几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明
所有基本初等函数
所有基本初等函数基本初等函数是数学中的重要概念，它包括了常见的数学函数，如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在数学中具有广泛的应用，在科学、工程、经济等领域中发挥着重要作用。
下面将逐个介绍这些基本初等函数。
1. 线性函数：线性函数是一种最简单的函数形式，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b是常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
线性函数在代数学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用来描述两个变量之间的简单关系。
2. 幂函数：幂函数是一种形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。
当a为正数时，幂函数的图像是一个递增的曲线；当a为负数时，幂函数的图像是一个递减的曲线。
幂函数在几何学、物理学等领域中有广泛的应用，可以用来描述面积、体积、速度等随着变量的变化而变化的关系。
3. 指数函数：指数函数是一种形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。
指数函数的图像是一个递增或递减的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
指数函数在金融学、生物学等领域中有广泛的应用，可以用来描述复利增长、生物种群的增长等现象。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的逆运算，它可以表示为f(x) = loga(x)，其中a是常数。
对数函数的图像是一条递增的曲线，具有对数增长的特点。
对数函数在计算机科学、信息论等领域中有广泛的应用，可以用来描述算法复杂度、信息压缩等问题。
5. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标为基础定义的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的图像是周期性的波形，具有周期性和振荡的特点。
三角函数在物理学、信号处理等领域中有广泛的应用，可以用来描述波动、振动等现象。
6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
反三角函数可以用来求解三角方程或描述角度关系。
反三角函数在几何学、三角测量等领域中有广泛的应用，可以用来计算角度、求解三角形等问题。
基本初等函数知识总结
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
§1.6 初等函数
y arctan x
x (, )
值域为 y (
, ) 2 2
y arctan x
【1-6-15】
反余切函数 表达式为 定义域为 图象为
y arc cot x
x (, )
值域为 y (0, )
y arccot x
【1-6-16】
二、初等函数
当 0时为常量函数
当 0时有如下几种情形
当 p 时, 若p为奇数或偶数, q为奇数, 则当 0时x R,当 0时x 0 q
当为其他实数时, 若 0, 则x [0, ); 若 0, 则x (0, )
图形特征 任何幂函数的图形均过点（1，1）
u
【1-6-17】
三、隐函数
隐函数是指函数变量的对应关系隐含在一个方程F ( x, y) 0中的函数, 即F ( x, f ( x)) 0
相对应地, 称函数y f ( x)为显函数
若能从方程F ( x, y) 0中解出y f ( x), 则称此过程为隐函数的显化
当然，不是所有的隐函数都可以显化，有些隐函数是很难甚至无法显 化的，如
cos xy e 1 0
x y
【1-6-18】
【1-6-2】
几个常见幂函数幂函数的图形
y
y x2
1
(1,1)
y x
y x
o
1 y x
1
x
【1-6-3】
（3）指数函数 表达式 定义域 图形特征
y a x (a 0, a 1), y e x
(, )
当0 a 1 时, 指数函数y a x严格单调递减 当a 1 时, 指数函数y a x严格单调递增
六类初等函数总结
对数函数
常用对数：lg（x）=log10x（10 为底数）。 自然对数：ln（x）=logex（e 为底数）
底真同对数正，底真异对数负
当 0<a<1，0<b<1 时 y=logab>0;
当 0<a<1，b>1 时 y=logab<0
负数和 0 没有对数
当 a>1，b>1 时 y=logab>0
当 a>1，0<b<1 时 y=logab<0
函数 是反正弦 arcsin x，反余弦 arccos x，反正切 arctan x， 反余切 arccot x，反正割 arcsec x，反余割 arccsc x 这些函数的统称，各自表示 其正弦、余弦、正切、余切 ，
正割，余割为 x 的角 是指值不发生改变（即是常
数）的函数
详见三角函 数模块
详见反三角 函数模块
[-1,1]
[0,π]
减 非奇非偶
反正切函数
y=arc tan x
R
[-π/2,π/2] 增 奇函数
反余切函数 R
y=arc cot x
(0,π)
减 奇函数
转换公式
指数函数
函数
a>1
0<a<1
图像
定义域 值域 性质 运算 法则
表达 方式
性质
R （0，+∞） 过点（0，1） 在 R 上是增函数
R （0，+∞） 过点（0，1） 在 R 上是减函数
y=cot x
（k∈Z）
余
正割函数 y=sec x
x=kπ（k∈Z）
（kπ+π/2,0） （k∈Z）
初等函数的定义是什么
初等函数的定义是什么初等函数的定义是什么初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
下面是店铺给大家整理的初等函数的定义简介，希望能帮到大家!初等函数的定义初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometric function)与常数经过有限次的有理运算(加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方)及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。
它是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数)，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。
即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。
还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。
初等函数在其定义域内连续。
一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。
例如，三角函数y=sinx 可以用无穷级数表为y=x-x3/3!+x5/5!-…初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。
为了方便，人们编制了各种函数表，如平方表、开方表、对数表、三角函数表等。
函数在复数域的推广复变三角函数例如将y=sinx和y=cosx中变量x换为复变量z，则得到复变三角函数w=sinz和w=cosz，它们是整函数。
tanz=sinz/cosz，cotz=cosz/sinz等是z的亚纯函数。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
几个基本初等函数的公理化定义
几个基本初等函数的公理化定义
背景信息：
初等函数，指定义域内的函数，包括方程、不等式及其解、二次函数、三角函数，它们的特点就是其解以比较简单的数学语言表达出来，能够直观描绘函数的性质及其形式。
一、二次函数
二次函数是通过一元二次方程定义的。
记二次函数为y=ax²+bx+c,其中a≠0，它的定义域为所有实数x，值域为根据二次方程的表达式计算出的y值的集合。
特殊情况时，当a=1时，形式为y=x²+bx+c，此时可按单项式求和公式求出x的值，而
当a≠1时，则必须按照二次公式求出x的值。
二、三角函数
三角函数也称指弦函数，是由一元三次方程定义的。
它是比较典型的初等函数，主要包含正弦函数、余弦函数及正切函数。
其定义域为实数x，其值域属于[-1, 1]。
三角函数有一个重要的性质就是它的周期性，例如正弦函数的周期性则为2π，即
x+2π=x，即若令x表示以弧度表示的角度，那么两个角度的正弦值相等。
三、指数函数
指数函数的函数表达式为y=ax，其中a为正实数。
这类函数的特点是给定任一x能够求出它的函数值y，而且y随着x的增加而呈指数增长趋势。
它的定义域是
所有实数x，值域也是实数集。
此外，指数函数可以被用来拟合幂律分布。
综上，初等函数是指定义域内具有特定表达式的函数。
其中，包括二次函数、三角函数和指数函数，它们均具有特定的定义域及值域，而且可以直观地反映函数性质和形式。
它们的共同特征是简单，易于解析，容易求解，是进行函数分析的重要工具之一。
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几种初等函数的本质和定义以及标准方程的推导证明
一、几种初等函数的本质
平面上一动点M 到一定点的距离为MF ，到一定直线的距离为MN ，
MN
MF
=e 。
当0＜e ＜1时，M 的轨迹为椭圆 当e ＞1时，M 的轨迹为双曲线 当e=1时，M 的轨迹为抛物线
双曲线的一般定义：
平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=- 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在， 当2a=2c 时，轨迹是两条射线， 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线。
椭圆的一般定义：
平面内到两定点1F ，2F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时，轨迹是椭圆， 当2a=2c 时，轨迹是一条线段21F F ， 当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。
二、抛物线
准线
抛物线是动点到定点和定直线的距离相等的图形。
如图，M 为一动点，F 为一定点，N 为M 到定直线L 上的垂线MN 的垂足N 。
直线L 叫做抛物线的准线，定点F 叫做抛物线的焦点。
如图在抛物线的定点建立直角坐标系。
当M 位于顶点时FN=FM+MN ，因为FM=MN 所以当令FN=P 时
MN FM =2P 。
由以上得F （0,2
P
）,准线L 的方程为 y=－2p 。
由抛物线的定义可得点M 的方程2p y x 2p 2
2
+=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-y ，化简后得抛物
线的标准方程：py x 22
=。
抛物的标准方程有如下几种形式：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≥=>±=→0;2:0;2:0;20
;2:0;2:0;222
22
2
2
y py x y py x p py x x px y x px y p px y 开口向下开口向上上下型开口向左开口向右左右型抛物线的标准方程
三、椭圆
动点M （x ，y ），定点F （c ，0）或者（-c ，0），定直线x=c a 2，离心率e=a
c。
动点M （x ，y ）⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==⊂a c d MF M P 。
由集合内的公式得
()x c
a y c x -+-2
2
2=
a
c
,将上式两边平方化简后得到：(
)
(
)2
22
2222
2c
a a y a x c a -=+-。
设222
b c a
=-，此时
原方程可化为：)0(122
22>>=+b a b y a x 或者当焦点位于Y 轴上时：
)0(12
2
22>>=+b a b x a y 。
此方程即为椭圆的标准方程，动点M 的轨迹为长半轴a 短半轴为b 的椭圆。
四、双曲线
根据双曲线的一般定义:
设c F F 221=，)0,(1c F -、)0,(2c F 。
设M 是一动点。
a MF MF 221±=- 由图知： ()221y c x MF ++=
()222
y c x MF +-=
∴
()22y c x ++-()22y c x +-=a 2±
移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=
平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） 再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-
即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b
则2
2
2
2
2
2
b a y a x b =-，即122
22=-b
y a x
反之：设M 是12222=-b y a x 上的点，则)1(22
22-=a
x b y ， a a cx a cx x a
c a
x b b c cx x y c x MF +=++=
+-++=
++=2
22
222
222
2
2
2122)(
222)(y c x MF +-==
a a
cx
-，x a c a ≤<, ∴当
a
x ≥时，
a a
cx MF +=
1 ，
a a
cx MF -=
2，有
a a a
cx
a a cx MF MF 221=+-+=
-； 当a x -≤时，a
a
cx
MF --=1，
a a
cx
MF +-
=2，有
a a a cx
a a cx MF MF 221-=-+--=-
综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是122
22=-b y a x ①，其中
)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.
焦点是F 1(0，－c)、F 2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴上双曲线的标准方程
是122
22=-b
x a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、- 将方程推导过程中的方程（*）做变形可得()
c
a x a c y c x 2
2
2
-=+-，
即
()a
c c
a x y c x =
-
+-22
2，且1>a c。
其几何意义是双曲线上的点满足到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线
c
a x 2
=的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(y x P 满足
()a
c c
a x y c x =
-
+-22
2，且1>a c
，即点P 到定
点)0,(F 2c 的距离与到定直线c
a x 2
=的距离之比是一个大于1的常数，
则点P 的轨迹是双曲线。