污水排放与处理

污水排放与处理摘要本文采用优化的思想，综合运用线性规划和非线性规划的分析方法，通过建立污水处理站处理方案的优化模型，使污水源公司处理污水的投资最少。

方案结合所求四个问题，分别给出了本段江水全面达到国家水质标准、每个居民点上游水质达到国家水质标准时，四个污水处理站处理过后的污水水质标准所要达到的指标，使得工厂花费的处理费用最少。

与此同时，当污水流量q ∆、污水处理站出来的污水浓度*i u 、污水处理站每流量单位降低每个浓度单位所需的资金发生相应的变化时，污水处理总资金会产生程度不同的变化，计算表明，污水流量对污水处理总资金的影响最大。

对于第四问，考虑到β发生改变，不再是定值，我们结合所设模型，引入函数j ()j f C β==4469.2*2006.4*8028.12+-j j C C ,对上面三个问题再次进行讨论。

在模型1中，在整条江全面达到国家水质标准的前提下，建立线性规划模型，解得当污水浓度分别为40mg/l 、70mg/l 、50mg/l 、80mg/l 时处理费最少，为600万元。

对于模型2，结合模型1的结论和经验，在每个居民点上游水质达到国家标准的前提下，解得只有污水处理站处理后的污水浓度达到100mg/l 、55mg/l 、50mg/l 、80mg/l 时投入的总资金最少，为90万元。

对于第三问，设置q ∆、*i u 、r 的变化比例系数，采用控制变量法，得出了三个变量增长10%、减少10%和不变时的处理费用以及处理费用的变化率，详见表1。

针对第四问，根据已知条件，比例系数β和浓度C 成负相关关系，文章采用=C e β-，可知污水浓度阈值为l mg /165.1，将=C e β-代入约束不等式组，运用MATLAB 进行非线性规划求解，即可解出自净系数随江水的污水浓度变化时，不同情况下污水处理资金的最优解。

关键词：污水处理、自净功能、线性规划、非线性规划、控制变量1 问题重述如图所示，某江沿岸有若干个污水源i W 及为之配备的污水处理站i Z )4,3,2,1(=i 和若干个居民点k H )3,2,1(=k 。

污水源i W 以i q ∆的流量向污水处理站排放浓度为i u 的污水，经污水处理站i Z 的净化处理后，污水以浓度*i u （i i u u <*）通过排污口向江中排放。

一般地，污水处理站净化污水的费用与处理前后的污水浓度差成正比，与所处理的污水量成正比，即()i i i i i T r q u u *=⋅∆⋅-，其中i r 为比例系数，它反映了污水处理站每流量单位降低每个浓度单位所需的资金，也反映了污水处理的技术水平。

设国家规定的江水水质标准为C =1（mg/l ），与污水源i W 、污水处理站以污水处理站的排水口为分界点，可以将该段江面划分为5个子段，各子段的水流量及水质分别为j q 和j C )4,3,2,1,0(=j 。

考虑到江中流水的自净作用，对每个子段引入自净系数j β)4,3,2,1(=j 。

显然，10<<j β，自净系数与河流状态有着紧密地联系。

在该段江水中，设1β=0.4，2β=0.5，3β=0.8，4β=0.7。

设该段江水的来流的流量及污水浓度分别为0q =1000（1210l/min ）和0C =0.8（mg/l ）。

1、在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，如何使投入污水处理的总资金最少。

2、在每个居民点上游水质达到国家标准的条件下，如何使投入污水处理的总资金最少。

3、当污水源的流量),,,(4321q q q q q ∆∆∆∆=∆和浓度()4321,,,u u u u u =，污水处理费用系数),,,(4321r r r r r =的变化后，在上述两问中污水处理的总资金将发生什么变化？4、事实上，自净系数),,,(4321βββββ=不仅与河流状态有关，还与江水的污水浓度有关。

当江水的污水浓度较低时，流水发挥自净作用；当污水浓度逐渐增加时，流水的自净能力逐渐降低；当江水的污水浓度超过某个阈值时，流水就失去了自净功能。

考虑适当的函数形式)(j j C f =β)4,3,2,1(=j ，重新研究上述三个问题。

2 模型假设2.1假设居民区不产生污水。

2.2假设污水在进入江水之后不会流入上游。

2.3假设在对进行污水处理时，不改变污水流量，只改变污水浓度。

2.4假设江水流量固定，不会因为自净作用或加入污水或改变污水浓度而改变。

2.5假设污水之间无反应，不会因为污水反应而改变污水量或污水浓度。

2.6本题考虑的自净系数i β 是指江水自身净化掉的杂质系数，之后的江水杂质浓度为1i β-。

3 符号说明符号含义 0q 江水来流流量 i q ∆污染源的流量 i u 污染源进处理站前的浓度 *i u 污染源出处理站后的浓度 i T处理站处理污水的费用i r比例系数 i β江水的自净系数 i C水流水质4 问题分析4.1问题一分析要使投入污水处理的总资金最少，需要使每个污水处理站的排放口处的浓度()*11,2,3,4i u i ≤=。

故此问题实质是在一定约束条件内求一目标函数（投入污水处理的总资金最少）的值，因此，问题一可用线性规划方法求解。

从题目分析得出，污水的净化分为两部分，一是污水处理站的净化，二是江水的自净作用。

因此，在建立模型的过程中要考虑江水的自净作用。

在此问题中，上游的污水对下游污水的浓度也有影响，在计算下游污水浓度()11,2,3,4i u i '≤=时，需要考虑上游经过净化站和江水自净后的污水浓度。

求得每段江面污水处理的资金()1,2,3,4i T i =后，构建目标函数1234T T T T T =+++,在约束条件()011,2,3,4i u i '<≤=里，求得目标函数的最小值min T 。

4.2问题二分析问题二要求在每个居民点上游水质达到国家标准的条件下，求投入污水处理的总资金最少。

与问题一求解方法类似，但是问题二不需要考虑处理站1出来的污水浓度，只需要保证在居民点1前的污水浓度21u '≤。

4.3问题三分析对于问题三，由于题干所给出三个变量的都是用向量表示的，故三个变量中四个分量只可以同时变大、变小或不变，基于此，文章根据模型1和模型2，采用控制变量法，得出了三个变量分别增大、减小和不变时的处理费用以及处理费用的变化率，并由此得出三个变量对处理费变化的影响规律。

4.4问题四分析针对第四问，我们根据已知条件画出了自净系数β和浓度C 的图像，估计出两者应该满足反比例函数、指数函数等这样的函数关系式，再经过MATLAB的相关拟合最后得出关系式为446.2*2006.4*8028.12+-=j j C C β。

给出在江水的污水浓度小于l mg /165.1时，流水发挥自净作用，当流水浓度增加到l mg /165.1甚至高于l mg /165.1时，流水失去自净功能。

5 模型的建立与求解5.1问题一的求解通过问题一的分析，知问题一的求解关键在于建立约束条件关系式和目标函数的关系式。

此问题的约束条件有两类：一是第i 个污水处理站排放的污水浓度小于第i 个污水源排放的污水浓度，即：*(1,2,3,4)i i u u i <= (1) 二是每个污水处理站的排放口处的浓度()11,2,3,4i u i '≤= (2) 根据假设2.7，在第一个污水处理站的排放口*0011101q c q u u q ⋅+∆⋅'=≤ (3)根据假设2.7和2.9，在第i 个污水处理站的排放口4**0011120()(1)2,3,4i i i i i i q c q u q u u i q β---⋅+∆⋅⋅-+∆⋅'=≤1 = ∑ (4)通过（1）（3）（4）式即可求出约束条件。

在每一段江面，污水处理站净化污水的费用()1,2,3,4i i i i i T r q u u i *=⋅∆⋅- = (5) 因此在整个江面上最小化污水处理的总资金()4411i i i i i i i T r q u u *==⎡⎤=⋅∆⋅-⎣⎦∑∑ (6)即为目标函数。

在约束条件内，通过线性回归方法，求得：当四个个污水处理站排放的污水浓度分别为：40mg/l 、70 mg/l 、50 mg/l 、80 mg/l 时，在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，污水处理站投入的总资金最少，为600万元。

5.2问题二的求解通过分析问题二给的条件，知问题二不需要考虑处理站1出来的污水浓度，只需要保证在居民点1前的污水浓度21u '≤即可。

与问题一解法相似，问题二的目标函数为()4411iiiiii i T r q u u *==⎡⎤=⋅∆⋅-⎣⎦∑∑通过与问题一相同的方法可以求得，当四个污水处理站排放的污水浓度分别为：100mg/l 、55 mg/l 、50 mg/l 、80 mg/l 时，在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，污水处理站投入的总资金最少，为90万元。

5.3问题三的求解5.3.1决策变量：用*i u 表示第i 个污水处理站排放的污水浓度 5.3.2决策目标：最小化污水处理的总资金，即：44*31211[()]iii i i i T r q u u λλλ===⋅⋅⋅∆⋅⋅-∑∑ (7)5.3.3约束条件：5.3.4第i 个污水处理站排放的污水浓度小于第i 个污水源排放的污水浓度，即：*i i i u u λ<⋅ (8) 5.3.5水流量的限制，即：01000q = (9) 001,2,3,4i i q i q q λ⋅∆ ==+ (10) 5.3各排污口处水质的限制，即：*01100.8q q u q λ+⋅∆⋅< (11)**011112220()0.81q q u q u q λβλ⎡⎤⨯⎣+⋅∆⋅-+⋅⋅<⎦∆ (12) {}***1111222233300.81()()1qq u q u q u q λβλβλ⎡⎤+⋅∆⋅-+⋅∆⋅⨯-+⋅∆⋅⨯<⎣⎦(13) ****01111222233334440{[()()]()}()0.8111)q q u q u q u q u q λβλβλβλ+⋅∆⋅-+⋅∆⋅-+⋅∆⋅⨯-+⋅∆⋅<⨯⨯ 根据模型1和模型2，采用控制变量法，得出了三个变量增长10%、减少10%和不变时的处理费用以及处理费用的变化率，并利用MATLAB 软件，求出处理费随流量、浓度、处理费用系数变化的数据，并以此做出单一变量的变化图，如下所示：表格一 流量、浓度、处理费用系数变化量对处理费的影响图一 污水处理总资金与个变化因子的关系曲线由上面的表格可知：（1）当固定两个变化量，改变其中一个时：流量增加或减少10%时，处理费增加或减少19.17%； 浓度增加或减少10%时，处理费增加或减少16.67%； 处理费系数增加或减少10%时，处理费增加或减少12.50%； 则流量的变化对处理费影响最大，浓度次之，处理费系数影响最小；（2）当三个量减小到一定程度时，处理费会达到0。