0-1背包问题讲解文稿

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w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
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for ( int i=n-1; i>1; i--) { int jMax=Math.min(w[i]-1,c); for (j = 0; j <= jMax; j++) m[i][j] = m[i+1][j]; for (j = w[i] ; j <= c; j++) m[i][j]=Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); }
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Traceback求最优解
Template<class Type> Void Traceback(Type **m, int w, int c, int n, int x) { for(int i=1;i<n;i++) if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0; else{x[i]=1;c-=w[i];} x[n]=(m[n][c])?1:0; }
按照Knapsack计算后m[1][c]给出的为0-1背包问题的最优值，然后按 照上述Traceback算法构造出最优解(x1,x2,x3,…,xn)。
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0-1背包问题 Traceback回溯过程：
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w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4
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w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
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0 0ห้องสมุดไป่ตู้0
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m[i][j]表示把第i,...,n物品装入容量为j的背包的最大价值
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
容量为5的背包，考虑是否装入物品4
0
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第i+1个物品装入背包 第i+1个物品不装入背包
j wi m(i 1, j ), m(i 1, j wi ) vi } max{ m(i, j ) 0 j wi m(i 1, j )
第i+1个物品无法装入背包
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M[ ][ ],横坐标表示所放物品号码，纵坐标表示 背包容量1到C，值表示当前考虑方案的价值
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w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
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0 0 0 0 m[5][<4] = 0, m[5][>=4]=6
int jMax=Math.min(w[n]-1,c); for (j = 0; j <= jMax ;j++) m[n][j] = 0; for (j = w[n]; j <= c; j++) m[n][j] = v[n] ;
1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
if(m[i][c]!=m[i+1][c]){x[i]=1;c-=w[i];}
if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0; if(m[i][c]==m[i+1][c]) x[i]=0;
w5=4 v5=6
x[n]=(m[n][c])?1:0;
综上所述：本例中最大价值为15，最优解向量为(1,1,0,0,1)
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0-1背包问题
解空间： 设Xi表示第i件物品的取舍，1代表取，0代 表舍，搜索的空间为n元一维数组（ X1,X2,X3,……，Xn） 取值范围： 为（0，0，0……，0，0），（0，0，0……，
0，1），（0，0，0……，1，0），（0，0， 0……，1，1），……，（1，1，1……，1，1）。
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0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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w1=2 v1=6 w2=2 v2=3 w3=6 v3=5 w4=5 v4=4 w5=4 v5=6
算法案例
0-1背包问题
通信四班
刘蕾、文艺蓉、周家欣
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0-1背包问题
问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是 wi，其价值为vi，背包的容量为c。问应如 何选择装入背包中的物品，使得装入背包 中物品的总价值最大？ 0-1背包问题： 对每种物品i装入背 包或不装入背包。不 能将物品i装入背包多 次，也不能只装入部 分的物品i。
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0 0 +v[4]
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m[i][j]表示把第i,...,n物品装入容量为j的背包的最大价值
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
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0-1背包问题
解空间图示： 以3个物品为例,解(0,1,0)表示(不取物品0, 取物品1,不取物品2)
root 0 0 1 0 1 1
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0-1背包问题
问题转化： 给定c>0，wi>0，vi>0，1≤i≤n，要 求找出一个n元0-1向量(x1，x2，…，xn)， xi∈{0，1}，1≤i≤n，使得∑wixi≤c，而 且∑vixi达到最大。
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Thank u
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m[i][j]表示把第i,...,n物品装入容量为j的背包的最大价值
0-1背包问题
问题实例： 有5个物品，其重量分别是{2, 2, 6, 5, 4}，价 值分别为{6, 3, 5, 4, 6}，背包的容量为10。
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m[i][j]表示把第i,...,n物品装入容量为j的背包的最大价值
m[][],横坐标表示背包号码，纵坐标表示背包 容量1到C，值表示当前考虑方案的价值
0-1背包问题
void Knapsack(int v[], int w[], int c, int n, int m [][]) n个物品 n，此时考虑物品n装入方法最大价值 { int n=v.length-1; 背包装不下物品 背包容量0-w[n]-1，该物品装不下 为零 int jMax=Math.min(w[n]-1,c); 背包能装下物品 n，物品n装入方法最大价值为v[n] for (j = 0; j <= jMax ;j++) m[n][j] = 0; for (j = w[n]; j <= c; j++) m[n][j] = v[n] ; for ( int i=n-1; i>1; i--) 背包不能装下物品时 { int jMax=Math.min(w[i]-1,c); for (j = 0; j <= jMax; j++) m[i][j] = m[i+1][j]; 背包能装下物品时 for (j = w[i] ; j <= c; j++) m[i][j]=Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]); } m[1][c] =m[2][c]; if (c >= w[1]) m[1][c]=Math.max(m[1][c],m[2][c-w[1]+v[1]); } 图示 隐藏
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if(m[i][c]!=m[i+1][c]){x[i]=1;c-=w[i];}