专题03 等差等比数列性质的巧用-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)
6.【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在正项等比数列 {an } 中， a5
1 ， a6 a7 3 . 则满足 2
a1 a2 an a1a2 an 的最大正整数 n 的值为
.
7.【2012 年高考（安徽理） 】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正 数,且 a3a11 16 ,则 log 2 a16 （ A． 4 B． 5 C． D．
). D．64
【变式演练 2】已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 S3 9, S5 25 ，则 S7 （ A． 41 B． 48 C． 49
） D． 56
方法三 数列的最值问题 解题模板：第一 步 观察已知条件，选择合适的求解方法； 第二步 根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的
B. p3 , p4
D. p1 , p4
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3.【2012 年高考四川理】设函数 f ( x) 2 x cos x , {an } 是公差为
8
的等差数列,
f (a1 ) f (a2 ) f (a5 ) 5 ,则 [ f (a3 )] a1a3 （
17 S n S 2 n 设 Tn0 为数列 Tn ,n N* ， an 1
12. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ,等差数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,若
Sn n 1 ,则 Tn n 1
a8 a2 b4 b6 b3 b7
[来源:学* 科*网 Z*X*X*K]
)
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A． d 0
B． a 7 0
C． S 9 S 5
D． S6 和 S7 均为 Sn 的最大值
15.已知等差数列 {an } ， Sn 为其前 n 项和，若 S20 100 ，且 a1 a2 a3 4 ，则 a18 a19 a20 （ A. 20 B. 24 C. 26 D. 30
）
4.设公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 a1 1 ， 2 d 1 ，则当 S n 取最大值时， n 的值
17
9
为
.
5.设等比数列 {a n } 的前项 n 和为 S n ， 若 A．2 B．
S6 S 3 ，则 9 S3 S6
C．
(
)
8 3
n
.
12.【2014 高考全国 2 第 17 题】已知数列 an 满足 a1 =1， an 1 3an 1 . （1）证明 an 1 是等比数列， 并求 an 的通项公式；
2
（2）证明： 1 1 …+ 1 3 .
a1
a2
an
2
【反馈练习】 1.等差数列 {a n } 中，已知 a1 12 ， S13 0 ，使得 a n 0 的最小正整数 n 为 A．7 B．8 C．9 （ ）
D、 S 3
[来源:]
【变式演练 3】已知数列 an 满足 an n k n N ,0 k 1 ，给出下列命题：
n
①当 k ②当
1 时，数列 an 为递减数列 2
1 k 1 时，数列 an 不一定有最大项 2 1 ③当 0 k 时，数列 an 为递减数列 2 k ④当 为正整数时，数列 an 必有两项相等的最大项 1 k
[ [来源:学_科_网]
)
方法二 有关等差或等比数列前 n 项和性质的问题 解题模板：第一步 观察已知条件中前 n 项和的信息； 第二步 选择相 对应的等差或等比数列前 n 项和的性质列出相应的等量关系； 第三步 整理化简，得出结论.
[来源:学科网 ZXXK]
例 2. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 S2 3, S4 15, 则 S6 ( A．31 B．32 C．63
）
) D.243
8.在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，b＝6，则△ABC 的外接圆半径为( A.6 B.12 C.2
3
)
D.4 3
9.等比数列 {an } 中，已知 a3 2, a4 a2 A. 7 3 2 B. 3 2 7
2 ，则前 5 项和 S5 （
D. 3 2 7
）
10.【2014 重庆高考理第 2 题】对任意等比数列 {an } ,下列说法一定正确的是(
A.a1 , a3 , a9 成等比数列
B.a2 , a3 , a6 成等比数列 D.a3 , a6 , a9 成等比数列
C.a2 , a4 , a8 成等比数列
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11. 【2014 高考上海理科第 8 题】 设无穷等比数列{ a n }的公比为 q， 若 a1 lim ( a3 a4 ) ， 则 q=
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24.等差等比数列性质的巧用
【高考地位】 从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力 和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大. 【方法点评】 方法一 由等差或等比数列的性质求值 解题模板：第一步 观察已知条件和所求未知量的结构特征； 第二步 选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系； 第三步 整理化简，求得代数式的值. 例 1 在等差数列 an 中,已知 a3 a8 10 ,则 3a5 a7 _____. 【变式演练 1】设等比数列{an }的前 n 项积 Pn a1 a2 a3 an ，若 P12＝32 P7，则 a10 等于( (A)16 (B)8 (C ) 4 (D)2
．
13.等差数列 {an } 中 a5 a6 4 ，则 log2 (2 1 A. 10 B. 20
a
2a2 2a3 … 2a10 )
C. 40
14.设 {a n }( n N ) 是等差数列，S n 是其前 n 项和， 且 S5 S6 ， 则下列结论错误的是( S 6 S 7 S8 ，
3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差 d 0 的等差数列 a n 的四 个命题：
p1 : 数列 {an } 是递增数列；
a p3 : 数列 { n } 是递增数列； n
其中的真命题为（ A. p1 , p2 ） C. p2 , p3
p2 : 数列 {nan } 是递增数列； p4 : 数列 {an 3nd } 是递增数列
2
）
A． 0
B．
1 2 16
C．
1 2 8
D．
13 2 16
4. 【2014 高考北京版理 第 12 题】 若等差数列 {an } 满足 a7 a8 a9 0, a7 a10 0 ， 则当 n 的前 n 项和最大.
{an } 时，
5.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】若等比数列{an}满足 a2＋a4=20，a3＋a5=40，则 公比 q= ；前 n 项和 Sn= .
）
8.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设 {an } 是公比为 q 的等比数列. （1）推导 {an } 的前 n 项和公式; （2）设 q 1 , 证明数列 {an 1} 不是等比数列.
9.【2014 高考北京版理第 5 题】设 {an } 是公比为 q 的等比数列，则“ q 1 ”是“ {an } 为递 增数列”的（ A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
7 3
D．3
6.已知等差数列 an 的前 13 项之和为 39 ，则 a6 a7 a8 （ A. 6 B. 9 C. 12
） D. 18
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7.已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝( A.64 B.81 C.128
）
C. 7 3 2
10.已知等比数列{ a n }满足： a3 a 7
2
9
．等，则 cos a5 =(
)
A．
1 2
B．
1 2
C．±
1 2
D．±
3 2
11.设 an 是等比数列， 公比 q 的最大项，则 n0 =_______．
记 Tn 2 ，S n 为 an 的前 n 项和。
请写出正确的命题的序号____ 【高考再现】 1.【2012 年高考辽宁理】在等差数列{an}中,已知 a4 a8 16 ，则该数列前 11 项和 S11=（ A．58 B．88 C．143 D．176 ）
2. 【2012 年高考江西理】 设数列 an , bn 都是等差数列,若 a1 b1 7, a3 b3 21 ,则 a5 b5 __________.
D．10
2.已知实数列 1, x, y, z ,2 成等比数列，则 xyz = （ A． 4 B． 4 C． 2 2
） D． 2 2
3.若数列{ an }通项为 an ＝an，则“数列{ an }为递增数列”的一个充分不必要条件是（ A．a≥0 B．a＞1 C． a＞0 D．a＜0
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不等式（组） ； 第三步 整理化简，得出结论，注 意 n 是正整数.
1 例 3 已知正项数列 a n 的前 n 项的乘积 Tn 4
的最大的值是（ A、 S 6 ） B、 S 5 C、 S 4
n 2 6 n
高中数学《等差等比数列性质的应用》最新高考专题复习讲解PPT课件
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
（2）am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等 差数列，公差为kd. （3）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也 是等差数列．
考点回顾——等差数列 3.重要性质： （4）若项数为2n，则S偶-S奇=nd，
S奇 S偶
an a n1
若项数为2n-1，则S奇－S偶＝an(中间项)， S2n－1＝(2n－1)an， S 奇 n S偶 n1 （5）数列{c· an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数 列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．
（6）公差d>0，递增数列；d<0，递减数列；d=0， 常数列．
考点回顾——等比数列 若{an}为等比数列，则
1.通项公式
a n =a 1 qn-1=a
n -m q m
q
nm
an am
2.前n项和公式
n a 1 1,q n n S a ( 1 q ) a q a n 1 1 ,q1 1q 1q a a n 1 1 n S q ( q 1 ) A B q ( A B 0 ) n 1 q 1 q
例题精讲 例2 等差数列{an}的前m项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m项的和． 解法五：由等差数列{an}的前n项和公式知， Sn是关于n的二次函数， 即Sn=An2+Bn(A、B是常数）. 将Sm=30，S2m=100代入，得 2 0 A 2 2 A m B m 3 0 m 2 1 0 (2 m ) B 2 m 1 0 0 A B m ∴S3m=A· (3m)2+B· 3m=210．
S S
偶 奇
【备战高考】高考数学解题技巧万能答题模板： 等差等比数列性质的巧用
专题03 等差等比数列性质的巧用【高考地位】从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大. 【方法点评】方法一 由等差或等比数列的性质求值解题模板：第一步 观察已知条件和所求未知量的结构特征；第二步 选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系； 第三步 整理化简，求得代数式的值. 例1 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【答案】20【解析】依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=.或:()57383221020a a a a +=+=⨯=. 【考点定位】考查等差数列的性质和通项公式。
【变式演练1】设等比数列{a n }的前n 项积n n a a a a P ⋅⋅⋅⋅= 321，若P 12＝32P 7，则a 10等于( )(A )16 (B )8 (C )4 (D )2方法二 有关等差或等比数列前n 项和性质的问题解题模板：第一步 观察已知条件中前n 项和的信息；第二步 选择相对应的等差或等比数列前n 项和的性质列出相应的等量关系；第三步 整理化简，得出结论.例2. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =( ).A ．31B ．32C ．63D ．64【变式演练2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,25S S ==，则7S =（ ） A ．41 B ．48 C ．49D ．56方法三 数列的最值问题解题模板：第一步 观察已知条件，选择合适的求解方法；第二步 根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的不等式（组）；第三步 整理化简，得出结论，注意n 是正整数.例3 已知正项数列{}n a 的前n 项的乘积()n nnn n a bN n T 2*6log ,412=∈⎪⎭⎫⎝⎛=-，则数列{}n b 的前n 项和n S 中的最大的值是（ ）A 、6SB 、5SC 、4SD 、3S【变式演练3】已知数列{}n a 满足()10,<<∈⋅=*k N n k n a n n ，给出下列命题：①当21=k 时，数列{}n a 为递减数列 ②当121<<k 时，数列{}n a 不一定有最大项③当210<<k 时，数列{}n a 为递减数列④当kk -1为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号____ 【答案】③④【解析】11(1)(1)()1n n n n n k a a k n k n k k n k++-=+-=--- 对于①,2121==a a ，故不是递减数列，①错；②当112k <<时，10,11kk k -<>-，故当1k n k <-时1n n a a +>，当1k n k>-时1n n a a +<，所以{}n a 一定有最大项，②错，且当1kk -为正整数时，{}n a 必有两相等的最大项，分别是1k k a -和11k ka +-，④正确；对于③，当102k <<时，10,011k k k -<<<-，所以1(1)()01n n n k a a k k n k+-=--<-对*n N ∀∈恒成立，数列数列{}n a 为递减数列，③正确.【高考再现】1.在等差数列{a n }中,已知4816a a +=，则该数列前11项和S 11=（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176【答案】B【解析】在等差数列中，∵1114816a a a a +=+=，∴1111111()882a a S ⨯+==2.设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=,则55a b +=__________.3.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列； 2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列{}n an是递增数列； 4:p 数列{3}n a nd +是递增数列其中的真命题为（ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p4.设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为8π的等差数列,125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=,则2313[()]f a a a -=（ ）A ．0B ．2116π C ．218π D ．21316π5.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】由等差数列的性质，89873a a a a =++，08>a ，又因为0107<+a a ，所以098<+a a所以09<a ，所以78S S >，98S S >，故数列}{n a 的前8项最大.6.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .7.在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=. 则满足1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为 . 【答案】12【解析】 ∵正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=.∴4112a q =，2553a q a q +=，∴260q q +-=，解得2q =或3q =-（舍去），∴1132a =，∴516222n n n a ---=⋅=，8.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则216log a =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】 29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=9.设{}n a 是公比为q 的等比数列. （1）推导{}n a 的前n 项和公式;（2）设1q ≠, 证明数列{1}n a +不是等比数列.（2）∵1q ≠，假设数列1{}n a +为等比数列，那么2213(1)(1)(1)a a a +=++， 即2211111(1)(1)(1)(1)00a q a a q a q a +=++⇒-=⇒=或1q =，均与题设矛盾，故数列{1}n a +不可能为等比数列.10.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件11.对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列12.设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .13.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112n a a a ++<…+.【答案】（1）证明详见解析，n a =312n -；（2）详见解析.【反馈练习】1.等差数列}{n a 中，已知121-=a ，013=S ，使得0>n a 的最小正整数n 为 （ ）A ．7B ．8C ．9D ．102.已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz = （ ）A ．4-B ．4±C ．22-D ．22±3.若数列{n a }通项为n a ＝an ，则“数列{n a }为递增数列”的一个充分不必要条件是（ ）A ．a ≥0B ．a ＞1C ． a ＞0D ．a ＜04.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21179d -<<-，则当nS 取最大值时，n 的值为 .5.设等比数列}{n a 的前项n 和为n S ，若336=S S ，则=69S S( )A ．2B ．38C ．37D ．3∴=69S S 372121)(1)(11)1(1)1(2323336191=--=--=----q q qq a q q a ． 故选C ．考点：等比数列的前n 项和．6.已知等差数列{}n a 的前13项之和为39，则=++876a a a （ ）A. 6B. 9C. 12D.187.已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A .64B .81C .128D .2438.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为( ) A .6B .12C .23D .439.等比数列{}n a 中，已知3422,2a a a =-=，则前5项和5S =（ ） A. 732± B. 327± C. 732+ D. 327-10.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ．等，则5cos a =( )A ．21-B ．21C ．±21 D ．±2311.设{}n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和。
等差,等比数列的性质及应用
a1 + a2 + ⋯ + a6 = 36 ① 解：由题意知， an + an −1 + ⋯ + an − 5 = 180 ②
6( ∴①+②得： a1 + a n ) = 216, ∴ a1 + a n = 36
又 sn = 324
∴
n ( a1 + a n ) 2
= 324
即
n × 36 2
， 往往求解复杂，故常转换思路利用 整体代换和化归思想方法来解决。
练习: 练习
s 在等差数列｛ 在等差数列｛an｝中， 2
则
= 7, s6 = 90，
s4
37 =______.
二.典型例题 典型例题 例4: 在等比数列｛an｝中，an>0(n∈N*)，
公比 q∈(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25, 又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列｛an｝的通项公式; (2)设bn=log2an ，数列｛bn｝的前n项和
S1 S 2 Sn + +⋯ + 最大时，求n的值. 1 2 n
解：由(1)知:
bn = log2 an = log2 2 =5−n
5−n
∵ bn +1 − bn = [5 − (n + 1) ] − ( 5 − n ) = −1
∴ {bn } 是以4为首项，-1为公差的等差数列
∴ Sn =
9 n − n2 2
2.等比数列 {a n } 中， a15 = 10, a 45 = 90 等比数列
则 a 60 =
±270
四.总结：
1.应用等差、等比数列的性质解题时，
SXC146高考数学必修_利用等差与等比数列的性质解题例析
利用等差与等比数列的性质解题例析由于等差与等比数列运算的灵活性与技巧性较强，因此要学会借用等差与等比数列的性质解题，以达到选择捷径，避繁就简，合理解题的目的．一、等差数列性质一：若数列{a n }为公差不为零的等差数列，则其前n 项和S n 必为n 的不含常数项的二次函数，亦即S n = an 2＋bn (a ≠0)．例1 设{a n }是等差数列，n m S S =22nm ，m ≠n ，a 1= 1，求此数列的通项公式a n ．分析：由于所给条件仅是S n 、S m 而缺少首项1a 和公差d ，因此就可以使用此性质解题． 解：由于S n 为n 的不含常数项的二次函数，所以有S m = am 2＋bm ，S n = an 2＋bn ，将n m S S =bn an bm am ++22=22nm 化简，可得：bmn(n －m) = 0． ∵ m ≠n ，∴ b = 0，即S n = an 2． 由S 1= a 1= 1，得a = 1．从而有S n = n 2， ∴a n = S n －S 1-n = n 2－(n －1)2= 2n －1 ( n ≥2，n ∈N ) ． 由于a 1=1也满足a n = 2n －1，即a n = 2n －1 (n ∈N*)．评注：利用等差数列性质解题，可以避开求基本量(1a 、n 、d 、q 、a n 、S n )的运算，简化解题过程．性质二：记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则有： ⑴若a 1＞0，公差d ＜0，则当a n ≥0且a 1+n ≤0时，S n 最大； ⑵若a 1＜0，公差d ＞0，则当a n ≤0且a 1+n ≥0时，S n 最小．例2 等差数列设{a n }的首项a 1＞0，且前15项的和等于前20项的和，问它的前多少项的和最大？ 分析：由a 1＞0，只要能够确定公差d ＜0，就可以利用这一性质可以简捷地求等差数列前n 项和的有关最值问题．解：设此数列的公差为d ，由题设得：15 a 1＋21415⨯ d = 20 a 1＋21920⨯d ．解得 d =－171a ，∵a 1＞0，∴d =－171a＜0．要使S n 最大，必须且只须⎩⎨⎧≤≥+.0,01n n a a ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+≥--+.0)17(,0)17)(1(1111a n a a n a ⇒ ⎩⎨⎧≥≤.17,18n n ⇒ n = 17或n =18 ． ∴此数列前17项或前18项的和最大．评注：解此题如果不从整体不利用此性质，而利用二次函数式求最值，运算量大，且容易出错．解此类问题要特别注意“=”的含义，不要丢掉部分解．性质三：一般地，如果l ，k ，p ，…，m ，n ，r ，…皆为自然数，且l ＋k ＋p ＋ … = m ＋n ＋r ＋…（两边的自然数个数相等），那么当{a n }为等差数列时，有：a l ＋a k ＋a p ＋… = a m ＋a n ＋a p ＋…．例3 等差数列{a n }中，a k ＋a l k +＋a l k 2+＋a l k 3+= A ， (k ，l ∈N*)，求此数列的前(k ＋3l －1)和S 132-+l k (用k ，l ，A 表示)．分析：要利用等差数列性质三，分析寻找“k ＋( k ＋3l ) = ( k ＋l )＋(k ＋2l )”这一等量关系是解题关键．解：∵ k ＋( k ＋3l ) = ( k ＋l )＋(k ＋2l )，∴a k ＋a l k 3+= a l k +＋a l k 2+=2A ， 又∵ l ＋(2k ＋3l －1) = k ＋( k ＋3l )，∴ a 1＋a 132-+l k =2A， ∴S 132-+l k =2))(132(1321-++-+l k a a l k =4A( 2k + 3l －1) ．评注：这一性质在高考中十分广泛，早已成为常考不衰的重要热点问题，尤其是高考题中的选择与填空，利用此性质十分简便．性质四：若项数为3n 的等差数列的前n 项和为S 1，次n 项和为S 2，最后n 项和为S 3，则S 1，S 2，S 3也成等差数列．例4 若数列{a n }为等差数列，a 1＋a 2＋…＋a 100= 35，a 101＋a 102＋…＋a 200= 120 ，求a 201＋a 202 ＋…＋a 300 的值．分析：要抓住这是三个100项和的特点，正好满足性质四中3×100，直接利用性质解题．解：∵ S 1=35 ，S 2=120，∴S 3= 2S 2－S 1= 240－35 = 205．评注：此题若通过前n 项和公式联立求a 1和公差d ，然后求100项的和，运算量大．利用等差数列的性质解题，运算过程简捷．性质五：若两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和P n ，则S n ∶P n = (a 1＋a n )∶(b 1＋b n )．这个结论的证明很简单，请同学们自己试一试．例5 设两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和之比为S n ∶P n = ( 7n + 2)∶(n + 3)，求77b a 的值． 分析：两个等差数列的基本量(首项、公差与公比、通项)都没有，利用性质转化才是唯一解题途径．解：77b a =7722b a =131131b b a a ++=1313P S =3132137++⨯=1693． 评注：性质五实质上是性质三另一变形式，但它给解题带来方便． 性质六：等差数列{a n }的前n 项和公式S n 可以变形为：n S n =2d n ＋(a 1－2d)，所以n S n 是n 的一次函数，且点(n ，n S n )均在直线y =2d x ＋(a 1－2d)上． 例6 已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项．分析：已知等差数列的n 项和与项数n ，可以直接使用性质解题，这要比求出首项a 1和公差d 简单的多．解：设这个数列共有2n ＋1 项，则点(n ＋1，144+n )，(n ，n 33)，(2n ＋1，1277+n )共线．由斜率相等得：n n n n -+-+12331277= )1(121441277+-++-+n n n n ⇒ n = 3．所以该数列共有7项，中间项为11．评注：数列是特殊的函数，用函数观点把数列中的数量关系表示出来加以研究，这种利用函数思想合理转化的手段是解决数列问题的重要策略．因此，在解等差数列问题时，若能把问题转化为一次函数来研究，就很方便快捷．性质七：设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比nm ml --=λ(λ≠－1)，则a m =λλ++1nl a a ．(请同学们自己证明这个结论)． 例7 在a 和b 之间插入n 个数，使它们按大小顺序组成等差数列，求此数列的通项．分析：在两个数之间插入数，这就构成定比分点问题，运用等差数列的定比分点公式，就可以直接求得问题的解．解：设a 1= a ，a 2+n = b ，通项为a m ，令λ=)2(1+--n m m =21+--m n m ，则a m =λλ+++12n l a a =21121+--++--+m n m bm n m a = a ＋11+-n m ( b －a )，(m = 1，2，…，n ＋2)．评注：用此性质的最大特点就是不用直接求等差数列的各个基本量，因此，从运算的角度就简化了解题过程．二、等比数列性质一：若项数为3n 的等比数列(q ≠－1)前n 项和与前n 项积分别为S 1与T 1，次n 项和与次n 项积分别为S 2与T 2，最后n 项和与n 项积分别为S 3与T 3，则S 1，S 2，S 3成等比数列，T 1，T 2，T 3亦成等比数列．例8 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和． 分析：所给条件符合性质一的条件，可以直接应用性质解题． 解：由题设，可知S 1= 12，S 2= 48－12 =36，∴S 3=122S S =12362=108．故该数列前3n 项的和为 108 + 48 =156．评注：应用性质解题最大的好处是避开了那些不必要的讨论(比如公比q = 1、q ≠1)，直接使用不用变形或不用转化的已知条件．这一性质和前面等差数列性质四相对应．性质二：一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t＋k＋p＋…= m＋n＋r＋…(两边的自然数个数相等)，那么当{an }为等比数列时，有：at·ak·ap·…= am·an·ap·…．例9 在等比数列{an }中，若a1·a2·a3·…·a99= 299，求a50．分析：当注意到1＋99 = 2＋98 = 3＋97 =…= 50＋50时，就可以直接使用性质解题了．解：∵a1·a99= a2·a98= …= a49·a50= a50·a50，∴a1·a2·a3·…·a99= a9950= 299，∴a50= 2．评注：使用此性质解题要特别注意等式两边的自然数个数相等的条件，否则会引起错解．它和前面等差数列的性质三相对应．并且此性质还可以变形为：若k＋p = (k＋m )＋( p－m)，则有ak · ap=am k+．amp-(其中k，p，m∈N+)．例10 在等比数列{an}中，若a2= 2 ，a6= 162，试求a10．解：由性质知，若k + p = (k + m ) + ( p－m)，则有ak· ap= amk+．amp-（其中k，p，m∈N+），∴a2· a10= a42+· a410-= a26，即a10= 1622×21=13122 ．性质三：已知数列{an}为等比数列，设其前n项和．前2n项和．前3n项和分别为Sn、Sn2、Sn3，则Sn 、Sn2－Sn、Sn3－Sn2成等比数列．例11 设各项均为实数的等比数列{an }的前n项和为Sn，若S10= 10，S30= 70，求S40．分析：当注意到S30、S10都已知时，就可以利用性质求S20，进而求出S40．解：∵{an}成等比数列，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等比数列．即(S20－S10)2= S10(S30－S20) ，解得：S20= 30或S20=－20 (不合题意，舍去)．∴S40= S30+102022030)(SSSS--=150．评注：使用此性质可以避免直接求和运算，这样，不用求出首项与公比就可以求得问题的解．性质四：公比为q的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为q m(m为等距离的项数之差)．例12 在等比数列{an }中，若a1· a2· a3· a4= 1，a13· a14· a15· a16= 8，求a41· a42· a43· a44．分析：由已知两个等式，利用性质可求出公比q，再利用性质求出问题的解．解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q．设T1= a1· a2· a3· a4= 1，T4= a13· a14· a15· a16= 8，∴T4= T1· q3= 8 q = 2．∴T11= a41· a42· a43· a44= T1· q10= 210= 1024．评注：此类问题要特别注意“等距离”这一特性，不是等距离不能使用此性质．。
巧用等差、等比数列性质解题
a1 am n a a ba (m n) n 1 m (m n) (m n). mn 2 2
3. 考点警示
等差（比）数列，在高考中始终处于热点位置，客观题突出“小而巧” ，主要考察性质的灵活运用及概 念理解，主观题都为“大而全” ，考察函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。
数列题根研
[类题演变 2] 等比数列{a n } 中， S3 , S9 , S6 成等差，则 a3 , a9 , a6 成等差 。 [分析] S3 , S9 , S6 成等差，得 S3 S6 2 S9 ，要证 a3 , a9 , a6 等差，只需证 a3 a6 2a9 。 [ 解答 ] 由 S3 , S9 , S6 成等差，得 S3 S6 2 S9 ，当 q=1 时， S3 3a1 , S6 6a1 , S9 9a1 , 由 a1 0 得
4 6
两式相除，得
q2
3 3 2 ， a9 a7 q 6 9 。 2 2
[解答 2] 由 a5 , a7 , 4 a5
[规律小结] 1、灵活应用性质，是简便解答的基础；2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。 [类题演变 1] 等比数列{a n } ， a1 a2 a3 2, a4 a5 a6 6 ，求 a10 a11 a12 。 [分析] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。 [解答] 设 b1 a1 a2 a3 , b2 a4 a5 a6 ，……， b4 a10 a11 a12 ， 则 {bn } 是等比数列， b1 2, q 3 ， b4 b1q 2 3 54 ，即 a10 a11 a12 54 。
(a1 an )n 求解。 2
等差、等比数列性质的巧用
等差、等比数列性质的巧用【高考地位】从内容上看，等差、等比的性质一直是高考的热点，在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大。
类型一由等差或等比数列的性质求值例1 在等差数列{a n}中a n＞0，且a1+a2+……a n=30，则a5·a6的最大值等于（）A 、3 B、6 C、9 D、36例2 已知等比数列{a n}满足：a1+a2+a3+a4+a5=6，a3=3，则=_________.变式演练1：数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，公比q＞1，且a4+b4，则（）A、a2+a6＞b3+b5B、a2+a6=b3+b5C、a2+a6＜b3+b5D、a2+a6与b3+b5大小不确定变式演练2：数列{a n}是等差数列，a1=1，且：a1，a2，a5构成公比为q的等比数列，则q=（）A、1或3B、0或2C、3 D、2变式演练3：已知等差数列{a n}中，a1+a2=22，a4=9，数列{b n}满足b n=，则b1·b2·b3·……b n=_________变式演练4：已知等比数列{a n}的各项均为正数，且8a1，a3，6a2成等差数列，则的值是________类型二有关等左或等比数列前n项和性质的问题例3 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=10，S30=130，则S40=（）A、－510B、400C、400或－510D、30或40变式演练4：S n为等差数列{a n}的前n项和，若S15=0，则a8=（）A、－1B、0C、1D、2变式演练5：设S n是等差数列{a n}的前n项和，存在n∈N*且n＞4时，有S8=20，S2n-1－S2n-9=116，则a n=（）A、8B、C、17D、16变式演练6：已知数列{a n}，{b n}为等差数列，其前n项和分别为S n，T n，，则=（）A、B、C、D、2型三数列的最值问题例4 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S11=22，a4=－12，如果n =m时，S n最小，那么m的值为（）A、10B、9C、5D、4变式演练7：已知S n为数列{a n}的前n项和，－2，a n，6S n成等差数列，若t=a1a 2+a 2a3+……+a n a n+1，则（）A、B、C、D、变式演练8：已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若公比q=－，S6=，则数列{a n}的前n项积T n的最大值为（）A、16B、64C、128D、256变式演练9:已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2=5，a4=1，则的最小值为__________.。
高中数学专题复习等差、等比数列的运算和性质知识点例题精讲
等差、等比数列的运算和性质【高考能力要求】1.等差、等比数列是两种最基本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化；灵活地运用通项公式和前n 项和公式解题是高考考查的重点.2.从等差数列中按某种规律，抽取某些项，依次排列，组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会此类题.3.学习时，要注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.【例题精讲】【例1】已知{a n }是等比数列，a 1=2，a 3=18；{b n }是等差数列，b 1=2，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3＞20.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式； （3）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n +8，其中n =1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.分析 将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算. 解 （1）设{a n }的公比为q ，由a 3=a 1q 2得q 2=13a a =9，q =±3. 当q =－3时，a 1+a 2+a 3=2－6+18=14＜20， 这与a 1+a 2+a 3＞20矛盾，故舍去.当q =3时，a 1+a 2+a 3=2+6+18=26＞20，故符合题意. 设数列{b n }的公差为d ，由b 1+b 2+b 3+b 4=26得4b 1+234⨯d =26. 又b 1=2，解得d =3，所以b n =3n －1. （2）S n =2)(1n b b n +=23n 2+21n . （3）b 1，b 4，b 7，…，b 3n －2组成以3d 为公差的等差数列，所以P n =nb 1+2)1(-n n ·3d =29n 2－25n ；b 10，b 12，b 14，…，b 2n +8组成以2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以Q n =nb 10+2)1(-n n ·2d =3n 2+26n . P n －Q n =（29n 2－25n ）－（3n 2+26n ）=23n （n －19）.所以，对于正整数n ，当n ≥20时，P n ＞Q n ； 当n =19时，P n =Q n ； 当n ≤18时，P n ＜Q n .说明 本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】已知等差数列{a n }的首项a 1=1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项.（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }对任意正整数n 均有11b c +22mb c+323b m c +…+nn n b m c 1-=（n +1）a n +1成立，其中m 为不等于零的常数，求数列{c n }的前n 项和S n .分析 （1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项a n 和b n ；（2）由题先求出{a n }的通项公式后再求S n .解 （1）由题意得（a 1+d ）（a 1+13d ）=（a 1+4d ）2，整理得2a 1d =d 2. ∵a 1=1，解得d =2（d =0不合题意舍去）， ∴a n =2n －1（n =1，2，3，…）.由b 2=a 2=3，b 3=a 5=9，易求得b n =3n －1（n =1，2，3，…）. （2）当n =1时，c 1=6； 当n ≥2时，nn n b m c 1-=（n +1）a n +1－na n =4n +1，∴c n =（4n +1）m n －1b n =（4n +1）（3m ）n －1.∴c n =⎩⎨⎧+-1)3)(14(6n m n .,4,3,2,1⋅⋅⋅==n n 当3m =1，即m =31时，S n =6+9+13+…+（4n +1） =6+2)149)(1(++-n n=6+（n －1）（2n +5）=2n 2+3n +1. 当3m ≠1，即m ≠31时，S n =c 1+c 2+…+c n ，即S n =6+9·（3m ）+13·（3m ）2+…+（4n －3）（3m ）n －2+（4n +1）（3m ）n －1.①3mS n =6·3m +9·（3m ）2+13·（3m ）3+…+（4n －3）（3m ）n －1+（4n +1）（3m ）n.② ①－②得（1－3m ）S n =6+3·3m +4·（3m ）2+4·（3m ）3+…+4·（3m ）n －1－（4n +1）（3m ）n=6+9m +4［（3m ）2+（3m ）3+…+（3m ）n －1］－（4n +1）（3m ）n=6+9m +m m m n 31])3()3[(42--－（4n +1）（3m ）n .∴S n =m m n m n 31)3)(14(96-+-++22)31(])3()3[(4m m m n --.∴S n =⎪⎩⎪⎨⎧--+-+-+++222)31(])3()3[(431)3)(14(96132m m m m m n m n n n n.31,31≠=m m 说明 本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 已知数列{a n }的各项均为正整数，且满足a n +1=a n 2－2na n +2（n ∈N *），又a 5=11.（1）求a 1，a 2，a 3，a 4的值，并由此推测出{a n }的通项公式（不要求证明）； （2）设b n =11－a n ，S n =b 1+b 2+…+b n ，S n ′=|b 1|+|b 2|+…+|b n |，求∞→n lim 'nnS S 的值.分析 先根据递推关系求前几项。
专题03 等差等比数列性质的巧用-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)
)
方法二 有关等差或等比数列前 n 项和性质的问题 解题模板：第一步 观察已知条件中前 n 项和的信息； 第二步 选择相 对应的等差或等比数列前 n 项和的性质列出相应的等量关系； 第三步 整理化简，得出结论.
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例 2. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，若 S2 3, S4 15, 则 S6 ( A．31 B．32 C．63
). D．64
【变式演练 2】已知等差数列 an 的前 n 项和为 S n ，若 S3 9, S5 25 ，则 S7 （ A． 41 B． 48 C． 49
） D． 56
方法三 数列的最值问题 解题模板：第一 步 观察已知条件，选择合适的求解方法； 第二步 根据上一步选择的方法写出二次函数的最值形式或画出相对应的图像或列车相对应的
7 3
D．3
6.已知等差数列 an 的前 13 项之和为 39 ，则 a6 a7 a8 （ A. 6 B. 9 C. 12
） D. 18
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
Go the distance
7.已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝( A.64 B.81 C.128
Go the distance
不等式（组） ； 第三步 整理化简，得出结论，注 意 n 是正整数.
1 例 3 已知正项数列 a n 的前 n 项的乘积 Tn 4
的最大的值是（ A、 S 6 ） B、 S 5 C、 S 4
n 2 6 n
n N , b
*
n
log 2 an ，则数列 bn 的前 n 项和 S n 中
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用
高考数学难点突破_难点12__等差数列等比数列的性质运用等差数列与等比数列是高考数学中的重要知识点，也是学生普遍认为难以理解和应用的内容之一、本文将以等差数列与等比数列的性质运用为题，进行详细介绍和讲解，帮助学生突破难点。
一、等差数列的性质运用1.等差数列的通项公式对于等差数列${a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},...$，其中首项为$a_1$，公差为$d$，通项公式为${a_n}=a_1+(n-1)d$。
通过通项公式，可以求出等差数列中任意一项的值。
2.等差数列的前n项和公式对于等差数列${a_1}, {a_2}, {a_3}, ... ,{a_n}, ...$，其中首项为$a_1$，公差为$d$，前n项和公式为$S_n = \frac {n}{2}(a_1 +a_n)$。
通过前n项和公式，可以求出等差数列前n项的和。
3.等差数列的求和问题在实际问题中，有许多涉及到求和的问题，可以通过等差数列的求和公式进行求解。
例如：一项等差数列的首项为3，公差为4，前10项的和为多少？二、等比数列的性质运用1.等比数列的通项公式对于等比数列${a_1},{a_2},{a_3},...,{a_n},...$，其中首项为$a_1$，公比为$q$，通项公式为${a_n}=a_1q^{n-1}$。
通过通项公式，可以求出等比数列中任意一项的值。
2.等比数列的前n项和公式对于等比数列${a_1}, {a_2}, {a_3}, ... ,{a_n}, ...$，其中首项为$a_1$，公比为$q$，前n项和公式为$S_n = \frac {a_1(q^n - 1)}{q - 1}$。
通过前n项和公式，可以求出等比数列前n项的和。
3.等比数列的求和问题类似于等差数列，等比数列也可以应用于求和问题。
例如：一个等比数列的首项为2，公比为3，前5项的和为多少？解：利用前n项和公式，将已知的数据代入公式中：$S_5 = \frac {2(3^5 - 1)}{3 - 1}$，计算得到$S_5 = \frac {242}{2} = 121$。
等差等比数列中的解题技巧
毕业论文等差等比数列中的解题技巧指导教师：昆明师范高等专科学校2004年5月等差等比数列中的解题技巧摘要：等差数列与等比数例在数列中占有主要地位，在解题过程中能灵活应用它们的定义、性质、公式解题及先对所用公式进行合理变形或推理出更一般的情形而后用之会起到简洁巧妙的作用，本文讨论等差、等比数列的一些性质和解题方法。
关键词：等差数列；等比数列一、等差、等比数列性质的应用性质1：设数列{a n}是等差（或等比）数列，公差（或公比）为（或q），a n.a m是数列中的任意两项，则a n=a m+(n-m)d（或a n=a n q n-m）当m=1时，即为等差（或等比）数列的通项公式。
例 1 设数列{a n}是公差为-2的等差数列，如果a1+a4+a7+ +a97=50那么a5+a6+a9+ +a99的值等于（）A. -182B. -148C. -78D. -82解： a2-a1=a6-a4=a9-a7= =a99-a97=2d∴a3+a6+a9+ +a99=(a1+a4+a7+ +a97)+66d∴a3+a6+ +a99=55-66×2=-82故选：D性质2: 设a n,a m,a l是等差数列（或等比）数列中的任意三项，若n、m、l成等差数列，则a n,a m,a l成等差（或等比）数列。
更一般地有：性质3: 设a n ,a m , a l ,a s 是等差（或等比）数列中的任意四项：若n+m=l+s ，则a n +a m =a l +a s (或a n .a m =a l .a s )例2 已知｛a n ｝是等比数列，且a n >0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5 的值等于（ ）A.5B.10C.15D.20解：由性质2. 23a = a 2a 4, 25a =a 4a 6 于是 a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=(a 3+a 5)2=25 又a n >0∴ a 3+a 5=5 故选A例3 已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7=-12,a 4+a 6=-4则前20项的和s 20=_____解：由性质3.a 3+a 7=a 4+a 6=-4a 3,a 7是方程x 2+4x -12=0的两根，又公差d>0∴a 7=2,a 3=-6。