华师大14.1.1直角三角形三边的关系三疑三探课件
1 也可以表示为 (b a ) 4 ab 2
2 2
a
c a b a
a
1 ∴ c2= (b a ) 4 ab 2 =b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2 ∴a2+b2=c2
c
b b
b c
c
反馈·总结
反馈检测题
1、在Rt△ABC中，∠A=900,AB=c，BC=a，AC=b. 6 ①若c=8，a=10，则b= _____. 7 ②若a=25，c=24，则b=_____. 2 、若一直角三角形的两边长分别为 12 和 5 ，则第 三边的长（ B ） A 13 B 13或 119 C 13或5 D 15
C
我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 S _____________ ．由此，我 P+SQ=SR 们得出直角三角形ABC三 边的长度之间存在关系 • 方法指导：当我们求图形面积 __________________ ． BC2＋AC2＝AB2 （特别是不规则图形）时，我 们可将图形分割成若干个规则 的小图形；也可以在图形的外 围拼补成一个规则的大图形。
我国数学家华罗庚曾经说过要想探 知其他星球上是否存在人类，可以 发射勾股图，如果存在人类必定认 识这种图形，那么这个图形到底蕴 含着怎样的奥妙呢？直角三角形的 三边又具有怎样版
14. 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
河南省红阳初中数学教研组
定向·诱导 学习目标：
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的 斜边的平方 ．那么在一般的 平方和等于___________ 直角三角形中，两直角边的平方和是否 等于斜边的平方呢?
自学·探究
问题2：由图可得： 正方形P的面积=___ 9平方厘米
A Q
R
16 平方厘米 正方形Q的面积=___ 25平方厘米 正方形R的面积=___
B
9 米
c
A
12米
讨论·解疑
1、你还有疑问吗？请讨论一下吧！ 2、把四个完全相同的直角三角形（较短直角 边为a、较长直角边b，斜边为c）拼成如图 所示的正方形，你能通过此图用两种不同 的方法求出正方形的面积，进而证出勾股 定理吗？挑战一下吧！ c a
a
c
b a
a
b
b
c
b c
讨论·解疑
∵大正方形的面积可以表示为 c2,
典型例题 1、判断： (1)已知a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2 . （ × ） (2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边 的平方. （ × ） (3)在直角三角形ABC中, ∠B=900 ,则a2+b2=c2 . （× ）
方法指导：利用勾股定理时要注意两点： 1、前提必须是直角三角形；2、明确直 角边和斜边.
自学·探究
2、（1）在直角三角形ABC中，∠C=900， 5 a=3， b=4，则c=_______ ； （2）在直角三角形ABC中，∠B=900， 7 a=3，b=4，则c=_______ ；
3. 台风袭击中，一棵大树在离 地面9米处断裂，树的顶部落在 离树根底部12米处。这棵树原来 有多高？
P
B
做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
5
13
C
12
B
自学·探究
平方和 勾股定理：直角三角形两直角边的_______ 斜边 的平方，如果直角三角形两直角边 等于_______ a2+b2=c2 分别为a、b,斜边为c，那么_________.
a c
b
勾 股 弦
三边 之间的关系． 勾股定理揭示了直角三角形______
自学·探究
a2+b2=c2是勾股定理的基本表 达式, 它还有哪些基本的变化 形式呢?
a b 平方形式:
c
a2+b2=c2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
开方形式:
a c b
2
2
2
b c a
2
2
2
c a b
自学·探究
C D
a
c c b
A
b
E
a
B
总结
作业
1、学习检测勾股定理第一课时,其中第9题 是选做题，其他均为必做题； 2、预习课本112页—114页.
反馈·总结
3、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、 5、2、3，则最大正方形E的面积是( C ) A 13 B 26 C 47 D 94
F
G
反馈·总结
4、把两个全等的直角三角形拼成如图所示 的形状，使点A、E、B在同一条直线上,试说 明a2+b2=c2.
• 1.经历探索勾股定理的过程，并了解勾股定 理的证明； • 2.会初步运用勾股定理进行简单的计算和解 决实际问题。
自学·探究
自学内容：课本108-111页； 自学任务：完成问题1，问题2； 自学时间：3-5分钟； 老师抽查学案，挑选学生回答问题.
自学·探究
问题1：观察左图：
A
R
P
C Q B
1 平方厘米. （1）正方形P的面积=___ 1 平方厘米. （2）正方形Q的面积=___ 2 平方厘米. （3）正方形R的面积=___ 两个小正方形P、 Q的面积之和______ 等于 大 AC2+BC2=AB2 正方形R的面积 ,即_________________
2 2
a
c a b a
a
1 ∴ c2= (b a ) 4 ab 2 =b2-2ab+a2+ 2ab =a2+b2 ∴a2+b2=c2
c
b b
b c
c
反馈·总结
反馈检测题
1、在Rt△ABC中，∠A=900,AB=c，BC=a，AC=b. 6 ①若c=8，a=10，则b= _____. 7 ②若a=25，c=24，则b=_____. 2 、若一直角三角形的两边长分别为 12 和 5 ，则第 三边的长（ B ） A 13 B 13或 119 C 13或5 D 15
C
我们发现，正方形P、 Q、 R的面积之间的关系是 S _____________ ．由此，我 P+SQ=SR 们得出直角三角形ABC三 边的长度之间存在关系 • 方法指导：当我们求图形面积 __________________ ． BC2＋AC2＝AB2 （特别是不规则图形）时，我 们可将图形分割成若干个规则 的小图形；也可以在图形的外 围拼补成一个规则的大图形。
我国数学家华罗庚曾经说过要想探 知其他星球上是否存在人类，可以 发射勾股图，如果存在人类必定认 识这种图形，那么这个图形到底蕴 含着怎样的奥妙呢？直角三角形的 三边又具有怎样版
14. 勾股定理
1.直角三角形三边的关系
河南省红阳初中数学教研组
定向·诱导 学习目标：
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的 斜边的平方 ．那么在一般的 平方和等于___________ 直角三角形中，两直角边的平方和是否 等于斜边的平方呢?
自学·探究
问题2：由图可得： 正方形P的面积=___ 9平方厘米
A Q
R
16 平方厘米 正方形Q的面积=___ 25平方厘米 正方形R的面积=___
B
9 米
c
A
12米
讨论·解疑
1、你还有疑问吗？请讨论一下吧！ 2、把四个完全相同的直角三角形（较短直角 边为a、较长直角边b，斜边为c）拼成如图 所示的正方形，你能通过此图用两种不同 的方法求出正方形的面积，进而证出勾股 定理吗？挑战一下吧！ c a
a
c
b a
a
b
b
c
b c
讨论·解疑
∵大正方形的面积可以表示为 c2,
典型例题 1、判断： (1)已知a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2 . （ × ） (2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边 的平方. （ × ） (3)在直角三角形ABC中, ∠B=900 ,则a2+b2=c2 . （× ）
方法指导：利用勾股定理时要注意两点： 1、前提必须是直角三角形；2、明确直 角边和斜边.
自学·探究
2、（1）在直角三角形ABC中，∠C=900， 5 a=3， b=4，则c=_______ ； （2）在直角三角形ABC中，∠B=900， 7 a=3，b=4，则c=_______ ；
3. 台风袭击中，一棵大树在离 地面9米处断裂，树的顶部落在 离树根底部12米处。这棵树原来 有多高？
P
B
做一做
分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作 出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后 验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
A
5
13
C
12
B
自学·探究
平方和 勾股定理：直角三角形两直角边的_______ 斜边 的平方，如果直角三角形两直角边 等于_______ a2+b2=c2 分别为a、b,斜边为c，那么_________.
a c
b
勾 股 弦
三边 之间的关系． 勾股定理揭示了直角三角形______
自学·探究
a2+b2=c2是勾股定理的基本表 达式, 它还有哪些基本的变化 形式呢?
a b 平方形式:
c
a2+b2=c2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
开方形式:
a c b
2
2
2
b c a
2
2
2
c a b
自学·探究
C D
a
c c b
A
b
E
a
B
总结
作业
1、学习检测勾股定理第一课时,其中第9题 是选做题，其他均为必做题； 2、预习课本112页—114页.
反馈·总结
3、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边 形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、 5、2、3，则最大正方形E的面积是( C ) A 13 B 26 C 47 D 94
F
G
反馈·总结
4、把两个全等的直角三角形拼成如图所示 的形状，使点A、E、B在同一条直线上,试说 明a2+b2=c2.
• 1.经历探索勾股定理的过程，并了解勾股定 理的证明； • 2.会初步运用勾股定理进行简单的计算和解 决实际问题。
自学·探究
自学内容：课本108-111页； 自学任务：完成问题1，问题2； 自学时间：3-5分钟； 老师抽查学案，挑选学生回答问题.
自学·探究
问题1：观察左图：
A
R
P
C Q B
1 平方厘米. （1）正方形P的面积=___ 1 平方厘米. （2）正方形Q的面积=___ 2 平方厘米. （3）正方形R的面积=___ 两个小正方形P、 Q的面积之和______ 等于 大 AC2+BC2=AB2 正方形R的面积 ,即_________________
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华师大版数学八年级上册14.1.1直角三角形的三边关系 课件(共16张PPT)
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
也可以表示为 (b a)2 4 1 ab
2
c a
b
∵ c2= (b a)2 4 1 ab
2
=b2-2ab+a2+ 2ab
c a
b
=a2+b2
c a
b
c a
我国家国之是一。最早早在了三千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一一。早。在早三千在多三年千前，多年前，周 朝国家数之学一家。早商在高三千就多提年出前，，将一根直 尺国家折之成一一。早个在直三千角多，年如前，果勾等于三， 股国家等之于一四。早，在那三千么多弦年就前，等于五，即 “国家勾之三一、。早股在四三千、多弦年五前，”，它被记 载国家于之我一国。早古在代三千著多名年的前，数学著作 《国家周之髀一算。早经在》三千中多。年前
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么 a2+b2=c2
a
c
b
即 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在西方又称毕达 哥拉斯定理！
弦 勾
股
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
；
②若c= 10，b = 8，则a = .
③若a=2，c=6，则b=
。
2、若一个直角三角形的三边长分别
为3，4， x，则x＝
华师大版-数学-八年级上册-《直角三角形三边的关系》教学课件
答案: 27 13 3
5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再
以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
【答案】( 2 ) n
E
F
D
CA
G
B
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定 理的应用模型是求线段长度最基本的方法之一.
B
（3）你能发形A，B，C的面积之间有什
B
么关系吗？图1-2呢？
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形
的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
勾是6， 股是8， 62=36, 82=64, 勾是5， 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169
52+122=132 等.
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
1.勾股定理. 2.用拼图法验证勾股定理. 3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
B
C
图1-3 A
B
结论：
图1-4
5.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，
以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再
以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…
依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是
．
【答案】( 2 ) n
E
F
D
CA
G
B
【规律方法】构造直角三角形，熟练掌握勾股定 理的应用模型是求线段长度最基本的方法之一.
B
（3）你能发形A，B，C的面积之间有什
B
么关系吗？图1-2呢？
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形
的面积
做一做
你是怎样得到表 中的结果的？与 同伴交流.
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
（1）观察图1-3、图1-4，并填写下表：
勾是6， 股是8， 62=36, 82=64, 勾是5， 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169
52+122=132 等.
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许 多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
1.勾股定理. 2.用拼图法验证勾股定理. 3.勾股定理的应用.
在数学的天地里，重要的不是我们知道什 么，而是我们怎么知道什么.
——毕达哥拉斯
B
C
图1-3 A
B
结论：
图1-4
14.1.1 直角三角形三边的关系
b股
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
a2 b2 c2
勾股定理（gou-gu theorem)
即 直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。
在西方又称毕 达哥拉斯定理！
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理 是公元前500多年时古 希腊数学家毕达哥拉斯 首先发现的。因此又称 此定理为“毕达哥拉斯 定理”。法国和比利时 称它为“驴桥定理”， 埃及称它为“埃及三角 形”等。但他们发现的 时间都比我国要迟得多。
（3）已知：b、c，求a? (a c2 b2 )
2、设未知数（如x、y等），用勾股定理建立方
程，求出未知数的值？
?
当堂练习
想 小明的妈妈买了一部29英寸（74 一 厘米）的电视机。小明量了电视机的 想 屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
青 入
朱朱
朱方 出出
朱朱入入 青入
青出
华罗庚
1
1
美丽的勾股树
你能运用勾股定理的知识解决实际
生活中的问题吗?
主要运用： 1、在直角三角形中，已知任意两边，求第三边？ (设a、b为直角边、c为斜边) （1）已知：a、b，求c?
（ c2=a2＋b2
c= a2 b2
）
（2）已知：a、c，求b? (b c2 a2 )
熟记常见的几组勾股数
（1）3、4、5； （2）6、8、10； （3）5、12、13； （4）8、15、17； （5）7、24、25 （6）9、12、15
总统证法
a
c
b
cb a
• 1876年4月1日，伽菲尔 德在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股 定理的这一证法。
• 1881年，伽菲尔德就任 美国第20任总统。后来， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一 证法称为“总统证法”。
华东师大版数学八年级上册直角三角形三边的关系课件
3、直角三角形的三边之间有什么关系 ？
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
探索：
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R, SR与SP、SQ 之间存在怎样的关系？
AR Q
CP B
图14.1.1
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
SR = 25 cm2
SR与SP、SQ
之间存在怎 样的关系？
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法1
方法2
A R
Q
B P
C
（每个小方格的边长为1cm)
图14.1.2
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
方法一：
分割成若干个 直角边为整数 的三角形
SR
4 1 431 2
14.1.1直角三角形
三边的关系
情境引入：
2002年国际数学家大会在我国北京 召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是我 国三国时期数学家赵爽 用来证明勾股定理的弦 图。
学习目标：
1、经历勾股定理的探索过程，体会数形 结合的思想。
2、会用拼图证明勾股定理。 3、理解直角三角形三边的关系，会应用
当堂测试：
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角
的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( C )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
华东师大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
３ ４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直
角 的BC方向上的大版数学八年级上册直角三角 形三边 的关系 课件
1.1直角三角形三边的关系PPT课件(华师大版)
2
c2 a2 2ab b2 2ab
c2 a2 b2
等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一 般的直角三角形是否也具有“两直角边的平 方和等于斜边的平方”呢？视察图14.1.2， 如果每一小方格的面积代表单位1，那么可 以得到什么结论？
勾股定理
对于任意直角三角形，如果两直角边 分别为a、b,斜边为c，那么一定有
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
如果知道了直角三角形两边 的长度,那么应用勾股定理 可以求出第三边的长度
勾股定理的由来：在中国古代，人们把曲折成直角的手 臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学 者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定 理称为“勾股定理”。
教学重难点
重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理
一、情境引入
在2002年的国际数学家大 会上采用弦图 作为会徽，它为什么有如此大 的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人 的奥妙呢？
视察
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，视察图中画出 的三个正方形P、Q、R,
SR 与S P、SQ
之间存在怎样的关系？
猜想： SP SQ SR
AR Q
Ca
你能用两种方法表示这 个大正方形的面积吗？
c 2 = 4 1 ab (b a)2
2
c2 2ab b2 2ab a2
c2 a2 b2
证法三：
b ac
你能用两种方法表示这 个小正方形的面积吗？
c 2 = (a b)2 4 1 ab
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关 A 系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
c2 a2 2ab b2 2ab
c2 a2 b2
等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一 般的直角三角形是否也具有“两直角边的平 方和等于斜边的平方”呢？视察图14.1.2， 如果每一小方格的面积代表单位1，那么可 以得到什么结论？
勾股定理
对于任意直角三角形，如果两直角边 分别为a、b,斜边为c，那么一定有
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
如果知道了直角三角形两边 的长度,那么应用勾股定理 可以求出第三边的长度
勾股定理的由来：在中国古代，人们把曲折成直角的手 臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学 者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边 称为“股”，斜边称为“弦”。所以我国古代把上面的定 理称为“勾股定理”。
教学重难点
重点：探索和证明勾股定理 难点：用拼图方法证明勾股定理
一、情境引入
在2002年的国际数学家大 会上采用弦图 作为会徽，它为什么有如此大 的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人 的奥妙呢？
视察
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，视察图中画出 的三个正方形P、Q、R,
SR 与S P、SQ
之间存在怎样的关系？
猜想： SP SQ SR
AR Q
Ca
你能用两种方法表示这 个大正方形的面积吗？
c 2 = 4 1 ab (b a)2
2
c2 2ab b2 2ab a2
c2 a2 b2
证法三：
b ac
你能用两种方法表示这 个小正方形的面积吗？
c 2 = (a b)2 4 1 ab
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关 A 系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
华师版八年级数学上册课件 第14章 勾股定理 直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点二：利用勾股定理求直角三角形的边长 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长 为( C) A．26 B．18 C．20 D．21 5．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8， 则阴影部分的面积是( )C A．48 B．60 C．76 D．80
14．(1)观察：如图①，如果每一个小方格面积为1 cm2，那么可以得到：正 方形P的面积S1＝____9cm2；正方形Q的面积S2＝____1c6m2；正方形R的面积S3 ＝____2c5m2； (2)发现：三个正方形的面积S1，S2，S3之间存在的关系是____S__1＋__S_2_＝__S_3； (3)猜想：如果Rt△ABC(∠C＝90°)的三边BC，AC，AB的长度分别为a，b， c，那么它们之间存在的关系是______a_2_＋__b_2＝__c_2___；
八年级数学上册（华师版）
第14章 勾股定理
．1 勾股定理
14．1.1 直角三角形三边的关系
第1课时 直角三角形三边的关系
1．直角三角形两直角边的____平__方__和___等于____斜__边__的__平__方_，这就是著名 的____勾__股__定__理__．
练习1.(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a， b，c，则有_________a_2_＋__b_2_＝__c．2
(4)应用：一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种 新的验证方法，如图②，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连 结CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理： a2＋b2＝c2.
解：∵S 四边形 BCC′D′＝S△AC′D′＋S△ACC′＋S△ABC，即12(C′D′＋BC)·D′B＝21
华师大八年级数学上册《探索直角三角形三边的关系》课件
(3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100.
(4)由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
14.1.1 探索直角三角形三边的关系
[归纳总结] (1)勾股定理适用的前提条件是直角三角 形．(2)以直角三角形三边为边的三个正方形的面积 S1， S2，S3(S3>S2>S1)之间的关系：S1＋S2＝S3.
14.1.1 探索直角三角形三边的关系
探究问题二 应用勾股定理进行计算
例 2 已知在 Rt△ABC 中，AC＝15，BC＝8，求 AB 边的长． 解：在 Rt△ABC 中，斜边不确定，这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
(4)由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
14.1.1 探索直角三角形三边的关系
[归纳总结] (1)勾股定理适用的前提条件是直角三角 形．(2)以直角三角形三边为边的三个正方形的面积 S1， S2，S3(S3>S2>S1)之间的关系：S1＋S2＝S3.
14.1.1 探索直角三角形三边的关系
探究问题二 应用勾股定理进行计算
例 2 已知在 Rt△ABC 中，AC＝15，BC＝8，求 AB 边的长． 解：在 Rt△ABC 中，斜边不确定，这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从 而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2 ＝AB2＋BC2，即 AB2＝AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB ＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
华东师大版八年级上册 14.1.1 直角三角形三边的关系 勾股定理 课件
解：由题可得
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
返回
图14.1.2
勾股定理
华东师大初中数学八年级上册《14.1.1直角三角形三边的关系》课堂教学课件
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14.1.1直角三 角形 三边的关系
一、情境引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图， 它与“勾股定理”有关，数学家曾 建议用“勾股定理”的图来作为与 “外星人”联系的信号.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
例2 如图14.1.4,将长为5.41米的 梯子AC斜靠在墙上,BC长为2.16米, 求梯子上端A到墙的底边的垂直距 离AB(精确到0.01米)
A
C
B
图14.1.4
解：如图14.1.4,在Rt△ABC中，
BC=2.16米，AC=5.41米， A 根据勾股定理可得
B
a
c
朱实
C 朱实
黄实
b
朱实
A
朱实
赵爽·弦图
1.直角三角形三边之间的关系
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度, 并将各边的长度填入下表：
三角 直角边 直角边 斜边c 关系
尺
a
b
1
2
1 2
根据测得的数据，你能 作出怎样的猜想？和其 他同学交流一下异同.
观察
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R,
SR与S P、SQ之间存Biblioteka 怎样的关系？SP SQ SR
AR Q
CP B
图14.1.1
即：BC2 AC 2 AB2
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
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14.1.1直角三 角形 三边的关系
一、情境引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图， 它与“勾股定理”有关，数学家曾 建议用“勾股定理”的图来作为与 “外星人”联系的信号.
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
例2 如图14.1.4,将长为5.41米的 梯子AC斜靠在墙上,BC长为2.16米, 求梯子上端A到墙的底边的垂直距 离AB(精确到0.01米)
A
C
B
图14.1.4
解：如图14.1.4,在Rt△ABC中，
BC=2.16米，AC=5.41米， A 根据勾股定理可得
B
a
c
朱实
C 朱实
黄实
b
朱实
A
朱实
赵爽·弦图
1.直角三角形三边之间的关系
试一试
测量你的两块直角三角尺的三边的长度, 并将各边的长度填入下表：
三角 直角边 直角边 斜边c 关系
尺
a
b
1
2
1 2
根据测得的数据，你能 作出怎样的猜想？和其 他同学交流一下异同.
观察
图14.1.1是正方形瓷砖拼 成的地面，观察图中画出 的三个正方形P、Q、R,
SR与S P、SQ之间存Biblioteka 怎样的关系？SP SQ SR
AR Q
CP B
图14.1.1
即：BC2 AC 2 AB2
试一试
观察图14.1.2， 可得：
SP = 9 cm2 SQ = 16 cm2
原秋八年级数学上册探索直角三角形三边的关系课件华东师大版(共10张PPT)
(3) 由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方 形的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 A 的面积是 37＋63＝100.
(4)由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
探索直角三角形三边的关系
[归纳总结] (1)勾股定理适用的前提条件是直角三角 形．(2)以直角三角形三边为边的三个正方形的面积 S1， S2，S3(S3>S2>S1)之间的关系：S1＋S2＝S3.
探索直角三角形三边的关系
探究问题二 应用勾股定理进行计算
例 2 已知在 Rt△ABC 中，AC＝15，BC＝8，求 AB 边的长．
探索直角三角形三边的关系
探索直角三角形三边的关系
新知梳理
► 知识点 勾股定理
勾 几股 何定 语理 言： ：直 对角 于三 任角 意形 的两 直直 角角 三边 角的 形平 ，方 如和 果等 它于 的 斜_两 _边条 的直 平__方角 ．边
分别为 a，b，斜边为 c，那么一定有__
__．
＝c 图形语言：如图 14－1－3，三个正方形的边长分别等于直
角三角形的三边长，那么它们的面积之 a2＋间b的 2 关2系是__
__．
勾股定理反映的是在直角三角形中的三边之间的关系，直
角三角形是勾股定理的前提条件．
S3＝S1＋S2图 14－1－3探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？
(4)由勾股定理可知：直角三角形的两条直角边上的正方形 的面积和等于斜边上的正方形的面积，故可以求得正方形 B 的 面积是 100－36＝64，所以边长是 8.
探索直角三角形三边的关系
[归纳总结] (1)勾股定理适用的前提条件是直角三角 形．(2)以直角三角形三边为边的三个正方形的面积 S1， S2，S3(S3>S2>S1)之间的关系：S1＋S2＝S3.
探索直角三角形三边的关系
探究问题二 应用勾股定理进行计算
例 2 已知在 Rt△ABC 中，AC＝15，BC＝8，求 AB 边的长．
探索直角三角形三边的关系
探索直角三角形三边的关系
新知梳理
► 知识点 勾股定理
勾 几股 何定 语理 言： ：直 对角 于三 任角 意形 的两 直直 角角 三边 角的 形平 ，方 如和 果等 它于 的 斜_两 _边条 的直 平__方角 ．边
分别为 a，b，斜边为 c，那么一定有__
__．
＝c 图形语言：如图 14－1－3，三个正方形的边长分别等于直
角三角形的三边长，那么它们的面积之 a2＋间b的 2 关2系是__
__．
勾股定理反映的是在直角三角形中的三边之间的关系，直
角三角形是勾股定理的前提条件．
S3＝S1＋S2图 14－1－3探索直角三角形三边的关系
重难互动探究
探究问题一 理解勾股定理 (1)求出如图 14－1－4 所示直角三角形中未知边的长度； (2)在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，求 AB 的长； (3)已知：图 14－1－5 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 A 的面积是多少？ (4)已知：图 14－1－6 的正方形是以直角三角形的边长为 边的正方形，那么正方形 B 的边长是多少？