高等数学第二章第一节 教案
同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
同济大学高等数学《导数及其应用》w o r d教案(总35页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第 9 次课 2 学时第二章 导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1 导数的概念 一、 引例 1、切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即00)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，00)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，00)()(lim 0t t t s t s v t t --=→二、 导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
高一数学必修第二章教案
第二章函数概念与基本初等函数§2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作=.y f x()其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()=定义域.y f x对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B 的子集.即集合B 中可能有元素在集合A 中找不到对应的输入值.集合A 中每一个输入值，在集合B 中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B 中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号 ()f x 的理解知道 y=()f x 与 ()f x 的含义是一样的，它们都表示是 的函数，其中 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.(2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=()f x 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲[例1]设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数.错解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 2200220,2,2,2,0,2222220a a a a a a b b b b b b c c c c c c →-→-→→→→⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→→-→→-⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→-→→-→⎩⎩⎩⎩⎩⎩，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有202a b c →⎧⎪→⎨⎪→-⎩一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a a b b b b c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩[例2]已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域错解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.正解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0][例3]已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f . 错解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=- 故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2[例4]已知()f x 的反函数是1()f x -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.[例5]求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域.错解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=Q又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2， ()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，[例6]已知()34f x x =+，求函数1(1)f x -+的解析式.错解：由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37,y x ∴=+即73y x -=，∴1(1)f x -+=73x -错因：将函数1(1)f x -+错误地认为是(1)f x +的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上(1)f x +与1(1)fx -+并不是互为反函数，一般地应该由()f x 先求1()f x -，再去得到1(1)f x -+.正解：因为()34f x x =+的反函数为1()fx -＝43x -， 所以1(1)f x -+＝(1)4333x x +--=＝113x - [例7]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x +=+()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++ 211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x + (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥） （3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x+=1(0),1(1)u x u u =+≥=-≥与1()2()f x f ax x+= 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a ax x -. 点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例8] 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值. 分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y Θ 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-= ,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..[例9]设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有 ()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =， 得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1. 已知函数f(x)，x ∈F ，那么集合{(x ，y)|y=f(x)，x ∈F}∩{(x ，y)|x=1｝中所含元素的个数是（ ）A.0B.1C.0或1D.1或22.对函数b ax x x f ++=23)(作代换x =g(t)，则总不改变f (x )值域的代换是( ) A.t t g 21log )(= B .t t g )21()(= C.g(t)=(t －1)2 D.g(t)=cost3.方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是 ( )4.（06年高考全国II ）函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为A ．190 B.171 C.90 D.455. 若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A.3B.23C.－23 D.－3 6.已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++= .7.已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.8.已知函数()f x 是函数21101x y =-+（∈x R ）的反函数，函数()g x 的图像与函数431x y x -=-的图像关于直线y ＝x －1成轴对称图形，记()F x ＝()f x +()g x .（1）求函数F （x ）的解析式及定义域；（2）试问在函数F （x ）的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.A B C D§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()=的定义域为I，如果定义域I内y f x某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()=的定义域为I，如果定义域I内y f x某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数1()3x y -=的单调性.错解：1101,()33x y -<<∴=Q 是减函数 错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为3xy =，从而可判断出其单调性.正解： 令t x =-，则该函数在R 上是减函数，又1101,()33t y <<∴=Q 在R 上是减函数，∴ 1()3x y -=是增函数[例2]判断函数()(1f x x =+的奇偶性.错解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===∴()(1f x x =+是偶函数 错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x-≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断2()log (f x x =的奇偶性.错解：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f ∴)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立.正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f ＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数[例4]函数y=245x x --的单调增区间是_________.错解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--[例5] 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.错解：∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)= f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0解得x >2或x <－3又 f (x )是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x ＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得,故0<x <6, 又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},[例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x ＋1)；(2)|lg |10x y =.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，当x ＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22x x x x y这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0， 所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.[例7]若f(x)= 21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围 解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++ 12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x x x x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++ 由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得 12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.[例8] 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xy y x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --) ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0， 即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点. 四、典型习题导练1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05年高考重庆卷） 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B. ),2(+∞ C . ),2()2,(+∞--∞Y D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = .4. （05年高考辽宁卷）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A.0<λB.0=λC.10<<λ D.1≥λ. 5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x ＝3(1)x x +，求()f x .6. 已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0, 当x >－21时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7.已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25. (1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.§2.3 基本初等函数一、知识导学1. 二次函数的概念、图像和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠二次函数的顶点式2()()(0)f x a x m na =-+≠和 二次函数的坐标式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.①2()(0)f x ax bx ca =++≠，当240b ac ∆=->时图像与x 轴有两个交点.M （x 1,0）N(x 2,0),|MN|=| x 1- x 2|=||a . ② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数x y a =(0,1)a a >≠和对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的概念和性质.（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：①m n m n a a a +⋅=；②()m n mn a a =；③()n n nab a b =（这时m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log ()log log ;log log log a a a a a a M M N M N M N N⋅=+=-1log log ;log log n a a a a M n M M n ==； log log log c a cb b a = （2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.①指数函数图像永远在x 轴上方，当a ＞1时，图像越接近y 轴，底数a 越大；当0<a<1时，图像越接近y 轴，底数a 越小.②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a 的讨论.③当a>1时，图像越接近x 轴，底数a 越大; 当0<a<1时，图像越接近x 轴，底数a 越小.3.幂函数y x α=的概念、图像和性质. 结合函数y=x,y=x 2 ,y=x 3,y=12,y x y x --==,y=12x 的图像，了解它们的变化情况.①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴.③当x>1时，指数大的图像在上方.二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误：（1a ，（2）log ()log log ;log ()log log a a a a a a M N M N M N M N +=+⋅=⋅3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4.函数()f x y a=的研究方法一般是先研究()f x 的性质，再由a 的情况讨论()f x y a =的性质.5.对数函数log a y x =(0,1)a a >≠与指数函数x y a =(0,1)a a >≠互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.6.幂函数y x α=的性质，要注意α的取值变化对函数性质的影响. （1）当奇奇=α时，幂函数是奇函数；（2）当奇偶=α时，幂函数是偶函数；（3）当偶奇=α时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲[例1]已知18log 9,185,b a ==求36log 45错解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183618181818log 45log 5log 9log 45log 36log 4log 9log 4b a a++===++ 错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b a a a a ++++=====+-++[例2]分析方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）的两个根都大于1的充要条件.错解：由于方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）对应的二次函数为 2()f x ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标都大于1即可.故需满足(1)012f b a >⎧⎪⎨->⎪⎩，所以充要条件是(1)012f b a>⎧⎪⎨->⎪⎩ 错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x 轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x 轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.正解：充要条件是2(1)01240f b ab ac >⎧⎪⎪->⎨⎪⎪∆=-≥⎩ [例3]求函数361265x xy =-⋅-的单调区间. 错解：令6x t =，则361265x xy =-⋅-＝2125t t -⋅- ∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数，当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265x xy =-⋅-的单调递减区间是(,6]-∞，单调递增区间为[6,)+∞错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令6x t =，则6x t =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数，当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265x xy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞[例4]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 错解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.正解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例5]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠ 显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.[例6]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(xx +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法. [例7]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x-=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误. [例8] 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) =12-a a (x －x 1)(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M .分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==-- ,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a a a x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且Θf(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f ΘΘ又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m 点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会. 四、典型习题导练 1. 函数bx a x f -=)(的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b aD.0,10<<<b a（05年高考福建试题）2、已知2lg(x －2y)=lgx+lgy,则y x 的值为（ ）A.1B.4C.1或4D.4 或83、方程2)1(log 2=++x x a (0<a<1)的解的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34、函数f(x)与g(x)=(21)x的图像关于直线y=x 对称,则f(4－x 2)的单调递增区间是( ）A.[)+∞,0B.(]0,∞-C.[)2,0D.(]0,2-5、图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 可取±2，±12四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为( ) A.－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2C. －12，－2,2，12D. 2，12，－2, －126. 求函数y = log 2 (x 2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.7.若x满足3log 14)(log 24221≤+-x x ,求f(x)=2log 2log 22xx 最大值和最小值. 8.已知定义在R 上的函数()2,2x x af x =+a 为常数 （1）如果()f x ＝()f x -，求a 的值；（2）当()f x 满足（1）时，用单调性定义讨论()f x 的单调性.§2.4 函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f (x )=g (x )的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f (x )=g (x )的根，就是求函数y ＝f (x )与y =g (x )的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标. 3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间[a,b]上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难知识导析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时应满足：02()0()0b m n af m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅<。
《高等数学》教案 第二章 极限与连续
时刻以后，恒有 y ≤ M ，则称 y 在该时刻以后为有界变量。 3、定理（有界性）：如果在某一变化过程中，变量 y 有极限，则变量 y 是有
界变量。 4、定理（唯一性）：如果在某一变化过程中，变量 y 有极限，则变量 y 的极
（2）解不等式 c x − x0
<ε
（或 cG(x) < ε ），得
x − x0
< ε （或 c
x
> N (ε ) ）；
（3）取 δ
= ε （或取正整数 M c
= N (ε ) ），则当 0 <
x − x0
< δ （或当
x
>M）
时，总有 f (x) − A < ε ，即 lim f (x) = A （或 lim f (x) = A ）
为当 x → x0 时，f (x)的右极限，记作
lim f (x) = A
x → x0+
或 f (x0＋0) ＝A。
四、关于函数极限的定理
1、定理： lim f (x) = A 成立的充分必要条件是： lim f (x) = lim f (x) = A
x → x0
x → x0+
x → x0−
注意：证明极限不存在常用的方法就是从证明左、右极限入手。或者说明一
例子：
yn
=1+
1 2n
，
yn
=1−
1 n
，
yn
=
1 + (−1)n 2
二、数列的极限
举例：圆内接正多边形面积，当边数越来越大时，面积越接近圆面积，当无
高一数学必修2第二章教案(完整版)
（必修二）高中数学第二章教案2.1.1 平面二、教学重点、难点重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握及运用.观察并思考以下问题：1.长方体由哪些基本元素构成? 答：点、线、面.2.观察长方体的面,说说它的特点？答：是平的.指出：长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象.（二）探究新知1.平面含义指出：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。
平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2.平面的画法及表示①平面的画法：和学生一起,老师边说边画,学生跟着画.在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成045，且横边长画成邻边长的两倍；画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画.②平面的表示方法平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.3.点及平面的关系及其表示方法指出：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.点A在平面α内，记作：Aα∈点B在平面α外，记作：Bα∉想一想：点和平面的位置关系有几种?4.平面的基本性质思考：如果直线及平面有一个公共点P，直线是否在平面内?如果直线及平面有两个公共点呢? 要让学生充分发表自己的见解.观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上.得出结论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……引导学生归纳出公理2公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.符号表示为：A、B、C三点不共线=> 有且只有一个平面使A∈α、B∈α、C∈α公理2作用：确定一个平面的依据.补充3个推论：推论1：经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面.教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义.引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线及直线之间的位置关系二、教学重、难点：1．重点: （1）空间中两条直线的位置关系的判定；（2）理解并掌握公理4.2．难点: 理解异面直线的概念、画法.四、教学过程：（一）复习引入1. 前面我们已学习了平面的概念及其基本性质.回顾一下，怎样确定一个平面呢？（公理3及其三个推论）2 .在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空间中呢？（二）新课推进1.空间中两条直线的位置关系以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题共面直线相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线.（2）判断：下列各图中直线l及m是异面直线吗?αlmlmαβαlm lαβmlmαβlmαβ让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解，又可引出异面直线的画法，还为下面的辨析作好铺垫.（3）画法：用一个或两个平面衬托（4）辨析 ①空间中没有公共点的两条直线是异面直线. ②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线. ③不同在某一平面内的两条直线是异面直线.④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线. ⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 .（5）结合实例小结判断异面直线的关键① 例1：在正方体1111ABCD A B C D -中,哪些棱所在的直线及1BA 成异面直线?αl m αl ml m αβl m αβ②合作探究如右图所示是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB 、CD 、EF 、GH 这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？ 让学生根据异面直线的定义判断在几何体上的具有异面直线位置关系的两条直线.培养学生的空间想象能力,加深对异面直线概念的理解.③判断异面直线的关键：既不相交，又不平行.3．公理4的教学⑴思考：在同一平面内,如果两条直线都及第三条直线平行,那么这两条直线平行。
高一数学第二章第一节教案
课程名称：函数的简单性质、映射课程类别：新课任课老师：寇老师授课对象：高一学生教学目的和要求：理解函数的单调性及怎么样的函数是单调函数，，理解什么是单调曾增函数和单调减函数，什么是单调增区间什么是单调减区间，什么是函数的最大值和最小值及它们的求法。
教学重点及难点：教学重点：什么样的函数具有单调性，单调增函数，单调减函数，单调增减区间，函数的最大值和最小值。
教学难点：如何判断一个函数是增函数还是减函数，怎样确定函数的单调增减区间，怎样求函数的最大最小值。
教学过程：引导学生看课本，直接给出单调函数的定义。
单调增函数：一般地，设函数y=（x ）的定义域为A ，区间A I ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当21x x <时，都有）（）（21x f x f <，那么就说y=（x ）在区间I 上是单调增函数，I 称为y=（x ）的单调递增区间。
单调递减函数：如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时都有)(f x f 21x >）（，那么就说y=（x ）在区间I 上是单调减函数，I 称为y=（x ）的单调递减区间。
然后对课本上例题讲解例1 画出下列函数图像，并写出单调区间；（1）2-x y 2+=；（2））（0x x 1y ≠=. 例2 求证函数1x1-x f —）（=在区间()0-，∞上是单调增函数。
给出函数最大值和最小值的定义：函数的最大值：一般地，设y （x ）的定义域为A ，如果存在A ∈0x ，都有）（）（0x f x f ≤，那么称）（0x f 为）（x f y =的最大值，记为）（0max x f y =； 函数的最小值：如果存在A ∈0x ，使得对于任意的A ∈x ，都有）（）（0x f x f ≥，那么称）（0x f 为y=f （x ）的最小值，记为）（0min x f y = 引导学生看下课本中的例题，并讲解。
做课后习题加强理解。
(word完整版)高等数学(上册)第二章教案
第二章、一元函数微分学及其应用教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
所需学时：24学时（包括：22学时讲授与2学时习题）第一节：导数的概念及其基本求导公式1、引入（切线与割线）在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x 是时间t 的函数，y=f （x ），求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 0有增量△t 时，质点的位置有增量，这就是质点在时间段△t 的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：.若质点是匀速运动的则这就是在t 0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t 0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t 无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 0时的瞬时速度，为此就产生了导数的定义，如下： 2、导数的定义定义：设函数y=f （x ）在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x 在x 0处有增量△x(x+△x 也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y 与△x 之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为y=f （x ）在x 0处的导数。
高等数学教案Word版(同济)第二章1
第一讲I 授课题目:§2.1 导数概念II 教学目的与要求:1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义；2. 会用导数描述一些物理量；3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。
III 教学重点与难点: 重点：导数的概念难点：用导数的定义判断函数的可导性IV 讲授内容:微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。
主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。
先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。
一、直线运动的速度，切线问题1．直线运动的速度先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。
此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s （简称位置），运动完全由位置函数所确定。
位置函数：)(t f s = （1）从时刻0t 到t 一个时间间隔，有平均速度为：000)()(t t t f t f t t s s --=-- （2） 时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t 的速度，但动点在时刻0t 的速度的精确概念还得让0t t →，即：0)()(lim 0t t t f t f v t t --=→ （3） 极限值叫做动点在时刻0t 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。
2． 切线问题建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点处的切线的斜率为：0lim 0x x k x x -=→ （4） 割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数讨论知，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式：0)()(lim 0x x x f x f x x --→ （5） 此处的0x x -和)()(0x f x f -的分别是函数)(x f y =的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆式（5）写成：0000()()lim lim x x f x x f x y x x∆→∆→+∆-∆=∆∆ （6） 由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、课程简介《高等数学》是工科、理科以及部分经济管理科学专业的一门基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握数学分析、线性代数、概率论等基本理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 理解并掌握高等数学的基本概念、原理和方法。
2. 能够熟练运用高等数学知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
三、教学内容第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质2. 函数的连续性3. 极限的运算法则4. 无穷小与无穷大5. 极限存在的条件第二章：导数与微分1. 导数的概念2. 基本导数公式3. 导数的运算法则4. 高阶导数5. 微分第三章：积分与不定积分1. 积分概念2. 基本积分公式3. 积分的运算法则4. 不定积分5. 定积分第四章：级数1. 数项级数概念2. 收敛性与发散性3. 级数的运算法则4. 幂级数5. 傅里叶级数第五章：常微分方程1. 微分方程的概念2. 一阶微分方程的解法3. 高阶微分方程4. 线性微分方程5. 微分方程的应用四、教学方法采用讲授、讨论、实践相结合的方法，引导学生主动探索、积极参与，培养学生的动手能力和创新能力。
五、教学评价1. 平时成绩：包括作业、小测、课堂表现等，占总评的40%。
2. 期中考试：测试学生对高等数学知识的掌握程度，占总评的30%。
3. 期末考试：全面测试学生的综合素质，占总评的30%。
六、多元函数微分学1. 多元函数的概念2. 多元函数的求导法则3. 偏导数4. 全微分5. 多元函数微分学在实际问题中的应用七、重积分1. 二重积分概念及性质2. 二重积分的计算3. 三重积分概念及性质4. 三重积分的计算5. 重积分的应用八、向量分析1. 空间解析几何基础2. 向量的概念及运算3. 空间向量的线性运算4. 空间向量的数量积与角积5. 空间向量的坐标运算及其应用九、常微分方程初步1. 微分方程的概念与分类2. 常微分方程的解法3. 常微分方程的数值解法4. 常微分方程的应用5. 常微分方程在工程与科学计算中的重要性十、线性代数的应用1. 线性方程组及其解法2. 矩阵的概念与运算3. 特征值与特征向量4. 二次型及其判定5. 线性代数在实际问题中的应用十一、概率论与数理统计1. 随机事件及其概率2. 随机变量及其分布3. 数学期望与方差4. 大数定律与中心极限定理5. 数理统计的基本方法十二、数学软件与应用1. MATLAB软件简介2. MATLAB在高等数学中的应用3. Mathematica软件简介4. Mathematica在高等数学中的应用5. 数学软件在实际问题中的应用教学方法：1. 通过案例分析、实际应用问题引导学生理解和掌握理论知识。
大学数学第二章第一节教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
（2）了解连续函数的定义，掌握连续函数的性质。
2. 能力目标：（1）培养学生运用极限概念分析和解决实际问题的能力。
（2）提高学生运用连续函数性质进行证明的能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养良好的学习习惯。
（2）培养学生的团队合作精神和创新意识。
二、教学内容1. 极限的概念及计算2. 极限的性质3. 连续函数的定义及性质4. 举例说明三、教学过程（一）导入1. 回顾一元函数的概念，引导学生思考一元函数的极限问题。
2. 提出问题：如何描述函数在某一点的极限行为？（二）讲授新课1. 极限的概念及计算（1）介绍极限的定义，以数列极限为例，阐述极限的思想。
（2）讲解极限的计算方法，如夹逼准则、单调有界准则等。
（3）通过例题，让学生掌握极限的计算技巧。
2. 极限的性质（1）介绍极限的性质，如极限的线性、保号性等。
（2）通过例题，让学生理解并掌握极限的性质。
3. 连续函数的定义及性质（1）介绍连续函数的定义，以函数在某一点的连续性为例，阐述连续性的思想。
（2）讲解连续函数的性质，如连续函数的可导性、可积性等。
（3）通过例题，让学生掌握连续函数的性质。
4. 举例说明（1）选取实际生活中的例子，如速度、加速度等，让学生运用极限和连续的概念进行分析。
（2）通过小组讨论，让学生展示自己的解题思路。
（三）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限和连续的概念、性质及计算方法。
2. 强调学习过程中要注意的问题，如极限的计算方法的选择、连续函数性质的运用等。
（四）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解极限和连续在现实生活中的应用。
四、教学反思1. 本节课通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解题技巧，提高学生的综合素质。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队合作精神和创新意识。
《高等数学》课程教案
《高等数学》课程教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对高等数学的兴趣，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生认识高等数学在自然科学和社会科学中的重要地位。
二、教学内容1. 第一章：极限与连续教学重点：极限的定义、性质，函数的连续性，无穷小比较，洛必达法则。
2. 第二章：导数与微分教学重点：导数的定义，求导法则，高阶导数，隐函数求导，微分方程。
3. 第三章：积分与面积教学重点：不定积分，定积分，积分计算方法，面积计算，弧长与曲线长度。
4. 第四章：级数教学重点：数项级数的概念，收敛性判断，功率级数，泰勒级数，傅里叶级数。
5. 第五章：常微分方程教学重点：微分方程的基本概念，一阶线性微分方程，可分离变量的微分方程，齐次方程，线性微分方程组。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 运用示例法，通过典型例题展示解题思路和技巧。
3. 组织练习法，让学生在课堂上和课后进行数学练习，巩固所学知识。
四、教学评价1. 过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、思维品质和问题解决能力。
2. 终结性评价：通过课后作业、单元测试、期中考试等方式，检验学生掌握高等数学知识的情况。
五、教学资源1. 教材：《高等数学》及相关辅助教材。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助课堂教学。
3. 习题库：提供丰富的习题，供学生课后练习。
4. 网络资源：利用网络平台，提供相关的高等数学学习资料和在线答疑。
5. 辅导资料：为学生提供补充讲解和拓展知识点的辅导资料。
六、第六章：多元函数微分学教学重点：多元函数的极限与连续，偏导数，全微分，高阶偏导数，方向导数，雅可比矩阵与行列式。
七、第七章：重积分教学重点：二重积分，三重积分，线积分，面积分，体积积分，重积分的计算方法，对称性原理。
八、第八章：常微分方程的应用教学重点：常微分方程在物理、生物学、经济学等领域的应用，求解方法，数值解法，稳定性分析。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理2：若函数 （或 ）时，函数 的有极限，则必存在 的一个邻域（除 外）（或 充分大范围外），在此邻域内函数 有界。
简言之，有极限的函数必有界。
证明：以 为例，已知 。即当 无限变大时，恒有 。
又 。
从而有 ，即 有界。
【课堂小结】
1.数列极限的概念；
南京技师学院教案（首页）
授课日期
授课班级
课题
2.1数列的极限函数的极限
计划
学时
2课时
教学目标
1.了解函数极限的定义,能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解；
2.了解函数的左、右极限及其与函数极限的关系
教学重点
解决措施
教学重点：函数极限的概念
解决措施：讲授、演示
教学难点
解决措施
教学难点：函数极限的概念
（五） 时函数 的极限
定义5.设函数 在点 的左半邻域 内有定义，如果当自变量 在此半邻域内从 左侧无限接近于 时，相应的函数值 无限接近于某个固定的常数 ，则称 为当 趋近于 时函数 的左极限.记作
。
定理1： 的充分必要条件是
．
同理可得
的充分必要条件是
例：当x 2时，函数f(x)=3x+1的极限时多少？
【新课讲授】
§2.1数列的极限函数的极限
一、数列的极限
1、定义、对于数列 ，若当自然数 无限增大时，通项 无限接近于某个确定的常数,则称 为当 趋于无穷时数列 的极限，或称数列 收敛于 。记作 或 ；
若数列 的极限不存在，则称数列 发散。
例如 数列 ，可见当 无限增大时，无限接近1，则 。
2、数列极限的几何意义：
解决措施：讲授、演示
教学设计
教学手段
教学方法
多媒体教学、板书演示
板书设计
授课提纲
2.1数列的极限函数的极限
1、复习
1.函数的概念、复合函数和初等函数的概念；
2．函数几种特性
二、引入
三、新授
（一）、数列的极限
（二）、函数的极限
（三）、无穷大量
4、练习
P24-习题1－4、9-10
五、小结
1.数列极限的概念；
当n无限变大时，数列{un}所对应的点多落在点A的 邻域内，
直观讲：当n无限变大时，由于 是任意小数列{un}所对应的点密集地落在点A的邻域。（图2.2）
y=A
图2.3n）表示数列地n项，那么数列{un}以A为极限的几何意义可表述为：当n无限变大时，数列{un}所对应的点都会靠近在直线y=A的上下，且越来越靠近。（图2.3）
。
当 时， ，同时当 时， 也趋向于 。这时记作
。
（三） 时函数 的极限
定义3.如果当 无限地接近于 时（除 外），恒有
（ 是任意小的正数），则称常数 为函数 当趋向于 时的极限。记作
（四） 时函数 的极限
定义4.设函数 的右半邻域 内有定义，如果当自变量 在此半邻域内从 右侧无限接近于 时，相应的函数值 无限接近于某个固定的常数 ，则称 为当 趋近于 时函数 的右极限。记作
2.函数的极限的概念；
【作业布置】
课内练习：P24-习题1－4、9-10
课后作业：P24-习题5－8
【教学反思】
4分钟
1分钟
55分钟
5分钟
13分钟
2分钟
提问
强调数列中n的取值是正整数
几何直观思想的应用让学生感受极限是什么
数列收敛表示数列中的各项都在极限值的附近上下移动
告诉学生怎么将中文翻译为数学语言。
2.函数的极限的概念；
作业P24-习题5－8
教学过程设计
时间
分配
教师
活动
学生
活动
【复习提问】
1.函数的概念、复合函数和初等函数的概念；
2．函数几种特性
【新课引入】
极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，是这门课程的基本推理工具。极限研究的是在自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势。数列作为可看作一种特殊的函数，如今，我们先从数列入手研究函数的极限。
例如：数列un=n2(n=1、2、3……)，当n无限变大时，数列不趋向于一个确定数，所以发散。
二、函数的极限
（一） 时函数 的极限
定义1.当 无限变大时，恒有
（ 是任意小的正数），则称常数 为函数 当趋向正无穷
大时的极限。记作
（二） 时函数 的极限
定义2.当 无限变大时，恒有
（ 是任意小的正数），则称常数 为函数 当趋向负无穷大时的极限。记作
画一个草图给学生直观认识。
函数中的x是任意实数，充分理解函数趋近常数和趋近无穷的不同意义
画图
用于判断极限是否存在
小结提问
指导练习
复习回答
回答
巩固练习