高考解析几何题案例分析
解析几何的3个高考热点与例题分析
圆锥曲线考点——例题考点一 求圆锥曲线方程求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. ●典例探究 ［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m.建立坐标系并写出该双曲线方程. ［例2］过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.［例3］如图，已知△P 1OP 2的面积为427，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程. 考点二 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. ●典例探究 ［例1］如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.［例2］已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.［例3］如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.考点三 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.●典例探究［例1］已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C ：y 2=2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦.(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化？(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系？［例2］如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||(1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值.［例3］舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？［学法指导］怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.(1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.(2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a ,b ,c ,e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.(3)掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.圆锥曲线考点——例题解析考点一 【例题1】 命题意图：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题。
高三复习专题 解析几何典例剖析
高三复习专题 解析几何典例剖析一、典型问题剖析圆的问题主要是定义和性质；圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）主要是曲线的定义、标准方程、曲线性质（焦点、离心率、准线、渐近线）；综合性问题主要是位置关系、范围、面积、定点、定值等。
下面举几个例子说明．（一）离心率问题【例1】（2017年全国卷Ⅰ理15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．解析：如图所示，ΔMAN 为等腰三角形，OA a =，AN AM b ==，因为60MAN ∠=o ，所以3AP b =，222234OP OA PA a b =-=-．所以2232tan 34b APOP a bθ==-， 又因为tan b a θ=，所以223234bb a a b=-，解得223a b =．所以22123113b e a =+=+=． 【评析】本题主要考查以离心率为背景的双曲线的概念与性质．解题的关键是：合理构建符合题意的图像，挖掘几何性质，从中转化抽象出参数,,a b c 的等量关系式；注意用好双曲线中与参数有关的几个不变量：（1）双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；（2）双曲线的顶点到渐近线的距离是abc．（3）本题从特殊值角度令关联基本量2b =，则可大幅度减小计算量．（二）面积最值【例2】（2016年全国卷Ⅱ理20）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围．解析：（1）解法一：当4t =时，由于AM AN =，根据对称性可知1AM k =， 所以221,432,x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22234+21207+16+4=0x x x x +-=⇒，所以47M A x x ⋅=． 又2A x =-，所以27M x =-，所以212144222749AMN S ⎛⎫=⨯⨯-+= ⎪⎝⎭△．解法二：设点()00M x y ，，且MN 交x 轴于点D ． 因为AM AN =，且AM AN ⊥，所以MD AD ⊥，MD AD = ．由2200+143x y =，得0y =．又0022AD x x =--=+02x =+，解之得02x =-或27-． 所以127AD = ，所以211214422749AMN S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭△．（2）设直线x my a =-，1m k=，a = 则222,1,3x my a x y a=-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2222330my a a y a -+-=，()222360m a y may +-=， 所以2263M ma y m a =+； 同理222266313N ama n y a m a m --==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为2AM AN =，所以22226633ma mam a a m -++． ()2233213221m m a m m -⇒=>⇒<<-)1k m =∈．【评析】解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．（三）定点问题【例3】（2017福建省质检）已知点()1,0F ，直线:1l x =-，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,2H ，过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点，直线,AH BH 分别交l 于点,M N ，求证：以MN 为直径的圆必过定点．【解析】（1）依题意得QP QF =，即Q 到直线:1l x =-的距离与到点F 的距离相等， 所以点Q 的轨迹是以F 为焦点， l 为准线的抛物线．设抛物线方程为22(0)y px p =>，则2p =，即点Q 的轨迹C 的方程是24y x =．（2）由题意可设直线():10AB x my m =+≠，代入24y x =，得2440y my --=，设221212(,),(,)44y y A y B y ，则12124,4y y m y y +==-；又()1,2H ，设直线,AH BH 的斜率分别为12,k k ， 则12122212122244,221144y y k k y y y y --====++--，设()()1,,1,M N M y N y --， 令1x =-，得()111228222M y y y y -=-=++；同理，得()222228222N y y y y -=-=++， 从而()()()()()121212121212424222244244·422244244M N y y y y y y m y y y y y y y y m -++⎡⎤----⨯+⎣⎦====-+++++-+⨯+；1288(2)(2)22M N y y y y +=-+-++121148()22y y =-+++ ()1212128[()4]424y y y y y y ++=-+++()84444244m m +=--+⨯+4m=-． 又以MN 为直径的圆的方程为： ()()()210M N x y y y y ++--=，即()()22·10M N M N y y y y y y x -++++=，即224230x x y y m+-++=， 令220,230,y x x y =+-+=⎧⎨⎩解得3x =-或1x =，从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0．【评析】该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．（四）定值问题【例4】（2019年全国Ⅰ卷第21题）已知点,A B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，⊙M 过点,A B 且 与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．解析：（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【例5】（2018年全国卷I 理19）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解析：当l 与x 轴重合时，0o OMA OMB ∠=∠=. 当l 与x 轴垂直时，由椭圆的对称性，知OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴既不重合、也不垂直时，设l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则12,x x -12121212121212(2)(2)23()422222)(2)MA MB y y k x k x kx x k x x kk k x x x x x x ---+++=+=+=------（， （因知待证目标，故分母不展开）联立(1)y k x =-与2212x y +=，消y ，整理得2222(21)4(22)0k x k x k +-+-=，所以22121222422,2121k k x x x x k k -+==++， 代入得3331212244128423()4021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+，即0MA MB k k +=，故,MA MB 的倾斜角互补，OMA OMB ∠=∠. 综上，证得：OMA OMB ∠=∠.【评析】本题将证明的目标转换为证明MA MB k k +为定值0的问题.【例6】如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，//AP ON ，//BP OM ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）判断OMN ∆的面积是否为定值？若为定值，若不为定值，请说明理由．解析:（Ⅰ）由14AP BP k k ⋅=-，得221,42,b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1b =， 椭圆22:14x C y +=．（Ⅱ）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()22222,4184401,4y kx t k x ktx t x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 122841kt x x k +=-+，21224441t x x k -=+， ()()1212121212121211404044y y k k y y x x kx t kx t x x x x ⋅=-⇒⋅=-⇒+=⇒+++=，()()22121241440kx x kt x x t ++++=，2222222448(41)()4402414141t ktk kt t t k k k -+-+=⇒-=++，MN === d =1S ===． OMN ∆∴的面积为定值1．【评析】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1、求代数式为定值。
由案例说解析几何中优化问题的处理
由案例说解析几何中优化问题的处理解析几何是高考的必考内容之一，而学生对解析几何又往往感到头疼，所以解析几何被视作考试成败的分水岭。
在解析几何的教学中，优化问题经常见到。
很多同学对于此类问题的处理感到困难，本文就这一问题的处理略作介绍。
一、利用圆锥曲线的定义解决问题例1：点P在椭圆■+■=1上，定点A(2,1)，F为椭圆的右焦点，则|PA|+|PF|的最大值和最小值是___________。
分析：设F1是椭圆的左焦点，连接AF1并延长交椭圆于P1，P2,如图所示，由椭圆的定义可知，有|PF|+|PF1|=2a=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|。
①若|PA|≤|PF1|，则有|PF1|-|PA|≤|AF1|,所以|PA|-|PF1|≥-|AF1|。
②若|PA|>|PF1|，则有|PA|-|PF1|≤|AF1|。
所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|的最小值为10-|AF1|=10-■，即点P为点P1；最大值为10+|AF1|=10+■，即点P为点P2。
小结：例1是利用椭圆的定义进行转化，若点P不在AF1连线上，则利用三角形两边之差小于第三边，说明当点P是AF1的连线与椭圆的交点时取最值。
二、利用圆锥曲线的统一定义解决问题例2：在椭圆■+■=1内有一点P(1,-1)，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值为。
分析：通常第一次接触这种类型的题目，我们都会设点M的坐标，利用两点间距离公式和椭圆方程联立求解。
显然，很繁琐。
我们知道|MF|为椭圆的焦半径，故可利用圆锥曲线的统一定义有，■=e，其中d为M到右准线的距离，e为椭圆的离心率。
所以|MP|+2|MF|=|MP|+2ed=|MP|+d，要使其最小，只要过P作右准线l 的垂线,垂足为N,垂线交椭圆于M1，即为使|MP|+2|MF|的值最小的M点。
显然，此时最小值为3。
小结：例2是利用圆锥曲线的统一定义进行转化为已知圆锥曲线内的点到准线的距离最短。
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
解析几何中高考热点问题例析
解析几何中高考热点问题例析永春三中数学组 潘志胜解析几何是历年高考必考内容,是一个热点,也是一个难点.由于这道题灵活性大,综合性强,得分率往往偏低,许多考生和老师感到头疼.本文拟就常见的问题作一归纳解析,以求对大家有所帮助.一、求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程例1:如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b aby a x C 的离心率e ，左右两个焦分别为21F F 、．过右焦点2F 且与x 直线与椭圆C 相交M 、N 两点，且|MN|=1．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 设椭圆C 的左顶点为A,下顶点为B ，动点P 满足PA AB ⋅点P 的轨迹方程，使点B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C 上. 解：(Ⅰ)∵2MF x ⊥轴，∴21||2MF =,由椭圆的定义得：11||22MF a +=，∵2211||(2)4MF c =+，∴2211(2)424a c -=+，又e =2234c a = ∴22423,a a a -= 0a > 2a ∴=∴2222114b a c a =-==，∴所求椭圆C 的方程为2214x y +=． (Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B 为（0，－1），设点P 的坐标为(,)x y则(2,)PA x y =--- ，(2,1)AB =-,由PA AB m ⋅=－4得－424x y m -+=-，∴点P 的轨迹方程为2y x m =+设点B 关于P 的轨迹的对称点为00'(,)B x y ，则由轴对称的性质可得：0000111,2222y y x m x +-=-=⋅+，解得：004423,55m m x y ---== ∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴ 224423()4()455m m ---+=，整理得2230m m --=解得1m =-或 32m =∴点P 的轨迹方程为21y x =-或322y x =+，经检验21y x =-和322y x =+都符合题设，∴满足条件的点P 的轨迹方程为21y x =-或322y x =+． 二、探究性问题例2．已知椭圆C 的中心为原点，点F )0,1(是它的一个焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交于B A ,两点，且当直线l 垂直于x 轴时，65=⋅． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得在椭圆C 的右准线上可以找到一点P ，满足ABP ∆为正三角形．如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为：)0(12222>>=+b a by a x ，则122=-b a ．……①当l 垂直于x 轴时，B A ,两点坐标分别是),1(2ab 和),1(2a b -，24221),1(),1(a b a b a b -=-⋅=⋅∴，则65124=-ab ，即426b a =．………②由①，②消去a ，得01624=--b b ．212=∴b 或312-=b （舍去）． 当212=b 时，232=a ．因此，椭圆C 的方程为123222=+y x ． （Ⅱ）设存在满足条件的直线l ．(1)当直线l 垂直于x 轴时，由（Ⅰ）的解答可知3622==a b AB ，焦点F 到右准线的距离为212=-=c c a d ，此时不满足AB d 23=． 因此，当直线l 垂直于x 轴时不满足条件．（2）当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为)1(-=x k y ．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1232),1(22y x x k y ⇒03612)26(2222=-+-+k x k x k ，设B A ,两点的坐标分别为),(11y x 和),(22y x ，则1362221+=+k k x x ，26362221+-=k k x x ．]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=)]2636(4)136)[(1(222222+--++=k k k k k 13)1(622++=k k ． 又设AB 的中点为M ，则=+=221x x x M13322+k k ．当ABP ∆为正三角形时，直线MP 的斜率为kk MP 1-=． 23=P x ， )13(2)1(31)13323(111122222222++⋅+=+-⋅+=-+=∴k k k k k k k x x k MP M P ． 当ABP ∆为正三角形时，AB MP 23=，即)13(2)1(312222++⋅+k k k k ＝13)1(62322++⋅k k ， 解得12=k ，1±=k ．因此，满足条件的直线l 存在，且直线l 的方程为01=--y x 或01=-+y x ．三、取值范围问题例3: 已知点（x ，y ）在椭圆C ：122=+y x （)0>>b a 的第一象限上运动． （Ⅰ）求点(),yxy x 的轨迹1C 的方程；（Ⅱ）若把轨迹1C 的方程表达式记为()y f x =，且在⎛ ⎝⎭内()y f x =有最大值，试求椭圆C 的离心率的取值范围．解:（Ⅰ）设点（0x ，0y ）是轨迹1C 上的动点，∴00,.y x x y xy ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴0x 0y =2y ，200x x y=．∵点（x ，y ）在椭圆C: 12222=+by a x （)0>>b a 的第一象限上运动，则0x >0，0y >0．∴10000=+y x y ． 故所求的轨迹1C 方程是122=+bxyx a y （0x >，0y >）． （Ⅱ）由轨迹1C 方程是122=+b xy x a y （x >0，y >0），得22222x a b x b a y +=（x >0）． ∴ 222222222()a b x a b f x b a x b a x x ==++≤222ab =． 所以，当且仅当x a x b 22=，即a b x =时，()f x 有最大值．如果在开区间⎛ ⎝⎭内()y f x =有最大值，只有b a<． 此时，222221133b ac a a-<⇒<，1e <<．∴椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎝⎭．四、最值问题例4:已知)0,1(),0,4(N M 若动点P 满足||6=∙ （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线0122:=-+y x l 的距离的最小值. 解：（1）设动点P （x ，y ），则),1(),0,3(),,4(y x y x --=-=-由已知得1243,)()1(6)4(32222=+-+-=--y x y x x 化简得13422=+y x 即∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：13422=+y x（2）解一：由几何意义知，椭圆C 与平行的切线其中一条l ‘和l 的距离等于Q 与l 的距离的最小值。
全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考解析几何解答题真题归类分析（含答案）一、椭圆（2015年2卷）已知椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.分析：(1)将直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与椭圆C:9x 2+y 2=m 2(m>0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分求解证明. 解析】：(1)设直线l :y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k b b k y M M .于是直线OM 的斜率kx y k M M OM 9-== 即k OM ·k=-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值.(2)四边形OAPB 能为平行四边形，因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k≠3，由(1)得OM 的方程为y=-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x k y ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2.=，解得k k 12==因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-或4+时,四边形OAPB 为平行四边形.（2016年1卷）设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)圆A 整理为(x+1)2+y 2=16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE ∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD,∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4+2y 3=1(y≠0);(2)C 1: 2x 4 +2y 3=1;设l :x=my+1,因为PQ ⊥l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l 与椭圆C 1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m 2+4)y 2+6my-9=0; 则|MN|=M -y N |==()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离d==,所以=,∴S MPNQ =12|MN|·|PQ|=12·()2212m 13m 4+⋅+=24[12,8).（2016年2卷）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，，则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-=解得2x =-或228634k x k -=-+21234k + 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⋅⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >212124343k k k=++， 整理得()()21440k k k --+=，2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩并整理得， ()222223230tk x x t k t +++-=，解得x =或x =所以AM =，所以AN =因为2AM AN =，所以2=，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <<．（2017年1卷）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>，四点()111P ，，()201P ，，3–1P ⎛ ⎝⎭，41P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过点2P 且与C 相交于A ，B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为–1，求证：l 过定点.解析：（1）根据椭圆对称性，必过3P ，4P ，又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点.将()23011P P ⎛- ⎝⎭，，代入椭圆方程得222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =， 21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，，联立22440y kx bx y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()222148440k x kbx b +++-=，122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+， 则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=22228888144414kb k kb kbk b k --++==-+ ()()()811411k b b b -=-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．所以直线l 的方程为21y kx k =--.当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．（2017年2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.求证：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解析：（1）设点()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =，，又0NM NP ⎛== ⎝，所以点M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又M 在椭圆C上，所以2212x +=，即222x y +=． （2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-，()1,PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-，(),OP m n =，()3,PQ m t n =---，由1O P P Q ⋅=，得2231m m tn n --+-=.又由（1）知222m n +=，所以330m tn +-=，从而0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线的垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过曲线C 的左焦点()1,0F -. 二、抛物线（2015年1卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线y kx a =+（a ＞0）交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=C在,)a 处的切线方程为y a x --0y a --=.故24x y =在x=-处的到数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k .将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=.∴12124,4x x k x x a +==-.∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.（2016年3卷）已知抛物线C:y 2=2x 的焦点为F,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l 1:y=a,l 2:y=b 且ab≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭,记过A,B 两点的直线方程为l,由点A,B 可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0,因为点F 在线段AB 上,所以ab+1=0,记直线AR 的斜率为k 1,直线FQ 的斜率为k 2,所以k 1=2a b1a -+,k 2=b 1122--=-b,又因为ab+1=0, 所以k 1=22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k 1=k 2,即AR ∥FQ. (2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0,所以S △ABF =1111a b FD a b x 222-=--, 又S △PQF =a b 2-,所以由题意可得S △PQF =2S △ABF 即:a b 2- =2×12·11x 2a b ⋅--,解得x 1=0(舍)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E(x,y). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB =k DE 可得2ya b x 1=+-(x≠1).而21a b y=+,所以y 2=x-1(x≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y 2=x-1.（2017年3卷）已知抛物线22C y x =：，过点()20，的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）求证：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()42P -，，求直线l 与圆M 的方程．解析：（1）显然当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． ⋅1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r 1212(2)(2)my my y y =+++21212(1)2()4m y y m y y =++++= 24(1)2240m m m -++⋅+=，所以⊥，即点O 在圆M 上．（2）若圆M 过点P ，则⋅，即1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=，即1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=，即21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=，化简得2210m m --=，解得12m =-或1.①当12m =-时，:240l x y +-=，设圆心为00(,)Q x y ，则120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =，则圆229185:4216M x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当1m =时，:20l x y --=，设圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径r OQ =22:(3)(1)10M x y -+-=.。
高考解析几何题案例分析
一叶落而知秋之至—解析几何综合题案例分析纵观高考题，不难发现解析几何题悄然成了许多省份的压轴题之一．解析几何横跨代数和几何，一道解析几何题目，涉及众多，很大程度上考察了学生的思维和运算能力．解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，因此它的基本特征就是数形结合．基本方法是建立方程（组），通过方程来研究几何性质．因此从几何入手，从代数着力，是它的基本方向。
建立方程，解方程．就需要做好引参，用参，消参工作．解析几何解题思路或从几何关系入手，或把几何关系坐标化，方程化，从代数入手，可以说它的方法是几何法和代数法．以下通过一个例子具体来谈：案例 如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -,已知),1(e 和)23,(e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若2621=-BF AF ，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：21PF PF +是定值．解法一：（1）分析：把两点代人，利用c b a ,,三个量的基本关系易得，注意消元和化归．由题设知，ac e c b a ===,222，由点),1(e 在椭圆上，得 11111222222222222222=⇒=⇒=+⇒=+⇒=+b b a a b a c b ba c ab e a ，故122-=ac ． 由点)23,(e 在椭圆上，得204411231232242422222=⇒=+-⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a c b a e ． 故椭圆的方程为1222=+y x ． （2）分析一：第二问和三问几何特征是直线与椭圆相交，所以一定要联立方程组．思路一要求1AF 与2BF ，需要点B A ,的坐标，利用求根公式分别求出B A ,的坐标，即可求出m 值．解法一：由（1）得)0,1(),0,1(21F F -，又因为直线1AF 与直线2BF 平行，所以设1AF ，2BF 的方程分别为1+=x my ，1-=x my ，0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A ． 由222012)2(1122211212112121+++=⇒=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+m m m y my y m x my y x （求根公式真功） 故2)1()1(2)()0()1(222212121211++++=+=-++=m m m m y my y x AF ．同理，2)1()1(22222++-+=m m m m BF ②． （i ）由①②得，2)1(2221++=-m m m BF AF 。
高中解析几何典例解析(精编版)
高考解析几何典例解析（精编版）1. （天津文）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。
点(,)P a b 满足212||||.PF F F = （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 所以22()2a c b c -+=，整理得2210,1c c c a aa ⎛⎫+-==- ⎪⎝⎭得（舍）或11,.22c e a ==所以 2. （北京文）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为63，右焦点为（22,0），斜率为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I ）求椭圆G 的方程； 解：（Ⅰ）由已知得622,.3c c a ==解得2 3.a =又222 4.b a c =-=所以椭圆G 的方程为221.124x y += 4. （全国新文） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t=1. 则圆C 的半径为.3)1(322=-+t所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x 6. （江西文）已知过抛物线()y px p =2>0的焦点，斜率为22的直线交抛物线于(,)A x y 11和(,)()B x y x x 2212<两点，且AB =9, （1）求该抛物线的方程；【解析】（1）直线AB 的方程是22()2py x =-，与22y px =联立，从而有22450,x px p -+= 所以：1254p x x +=由抛物线定义得：12||9,AB x x p =++= 所以p=4，从而抛物线方程是28.y x = 8. （陕西文）设椭圆C: ()222210x y a b a b+=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
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一叶落而知秋之至
—解析几何综合题案例分析
纵观高考题，不难发现解析几何题悄然成了许多省份的压轴题之一．解析几何横跨代数
和几何，一道解析几何题目，涉及众多，很大程度上考察了学生的思维和运算能力．
解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，因此它的基本特征就是数形结合．基
本方法是建立方程（组），通过方程来研究几何性质．因此从几何入手，从代数着力，是它
的基本方向。
建立方程，解方程．就需要做好引参，用参，消参工作．解析几何解题思路或
从几何关系入手，或把几何关系坐标化，方程化，从代数入手，可以说它的方法是几何法和
代数法．
以下通过一个例子具体来谈：
案例 如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -,已知),1(e 和)2
3,
(e 都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交
于点P ．
（i ）若2
621=-BF AF ，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：21PF PF +是定值．
解法一：（1）分析：把两点代人，利用c b a ,,三个量的基本关系易得，注意消元和化归．
由题设知，a
c e c b a ===,222，由点),1(e 在椭圆上，得 1111122222222222
2222=⇒=⇒=+⇒=+⇒=+b b a a b a c b b
a c a
b e a ，故122-=a
c ． 由点)2
3,(e 在椭圆上，得
204411
231232242
422222=⇒=+-⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a c b a e ． 故椭圆的方程为12
22
=+y x ． （2）分析一：第二问和三问几何特征是直线与椭圆相交，所以一定要联立方程组．思路一要求1AF 与2BF ，需要点B A ,的坐标，利用求根公式分别求出B A ,的坐标，即可求出m 值．
解法一：由（1）得)0,1(),0,1(21F F -，又因为直线1AF 与直线2BF 平行，所以设1AF ，2
BF 的方程分别为1+=x my ，1-=x my ，0,0),,(),,(212211>>y y y x B y x A ． 由222012)2(112221121211
2121+++=⇒=--+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+m m m y my y m x my y x （求根公式真功） 故2)
1()1(2)()0()1(222212121211++++=+=-++=m m m m y my y x AF ．
同理，2
)1()1(22222++-+=m m m m BF ②． （i ）由①②得，2)
1(2221++=-m m m BF AF 。
解2
62)1(22=++m m m 得22=m 注意到 2,0=>m m 所以． 因此直线1AF 的斜率为
221=m ． （ii ）分析：想求出P 点坐标，难于上青天，如果看到图形中的两个三角形相似，不难想到
利用相似，结合定义进行转化，可谓柳暗花明又一村，问道于几何．
证明：因为直线1AF 与直线2BF 平行， 所以1
12112112111,AF AF BF PF PF PB AF BF PF PB AF BF PF PB +=+⇒+=+=即 ， 故11
211BF AF BF AF PF +=．又由点B 在椭圆上知，2221=+BF BF ，所以)22(21211BF AF BF AF PF -+=，同理)22(11222AF AF BF BF PF -+=．
1
2121122212121222)22()22(AF BF AF BF AF AF BF BF BF AF BF AF PF PF +⋅-=-++-+=+ 由①②得，2
1,2)1(2222212221++=⋅++=+m m BF AF m m BF AF ． 所以22
3222221=-=+PF PF ，从而21PF PF +是定值． 分析二：一定要分别求出点B A ,的坐标呢？能不能运用韦达定理，设而不求，从整体上去
考虑呢？
解法二：当直线1AF 斜率不存在时，易知不符合题设，因此可设直线1AF 为)1(+=x k y ，
其中 ),(11y x A ，直线1AF 与椭圆另一交点记为),(22y x C ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12
)1(22y x x k y 得0224)21(2222=-+++k x k x k ． 故2
22122212122214k k x x k k x x +-=+-=+，． 因为直线1AF 与直线2BF 平行，可设直线2BF 为)1(-=x k y ，其中),(33y x B ，直线2BF 与
椭圆另一交点记为),(44y x D ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)1(22y x x k y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k ． 则224322432122214k
k x x k k x x +-=+=+，． 易见21x x ++43x x +=0，21x x =43x x （＊）． 而2
6)(21
21
221
2313121=+=+-+=-x x x x BF AF ，得331=+x x ． 故342-=+x x ，分别代入（＊），得)3()3(1441x x x x -=--，41x x -=． 所以34331=-=+x x x x ，于是34)()(43243243=-+=-x x x x x x ．
即222
)214(k k +2221224k
k +-⨯-=3，解得舍）22(22-±=k ． 点评：韦达定理功效不亚于双剑合璧，而且深刻地揭示了问题的代数特征．
（ii ）设）y x P ,(，因为的交点和是12BF AF P ， 所以11,111133+=-+=+x y x y x y x y ，则)
1)(1()1)(1()1()1(1131133113++--=+-=+-x x k x x k x y x y x x ，可得 3131)1)(1(1x x x x x +++=
+，同理3131)1)(1(1x x x x x +--=-．所以 21PF PF +=2222)1()1(y x y x +-+++=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+++21122332)1(1)1)1(1)1x y x x y x （（=212
12122323232)1()1()1)1()1()1-+--+++++x y x x x y x x （（=2121223232
)1(2)2()1)1(2)2()1---++++x x x x x x （（=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+++31313113)1)(2()1)(2(22x x x x x x x x =3
13312322x x x x x +++=223． 点评：在上述两种解法中，可见判别式，求根公式，韦达定理是我们处理直线与椭圆位置关
系的基本工具，另外深刻地体现了解析几何运算中的特点：利用平面几何的知识，结合定义，设而不求，整体运算，对称轮换，利用方程进行横纵坐标之间的转换，。