储庆昕高等电磁场讲义 第九章
储庆昕高等电磁场讲义 第十七章
第17讲 并矢Green 函数17.1 并矢Green 函数的定义设有一x 方向的点电流源xr r j r J x ˆ),(1)()('-==δωμ(17-1) 在空间产生的电磁场记为⎪⎩⎪⎨⎧'-='=),(1),()()()()(r r G j H r r G E x m x x e x ωμ (17-2) 根据Maxwell 旋度方程，可得⎪⎩⎪⎨⎧'+'-='⨯∇'='⨯∇),(ˆ)(),(),(),()(2)()()(r r G k xr r r r G r r G r r G x e x m x m x eδ (17-3)同理，分别设y 方向和z 方向点电流源yr r j r J y ˆ)(1)()('--=δωμ(17-4) zr r j r J z ˆ)(1)()('--=δωμ(17-5) 它们在空间产生的电磁场分别记为⎪⎩⎪⎨⎧'-='=),(1),()()()()(r r G j H r r G E y m y y e yωμ (17-6)⎪⎩⎪⎨⎧'-='=),(1),()()()()(r r G j H r r G E z m y z e zωμ (17-7)同样根据Maxwell 旋度方程，可得⎪⎩⎪⎨⎧'+'-='⨯∇'='⨯∇),(ˆ)(),(),(),()(2)()()(r r G k yr r r r G r r G r r G y e y m y m y e δ (17-8) ⎪⎩⎪⎨⎧'+'-='⨯∇'='⨯∇),(ˆ)(),(),(),()(2)()()(r r G k zr r r r G r r G r r G z e z m z m z e δ (17-9) 引入并矢函数zr r G y r r G x r r G r r G z e y e x e e ˆ),(ˆ),(ˆ),(),()()()('+'+'='(17-10) zr r G y r r G x r r G r r G z m y m x m m ˆ),(ˆ),(ˆ),(),()()()('+'+'='(17-11) 式中),(r r G e ' 称为电并矢Green 函数，),(r r G m '称为磁并矢Green 函数。
储庆昕高等电磁场讲义 第一章
第1讲 场论基础场论是电磁场分析的基础。
在本讲中，简要地介绍了∇算子、并矢的定义、性质和运算规则，概括性地给出了积分变换的统一形式，最后，讨论了电磁场理论中常用的矢径的性质。
为今后的理论分析奠定基础。
一、∇算子∇算子与微分形式的Maxwell 方程密切相关。
在曲线坐标中，∇算子定义为3332221111ˆ1ˆ1ˆv h v v h v v h v∂∂∂∂∂∂++=∇ （1-1）其中， v1， v 2，3ˆv 分别是坐标轴v 1，2v ，3v 的单位矢。
h 1，h 2，h 3为坐标系的拉梅系数。
在几种常用坐标系中，h 1，h 2，h 3的值如表1-1所示。
函数f 的梯度、矢量函数332211ˆˆˆv f v f vf f ++=的散度和旋度定义如下： 3332221111ˆ1ˆ1ˆv f h v v f h v v f h v f ∂∂∂∂∂∂++=∇ （1-2） )]()()([1321323121321321f h h v f h h v f h h v h h h f ∂∂∂∂∂∂++=⋅∇ （1-3）332211321332211321 ˆ ˆ ˆ 1f h f h f h v v v v h v h vh h h h f ∂∂∂∂∂∂=⨯∇（1-4）[讨论] 可以看出，∇算子具有算子和矢量双重性。
梯度∇f 可以看成是矢量算子∇与函数f 的乘积。
在直角坐标系，散度∇⋅ f 和旋度∇⨯ f 可看成矢量算子∇与矢量函数f 的点乘和叉乘。
但在其他坐标系则不然。
下面给出一些∇算子常用运算公式及其推导过程。
● )()()()()(φϕφϕφϕϕφϕφ∇+∇=∇+∇=∇c c （1-5）● )()()()()(f f f f f c c⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕϕϕ （1-6）● )()()()()(f f f f f c c⨯∇+⨯∇=⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕϕϕ （1-7）● )()()(g f g f g f c c⨯⋅∇+⨯⋅∇=⨯⋅∇利用 )()()(b a c a c b c b a⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅得 )()()(g f g f g f⨯∇⋅-⋅⨯∇=⨯⋅∇ （1-8）● )()()(g f g f g f c c⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇利用 )()()()()(b a c b a c c a b c a b c b a⋅-⋅=⋅-⋅=⨯⨯得 )()()(f g f g g f c⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇g f g f g f c)()()(∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇则 )()()()()(f g f g g f g f g f⋅∇-∇⋅+∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇ （1-9）● )()()(g f g f g f c c⋅∇+⋅∇=⋅∇利用 a b c b a c c a b ⨯⨯=⋅-⋅()()()得 f g f g g f c)()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇g f g f g f c)()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇则 f g g f f g g f g f)()()()()(∇⋅+∇⋅+⨯∇⨯+⨯∇⨯=⋅∇ (1-10) 在上述推导中，下标c 表示进行∇算子运算时保持常量。
储庆昕高等电磁场讲义 第七章
第7讲 无源区域电磁场量的表示在上一讲中，我们利用矢位 A 和标位ϕ或电Hertz 矢量 ∏e 和磁Hertz 矢量∏m 表示了电磁场量E 和 B 。
我们已得到结论，场量 E 和B 可用矢位 A 直接确定，也就是说，场量的六个分量可用三个标量函数表示。
[定理] 对于无源区域 J =0，ρ=0，场量 E 和B 只需用两个标量函数就可以确定。
证明：在频域，作规范变换'=+∇'=-⎧⎨⎩A A j ψϕϕωψ (7-1) 式中，ψ为任一标量函数。
标位ϕ满足齐次波动方程()ρ=0()∇+=220k ϕ在Lorentz 规范下 ⎩⎨⎧=+⋅∇=''⋅∇00ωμεϕϕωμεj A j A＋，有()∇+=220k ψ (7-2)所以，ψ和ϕ满足相同的方程。
如果我们选取j ωψϕ= (7-3)则'=ϕ0。
由Lorentz 规范得∇⋅'A ＝0。
因此，在Lorentz 规范下，无源区域电磁场量可表示为E j A B A A ＝－ω'=∇⨯'∇⋅'=⎧⎨⎪⎩⎪0 (7-4) 由此可见，场量 E 和B 可由 'A 的三个分量确定，但 'A 的三个分量又满足∇⋅' A ＝0，即 'A 只有两个分量是独立的。
因此，只要用'A 的两个独立分量即可表示无源区域中电磁场量。
在Coulomb 规范下我们可以得到相同的结论。
显然，用来表示无源区域电磁场量的两个独立标量函数可以采用不同的形式，可以是矢位A 的两个分量，也可以是电Hertz 矢量的一个分量和磁Hertz 矢量的一个分量，在柱坐标系中，还可以是纵向电场分量和纵向磁场分量。
下面讨论在柱坐标系和球坐标系中如何用两个标量函数来表示无源区域的电磁场量。
一、柱坐标系中无源区域电磁场量的表示采用Hertz 矢量。
对于电Hertz 矢量，取∏∏e e z= ，在Lorentz 规范下满足 ()∇-=2220με∂∂te ∏ (7-5)由 ∏e 产生的电磁场为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∏⨯∇=∏-∏⋅∇∇=∏⨯∇⨯∇=t z H z t z E e e e e ∂∂ε∂∂με)ˆ()ˆ()ˆ(22(7-6)设∇∇+＝t zz ∂∂ ，其中∇t 表示∇的横向算子，则由(7-6)得 E z z z z z tz z z tz t t e e t e e e=∇+∇+⋅-=∇+-( )[( )( )]( )() ∂∂∂∂με∂∂∂∂∂∂με∂∂∏∏∏∏∏222222H z z z t tz t e t e =∇+⨯=∇⨯ε∂∂∂∂ε∂∂( )( )( )∏∏ 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯∏∇=∏⨯∇=∏-∏=∏∇=0ˆ)ˆ(2222z et e t t e e z e t tB z t z t H t z E zE ∂∂ε∂∂ε∂∂με∂∂∂∂(7-7) 可见，在无源区域沿纵向的电Hertz 矢量产生的场是TM 波。
高等电磁场讲义第二章
第2讲 Maxwell 方程在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。
2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式Maxwell 方程的积分形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰高斯定理磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 vssl s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ（2-1）以及电流连续性方程⎰∂∂-=⋅s tQs d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD B t B E t D J H（2-3） 以及 tJ ∂∂-=⋅∇ρ（2-4）Maxwell 方程的实践性Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。
但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。
比如，库仑定律RRq q F ˆ4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。
由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H=⨯∇但是，由上式可得0=⋅∇J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t∂=∂，从而构成了完整自l ds d图2-1 体积分、面积分和线积分示意图洽的Maxwell方程。
●Maxwell方程的对称性杨振宁说：对称性决定支配方程。
居里（Pierre Curie）说：不对称性创造世界。
储庆昕高等电磁场讲义 第十章
第10讲 等效原理与感应定理10.1 等效原理电磁场问题的解是由方程和边界条件决定的。
也就是说，如果保持区域中的源分布、媒质分布以及区域边界上的边界条件不变，则场分布不变。
这些便是电磁场等效原理的基础。
唯一性定理告诉我们，只要知道了所规定区域v 中的源、媒质及包围该区域的闭合曲面s 上的切向电场或切向磁场则该区域中的场唯一确定。
这里并未提及区域v 外的源和媒质的分布情况。
事实上，区域v 外的源对区域v 内的场的贡献已包含在曲面s 上的切向电场或切向磁场中。
区域v 外不同分布的源只要在闭合曲面s 上产生相同的切向场，在区域v 内产生的场也相同。
等效的概念是这样表述的：在区域v 外具有不同源分布和媒质分布，而在区域v 内源分布和媒质分布相同的一些电磁场问题如果在区域v 内具有相同的场分布，则对区域v 内而言这些电磁场问题是等效的。
考虑如图10-1(a) 所示的场问题。
(a) (b)图10-1 等效原理 (a) 原问题(b) 等效问题曲面s 将区域分成两部分v 1和v 2。
原问题在s 上满足() ()n H H nE E a a a a ⨯-=⨯-=⎧⎨⎪⎩⎪ 00 （10-1） 即在s 上不存在源。
将（10-1）写为n H nH n E nE a a a a ⨯=⨯⨯=⨯⎧⎨⎪⎩⎪ （10-2） 虽然在数学上（10-2）只是（10-1）变化而来的恒等式，似乎很无聊，但反映的物理内含是不同的。
（10-1）表示的是区域v 1和v 2的交界面边界条件，而（10-2）表示的是包围区域v 1或v 2的闭合曲面的切向场边界条件。
sM J1Ja a H E, 2v 1M2Jnˆ 2Ms1va a H E ,b b H E ,2vs J J nˆ 2Ms1va a H E ,2J如果人为地令区域v 1中场为 E b 、H b ，而v 2中源、媒质和场分布保持不变，如图10-1(b) 所示。
设在曲面s 上() ()n H H J nE E M a b sa b s ⨯-=⨯-=-⎧⎨⎪⎩⎪ （10-3） 式中， J s 和M s 分别表示在曲面s 上区域v 1和v 2中的切向磁场和电场的差值。
储庆昕高等电磁场讲义 第四章
由于磁场张力张量与电场张力张量形式相同，只要把 中的 换成 以及 换成 便可得到 的表示式，所以上述有关电场表面张力的结论完全适合于磁场表面张力。根据这些结论，我们很容易分析任一表面所受的电磁场力。例如，对于理想导电空腔腔壁，电场 垂直于腔壁，电场力为拉力，磁场 平行于腔壁，磁场力为压力。再如一均匀平面波垂直入射到无限大理想导体时，导体表面上电场等于零，只存在切向磁场，因此，导体受到平面波的压力，既辐射压力。
（5-4）
令 （5-5）
（5-6）
结合电荷系统的动量守恒方程
最后得 （5-7）
对比Poynting定理
可以看出（5-7）中各项的物理意义。因为 为电荷系统的动量密度，所以 可定义为电磁场的动量密度。而 代表动量流密度，称为电磁场动量流密度张量。
对（5-7）两边关于体积 积分，并利用积分变换公式
得 （5-8）
媒质无耗时，耗能为零，所以媒质的无耗条件为
（4-14）
即
（4-15）
各向异性媒质的无耗条件
设 （4-16）
不失一般性，考虑无源区域， ，将上式代入（4-10）并取实部得
对于无耗媒质， ，所以，无耗条件为
Poynting定理的电路解释
考虑图4-1所示的RLC串联电路。
图4-1 RLC串联电路
流入电路的复功率为
（5-20）
情况b： 与 平行，即 ，则
储庆昕高等电磁场讲义 第十五章
第15讲 Green 函数法（I ）15.1 Green 函数法的基本思想考虑算子方程)()(r g r Lu= (15-1)其中，L 表示线性算子，g 表示激励源，u 表示待求的场解。
为了求解该方程，引入Green 函数),(r r G ', 满足)(),(r r r r LG '-='δ (15-2)式中，r r ',分别表示场点和源点矢径。
由于)()(r r r r -'='-δδ，所以),(),(r r G r r G'='，即Green 函数具有对称性。
根据δ函数的选择性，当v r ∈'时)()()(r f v d r r r f v=''-'⎰δ, 如果定义内积（反应）,⎰>=<vabdv b a ,, 则选择性可表示为 )( )(),(r f r r r f=>'-'<δ于是，对(15-2)两边关于源g 取内积，得)()(),(),(),(r g r r r g r r LG r g>='-'>=<''<δ由于算子L 仅作用于场点r。
所以，算子L 可提到内积符号外，即)( ),(),(r g r r G r g L=>''< (15-3) 与(15-1)比较可知dv r r G r g r r G r g r u v),()(),(),()(''>=''=<⎰(15-4)从(15-2)可以看出，所谓Green 函数是 'r 处的点源在r 处产生的场，而源g 与Green 函数的内积便是源产生的场。
所以，Green 函数法的本质是利用点源产生的场展开求具体源产生的场，其展开系数就是源函数。
实际上，Green 函数与本征函数关系密切，根据本征函数法的结果∑∑>''=<>''<=nn n nnn n nr u r u r g r u r u r g r u )()(1),()()(),(1)( λλ (15-5)与(15-4)比较，可知 )()(1),(r u r u r r G n n nn'='∑λ(15-6)这正是用本征函数展开法求解Green 函数的公式。
2018版高考物理江苏专用大一轮复习讲义课件第九章 电磁感应 第2讲 精品
第2讲 法拉第电磁感应定律、自感和涡流
内容索引
基础 知识梳理
命题点一
法拉第电磁感应定 律的理解及应用
命题点二
导体切割磁感线产生 感应电动势
命题点三
自感和涡流
盘查拓展点
课时作业
1
基础知识梳理
一、法拉第电磁感应定律 1.感应电动势 (1)感应电动势：在电磁感应现象中产生的电动势. (2)产生条件：穿过回路的 磁通量 发生改变，与电路是否闭合无关. (3)方向判断：感应电动势的方向用 楞次定律 或右手定则判断. 2.法拉第电磁感应定律 (1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的__磁__通__量__的__
≠nΔBΔ·tΔS.②磁通量的变化率ΔΔΦt 是 Φ－t 图象上某点切线的 斜率 .
二、导体切割磁感线产生的感应电动势 1.公式E＝Blv的使用条件 (1)匀强磁场. (2)B、l、v三者相互 垂直 . 2.“瞬时性”的理解 (1)若v为瞬时速度，则E为 瞬时 感应电动势. (2)若v为平均速度，则E为 平均 感应电动势.
2.(人教版选修3－2P17第1题改编)将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场 中，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是 答案 A.感应电动势的大小与线圈的匝数无关 B.穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
√C.穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D.感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
电路放大后传送到音箱发出声音，下列说法正确的有 答案 解析 A.选用铜质弦，电吉他仍能正常工作
√B.取走磁体，电吉他将不能正常工作 √C.增加线圈匝数可以增大线圈中的感应电动势 √D.弦振动过程中，线圈中的电流方向不断变化
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第9讲 广义Maxwell 方程和互易定理9.1 广义Maxwell 方程Maxwell 方程有一个缺陷就是不对称，既不存在磁荷。
一些完美主义者认为世界是对称的,所以Maxwell 方程也应该是对称的。
多少年来寻找磁荷的工作从未间断过，但一直未确切地发现。
不过在数学形式上，引入磁流和磁荷,使Maxwell 对称，可以简化分析和计算。
引入假想的磁荷密度ρm 和磁流密度M 以后，频域的Maxwell 方程有如下的对称形式：∇⨯=+H j D J ω （9-1）∇⨯=--E j B M ω （9-2）m B ρ=⋅∇（9-3）ρ=⋅∇D（9-4）称之为广义Maxwell 方程。
对于电流连续性方程∇⋅+=J j ωρ0 （9-5）磁流连续性方程为 ∇⋅+=M j m ωρ0 （9-6）广义边界条件为()nH H J s ⨯-=12 （9-7） ()nE E M s ⨯-=-12 （9-8） ()nB B ms ⋅-=12ρ （9-9） ()nD D s ⋅-=12ρ （9-10）对于理想导体壁（电壁）， E 20=, H 20=,M s =0,ρms =0，则nH J s ⨯=（9-11） n E ⨯=0 （9-12） n B ⋅=0 （9-13） n D s ⋅=ρ （9-14）对于理想磁体壁（磁壁）， E 20=, H 20=,J s =0,ρs =0，则n H ⨯=0 （9-15） n E M s ⨯=- （9-16）ms B n ρ=⋅ ˆ （9-17） 0ˆ=⋅D n（9-18）9.2 对偶原理从上述方程中可以看出广义Maxwell 方程及边界条件存在如下的对称性H E-⇔ （9-19）B D⇔ （9-20） M J⇔ （9-21） m ρρ⇔ （9-22）电壁⇔磁壁 （9-23） εμ⇔- （9-24）这种对称性称为对偶原理，也称二重性原理。
利用对偶原理可以由一类问题的解，经过对偶变换，得到另一类问题的解。
既可以帮助记忆，也可以简化计算。
常用的有如下两类：（1） 电流源问题与磁流源问题场源只有电荷和电流时称为电流源问题；场源只有磁荷和磁流时称为磁流源问题。
利用对偶关系可以直接从一种问题的场表示式得到另一种问题的场表示式。
图9-1 (a) 电流元 (b) 磁流元 (c) 小圆电流环[例9-1]已知自由空间电偶极子（电流元Il ）（如图9-1a 所示）在远区产生的辐射为：E j ILr e jkr θωμπθ=-04sin H jkIl re jkr ϕπθ=-4sin根据对偶原理，可得自由空间磁偶极子（磁流元Kl ）（如图9-1b 所示）在远区产生的辐射场H j Kl r e jkr θωεπθ=-4sinE jkKlre jkr ϕπθ=--4sin我们知道小圆环电流（图9-1c ）在远区产生的场为H k ISr e jkr θπθ=--24sinE kIS re jkr ϕωμπθ=-4sin式中，I S ,分别为环的电流和面积。
比较可知小圆环电流可以等效为磁偶极子，其磁流元Kl j IS =ωμ。
所以，虽然世上尚未发现真实的磁流和磁荷，但在等效意义上是可以建立磁荷和磁流的。
应当注意的是，应用对偶原理时不仅要求方程具有对偶性，而且要求边界条件也具有对偶性。
例如图9-2所示的问题，当电流元变换成磁流元时，电壁也要变换为磁壁。
图9-2 对偶原理的应用（2） 无源区域中电场表达式与磁场表达式在无源区域，电场与磁场如果边界条件数学形式相同，则内部场成对偶关系。
[例9-2] 考虑图9-3所示的矩形波导。
我们知道电场和磁场均满足相同形式的波动方程。
电场分量E y 满足边界条件E E yyx ay y b====0000,,,∂∂磁场分量H x 满足边界条件H H yxx ax y b====0000,,,∂∂电场分量E x 满足边界条件∂∂E xx x a==00, E xy b==00,磁场分量H y 满足边界条件∂∂H xy x a==00, H yy b==00,所以E x 与H y ，E y 与H x 成对偶关系。
如TE mn 模E E m a x n bye y y j z=-0sincos ππβ 则由对偶关系得 H H m a x n bye x x j z=-0sincos ππβ图9-3 矩形波导9.3 Lorenty 互易原理互易原理反映了源与场之间的对称性。
设电流源 J 1产生电磁场 E 1和 H 1， J 2产生 E 2和H 2。
对于一般媒质，Maxwell 方程为J 1源： ∇⨯=+H J j E 111ωε （9-25）∇⨯=-⋅E j H 11ωμ （9-26）J 2源： ∇⨯=+⋅H J j E 222ωε （9-27）∇⨯=-⋅E j H 22ϖμ （9-28）式中，ε，μ分别为媒质的张量介电常数和张量磁导率。
根据矢量公式，∇⋅⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯()a b b a a b ，有∇⋅⨯-⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯-∇⨯+⋅∇⨯()()()()()E H E H H E E H H E E H 122121121221将（9-25）,（9-26）代入，得∇⋅⨯-⨯=-⋅⋅-⋅-⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅()E H E H j H H E J j E E j H H E J j E E 1221211212122121ωμωεωμωε （9-29）如果媒质互易，即 εε=T ，μμ=T，则H H H H H H H H E E E E T 211212122112⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅μμμμεε() 代入（9-29），可得互易定理的微分形式 21121221)(J E J E H E H E⋅-⋅=⨯-⨯⋅∇ （9-30）其积分形式为()()E H E H ds E J E J dv vs12212112⨯-⨯⋅=⋅-⋅⎰⎰ （9-31）● 如果V 内无源，则()E H E H ds s12210⨯-⨯⋅=⎰●s 为理想导体表面时，面s 上 nE n E ⨯=⨯=120，则 () E H E H ds s12210⨯-⨯⋅=⎰● 当s →∞为无限大球面时，面s 上E nH =-⨯η0 ，则 0)()(122101221=⋅-⋅-=⋅⨯-⨯⎰⎰ds E E E E s d H E H E ssη● 当s 为阻抗边界Z m 时，在s 上 ( )nE n n H Z m ⨯=-⨯⨯ ,则 [][]{}{}() ( )( ) () ( )( )( )( )( )E H E H n n E H n E H Z n n H H n n H H Z n H n H n H n H m m ⨯-⨯⋅=⨯⋅-⨯⋅=-⨯⨯⋅-⨯⨯⋅=⨯⋅⨯-⨯⋅⨯=2211221122121120故 ()E H E H ds s12210⨯-⨯⋅=⎰总之对于上述情况，有()E J E J dv v21120⋅-=⎰ （9-32）上式中的积分一般不代表功率，因为无共轭关系出现，所以称为反应。
定义 E 2与J 1的反应为E J E J dv v2121⋅=⋅⎰ （9-33）则互易定理（9-32）可写成E J E J 2112⋅=⋅ （9-34）它反映 E 2与J 1的作用等于 E 1与 J 2的作用。
为了更好地理解互易定理，考虑电路情况。
这时dv dsdl =，于是⎰⎰⎰=⋅=⋅evvV I dl E ds J dv E J 212121J E dv I V v2121⎰⋅=则 I V I V 1221=这正是电路中的互易定理。
如果I I I 12==，则V V V 12==，即端口1处的电流源I 在端口2处产生的电压等于把电流源I 加在端口2处时在端口1处产生的电压。
如图9-4所示。
图9-4 电路互易定理如果空间中只包含两个单位点源J J r r 1101=-δ()和J J r r 2202=-δ()，则互易定理变为J E r J E r 10212012⋅=⋅()()上式表明，位于 r 1处的点源 J 1在 r 2处产生的电场 E r 12()沿 J 2方向的分量等于位于r 2处的点源 J 2在r 1处产生的电场 E r 21()沿 J 1方向的分量。
这个重要的结论通常称为场的互易定理。
[例9-2] 证明无限靠近理想导体表面的面电流不产生电磁场。
证：设有一理想导体，在无限靠近该导体的表面上有面电流 J s ，在空间有一任意电流源 J 2，J s在空间各处产生的电磁场为E H 11, ， J 2在空间各处产生的电磁场为 E H 22, ，如图9-5所示。
根据互易原理，有 ()()J E dv J E dv s vv⋅=⋅⎰⎰221由于在理想导体表面电场只有法向分量，而 J s 为切向电流，故J E s ⋅=20。
于是J E dv v210⎰⋅=又由于 J 2任意，所以E 10=。
根据同样的道理，可以证明无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。
图9-5 无限靠近理想导体表面的面电流不产生电磁场[例9-3] 研究一般弯曲天线的远区辐射特性解：考虑无限大空间中一弯曲天线，如图9-6所示。
设弯曲天线上的电流为I a ，产生的场为 E a。
在远区放置一 u方向极化的电偶极子I l r 0，产生的场为 E b。
根据互易定理E I dl E I udlb l a al wr⎰⎰⋅=⋅0 即 E uI l E I dl a r b a l w⋅=⋅⎰ ;0 E u I l E I dl a r b a l w ⋅=⋅⎰ 10 因为 E b为电偶极子I l r 0在远区产生的场，E j I l re b r jkr =--ωπθθ04sin于是 E u j rI e dl a a jkrl w ⋅=-⋅-⎰ sin ωμπθθ4由于在远区，在l w 内sin θr近似不变，所以 E u j r I e dl a a jkrl w⋅=-⋅-⎰ sin ωμπθθ4图9-6 弯曲天线习题99-1： 证明：如果源 J 1和J 2均在体积v 内，则互易定理为[]()()E H E H ndss12210⨯-⨯⋅=⎰ 9-2： 证明无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。
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