上海市杨浦区2018-2019学年第一学期高二数学期中考试(含精品解析)
上海2018-2019学年高二数学上册期中试题2
上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =r 在向量(1,0)b =r方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=r r，若a b ⊥r r ，则b r ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______． 5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ． 6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为__ ____．(用弧度制表示) 7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u u ru u u r，AN nAD =u u u ru u u r(0m n ⋅≠), 若//MN BE u u u u ru u u r，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a ρ是定向量，对A x ∈ρ， 定义a x a x x f ρρρρρ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ρ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ρ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ρ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ρ． 那么对于任意x ρ、A y ∈ρ，使y x y f x f ρρρρ⋅=⋅)()(恒成立的向量a ρ的序号是_______（写出满足条件的所有向量a ρ的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】(A) 0a b c ++=r r r r (B) a b c r r r、、两两平行 (C) a b r r // (D) a b c r r r、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A Λ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{,Λ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB u u u r u u u rg； （2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分.已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r，试用a r 、b r 、c r 表示h r ； (2) 证明：AH BC ⊥u u u r u u u r；(3) 若ABC ∆的60A ∠=o，45B ∠=o，外接圆的半径为R ，用R 表示h r．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB ∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=，x当P 变化时，求||OT 的取值范围．上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级 数学学科参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33. . 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦U ． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. B 16. B 17. 18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。
2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。
上海市杨浦高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
上海市杨浦高级中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．22． 执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．20483． 若函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1()2y f x x =+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力. 5． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ．110C ．10D ．20 6． 下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（ ）7． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}xB x x R =≤∈，则集合U AC B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 8． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D9． “p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要10．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,6A =，{}1,3,5,7B =，则()U A B =ð（ ）A ．{}2,4,6B ．{}1,3,5C ．{}2,4,5D ．{}2,511．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.12．给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…若)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.14．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.15．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.16．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.三、解答题（本大共6小题，共70分。
杨浦区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
杨浦区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C． D．2． 在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 3． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．23 D ．112 4． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >5． 设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 6． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ） A ．{1，2}B ．{﹣1，4}C ．{﹣1，2}D ．{2，4}7． 若()()()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩,则()5f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C.12 D ．138． 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF|=3，则△AOF 的面积为（ ） A．B．C．D ．29． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ） A ．12 B ．34C. D10．如图，程序框图的运算结果为（ ）A．6 B．24 C．20 D．12011．下列正方体或四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（）12．下列判断正确的是（）A．①不是棱柱B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台二、填空题13．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是.【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.14．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，且θ∈[，]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 16．已知数列{a n }中，2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，a 1=2，则b 5= ．17．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ． 18．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．三、解答题19．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的离心率为2，A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的 动点，且PA PB 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名5595%的把握认为“歌迷”与性别有关？“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌3.841 6.635附：K2=．23．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数a，b的值；（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．24．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.杨浦区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，∴设双曲线的方程为，（a ＞0，b ＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，结合题意一条渐近线方程为y=x ，得=，设b=4t ，a=3t ，则c==5t （t ＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A ．【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．2． 【答案】D 【解析】试题分析：在ABC ∆中，22tan sin tan sin A B B A =，化简得22sin sin sin sin cos cos A BB A A B=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B AA AB B A B =⇒=，即si n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．考点：三角形形状的判定．【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2A B π+=是试题的一个难点，属于中档试题． 3． 【答案】C 【解析】试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202303-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 4． 【答案】D 【解析】考点：不等式的恒等变换.5．【答案】A【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m的范围. 6． 【答案】A【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}． 故选：A ．【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．7． 【答案】B 【解析】考点：函数值的求解. 8． 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线l ：x=﹣1．∵|AF|=3， ∴点A 到准线l ：x=﹣1的距离为3∴1+x A =3 ∴x A =2，∴y A =±2，∴△AOF 的面积为=．故选：B ．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A 的坐标是解题的关键．9． 【答案】B 【解析】试题分析：在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，11BC AD ==AF x =x解得4x =，即菱形1BED F 44=，则1BED F 在底面ABCD 上的投影四边形是底边为34，高为的平行四边形，其面积为34，故选B. 考点：平面图形的投影及其作法. 10．【答案】 B【解析】解：∵循环体中S=S ×n 可知程序的功能是： 计算并输出循环变量n 的累乘值，∵循环变量n 的初值为1，终值为4，累乘器S 的初值为1， 故输出S=1×2×3×4=24， 故选：B ．【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．11．【答案】D 【解析】考点：平面的基本公理与推论． 12．【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C ．二、填空题13．【答案】54【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.14．【答案】 [，﹣1] ．【解析】解：设点A （acos α，bsin α），则B （﹣acos α，﹣bsin α）（0≤α≤）；F （﹣c ，0）； ∵AF ⊥BF ，∴=0，即（﹣c ﹣acos α，﹣bsin α）（﹣c+acos α，bsin α）=0，故c 2﹣a 2cos 2α﹣b 2sin 2α=0，cos 2α==2﹣，故cos α=，而|AF|=，|AB|==2c ，而sin θ===，∵θ∈[，]，∴sin θ∈[，]，∴≤≤，∴≤+≤，∴，即，解得，≤e ≤﹣1；故答案为：[，﹣1]．【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．15．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】16．【答案】 ﹣1054 ．【解析】解：∵2a n ，a n+1是方程x 2﹣3x+b n =0的两根，∴2a n +a n+1=3，2a n a n+1=b n ， ∵a 1=2，∴a 2=﹣1，同理可得a 3=5，a 4=﹣7，a 5=17，a 6=﹣31．则b 5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【答案】2【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23π，1⋅=-a b ，∴|2|+=a b 2=．18．【答案】1－1，3]【解析】试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．三、解答题19．【答案】【解析】【分析】（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为3的正方形，我们可得DE⊥AC，AC⊥BD，结合线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE；（Ⅱ）以D为坐标原点，DA，DC，DE方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）由已知中M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．根据AM∥平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM ∥平面BEF ．…（12分）20．【答案】（1）22142x y +=；（2）22[2,7)F M F N ∈-. 【解析】试题解析：（1）根据题意知c a =，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，设(,)P x y ，∵(,)(,)PA PB a x y a x y =-----，2222222221()222a x x a y x a x a =-+=-+-=-，∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2min ()22a PA PB =-=-， ∴24a =，则22b =.∴椭圆C 的方程为22142x y +=. 1111]设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则212212x x k+=-+，21224(1)12k x x k -=+，∵211(2,)F M x y =-，222()F N x y =，∴222121212)2(F M F N x x x x k x x =+++2221212(1))22k x x x x k =+++++ 22222224(1)42(1)2(1)221212k k k k k k k --=++-++++ 29712k=-+. ∵2121k +≥，∴210112k <≤+.∴297[2,7)12k -∈-+.综上知，22[2,7)F M F N ∈-.考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，等价于①的判别式△=，解得或．即k 的取值范围为．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则，由方程①，． ②又． ③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k ．【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．22．【答案】100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K 2==≈3.030因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i=1，2，3，b i 表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成．…用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成．∴P （A ）= (12)【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．23．【答案】【解析】解：（1）∵f （x ）=x 3+3ax 2+bx ， ∴f'（x ）=3x 2+6ax+b ，又∵f （x ）在x=﹣1时有极值0， ∴f'（﹣1）=0且f （﹣1）=0， 即3﹣6a+b=0且﹣1+3a ﹣b=0，解得：a=，b=1 经检验，合题意．（2）由（1）得f'（x ）=3x 2+4x+1，令f'（x ）=0得x=﹣或x=﹣1，又∵f （﹣2）=﹣2，f （﹣）=﹣，f （﹣1）=0，f （﹣）=﹣，∴f （x ）max =0，f （x ）min =﹣2．24．【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，26y x =-+；（2）5，5.【解析】试题分析：（1）由平方关系和曲线C 方程写出曲线C 的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）由曲线C 的参数方程设曲线上C 任意一点P 的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P 直线的距离，利用正弦函数求出PA ，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出PA 的最大值与最小值. 试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（为参数），直线的普通方程为26y x =-+.（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到的距离为4cos 3sin 6|d θθ=+-．则|||5sin()6|sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，当sin()1θα+=-时，||PA 取.当sin()1θα+=时，||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.。
2019-2019学年上海市杨浦区同济大学一附中高二(上)期中数学试卷共29页
2019-2019学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷一、填空题（每题4分，满分48分） 1．（4分）已知4与x 的等比中项为2x ，则x= _________ ．2．（4分）若等差数列{a n }中，a 3+a 12=2019，a 9=2019，则a 6= _________ ． 3．（4分）在平行四边形ABCD 中，，，O 在AC 上且，则= _________ ．（用、表示）4．（4分）计算：= _________ ．5．（4分）计算= _________ ．6．（4分）用数学归纳法证明：f （n ）=（n+1）（n+2）•…•（n+n ）＜（2n ）n（n ≥2，n ∈N *）时，f （k+1）=f （k ）• _________ ． 7．（4分）已知，则与同向的单位向量为 _________ ．8．（4分）已知向量，若A ，B ，C 三点共线，则k= _________ ． 9．（4分）若与夹角为120°，，则= _________ ．10．（4分）（2019•崇明县二模）若一个无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =，则首项a 1取值范围是_________ ．11．（4分）若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=3a n +2（n ∈N *），则通项公式a n = _________ ． 12．（4分）若对于n 个向量，若存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n，使得，则称为“线性相关”，k 1，k 2，…，k n 分别为的“相关系数”．依此规定，若线性相关，的相关系数分别为k 1，k 2，k 3，则k 1：k 2：k 3= _________ ． 二、选择题（每小题3分，满分12分） ．CD ．14．（3分）若等差数列{a n }，3a 6=a 8，且a 1＜0，则前n 项和S n 取得最小值时的n 值为（ ）2019-2019学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷B．15．（3分）若存在，则实数r的取值范围（）．C D．或0＜r＜1 16．（3分）（2019•浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）．⊥⊥（﹣）C⊥（﹣）D+）⊥（﹣）17．（6分）已知某市2000年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，到2019年底新增住房面积10万平方米，以后每年新增住房面积比前一年新增住房面积多10万平方米，试问到2019年底，该市人均住房面积为多少平方米？（精确到0.01）18．（6分）已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比（1）求证：数列{a n2}为等比数列；（2）求的值．19．（8分）已知向量与和的夹角相等，且，（2）求的坐标；（2）求与的夹角．20．（8分）若，（1）若满足与平行，求实数x的值；（2）若满足与垂直，求实数x的值；（3）若满足与所成角为钝角，求实数x的取值范围．21．（12分）定义：数列{a n}的前n项的“均倒数”为．若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知，数列{b n}的前n项和S n，求的值；（3）已知，问数列{a n•c n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．2019-2019学年上海市杨浦区同济大学一附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，满分48分）3．（4分）在平行四边形ABCD中，，，O在AC上且，则=．（用、表示）=（+）进而根据向量减法的三角形法则得到=﹣，结合，中，==（+=﹣=（+）﹣，=故答案为：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，其中根据向量加减法的三角形法则，将向量，4．（4分）计算：=．型，求出表达式的极限值即可．==．故答案为：型的极限为5．（4分）计算=．=2[]==故答案为：中的容易漏掉，注意此类裂项的规律6．（4分）用数学归纳法证明：f（n）=（n+1）（n+2）•…•（n+n）＜（2n）（n≥2，n∈N）时，f（k+1）=f（k）•的证明，左边需增添的代数式是7．（4分）已知，则与同向的单位向量为（，）．，|同向的单位向量为（，，8．（4分）已知向量，若A，B，C三点共线，则k=2．；9．（4分）若与夹角为120°，，则=7．先根据向量的数量积公式求出2与，=×﹣•×10．（4分）（2019•崇明县二模）若一个无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，则首项a1取值范围是（0，）∪（，1）．求=可得，则，时，=故答案为：=得12．（4分）若对于n个向量，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…，k n，使得，则称为“线性相关”，k1，k2，…，k n分别为的“相关系数”．依此规定，若线性相关，的相根据条件中所给的线性相关的定义得到二、选择题（每小题3分，满分12分）B解：两个向量的和或差的结果仍是向量，实数和向量相乘的结果仍是向量，的结果应为，不是实数由上述分析向量的数量积为实数，，不是15．（3分）若存在，则实数r的取值范围（）存在可得或解：由存在可得解不等式可得，本题主要考查了极限存在的条件的应用：若16．（3分）（2019•浙江）已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|﹣t|≥|﹣|，则（）．⊥）．（+（﹣|﹣t|﹣|的一元二次不等式解：已知向量，||=1|||﹣|﹣t|﹣|17．（6分）已知某市2000年底人口为100万，人均住房面积为5平方米，如果该市每年人口平均增长为2%，到2019年底新增住房面积10万平方米，以后每年新增住房面积比前一年新增住房面积多10万平方米，试问到201918．（6分）已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比（1）求证：数列{a n2}为等比数列；（2）求的值．为首项，为公比的等比数列，公比为首项，为首项，，所以19．（8分）已知向量与和的夹角相等，且，（2）求的坐标；（2）求与的夹角．的坐标．）求出的坐标，利用向量的数量积公式求出，）当时，，，=arccos时，，，=arccos20．（8分）若，（1）若满足与平行，求实数x的值；（2）若满足与垂直，求实数x的值；（3）若满足与所成角为钝角，求实数x的取值范围．）先求出与）直接把与且，利用向量的数）∵；与）因为与）∵且21．（12分）定义：数列{a n}的前n项的“均倒数”为．若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知，数列{b n}的前n项和S n，求的值；（3）已知，问数列{a n•c n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．）可得，时，，分令，若）可得，=n，=1，若最大（排名不分先后）菁优网2019年9月5日。
上海市浦东实验中学2018-2019学年上学期高二期中数学试题附答案解析
上海市浦东实验中学2018-2019学年上学期高二期中数学试题一、单选题1．等边三角形ABC ∆中，向量,AB AC的夹角为（）.A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π2．有矩阵222334,,A B C ⨯⨯⨯，下列运算可行的是（）.A ．ACB ．BACC ．ABCD ．AB AC-3．直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（）.A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-14．O 为平面上的定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC∆是（）A ．以AB 为底面的等腰三角形B ．以BC 为底面的等腰三角形C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形二、填空题5．行列式1201-的值是____________.6．向量()()2,,1,3a k b =-= ，若a b ⊥，则实数k =____________..7．向量()3,4a =- ，则a的单位向量是__________.8．经过两点()()2,6,6,A B a 的直线的倾斜角为45︒，则a =___________.9．经过点()2,4且方向向量为()3,4d =-的直线的点方向式方程是____________.10．若关于,,x y z 的线性方程组增广矩阵变换为1002003020m n -⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，方程组的解为241x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则m n ⋅=___________.11．已知直线220x y +-=和10kx y --=的夹角为4π，那么k 的值为____________.12．若()()1,3,2,1a b == ，则向量a 在b方向上的投影为___________.13．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.14．设平面向量()2,1a =- ，()(),1b R λλ=-∈ ，若a 与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．15．当m 为_________时，三条直线:230,:0,:3250a x y b x y c x my +-=+=+-=不能组成三角形？16．已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.三、解答题17．已知向量1a = ，向量2b = ，a 与b的夹角为60︒，求2a b - 的值.18．已知关于,x y 的二元一次方程组()()2312x ty t R t x y t +=⎧∈⎨-+=-⎩有无穷多组解，求t 的值.19．已知向量()()1,2,,1a b x == ，且2a b + 与2a b -平行.（1）求向量b；（2）已知点()3,1A -，向量AB 与2a b +垂直，求直线AB 的一般式方程.20．求过点()2,3-，且与直线2+40x y -=的夹角为2arctan3的直线l 的方程。
2018-2019学年上海市杨浦区高二上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市杨浦区高二上学期期中数学试题一、单选题1．无穷等比数列9、-3、1，13-、……，各项的和为（ ） A.274-B.274C.27D.19-【答案】B【解析】先求出等比数列的前n 项和，然后求极限，即可得出结果． 【详解】 等比数列19,3,1,3--、……，可得公比为13-，前n 项和为：1913113n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+． 无穷等比数列19,3,1,3--……，各项的和为：1913927lim 1141133→∞⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==++n n ． 故选：B 【点睛】本题主要考查数列求和，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，属于常考题型.2．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为ABC △的重心，则AE =（ ）A.1133AB AC +uuu r uuu r B.2233AB AC + C.1122AB AC + D.1144AB AC + 【答案】A【解析】根据重心的性质以及平行四边形法则,即可得出结果． 【详解】因为E 为ABC △的重心，所以()2211133233==⋅+=+AE AD AB AC AB AC ， 故选：A 【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于基础题型．3．已知直角坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，则a ，b 满足（ ） A.0,0a b >> B.0,0a b ><C.0,0a b <>D.0,0a b <<【答案】A【解析】根据题意画出图形，结合图形知0a >且0b >． 【详解】坐标系xOy 平面上的直线1x ya b+=经过第一、第二和第四象限，如图所示；则0,0a b >> 故选：A 【点睛】本题考查由直线位置求参数的问题，熟记直线方程即可，属于基础题型． 4．已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=r r r，则a b -r r 的最小值是（ ）A 1B 1C ．2D ．2【答案】A【解析】先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r 得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ， 由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =1，为1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.二、填空题5．求值：52lim32→∞++n n n =______．【答案】53【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可． 【详解】2552505lim lim 2323033→∞→∞+++===+++n n n n n n． 故答案为：53．【点睛】本题考查求数列的极限，熟记极限的运算法则即可，属于基础题型． 6．已知向量(,1)a k =与(2,1)b k =+平行，则实数k =______． 【答案】2-或1【解析】根据a b ‖即可得出(1)20k k ⋅+-=，解出k 即可． 【详解】(,1)a k =与(2,1)b k =+平行；所以(1)20+-=k k ；解得2k =-或1． 故答案为：2-或1 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型. 7．已知点(0,)M b与点()N 连成直线的倾斜角为120，则b =______． 【答案】2-【解析】由题意可得tan120k ︒==，求解即可得出结果.【详解】因为点(0,)M b 与点()N 连成直线的倾斜角为120， 所以直线斜率为：tan120k ︒==，解得2b =-， 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查由直线倾斜角求参数，熟记直线斜率公式与定义即可，属于基础题型. 8．已知1a =，2b =，向量a 与b 的夹角为60︒，则a b +=__________.【解析】由题意可得222()2142a b a b a b a b +=+=++⋅=++=9．直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离是______．【答案】【解析】根据两条平行线间的距离公式，可直接求出结果. 【详解】直线110l x y -+=：与直线250l x y -+=：之间的距离==故答案为：【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记公式即可，属于常考题型.10．设向量(2,1)a =-，(3,4)b =，则向量a 在向量b 上的投影为 .【解析】试题分析：向量a 在向量b 上的投影为64255a b b -==. 【考点】向量运算.11．过点(1,6)A 且与直线1275x y ++=垂直的直线的点法向式方程为______． 【答案】7(1)5(6)0x y -+-=【解析】先由题意，得到所求直线的法向量，进而可求出结果. 【详解】 与直线1275x y ++=垂直的直线的法向量为(7,5)， 则点法向式直线方程为7(1)5(6)0x y -+-=． 故答案为：7(1)5(6)0x y -+-= 【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程，熟记方程的形式即可，属于基础题型.12．已知(1,4)A -，(3,2)B ，如果点H 是线段AB 的两个三等分点中距离A 较近的那个三等分点，则点H 的坐标是______．【答案】110,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先设,()H x y ，根据定比分点坐标公式，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】 设,()H x y ，∵点H 是线段AB 的两个三等分点中距离A 较近的那个三等分点；∴根据定比分点公式得：11321121422112x y ⎧-+⨯⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⨯⎪=⎪+⎪⎩；13103x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩；110,33H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．故答案为：110,33⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查求三等分点的坐标，熟记线段的定比分点坐标公式即可，属于常考题型.13．直线(3)2=+-y k x 与直线114y x =-+的交点在第一象限，则斜率k 的取值范围是______． 【答案】2,17⎛⎫⎪⎝⎭【解析】联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】联立32114y kx k y x =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解之可得交点121272,4141k k k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由题意可得121204172041kk k k -⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，解之可得217k <<，故k 的取值范围是2,17⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：2,17⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查由直线交点位置求参数的问题，熟记方程组解法，以及一元二次不等式解法即可，属于常考题型.14．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．【解析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果． 【详解】 设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+22311cos 60101cos150022x x x ︒︒=⨯⨯++-++⨯⨯++2322x x =-+2212141616x ⎛⎫=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，此时DE x ==故答案为：4． 【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题15．设{}n a 是首项为1，公比为()0q q >的等比数列，前n 项和为n S ，求1lim nn n s s →∞+的值．【答案】11,01lim1,1n n n q s q s q→∞+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩【解析】当公比q 满足01q <<时，11nn q S q -=-，求出1lim n n n s s →∞+的，当公比1q =时，n S n =，求出1lim n n n s s →∞+的值．当公比1q >时，求出1lim nn n s s →∞+的值，进而可求出结果.．【详解】当公比q 满足01q <<时，21111nn n q S q q qq --=+++⋯+=-，于是1111n n n n S q S q ++-=-，1lim 1→∞+=n n n s s 当公比1q =时，111n S n =++⋯+=，于是11n n S nS n +=+． 因此1limlim 11n n n n s n s n →∞→∞+==+当公比1q >时，21111n n n q S q q qq --=+++⋯+=- 于是1111n n n n s q s q ++-=-． 因此111111lim lim lim 11+→∞→∞→∞+--===--n n n n n n n n n s q q s q qq q． 综合以上讨论得到11,01lim 1,1n n n q s q s q→∞+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．【点睛】本题考查等比数列的极限，熟记等比数列的求和公式，以及极限的运算法则即可，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解． 16．已知向量(3,1),(0,1)a b ==（1）()()a kb a kb +⊥-，求实数k 的值；（2）向量27ka b +与向量k +a b 的夹角大于90，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2k =±（2）17,2⎛⎫--⎪⎝⎭【解析】（1）根据()()a kb a kb +⊥-，结合两向量的坐标，得出2()()40a kb a kb k +⋅-=-=，从而求出k 的值；（2）根据向量27ka b +与向量k +a b 的夹角大于90即可得出(27)()0ka b a kb +⋅+<，进行数量积的运算，即可得出结果．【详解】（1）因为(3,1),(0,1)a b ==，所以224,1a b ==；()()a kb a kb +⊥-；2222()()40a kb a kb a k b k ∴+⋅-=-=-=；2k ∴=±；（2）∵向量27ka b +与向量k +a b 的夹角大于90；()2222(27)()227721570ka b a kb ka k a b kb k k ∴+⋅+=++⋅+=++<；解得172k -<<-； ∴实数k 的取值范围为17,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，以及由向量夹角求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.17．已知直线l 的方程为34120x y +-=，分别求满足下列条件的直线l '的一般式方程． （1）过点(1,2)且与l 的夹角为45︒；（2）l '为l 绕原点逆时针旋转90︒后得到的直线．【答案】（1）790x y +-=或7 130-+=x y （2）43120x y -+=【解析】（1）求出直线l 的斜率，设所求直线的斜率为k ，利用两条直线所成的角求出k 的值，再写出所求的直线方程；（2）根据直线34120x y +-=与坐标轴的交点求出旋转后的直线与坐标轴的交点坐标，即可写出所求的直线方程．【详解】（1）直线l 的方程为34120x y +-=，则l 的斜率为34-， 设所求直线的斜率为k ，则34tan 451314k k ︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭=±=±⎛⎫+- ⎪⎝⎭，341314k k +∴=±-，解得7k =-或17k =； 7k ∴=-时，直线方程为()271-=--y x ，化为一般式方程是790x y +-=；∴17k =时，直线方程为12(1)7y x -=-，化为一般式方程是7130x y -+=； 综上知，所求的直线方程为790x y +-=或7 130-+=x y ； （2）直线34120x y +-=与坐标轴的交点坐标为(4,0)和(0,3)，则旋转后的直线与坐标轴的交点坐标为(30)-，和(0)4，， ∴所求的直线方程为134x y-+=，即为43120x y -+=. 【点睛】本题考查了直线方程与应用问题，也考查了两条直线所成的角以及直线旋转问题，熟记直线的夹角公式，以及直线的一般式方程即可，属于常考题型．18．设122018PP P ⋯是半径为l 的圆O 内接正2018边形，M 是圆上的动点．（1）求122334201720181||PP P P P P P P PM +++⋯+-的取值范围； （2）求证：222122018MP MP MP ++⋯+为定值，并求出该定值． 【答案】（1）[0]2，（2）证明见解析，该定值为4086 【解析】（1）推导出1223342017201811201812018||||||PP P P P P P P PM PP PM MP +++⋯+-=-=，由此能求出12233420172181||PP P P P P P P PM +++⋯+-的取值范围． （2）推导出1220180OP OP OP ++⋯+=，从而222222122018122018...()()()+++=-+-+⋯+-MP MP MP OP OM OP OM OP OM ()22221220181220182()2018OP OP OP OM OP OP OP OM =++⋯+-⋅++⋯++，由此能证明222122018MP MP MP ++⋯+为定值，并能求出该定值． 【详解】（1）因为122018PP P ⋯是半径为l 的圆O 内接正2018边形，M 是圆上的动点122334201720181||PP P P P P P P PM ∴+++⋯+- 1201812018||||=-=PP PM MP ， 122334201720181||PP P P P P P P PM ∴++++-的取值范围是[0]2，． （2）把122018,,,O P O P O P 这2018个向量都旋转22018π后，122018,,,OP OP OP 不变， ∴和向量旋转22018π弧度后也不变， 1220180OP OP OP ∴+++=，222122018MP MP OP ∴++⋯+()2222122018()()OP OM OP OM OP OM =-++⋯+-- ()2222220181220181...2()2018=+++-⋅++⋯++OP OP OP OM OP OP OP OM12201820182()2018OM OP OP OP =-⋅++++ =40201820201886=-⋅+OM .【点睛】本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于常考题型．19．已知射线()00：，=>>OAy kx k x ，()0：=->OB y kx x 动点()P x y ，在AOx ∠的内部，PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别为M 、N ，四边形OMPN 的面积恰为k ．（1）求点M 的坐标（用点P 的横坐标x 、点P 的纵坐标y 及k 表示）；（2）当k 为定值时，求动点P 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数()y f x =的解析式．【答案】（1）M 的坐标为22(),11x ky k x ky k k ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭（2）见解析 【解析】（1）设()，M M M x y ，则()1M M M M y kx y y x x k =⎧⎪⎨-=--⎪⎩，求解即可得出结果. （2）根据题意表示出点M 、N 的坐标，推出三角形OMP 、三角形ONP 的面积，将四边形分解成这两个三角形，然后根据面积求和即可找到x 、y 之间的关系式，进而可得出结果.【详解】（1）设()，M M M x y ，则()1M M M M y kx y y x x k =⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得22()11M M x ky k x ky x y k k ++==++， 故M 的坐标为22(),11x ky k x ky kk ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭， （2）由（1）得：21+=+x ky OM k ，点P 到直线OA， 根据点P的位置可知M P =因此211()()221∆+-=⋅=⋅+OMP x ky kx y S OM PM k ， 同理，把k 替换为k -可知22,()11x ky k x ky N k k --⎛⎫ ⎪++⎝⎭-，21，-==+x ky ON PN k 因此211()()221∆-+=⋅=⋅+ONP x ky kx y S ON PN k∴四边形OMPN 的面积()222221()()1()()21211∆∆+--+=+=⋅+⋅=-+++OMP ONP x ky kx y x ky kx y k S S S x y k k k， 因此()2221k x y k k -=+，解得y =注定义域这里不作要求， 由10,0,0><<<<x y kx y x k可得：当01k <<时，x ∈，当1k =时，)x ∈+∞，当1k >时，x ∈ 【点睛】本题考查的是函数解析式的求解问题，在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想，需熟记点到直线距离公式，求解二元一次方程组的方法等，属于常考题型．。
杨浦区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
杨浦区高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设集合（ ）A ．B ．C ．D ．2． 设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣4 C ．0 D ．43． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45． 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．126． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定7． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D108． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-9． 已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A ．B ．C ．D ．10．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m 的值等于（ ）A ．12B ．20C ．D ．11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若=4，则=（ ）A ．3B ．4C ．D ．1312．已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________．14．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β其中正确命题的序号是 ．15．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 16．函数f （x ）=a x +4的图象恒过定点P ，则P 点坐标是 ．17．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．18．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数 的取值范围为______．三、解答题19．已知函数3()1xf x x =+，[]2,5x ∈． （1）判断()f x 的单调性并且证明； （2）求()f x 在区间[]2,5上的最大值和最小值．20．已知函数()f x =121xa +- （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使()f x 是奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。
杨浦区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
20．.已知定义域为 R 的函数 f（x）= （1）求 a 的值；
是奇函数．
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（2）判断 f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）； （3）若对于任意 t∈R，不等式 f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 恒成立，求 k 的取值范围．
21．在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB=BC=1，AA1=2，E 为 BB1 中点． （Ⅰ）证明：AC⊥D1E； （Ⅱ）求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱 AD 上是否存在一点 P，使得 BP∥平面 AD1E？若存在，求 DP 的长；若不存在，说明理由．
3 5 6 ) ) ) C． (0, D． (0, 3 5 6 6． 已知函数 f ( x) 3 sin x cos x( 0) ， y f ( x) 的图象与直线 y 2 的两个相邻交点的距离等于
A． x
2 ) 2
，则 f ( x) 的一Байду номын сангаас对称轴是（
f x 是周期函数,其周期为,要使函数 y f x log a x 1 在 0, 上至少有三个零点,等价于函数 f x 的
6 k 2 x k , k Z ，得 x , k Z ，可知 D 正确．故选 D． 6 2 2 6 考点：三角函数 f ( x) A sin( x ) 的对称性．
3
的半球底面上，A、B、C、D 四个顶点都在
15．【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f x x 2 x ，若曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线经 过圆 C : x 2 y a 2 的圆心，则实数 a 的值为__________．
杨浦区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
杨浦区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除4．已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（）A．1 B．C．2 D．45．已知函数f（x）=m（x﹣）﹣2lnx（m∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g （x0）成立，则实数m的范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）6．设函数f（x）=，f（﹣2）+f（log210）=（）A．11 B．8 C．5 D．27．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8． 已知函数f （x ）=x 2﹣，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．（∁UB ）∩A B ．（∁U A ）∩BC ．∁U （A ∩B ）D ．∁U （A ∪B ）10．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量，，若，则角B 的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．11．“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a二、填空题13．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．若关于x ，y 的不等式组（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k= ．15．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．16．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．17．已知函数f （x ）=x 2+x ﹣b+（a ，b 为正实数）只有一个零点，则+的最小值为 ．18．过原点的直线l与函数y=的图象交于B，C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，则|+|=．三、解答题19．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．20．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面ABC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．21．2()sin 22f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12A f =，ABC ∆的面积为.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）求||||PB PA ⋅的最值.23．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．24．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．杨浦区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】A【解析】解：∵f （x ）=acosx ，g （x ）=x 2+bx+1，∴f ′（x ）=﹣asinx ，g ′（x ）=2x+b ，∵曲线f （x ）=acosx 与曲线g （x ）=x 2+bx+1在交点（0，m ）处有公切线，∴f （0）=a=g （0）=1，且f ′（0）=0=g ′（0）=b ， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A ．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．2． 【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为 y=±x ，即x ±y=0．根据圆（x ﹣2）2+y 2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1=，∴ =，，可得e=．故此双曲线的离心率为：．故选D ．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．3． 【答案】B【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．故应选B ．【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．4．【答案】B【解析】解：设圆柱的高为h，则V圆柱=π×12×h=h，V球==，∴h=．故选：B．5．【答案】B【解析】解：由题意，不等式f（x）＜g（x）在[1，e]上有解，∴mx＜2lnx，即＜在[1，e]上有解，令h（x）=，则h′（x）=，∵1≤x≤e，∴h′（x）≥0，∴h（x）max=h（e）=，∴＜h（e）=，∴m＜．∴m的取值范围是（﹣∞，）．故选：B．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．6．【答案】B【解析】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，=5，∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．【答案】A【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．8．【答案】A【解析】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最小值为∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项故选A9．【答案】A【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，∴对应的集合表示为A∩∁U B．故选：A．10．【答案】B【解析】解：若，则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（a+c）=0，由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（a+c）=0，化为a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=，故选：B ．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．11．【答案】B【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x ﹣1=0，2x ﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y ﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m ≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．∴“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B ．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．12．【答案】A【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2， ∴0＜a ＜c ＜1，b=20.5＞1，∴b ＞c ＞a ， 故选：A ．二、填空题13．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >-⇒-<<- 考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 14．【答案】 ﹣1或0 ．【解析】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1综上k=﹣1或0故答案为：﹣1或0【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx﹣y+1=0与y 轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键．15．【答案】必要不充分【解析】解：由题意得f′（x）=e x++4x+m，∵f（x）=e x+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）内单调递增，∴f′（x）≥0，即e x++4x+m≥0在定义域内恒成立，由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，故对任意的x∈（0，+∞），必有e x++4x＞5∴m≥﹣e x﹣﹣4x不能得出m≥﹣5但当m≥﹣5时，必有e x++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件故答案为：必要不充分16．【答案】±（7﹣i）．【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．17．【答案】9+4．【解析】解：∵函数f（x）=x2+x﹣b+只有一个零点，∴△=a﹣4（﹣b+）=0，∴a+4b=1，∵a，b为正实数，∴+=（+）（a+4b）=9++≥9+2=9+4当且仅当=，即a=b时取等号，∴+的最小值为：9+4故答案为：9+4【点评】本题考查基本不等式，得出a+4b=1是解决问题的关键，属基础题．18．【答案】4．【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），∴2||=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．三、解答题19．【答案】【解析】解：f′（x）=令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3则解得：b=c=﹣a，令f′（x）＞0得0＜x＜3所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），（2）由（1）得：函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，∴，∴a=2，∴；，∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，∴，，设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，∴，取x=1，则，于是，∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．（Ⅲ）法一：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，又PO⊥平面ABC，∴=（），∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，又PO⊥平面ABC，∴=（），设，则，且0＜t＜1，∴，∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）又PO⊥平面ABC，∴，∵，当且仅当x 2=8﹣2x 2，即时取等号，∴四面体PABC 体积的最大值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．21．【答案】（1）5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）；（2）【解析】试题分析：（1）根据3222262k x k πππππ+≤-≤+可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得3A π=，再由三角形面积公式可得12bc =，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1试题解析:（1）111()cos 22sin(2)2262f x x x x π=-=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．22．【答案】（1）1222=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. 【解析】试题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），消去参数α得曲线C 的普通方程为1222=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x 代入1222=+y x 得01cos 2)sin 2(cos222=-++θθθt t （6分）设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,21[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA .∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. （10分） 考点：参数方程化成普通方程． 23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，∴全班人数为．（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a 1，a 2，a 3，[90，100）之间的2个分数编号为b 1，b 2，在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）共10个，其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．24．【答案】【解析】（1）解：赞成率为，被调查者的平均年龄为20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43 （2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，，，，，∴ξ的分布列为：0 1 3∴．【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
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2018-2019学年上海市杨浦区高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.无穷等比数列9、-3、1，-、……，各项的和为（）A. B. C. 27 D.2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为△ABC的重心，则=（）A. B. C. D.3.已知直角坐标系xOy平面上的直线+=1经过第一、第二和第四象限，则a，b满足（）A. ，B. ，C. ，D. ，4.已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足-4•+3=0，则|-|的最小值是（）A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5.求值：=______．6.已知向量=（k，1）与=（2，k+1）平行，则实数k=______．7.已知点M（0．b）与点N（-，1）连成直线的倾斜角为120°，则b=______．8.已知||=1，||=2，向量与的夹角为60°，则|+|=______．9.直线l1：x-y+1=0与直线l2：x-y+5=0之间的距离是______．10.已知=（2，-1），=（3，4），则在的方向上的投影为______．11.过点A（1，6）且与直线=垂直的直线的点法向式方程为______．12.已知A（-1，4）、B（3，2），如果点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点，则点H的坐标是______．13.直线y=k（x+3）-2与直线y=-x+1的交点在第一象限，则斜率k的取值范围是______．14.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，当•取到最小值时，DE的长为______．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）15.设{a n}是首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列，前n项和为S n，求值．16.已知向量=（，1），=（0，1）．（1）（+k）⊥（-k），求实数k的值；（2）向量2k+7与向量+k的夹角大于90°，求实数k的取值范围．17.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，分别求满足下列条件的直线l′的一般式方程．（1）过点（1，2）且与l的夹角为45°；（2）l'为l绕原点逆时针旋转90°后得到的直线．18.设P1P2…P2018是半径为l的圆O内接正2018边形，M是圆上的动点．（1）求|+++…+-|的取值范围；（2）求证：2+2+…+2为定值，并求出该定值．19.已知射线OA：y=kx（k＞0，x＞0），OB：y=-kx（x＞0），动点P（x，y）在∠AOx的内部，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，四边形OMPN的面积恰为k．（1）求点M的坐标（用点P的横坐标x、点P的纵坐标y及k表示）；（2）当k为定值时，求动点P的纵坐标y关于横坐标x的函数y=f（x）的解析式．答案和解析1.【答案】B【解析】解：等比数列9、-3、1，-、……，可得公比为，前n项和为：．无穷等比数列9、-3、1，-、……，各项的和为：==．故选：B．求出等比数列的前n项和，然后求解极限即可．本题考查数列求和以及数列的极限的运算．是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：因为E为△ABC的重心，所以==•（+）=+，故选：A．根据重心的性质以及平行四边形法则可得．本题考查了重心的性质以及向量的平行四边形法则．属基础题．3.【答案】A【解析】解：坐标系xOy平面上的直线+=1经过第一、第二和第四象限，如图所示；则a＞0，b＞0．故选：A．根据题意画出图形，结合图形知a＞0且b＞0．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：由-4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|-|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．把等式-4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．5.【答案】【解析】解：===．故答案为：．直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．6.【答案】-2或1【解析】解：∵与平行；∴k•（k+1）-2=0；解得k=-2或1．故答案为：-2或1．根据即可得出k•（k+1）-2=0，解出k即可．考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．7.【答案】-2【解析】解：k==tan120°，解得b=-2，故答案为：-2．由题意可得k==tan120°，解得即可本题考查了斜率公式，以及倾斜角和斜率的关系，属于基础题8.【答案】【解析】解：由题意可得=||•||•cos60°=1×2×=1，∴|+|====，故答案为：．由题意可得=1，再根据|+|=，计算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：直线l1：x-y+1=0与直线l2：x-y+5=0之间的距离==2．故答案为：2．利用平行线之间的距离公式即可得出．本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意得：在的方向上的投影为：==，故答案为：．根据投影的几何意义求出即可．本题考查了向量的投影，考查向量的坐标运算，是一道基础题．11.【答案】7（x-1）+5（y-6）=0【解析】解：与直线=垂直的直线的法向量为（7，5），则点法向式直线方程为7（x-1）+5（y-6）=0．故答案为：7（x-1）+5（y-6）=0．根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．本题考查了直线点法向式方程，属于基础题12.【答案】，【解析】解：设H（x，y）；∵点H是线段AB的两个三等分点中距离A较近的那个三等分点；∴根据定比分点公式得：；∴；∴H（）．故答案为：．可设H（x，y），根据条件及定比分点公式可得出，这样即可得出点H的坐标．考查三等分点的定义，以及线段的定比分点公式．13.【答案】（，1）【解析】解：联立，解之可得交点（，），由题意可得，，解之可得＜k＜1，故k的取值范围是（，1）故答案为：（，1）联立方程求出两直线的交点坐标，根据交点在第一象限这一条件来确定k的取值范围即可．本题考查两直线的交点问题，涉及二元一次方程组和不等式的解法，属中档题．14.【答案】【解析】解：设DE=x，∵∠BAD=120°，AB=AD=1，△ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-2AB•ADcos120°=1+1=3，∴，△ABD中，∠ABD=∠BDA=30°，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∴=（）•（）==1×1×cos60°+1+0+1×x×cos150°+0+x2==，此时DE=x=，故答案为：．设DE=x，由已知结合余弦定理可求∠ABD=∠BDA=30°，而=（）•（），展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质可求．本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．15.【答案】解：当公比q满足0＜q＜1时，S n=1+q+q2+…+q n-1=，于是=，=1．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此=═1当公比q＞1时，S n=1+q+q2+…+q n-1=于是=．因此===．综合以上讨论得到=，＜，＞．【解析】当公比q满足0＜q＜1时，S n=，求出的值，然后求解极限，当公比q=1时，S n=n，求出的值．当公比q＞1时，求出的值．综合然后求解极限的值即可．本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．16.【答案】解：（1），；∵⊥；∴=4-k2=0；∴k=±2；（2）∵向量2k+7与向量+k的夹角大于90°；∴=2k2+15k+7＜0；解得＜＜；∴实数k的取值范围为，．【解析】（1）可求出，根据即可得出，从而求出k的值；（2）根据向量2k+7与向量+k的夹角大于90°即可得出，进行数量积的运算即可求出k的取值范围．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式．17.【答案】解：（1）直线l的方程为3x+4y-12=0，则l的斜率为-，设所求直线的斜率为k，则=±tn45°=±1，∴=±1，解得k=-7或k=，∴k=-7时，直线方程为y-2=-7（x-1），化为一般式方程是7x+y-9=0；∴k=时，直线方程为y-2=（x-1），化为一般式方程是x-7y+13=0；综上知，所求的直线方程为7x+y-9=0或x-7y+13=0；（2）直线3x+4y-12=0与坐标轴的交点坐标为（4，0）和（0，3），则旋转后的直线与坐标轴的交点坐标为（-3，0）和（0，4），∴所求的直线方程为+=1，即为4x-3y+12=0．【解析】（1）求出直线l的斜率，设所求直线的斜率为k，利用两条直线所成的角求出k 的值，再写出所求的直线方程；（2）根据直线3x+4y-12=0与坐标轴的交点求出旋转后的直线与坐标轴的交点坐标，即可写出所求的直线方程．本题考查了直线方程与应用问题，也考查了两条直线所成的角以及直线旋转问题，是中档题．18.【答案】解：（1）∵P1P2…P2018是半径为l的圆O内接正2018边形，M是圆上的动点．∴|+++…+-|=|-|=||，∴|+++…+-|的取值范围是[0，2]．证明：（2）把，，…，这2018个向量都旋转后，+…+不变，∴和向量旋转弧度后也不变，∴+…+=，∴2+2+…+ 2=（）2+（-）2+…+（-）2=（+…+）-2•（）+2018 2=2018-2•（+…+）+2018=2018-2+2018=4036．【解析】（1）推导出|+++…+-|=|-|=||，由此能求出|+++…+-|的取值范围．（2）推导出+...+=，从而2+2+ (2)（）2+（-）2+…+（-）2=（+…+）-2•（）+20182，由此能证明2+2+…+ 2为定值，并能求出该定值．本题考查向量和的模的取值范围的求法，考查向量的平方和为定值的证明，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】解：（1）设M（x M，y M），则，解得x M=，y M=，故M的坐标为（，），（2）OM=•（），点P到直线OA的距离为，根据点P的位置可知PM=，因此S△OMP=OM•PM=•，同理，把k替换为-k可知N（，-），ON=•（），PN=，因此S△ONP=ON•PN=•，∴四边形OMPN的面积S=S△OMP+S△ONP=•+•=（x2-y2），因此（x2-y2）=k，解得y=，注定义域这里不作要求，由x＞0，0＜y＜kx，0＜y＜x可得：当0＜k＜1时，x∈（，），当k=1时，x∈（，+∞），当k＞1时，x∈（，k）【解析】（1）设M（x M，y M），则，解的即可（2）先要仔细分析题目所给的条件，设出点M、N的坐标，将四边形分解成两个三角形：三角形OMP、三角形ONP分别表示出面积，然后求和即可找到x、y之间的关系式，进而即可获得问题的解答本题考查的是函数解析式的求解问题．在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．。