5 , AB =4. 2 , . B = 45 .动点M 从 B 点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1 个单位长度的速度向终点D运动，设运动的时间为t秒.（1）求BC的长；（2）当MN // AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形. （济南市中考试题）解题思路：对于（2）,由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3）,需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.A D【例6】 设厶A i B i C i 的面积为$,△ A 2B 2C 2的面积为：：弋），当△ A i BQ sA A 2B 2C 2，且0.3乞§乞0.4时，则称△ A i B i Ci 与厶A 2B 2C 2有一定的“全等度” •如图，已知梯形 ABCD, AD// BC, S2ZB =30*，/BCD =60 ［连接AC（厦门市中考试题）（1 ）若AD=DC ，求证：△ DAC 与厶ABC 有一定的“全等度”；（2）你认为：△。

人。

与厶ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出 一个反例说明.解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例 说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..能力训练2. 如图，△ ABC 中，CE:EB=1:2 , DE// AC.若厶ABC 的面积为 £则厶ADE 的面积为（苏州市中考试题）1.如图，在△ ABC 与厶BED 中，若AB BC BDBEAC DE且^ ABC 与厶BED 的周长之差为 10cm ,（第1题）（第 2 题） （第 3 题）C3.如图，在厶ABC 中，DE / BC, DE , CD 交于F ,且S A E=3绻 ，则S △应:?△4.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为（荆州市中考试题）误的是（）CN N 点在CD 上.若.BMN =/MBC ，则—— 的值为ND（第 9 题）AN ON A.-AM OMBS AONES ^OMBAN 2 AM 2AN OEC.AM "O C2ONS AADED. 20MSA ABC1 A.-22 D53cm 和4cm ,则此正方形的边长为 cm.（武汉市中考试题）5.如图，口 ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点, EF 交AC 于点0，FE 的延长线交CB 的延长线于G 点，那么S AAOF:S ^ COG =（A.1： 4C.2:5D.1：2（第 5 题） （第 6 题） （第 7 题）6.如图，直角梯形ABCD 中， BCD =90 , AD / BC, BC=CD, E 为梯形内一点，且 BEC = 90 .将△ BEC 绕点C 旋转90° 使BC 与DC 重合，得到△ DCF,连接EF 交CD 于点M.已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC 的值为（A.5: 3B.3:5C.4:3D.3: 47.如图，△ ABC 中, DE// BC, BE 与CD 交于点0, A0与DE,BC 分别交于点N ，M ，则下列结论错8.如图，在正方形 ABCD 中,M 是AD 的中点, （第 8 题） C于F , OE 丄OB 交BC 于点E.图1图2(1) 求证：△ ABF COE(2) 当O 为AC 边中点，AC =2时，如图2,求2匚的值；AB OE AC OF (3) 当O 为AC 边中点，一一=门时，请直接写出 一一的值•ABOE9.如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC, ACD Z B.求证:AB 2CD 2BCAD10.如图1，在Rt A ABC 中, .BAC =90 ,AD 丄BC 于点D ,点O 是AC 边上一点，连接 BO 交 AD(武汉市中考试题)11. 设 ABC(1) (2) (3) 如图，△ ABC 中，AB =4 , D 在AB 边上移动(不与 A , B 重合)，DE / BC 交AC 于E ,连接 CD. SA DEC 当D 为AB 中点时，求0： S 的值； 当AD=x , $二y ，用x 的代数式表示y ,并求x 的取值范围； S 1 是否存在点 D ,使得S • S ?若存在，求出 D 点位置；若不存在, 4 请说明理由 . (福州市中考试题)12.在等腰△ ABC 中，AB =AC =5 , BC =6.动点M , N 分别在两腰 AB, AC 上（ M 不与A , B 重 合，N 不与A , C 重合），且MN // BC 将厶AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为P . （1 ）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上；（2）设MN ，△ MNP 与等腰△ ABC 重叠部分的面积为 y ，试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值 时，y 的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）21.如图，在△ ABC 中，DE// FG// BC, GI // EF// AB.若厶 ADE,A EFQ △ GIC 的面积分别为 20cm ， 45 cm 2， 80 cm 2，则厶ABC 的面积为（第1题） 2.如图，梯形 ABCD 中，AD // BC, • ABC =90，对角线AC 丄BD 于P 点，已知AD : BC =3: 4，则（绍兴市中考试题）3.如图，正方形OPQR 内接于△ ABC,已知△ AOR, △ BOP 和厶CRQ 的面积分别是 S^1，$ = 3和S 3 =1，（第 2 题）BD : AC 的值是那么正方形 OPQR 的边长是（ （全国初中数学联赛试题）A.2（第 3 题）C（第 4 题） （第 5 题）4. 如图，梯形 ABCD 中，AB// CD,且CD =3AB , EF// CD, EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分, 则 AE:ED -（ ）3 A.2B.-25. 如图，△ ABC 中，D ，E 分别是边 BC, AB 上的点，且 N 1=N 2=N 3.如果△ ABC,^ EBD △ ADC 的周长依次是 m ，m j ，m 2，证明： 凹一 <-.m 4（全国初中数学联赛试题）6. 如图，卩是厶ABC 内的一点，等长的三条线段 DE,FG 和HI 分别平行于边 AB, BC 和CA,并且AB=12，（第 6 题） 7. 如图，锐角△ ABC 中，PQRS >^ ABC 的内接矩形，且ABC 二nS 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数.求证：为无理数.AB（“希望杯”邀请赛试题）BC =8 , CA =6.求证：AI :IF : FB =1:5:3（第 7 题）（上海市竞赛试题）（江苏省竞赛试C8. 如图，已知直线l i的解析式为y=3x・6，直线l i与x轴，y轴分别相交于A, B两点，直线S经过B, C两点，点C的坐标为(8,0).又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线12上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度•设移动时间为t秒.(1) 求直线12的解析式；(2 )设厶PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式;(3) 试探究：当t为何值时，△ PCQ为等腰三角形？9. 如图，设△ ABC三边上的内接正方形(两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上)的面积相等.求证：△ ABC为正三角形. (江苏省竞赛试题)AD CG10. 在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知k，连接DE 与AF交于点P，连接CPAB CEAF(1) 如图1，当k=1时，点B, C，E三点在同一条直线上，求的值.DE(2) 如图2，当k=1时，将图1中的矩形CEFG绕点C顺时针旋转一个角度.AF①求A匚的值；DE②求证：CP丄AF.11.在直角梯形 ABCD 中，CB// 0A , • COA =90 , CB =3 , OA =6 , 边所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系(1) 求点B 的坐标；(2) 已知D , E 分别为线段 OC, OB 上的点，OD =5 , OE =2EB ，直线DE 交x 轴于点F ,求直线 DE 的解析式；(3)点M 是(2)中直线DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N ,使以O 、D 、(山西省中考试题)专题16 相似三角形的性质(3)如图3,当k -1时，请直接写出用含 AF的值.BA =3.5.分别以 OA , OC M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由Fk 的式子表示的F例 110.5 提示：BJ = _A E 一E.F例 2 CEG E C B E例4 解法一：如图1，过点0作AC 的平行线交BC , AB 于点D ,E .T DE // AC ,：/ OAC= / I ,：/ 1 = / BAO ,vZ OAC= / OCA ,「. AO = OC , AE=OE ,「.A AOEAB AEC^=CD ②，^ 2= / OBC ，Z BCO = / BCO ，:^ OC D 心OC BCAB OC OC AECD*BC BCOE CD OC ， AC AB=1 (AO =OC, BC 2:BC 2 =AC AB .解法二：如图2，不妨设AB >AC,延长CA 至点P ，使CP=AB,连接PB, PO.BA 二 PCI在厶 BAO 和厶 PCO 中，［EBAO 二/PCO ，AO =CO:△ BAO ^^ PCO ：/ CPO=/ ABO. :O ，A ，P, B 四点共圆，：/ OAB=/ OPB=/ OBC. 而/ CPO=/ ABO, ：/ ABC=/ CPB, 又/ ACB=/ BCP, :△ CBA^^ CPB,AC BC:，注意到PC=AB ,BC PC2:BC =AC AB ，即△ ABC 三边成比例.例 5 提示：(1) BC=10(2)如图1，过点D 作DG / AB 交BC 于点G ,则BG=AD=3, GC=7, MN // DG ,例3 144 提示AC0「茅 °O ①」DE/ AC，CD③，①迪乜得BCO ，图1当 M , N 运动 t 秒时，CN=t , CM=10-2t , 丄人人/口 CN CMt 10 _2t50由厶MNC s\GDC,得 ，即，解得t ：CD CG57 1710(3) ①当 NC=MC 时，如图 2，则 t=10-2t , t =2° ；3，② 当MN=NC 时，如图3，过点N 作NE 丄MC 于点E ,过点D 作DH 丄BC 于点H ,,,口 CN ECt 5_t 25由厶NE3A DHC,得，即，解得t ：CDHC53811 ③ 当MN=MC 是，如图4,过点M 作MF 丄CN 于点F ,则FC NC t .221t由厶MF8A DHC,得王二竺，即二二竺兰，解得上=史.HC DC 3 517例 6 (1 )T AD=DC ,•••/ DAC=Z DCA.•/ AD // BC,•••/ DAC=Z ACB.•••/ BCD=60°,•••/ DCA=Z ACB=30°. •••/ B=30°•••/ DAC=Z B=30° • △ DAS A ABC.过点D 作DE 丄AC 于点E.• AD=DC, • AC=2EC.在 Rt A DEC 中，•••/ DCA=30°,” EC 証 …cos _DCA = DC 2DC 11 0.3,3S.DACSABC图1图2图3图42AC•/ 0.3 乞 S.DAC 乞 0.4 ,S ABC•••△ DAC 与厶ABC 有一定的 全等度”.(2)厶。