2.3.2 随机变量的函数及其分布

例2 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=XY 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
由于p X ( x )
pY ( y )
x2 1 e 2 , 2π y2 1 e 2 , 2π
x
y
由公式pZ ( z )


p X ( x ) pY ( z x )dx
得
pZ ( z )

2π
x2 (z x) 1 e 2e 2
X 1 3
Y
2 4 0.18 0.12 0.42 0.28
P
0.18 可得 0.12 0.42 0.28
( X ,Y ) Z X Y
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
3 5 5 7
7
所以
Z X Y P
3
0.18
5
0.54
0.28
结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 p{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,
0， 其它.
z
(1)
x 10
xz
x z 10
O
10
20
z
代入 (1) 式得
10 x , 0 x 10, 将 p( x ) 50 0, 其它. 10 ( z x ) , 0 z x 10, p( z x ) 50 0, 其它.
例7 设X,Y分别表示两只不同型号的灯泡的寿命
X,Y相互独立,他们的 概率密度分别为
e x , x 0, p( x ) 0, 其 它. 2e 2 y , x 0, p( y ) 0, 其 它.
试求Z
解
X 的概率密度函数 Y
由公式
pZ ( z )


若X与Y独立时，
pZ ( z )



p X ( z y ) pY ( y )dy p X ( x ) pY ( z x )dx
证
z R
y
D {( x, y ) x y z }
FZ ( z ) P{ Z z }
P{ X Y z }
则随机变量函数 f ( X ,Y )的分布律为 Z P { Z zk } P { f ( X , Y ) zk }

其中“
zk f ( xi , y j )
pij
k 1,2
zk f ( xi , y j )
pij ”是关于f ( xi , y j ) zk
的( xi , y j )求和.
解
由题意知 R 的概率密度为
pR ( z ) p( x ) p( z x ) d x

x
x 10
xz
x z 10
O
10
20
z
0 x 10, 当 0 z x 10,
0 x 10, 即 时, z 10 x z ,
i 0 i 0 k
k
P{ X 1 i }P{ X 2 k i }
e
i 0 k i 1 -1 e
k
i 0
i!
( k i )!
k i 2
e -2
-( 1 2 ) k
k!
k! i 1k i (k i )! i! 2 i 0
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
0

dy
z

p( yu, y ) ydu

0

dy

z 0
p( yu, y ) ydu p( yu, y ) ydy

0
dy
z

p( yu, y ) ydu p( yu, y ) ydy

z
dy
z


du

0
dFZ ( z ) pZ ( z ) dz
pR ( z )


p( x ) p( z x ) d x 中被积函数不为零 .
pR ( z )
x
此时
0 p( x ) p( z x ) d x, 0 z 10, 10 z 10 p( x ) p( z x ) d x, 10 z 20,
为了解决类似的问题,下面我们讨论二维随机 变量函数的分布.
二、离散型随机变量函数的分布
例 1 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 从而得 X 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
x y z
D
O
x
p( x , y )dxdy



dx
z x
z
p( x, y )dy p( x,u x )du
令u x y


dx

FZ ( z ) P{ Z z}

z
积分时 z 视为常数 p( x , u x )du
证 z R,

| y | p X ( yz ) pY ( y )dy
x D {( x , y ) z } y FZ ( z ) P{ Z z } P { X z } p( x , y )dxdy Y D
①
当z 0时，
FZ (z )
p( x, y )dxdy
X 1 3
Y
P
2 4 0.18 0.12 0.42 0.28
0.18 可得 0.12 0.42 0.28
( X ,Y )
(1, 2 ) (1,4 ) ( 3, 2 ) ( 3 ,4 )
Z XY
2
4
6 12
所以
Z XY
2
4
6
12
P
0.18
0.12
0.42
0.28
3 例3 设X ,Y为随机变量且P{ X 0,Y 0} 7 , 4 P{ X 0} P{Y 0} 7 , 求P{max( X ,Y ) 0}
y( 2 z )

0
2 dy (2 z )2
2 , z 0, 2 ( 当 z 0 时 ) pZ ( z ) 0, 得 pZ ( z ) ( 2 z ) 0, z 0.
D
x D {( x , y ) z } y
y
dy zy

0
0

p( x , y )dx
zy
x zy ( y 0)
o
xzy
dy
0
p( x , y )dx
x zy x ( y 0)
x 令u y
dy z

p( yu, y ) ydu
解
3 4 由P{ X 0,Y 0} 7 , P{ X 0} P{Y 0} 7
可知
P{max( X ,Y ) 0} P{ X 0或Y 0}
P { X 0} P {Y 0} P { X 0,Y 0}
5 4 4 3 7777
参数为1， 例4 设X1 , X 2相互独立，且分别服从
0
yp( yz , y ) d y
0

yp( yz , y ) d y ,
2e x e 2 y , x 0, y 0, p( x , y ) 其 它. 0,
得所求密度函数 (当z 0时)
pZ ( z )

0
2 ye yz e 2 y d y 2 ye
2
dx
z 2 ( x z )2 1 e 4 2 dx e 2π

z t x 2
z2 t 2 1 e 4 e dt 2π


z2 1 e 4 2 π
即 Z 服从 N (0,2)分布.
说明
2 一般, 设X ,Y相互独立且X ~ N ( μ1 , σ1 ),Y ~ 2 N ( μ2 , σ 2 ).则 Z X Y 仍然服从正态分布, 且有 2 2 Z ~ N ( μ1 μ2 , σ1 σ 2 ).

0

p( yz , y ) ydy

0
p( yz , y ) ydy


| y | p( yz , y )dy
②
当z 0时，
FZ (z ) p( x , y )dxdy
D
x D {( x , y ) z } y y
x y0 y z o x y0 y y0 z
第三节 随机变量的函数 及其分布(2)
（两个随机变量的函数的分布） 一、问题的引出 二、离散型随机变量 的函数的分布 三、连续型随机变量 的函数的分布
下
回
停
一、问题的引出
有一大群人，令 和Y分别表示一个人的年龄 X
和体重，Z表示该人的血压并且已 Z与X ,Y的函数 知