初等函数连续
初等函数在定义域中连续
初等函数在定义域中连续一. 连续的定义二．常见的初等函数举例三．以上所举初等函数是否在定义域中连续并举例证明几个初等函数的连续性四．以上所举初等函数的复合函数（也是初等函数）是否有连续性并举例证明五．我们从中得到的定理一．连续的定义（一）设函数f 在某U （X0）内有定义，若0lim X X f(x)=f(x0)，则称f 在点X0连续 （二）即函数在定义域中每一点满足1． 左极限 和 右极限 存在2． 左极限等于右极限3． 左极限与右极限等于这一点的函数值二．常见的初等函数举例（一）概念初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。
英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。
初等函数在其定义区间内连续。
（二）实例介绍1．常数函数对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。
2．指数函数形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
3．幂函数形如y＝x^a的函数，式中a为实常数。
4．对数函数，式中a为不等于1的正常数。
指数函数与对数函数之指数函数的反函数，记作log Xa=X。
第4章-函数的连续性-4-3 初等函数的连续性
§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
定理4.10
设 a 0, a 1, 、 为任意实数, 则有 a a a ， (a ) a .
证 当 , 是有理数时, 这是我们熟知的结果. 先设 a 1, 由定义，
a x sup{a r | r 为有理数}.
定理4.11
x y a (a 0 , a 1) 在 R上是连续的. 指数函数
证 我们仍旧先假设 a 1 . 首先证明指数函数在
x lim a 1 f (0). x 0 处连续, 即 x 0
这是因为对于任意的正数 (0 1) , 取
min{loga (1 ), | log a (1 ) |},
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解 因为 ln(1 x ) 是初等函数, 所以在 x 0处连续, cos x 从而 ln(1 x ) ln(1 0) lim 0. x 0 cos x cos0
数学分析 第四章 函数的连续性
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
例4 据理说明
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
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推论1
对数函数 y loga x (a 0, a 1) 在定义域 (0, ) 上是连续的.
ln x 在定义域 (0, )上 幂函数 y x e 也是连续的. 例1 设 lim u( x ) a 0 , lim v ( x ) b. 证明
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§3 初等函数的连续性
指数函数的连续性
初等函数的连续性
连续变换的定义和概念
连续变换的定义和概念连续变换是数学中一个重要的概念，主要涉及到函数的性质和变化。
在不同的数学领域和应用中，连续变换有不同的定义和概念。
下面将从初等函数连续变换、高等函数连续变换和数列连续变换三个方面进行阐述。
1. 初等函数连续变换：初等函数是指常见的基本函数，例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数函数等。
连续变换的概念可以用来描述函数的值域、定义域以及在特定区间上的连续性。
对于初等函数而言，连续变换可以表现为以下几种情况：(1) 值域的变换：随着自变量的变化，函数的值也会相应地发生变化。
例如，幂函数f(x) = x^n，当n 为偶数时，其值域为非负实数集合；而当n 为奇数时，其值域为全体实数集合。
(2) 定义域的变换：函数的定义域指的是自变量的取值范围。
对于初等函数而言，其定义域可以在实数范围内连续变换。
例如，对数函数f(x) = log(x)，其定义域为正实数集合；而当定义域为正整数集合时，函数的性质会有所不同。
(3) 连续性的变换：连续性是函数在一个区间上的重要性质。
对于初等函数而言，连续变换可以是函数的极限趋于某个常数或者无穷大时的情况。
例如，指数函数f(x) = e^x，在整个实数范围上都是连续的，即其极限在任意区间上是存在的。
2. 高等函数连续变换：高等函数是指由初等函数组合形成的复杂函数，例如多项式函数、有理函数、指数对数函数和三角函数的复合函数等。
高等函数的连续变换主要涉及到函数的求导和积分，以及函数在多个区间的连续性。
对于高等函数而言，连续变换可以表现为以下几种情况：(1) 导数的变换：导数是函数在某一点处的变化率，描述了函数曲线在该点的切线斜率。
函数的导数可能存在局部最大值和最小值，使得函数曲线在该点处发生变化。
例如，多项式函数f(x) = ax^n，在不同的参数a 和n 值下，其导数的变化规律也会不同。
(2) 积分的变换：积分是导数的逆运算，用来求解函数在一定区间上的累积变化量。
基本初等函数的一致连续性
基本初等函数的一致连续性
基本初等函数的一致连续性是指初等函数的头尾之间的连续性。
一致
连续性主要指的是函数的变化不突然，是连续的，也就是变化之间相
互交织。
在数学上，它可以定义如下：
1. 函数的连续性：函数的连续性指的是在取值之间无缝衔接的能力，
当一个函数在每个交点衔接一条完整的曲线，不存在突然变化的情况时，它就是连续的。
函数的连续性可以判断一个函数是否连续。
2. 函数的一致性：函数的一致性指的是函数在整个域上的变化行为，
它表明函数在整个域内是持续增减或单调递增/减，没有任何折点或跳动。
3. 基本初等函数的一致连续性：它指的是初等函数的头尾之间的连续性。
只有按照连续性的要求，函数的值能够按照某种唯一的预定的方
式缓慢变化，函数才能被称为一致连续的。
4. 一致连续性有助于确定基本初等函数的有限个实际值导致函数值变化：用唯一方式按照连续性标准缓慢变化，并且维持该函数的稳定性。
5. 一致连续性有助于理解一些抽象的函数的性质：萃取出特定的特征，满足一定的数学规律，用符号进行描述或表示，让抽象的函数变得更
加容易掌握。
6. 一致性的重要性：一致性对于函数的连续性是至关重要的，它定义了基本初等函数的变化和行为，它决定了函数是否有可能到达期望的极限，从而使极限理论变得有意义，从抽象函数获取有用的信息。
另外，一致性也是几何概念的基础，可以说它是数学在极限理论中的一种传播工具，一致性决定了数学操作的有效性。
连续函数 初等函数、非初等函数连续性
第 一 类 间 断 点
y
跳跃型
0
x0
x
0
x0
x
第二类间断点
类间断点.
如果f ( x )在点x 0 处的左, 右极限
至少有一个不存在, 则称点x 0为函数f ( x )的第二
第 二 类 间 断 点
y
y
0
x0
x
0
x
振荡型
无穷型
6、闭区间的连续性
如果函数在开区间( a , b )内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续, 则称 函数f ( x )在闭区间[a , b]上连续.
续点.
定义2
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ).
2、单侧连续
若函数f ( x )在( a , x 0 ] 内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0 处左连续; 若函数f ( x )在[ x 0 , b )内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0 处右连续.
连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a ) A 及 f (b) B ,
C 那末，对于A 与B 之间的任意一个数 ，在开区间
a, b 内至少有一点 ，使得 f ( ) c (a b ) .
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值.
定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
9、闭区间上连续函数的性质
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
第6节 初等函数的连续性
1、最大值和最小值定理 、
定义: 定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大 (小)值. 例如, 例如 y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;
2
三、闭区间上连续函数的性质
闭区间上的连续函数有着十分优良的性质， 闭区间上的连续函数有着十分优良的性质， 这些性质在函数的理论分析、 这些性质在函数的理论分析、研究中有着重 大的价值，起着十分重要的作用。 大的价值，起着十分重要的作用。下面我们 就不加证明地给出这些结论， 就不加证明地给出这些结论，好在这些结论 在几何意义是比较明显的。 在几何意义是比较明显的。
例3
求 lim ln arcsin x .
x→ 1 2
例4
x+4−2 . 求 lim x→0 x e x − e− x 求 lim . x→0 x
例5
3 例6 求 lim ln(1 + 2 )ln(1 + ). x →+∞ x
x
定理4 定理4
设函数 u = ϕ( x ) 在点 x = x0连续, 且
例2 证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内
至少有一根 .
例2 设函数 f ( x )在区间 [a , b] 上连续 , 且f (a ) < a ,
f (b ) > b. 证明 ∃ξ ∈ (a , b ), 使得 f (ξ ) = ξ .
初等函数的连续性68531
不能应用差的极限运算法则，须变形 ——先分子有理化，然后再求极限
lim ( x x2 1 x)
x
lim x( x2 1 x)( x2 1 x)
x
x2 1 x
lim x
1 2
x
lim
x2 1 x x
又lim ( x) a, x x0
对于 0, 0, 使当 0 x x0 时,
恒有( x) a u a 成立.
将上两步合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时, f (u) f (a) f [( x)] f (a) 成立.
在0点的邻域内没有定义.
函数在区间[1,)上连续.
注意 2. 初等函数求极限的方法代入法.
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例3 求 lim lnsin x x 2
解 y ln sin x是初等函数
它的一个定义区间是 (0, )
而x0
2
(0,
2.将x x0换成x 可得类似的定理
例1 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
解 原式 lim ln(1 x)x
x0
1
ln[lim(1 x)x ] ln e 1. x0
例2 求 lim e x 1 . x0 x
解 令 e x 1 y, 则 x ln(1 y),
当x 0时, y 0.
原式 lim y y0 ln(1
y)
lim 1 y0 ln(1
高等数学1.10连续函数的运算与初等函数的连续性教师教材.ppt
limf [j(x)]=f(u0)=f [j(x0)]．
x x0
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8
例 4 讨论函数 y=sin1 的连续性． x
解 函数 y=sin1 可看作是由 y=sin u 及 u1= 复合而成的．
x
x
sin u 在(-, +)内连续，1 在(-, 0)和(0, +)内连续． x
由定理 6，函数 sin1 在无限区间(-，0)和(0，+)内是连续的． x
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9
三、初等函数的连续性
基本的连续函数： 三角函数： sin x ， cos x ， tan x ， cot x ； 反三角函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotx ； 指数函数：a x (a>0，a 1)； 对数函数：log ax (a>0，a 1)； 证明 指数函数ax (a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且
例 2 由于 y=sin x 在闭区间[- ， ]上单调增加且连续，
22 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1,1]上也是单调 增加且连续的．
青苗辅导
4
同样，y=arccos x 在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x 在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x 在区 间(-，+)内单调减少且连续．
点 x0=0 是初等函数 f(x)= 1 - x2 的定义区间[-1，1]上的点，
所以lim 1 - x2 = 1 =1； x0
又如
点 x 0=
2
是初等函数 f(x)=ln sin x
的一个定义区间（0，）内