圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b代入曲线方程，化
为关于x的一元二次方程，设出交点坐标 A X i, y i , B X2, y ,利用韦达定理及弦长公式
7(1 k2)[(x i X2)24x1X2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与
曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.
、椭圆的焦点弦长
2
若椭圆方程为丰1(a b 0)，半焦距为c>0,焦点F
1( c,0), F2(c,0)
，设过F1
的直线I的倾斜角为,l交椭圆于两点Ax1,y1 ,B x2, y2,求弦长AB .
解：连结F2A, F2B，设|F i A x,|F i B| y，由椭圆定义得卩2円2a x, F2B 2a y，
由余弦定理得x2(2c)2 2x 2c cos (2a x)2，整理可得x
b2
，同理可求a c cos
得y —
a c cos
2 2
cl b b 2ab
，则A B x y --------------- ------------ —__2 ----- 2
b2
2
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为|AB| 2 2宁2 ( a为长半轴，b为短
a c sin
半轴，c为半焦距).
结论：椭圆过焦点弦长公式:
2ab2
I ~2 2 2
AB a c cps
2
2a b2(焦点在y轴
上).
(焦点在X轴上),
D
1
二、双曲线的焦点弦长
2 2
设双曲线冷1a 0,— 0,其中两焦点坐标为F I（ C,0）,F2（C,0），过F I的直线I的
a b
倾斜角为，交双曲线于两点 A x1, y1 ,B x2, y2 ,求弦长|AB|.
b
解： (1)当arctan —
a arctan —时，（如图
2）a
直线l与双曲线的两个交点A、由双曲线定义可得『2人
2 2
X (2c) 2x 2c cos
整理可得X
|AB|X y
—2
(2)当0
B 在同一支上，连F Q A^B，设I F I A X,|F I B
X 2a, F2B
(X 2a)2,y2
—2
a c cos
a c cos
arcta n—或
a
直线l与双曲线交点
X 2a, F2B
—2
c cos
b arcta
n—
a
y,，
y 2a，由余弦定理可得
(2c)2 2y 2c cos( ) (y 2a)2
—2
y ----------- ，则可求得弦长
a c cos
2a—2
~2 2 2
a c cos
时，如图3,
A X i,y i ,
B X2, y2在两支上，连F?A,F?B设|只円x,
2a，由余弦定理可得
F I B y,
.y
A
B
2 2
X (2c) 2x 2c cos
2 2 2 2
(X 2a)2, y2(2c)2 2y 2c cos (y 2a)2,
因此焦点在x 轴的焦点弦长为
抛物线的焦点弦长
若抛物线/
2p x （p
0）与过焦点F
（号,0）的直线1
相交于两点
Ax1
，y1
，Bx2
，y2
，若
I 的倾斜角为，求弦长|AB|.（图4）
解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线AA i 、BB , A i 、
F
则点A 的横坐标为2
2
xcos
，点B 横坐标为1 ycos
，由抛物线定
义知2 x cos
x
，2 ycos
子
y,
即x - 1 cos
P 1 cos
p 1 cos
P 2p
1 cos 1 cos 2
2p
.2 Sin
同理y 2
2px （p 0）的焦点弦长为|AB |
2p
.2
Sin
整理可得，x
b 2
c cos
-,则
a
b 2
b 2
|AB I y x
c cos a c cos
2ab 2
2
cos a
2
2ab
~2
2 2
|AB | a
2 c cos ''
2ab 2
~2
2~
b
(arcta n —
a
arcta n —
或
a
b arcta n
— ), a arctanb
a
).
同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式
2ab 2
~2
|AB | a
2
2 (0
arcta nP 或
c sin a
2ab 2 b ———2 ----- (arcta n — c sin a a
arcta a b arcta n —).
a
),
其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距,
为AB 的倾斜角.
B i 为垂足，设I F A X ,|FB
2py(p 0)的焦点弦长为AB
2p ,，所以抛物线的焦点弦长为cos
2P (焦点在X轴上),
sin
2p (焦点在y轴上).
cos
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握|AB
圆锥曲线的弦长公
式
一、椭圆：
设直线与椭圆交于P i(x i,y i)R(X2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P i P2| = |X i-X2| 寸—或|P i P2| = |y i-y2| i/K2) {K=(y?-y i)/(x2-
x i)}
J 2 2
=讥1 k )[(x i X2) 4x1X2]
二、双曲线：
设直线与双曲线交于P i(X i,y i),P2(X2,y2),且PP2斜率为K，则
|P I P2|=|X i-X2| ~K2)或|P i P2|=|y i-y2| 2
i/K ) {K=(护-y i)/(x2-
x i)}
2 2
k )[(X i X2) 4X i X2]
三、抛物线：
(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x,y i),B(X2,y2),AB为抛物线的焦点弦，
则|AB|=x i+X2+p 或|AB|=2p/(sin2 ){为弦AB 的倾斜角}
或|AB|2P—匕三(k为弦AB所在直线的斜率)
1 k
(2)设直线与抛物线交于P i(X i,y i),P2(X2,y2),且P i P2斜率为K,贝U
|P i P2|=|x i-X2| K2)或|P i P2|=|y i-y2| \ {K=(y>-y i)/(x2-x i)} = J(1 k2)[(X i X2)24x1X2]。