坐标系与参数方程-知识点
(完整版)坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换⎧x'=λg x 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换ϕ:⎨⎩y'=μg y (λ>0) (μ>0)的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,点的极坐标有无数种表示.如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:极坐标(ρ,θ)点M直角坐标(x,y)互化公式⎧x=ρcosθ⎨y=ρsinθ⎩ρ2=x2+y2tanθ=y(x≠0)x在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆圆心为(r,0),半径为r的圆圆心为(r,ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r cosθ(-π2≤θ<π2)π2),半ρ2r sinθ(0≤θ<π)径为r的圆过极点,倾斜角为(1)θ=α(ρ∈R )或θ=π+α(ρ∈R )(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ≥0)α的直线过点(a ,0),与极轴垂直的直线ρcos θ=a (-π2<θ<π2)过点(a ,π2),与极ρsin θ=a (0<θ<π)轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,π+θ),(-ρ,-π+θ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ=θ,点M (ππ,)可以表示为44πππππ5πππ(,+2π)或(,-2π)或(-,)等多种形式,其中,只有(,)的极坐标满足方44444444程ρ=θ.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数⎧x =f (t )①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上,⎨y =g (t )⎩那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y =g (t ),那么⎨⎧x =f (t )就是曲线的参数方程,在参数方程与y =g (t )⎩普通方程的互化中,必须使x ,y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系和与参数方程
坐标系和与参数方程
知识点一（参数方程化普通方程）
【知识梳理】
参数方程：
（1）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任何一点P 的坐标x 和y 都可以表示为
某个变量t 特色函数： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎨⎧==)
()
(t g y t f x ，所确定
的点P （x ，y ） 都在曲线C 上 ，那么方程⎩
⎨⎧==)()
(t g y t f x 叫作曲线C 的 参数方程 ，变量t 是参变
数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程。
（2）参数方程中参数可以有物理意义、几何意义、也可以没有明显意义。
参数方程与xy 方程的互相转换：
曲线的参数方程可以通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的
3cos θ.
2C 与3C 交点的直角坐标；1C 与2C 相交于点
【课堂练习】
1．已知曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标
系，则曲线C 的参数方程为 ．
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐
标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
一、参数方程化普通方程
二、普通方程化参数方程
三、极坐标方程化直角坐标方程
四、直角坐标方程化极坐标方程
五、参数方程与极坐标方程的互化。
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
极坐标系与参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标系与参数方程知识点总结极坐标系和参数方程是数学中的两种常用的描述曲线的方法。
它们可以用来描述平面内的曲线，其优点是能够更简洁地描述某些特殊形状的曲线，且能够涵盖直角坐标系不能完全表示的曲线。
下面将对极坐标系和参数方程进行详细的介绍和总结。
一、极坐标系：极坐标系是一种用极角和极径来表示平面上的点的坐标系统。
其中，极径表示原点与点之间的距离，极角表示极径与一个固定轴之间的夹角。
极坐标系的坐标表示通常用 (r,θ) 表示，其中 r 是极径，θ是极角。
在极坐标系中，曲线方程可以用极坐标 (r,θ) 表示。
例如，直线的极坐标方程可表示为 r = a / cos(θ - α)，其中 a 是直线与极径轴的交点到原点的距离，α是直线与极径轴的夹角。
另外，许多曲线在极坐标系中的方程具有简洁的形式。
例如，圆的极坐标方程是 r = a，椭圆的极坐标方程是 r = a / (1 - εcosθ)，其中 a 是椭圆焦点到原点的距离，ε是椭圆的离心率。
极坐标系的优点是能够更简洁地表示某些特殊形状的曲线，如圆、椭圆和螺线等。
然而，极坐标系也有一些限制，例如不能表示某些直线和许多多重曲线。
因此，在具体问题中选择使用直角坐标系还是极坐标系要根据具体情况来定。
二、参数方程：第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
其中，参数是一个实数变量，曲线上的每个点都可以由参数的函数表示。
参数方程通常以向量形式表示，例如(x(t), y(t))，其中 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。
通过参数方程，可以更灵活地描述曲线。
例如，直线的参数方程可以表示为 x(t) = a + mt，y(t) = b + nt，其中 a、b 是直线上的一个点的坐标，m、n 是直线的斜率。
另外，许多曲线在参数方程中具有简洁的形式，如抛物线的参数方程是 x(t) = a + t，y(t) = b + t²。
专题：极坐标与参数方程知识点及对应例题
极坐标及参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念：2．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 3.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式二、参数方程知识点（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为 )(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系 极坐标方程典型例题1.点()22-，的极坐标为 。
2.已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<3.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5.极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆6.极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ 。
7.在极坐标系中，点3(2,)2π到直线l ：3cos 4sin 3ρθρθ-=的距离为 .8.在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π3:cos()242l ρθ+=上的点的最短距离为 ．9.已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）10.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。
参数方程讲义
再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
（ cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ，两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点（， ）与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
（四）参数方程
1 参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数，即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都
系. （1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（2）若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ，求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】（Ⅰ） cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0（II）x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化
，则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简
经典例题分析：例 1. 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t
（
t
为参数）．以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标
【精品】最新高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》专题复习(16页)
【精品】最新高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》专题复习一、基础知识梳理1.伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x λy ′＝μ·yμ的作用下，点P(x,y)对应到点(,)P x y '''，即点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ｏx 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.3.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点.极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点.如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的.5.极坐标与直角坐标的互化：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yxx .6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r ρ=；在极坐标系中，以(,0)C a (a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2cos a ρθ=； 在极坐标系中，以(,)2C a π(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2sin a ρθ=.7.直线的极坐标方程：在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点(,0)(0)A a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=. 8.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中x,y 都是某个变数t 的函数(),(),x f t y g t =⎧⎨=⎩ 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.9.常见曲线的参数方程（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程可表示为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)．（3）抛物线22y px =的参数方程可表示为)(222为参数t pty pt x ⎩⎨⎧==.（4）过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(i)直线的参数方程的一般形式：)1,)((2200≠+∈⎩⎨⎧+=+=b a R b a t bty y atx x 且为参数，转化为标准形式：),)((220R b a t t b a a x x ∈⎪⎪⎨⎧++=为参数.(ii)参数t 的几何意义是：直线上定点),(000y x M 到直线上动点),(y x M 的有向线段M M 0的数量.即tM M =0(iii)直线与圆锥曲线相交于两点A,B ，交点对应的参数分别为21,t t ，则弦长21t t AB -=. (iv)定点0M 是相交弦AB 的中点⇔021=+t t . (v)设弦AB 中点为点M ，则点M 相对应的参数221t t t M +=，则2210tt t M M M +==. 10.在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致.二、相关公式(1)直线的斜率：(i)定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ， 即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率； (ii)斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；21P P 中点坐标公式)2,2(21210y y x x P++.(2)点到直线的距离及两平行直线间的距离： (i)点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B++=+；(3)辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα±+=±b a b a ，)cos(sin cos 22ϕααα b a b a +=±.其中：a bb a b b a a =+=+=ϕϕϕtan ,sin ,cos 2222.(4)直线截圆所得弦长222d r AB -=(其中d 为圆心到直线的距离) (5)(i)正余弦展开公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-；βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-；(ii)二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααα22sin cos 2cos -=αα22sin 211cos 2-=-= 对应变形公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα【典例分析】题型一、极坐标、参数方程、直角坐标方程之间的互化1.在极坐标系中，求圆2ρ=与直线(cos 3sin )6ρθθ+=的位置关系.2.求直线415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(为参数t )截曲线2cos()4πρθ=+的弦长.3.已知曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．题型二、距离、面积问题4.在曲线1C ：⎩⎨⎧=+=)(sin cos 1为参数θθθy x 上求一点，使它到直线2C ：1222()112x t t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.5.在椭圆2211612x y +=上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线2120x y --=的距离的最小值和最大值，并求出相应点的坐标.6.平面直角坐标系中，已知曲线221:1C x y +=，将曲线1C 上所有点横坐标，纵坐标分别伸长为原来的2倍和3倍后，得到曲线2C . (1)试写出曲线2C 的参数方程;(2)在曲线2C 上求点P ，使得点P 到直线:450l x y +-=的距离最大，并求距离最大值.7.(2009•海南宁夏理)已知曲线1C ：4cos 3sin x ty t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，2C ：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩. (1)化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3C ：322x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值。
极坐标及参数方程知识点
极坐标及参数方程知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单
位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标)R )(,0(∈θθ.
3. 若0<ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称
4．极坐标与直角坐标的互化：
（1）极坐标转化为直角坐标:θρθρsin ,cos ==
y x （2）直角坐标转化为极坐标:x
y y x =+=θρtan ,222(θ的取值还要注意()y x ,的位置) 5. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线，)R (∈=ραθ 表示过极点的一条直线.
6．参数方程与普通方程的互化：先消去参数，再注明y x ,的取值范围。
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坐标系与参数方程 知识点
、极坐标与极坐标系
1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点
，在变换
应到点P(x , y),称
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
，简称伸缩变换
2.极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点 0,叫做极点，自极点0引一条射 线Ox ,叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及 其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ；平
面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是
平面坐标系.
(2)极坐标
设M 是平面内一点，极点0与点M 的距离|0M|叫做点M 的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线0M 为 终边的角 xOM 叫做点M 的极角，记为.有序数对(，)叫做点M 的极坐标，记作M(,).
般地，不作特殊说明时，我们认为
0,可取任意实数
特别地，当点M 在极点时，它的极坐标为(0, )(
€ R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有
无数种表示
如果规定
0,0 2 ,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标
(，)表示；同时，极坐标
(,)表示的点也是唯一确定的
X ( 0)
的作用下,点P(x,y)对
y (
0)
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:
（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x,y）,极坐标是（，）（0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表
在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角。