对有理数和无理数的认识
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
X=
（1）.把0.232323... 化成分数 。
设X=0.232323...
因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...
所以 X = 0.23 + 0.01X
解得：X = 23/99
（2.）把0.1234123412341234...化成分数 。
例1： 0.33……×10＝3.33……
0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……
(10-1) ×0.33……=3
即9×0.33……=3
那么0.33……=3/9=1/3
(2)、0.4747……×100＝47.4747……
0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……
=103/450；
公式
用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子，比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就 用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之545，以此类推，能约分的要化简。方法还有很多，在这里就不一一介绍，总之只要是有数都能分数和小数都能互化。
超越数是复数中除代数数以外的数不是上面代数方程的根的实数称为超越数，例如圆周率 ,自然对数的底e等， （简单的说能表示为一个代数方程的根的数，如根号下2就是x的平方减一等于零的一个根，所以它就是代数数，而不能表示为代数方程之根的无理数，就叫做超越数，如圆周率，自然对数的底等等。）的超越性就不再这里证明了。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。（希腊文称为 λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。）。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能
同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。因此在自然数域中算术运算是全可能的。
∴q、p不复可约（互质）矛盾 原假设不成立
∴ 为无理数。
这种证法和古典证法一样属于归谬法类型。
现在数学给无理数的定义为：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、 等。且无理数又分为代数无理数和超越数无理数（关于代数无理数和超越无理数的证明不再本文内容之内，不做详解）。
(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747……=47
那么 0.4747……=47/9
4、套公式法：
纯循环
用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。
混循环
例：把混循环小数0.228…化为分数：
本文对有理数和无理数（包括代数数和超越数）作了介绍与归纳，介绍了有理数和无理数的来源与类别，从这些定义和归类，读者应该对有理数和无理数有所了解。
参考文献：
《数.科学的语言》（美）-T.丹齐克著苏仲湘译
《几何原本》--欧几里得 兰纪正 朱恩宽 译
《数学》（英）高尔斯（Gowers，T.）著；刘熙译.——南京：译林出版社
解：0.228…
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
代数数和超越数：代数数是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。这即是说若x是一个代数数，那么必然存在整数那么必然存在整数 ， ……… (n>=1, )使得x是以下方程的根：
所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作A或 ，是复数域C的子域。
欧几里得《几何原本》中提出的一种证明无理数的经典方法为：
证明: 是无理数。
证：假设 不是无理数
∴ 是有理数
令 = (p、q不复可约)(互为质数)
两边平方得：
2= 即：2=
通过变换得：
2r
则 =4r²
∴2 =4r²
化简得：
=2r²
∴ 必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
自人类开始数学离不开人们生活，因此数与数学也是人类几千年来积累的精华之一，然而数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式。在大家对有关的数学内涵产生兴趣并开始有所领悟之前，很可能早已为这些术语、记号和公式搞得晕头转向甚至望而却步了。同样离不开必要的逻辑推理。推理若过分严密，很难引起学习者的兴趣；但若过于粗疏，语焉不详，则又易使人不得要领。因此许多人都说数学难呀。
B、算法封闭性，即两个有理数的加、减、乘、除的值为有理数。
3.相关问题
1、0既然是自然数又是整数，为何不能做除数（即分母）呢？
这个问题我们可以看作方程求X 0=a的解，大家都知道，人们在定义0时，认定a 0=0，由于X为任意值，因此当a不为0时，方程是不可能的，因此不存在任何一个有理数满足方程解。或者我们也可以这样理解， 1 0=0，2 0=0，得出0×1=0×2。两边除以零，得出0/0×1=0/0×2。化简，得：1=2（不可能），综上:0做除数就无意义了。
有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。）
运算法则：遵守四则运算。
性质：A、有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是密集的，而整数集不是稠密的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。
二、无理数
1、无理数的发现：毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。他们将这种数的理论应用于几何，认为，对于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它们的单位线段，并称此1两线段为可公度的。这种可公度性等价于“任何两条线段之比为有理数”。他们在几何推理中总是使用这条可公度性假定。
4、分数与无限循环小数之间的互化
1、分数化循环小数：循环小数分为纯循环(0.3333…)小数和混循环小数(0.2356111…)，如果有理数 不是一个有限十进位小数，那么通过不断地除法能表示一个十进位小数，过程中必然有一个非0的余数，否则小数是有限的，除的过程出现的余数将是1和p-1的整数，所以最多只能有p-1个余数，也就是只能除p次，之后出现的余数都会重复同样的出现，简单说就是用分子除分母，直到出现余数相同为止，比如 ， 等等。
解：设X=0.1234123412341234...
因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...
所以X = 0.1234 + 0.0001X
解得：X = 1234/9999
3、代数法
类型1：纯循环小数如何化为分数
例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数
2、有理数的定义：数学上，有理数是一个整数a和一个非0整数b的比，如1/2，3/7等，通式为a/b(b 0)，又称为分数，0也是有理数。又因整数可以看作分母为一的分数，因此有理数是分数和整数的集合。有理数集可用大写符号Q代表。但Q并不表示有理数，Q表示有理数集。（注：有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不可公度的，例如边长为1的正方形与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定理容易发现，它们之比并非是自然数之比。据说，由于希帕索斯的这一发现，触犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进大海。（注：“公度”是一个几何学概念，对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd(m，n为自然数)，那么称线段d为线段a和b的一个公度；并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段。）
对有理数和无理数的认识
摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；m2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且nn≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：m当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）nm时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小n数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）2无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，、e、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四2则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。
2根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数m和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的n等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
小学四年级数学教案学习有理数和无理数的概念
小学四年级数学教案学习有理数和无理数的概念学习有理数和无理数的概念本教案主要针对小学四年级学生，介绍有理数和无理数的概念。
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数，而无理数是指不能表示为两个整数的比值的数。
学生通过本教案的学习，可以初步理解有理数和无理数的概念，并能够区分它们。
一、有理数的概念有理数可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数。
有理数可以用一个分数来表示，例如1/2、3/4等，也可以用一个整数或小数来表示，例如2、3.5等。
有理数可以是正数、负数和零。
例如，1、2、3都是整数，它们都是有理数。
又例如，1/2、3/4是分数，它们也是有理数。
有理数可以进行加减乘除运算。
二、无理数的概念无理数是指不能表示为两个整数的比值的数。
无理数通常用根号符号来表示，例如π、√2等。
无理数有无限不循环的小数部分，无法用简单的分数或整数来表示。
例如，√2是一个无理数，因为无法找到两个整数的比值等于√2。
无理数是无限不循环的，不能用分数或整数来表示它的值。
三、有理数和无理数的区别有理数和无理数都是实数的一种，但它们之间有着明显的区别。
有理数可以表示为两个整数的比值，而无理数不能用有限的整数或分数来表示。
例如，对于数轴上的一个点，如果它可以被一个整数或分数的比值表示，那么它就是有理数；否则，它就是无理数。
四、数轴上的有理数和无理数数轴是用来表示实数的一种工具，我们可以借助数轴来帮助理解有理数和无理数的概念。
在数轴上，有理数可以用一个点来表示，例如1、2、3等整数，以及1/2、3/4等分数。
无理数不能用有限的点来表示，它在数轴上是一个无限不循环的小数。
例如，√2在数轴上无法用有限的点表示，它是一个无理数。
我们可以将√2的近似值标在数轴上，但精确的值无法用有限的点表示出来。
通过数轴的帮助，学生可以更直观地了解有理数和无理数的特点，并能够正确区分它们。
五、小结本教案主要介绍了有理数和无理数的概念。
有理数与无理数
【有理数与无理数】无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数数学上，有理数是两个整数的比，通常写作 a/b，这里 b 不为零。
分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。
希腊文称为λογο?? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。
不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
《有理数》概念、定义集合1、大于0的数叫做正数（positive）.2、小于0的数叫做负数（negative）.3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.6、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.（3）一个数同0相加，仍得这个数.7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..9、乘积是1的两个数互为倒数.10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a 的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.12、有理数混合运算的运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减.（2）同级运算，从左到右进行.（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.有理数(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: ① 整数②分数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a＞0 a是正数；a＜0 a是负数；a≥0 a是正数或0 a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 a是非正数.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， .有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .。
有理数与无理数的性质
有理数与无理数的性质有理数和无理数是数学中常见的两种数，它们都属于实数的范畴。
本文将详细介绍有理数与无理数的性质，包括定义、性质以及它们在数轴上的表示方法。
一、有理数的定义和性质有理数是可以表达为两个整数的比值形式的数，这两个整数分别为分子和分母。
有理数的定义如下：定义：如果一个数a可以表示为两个整数p、q（q ≠ 0）的比值，即a = p/q，那么a就是一个有理数。
有理数的性质包括：1. 有理数的加法性质：两个有理数的和仍然是有理数。
即若a和b 是有理数，则a + b也是有理数。
2. 有理数的乘法性质：两个有理数的积仍然是有理数。
即若a和b 是有理数，则a × b也是有理数。
3. 有理数的整除性质：若a和b是有理数，并且b ≠ 0，则a/b也是有理数。
4. 有理数的闭包性质：在有理数集合中，任意两个有理数的四则运算结果仍然是有理数。
二、无理数的定义和性质无理数是指不能表示为两个整数的比值形式的数，即无理数无法用有限的小数表示，并且它的小数部分不会重复。
无理数的定义如下：定义：若一个数a不是有理数，那么a就是一个无理数。
无理数的性质包括：1. 无理数的加法性质：两个无理数的和不一定是无理数。
例如，√2和-√2是无理数，但它们的和为0，是一个有理数。
2. 无理数的乘法性质：两个无理数的积不一定是无理数。
例如，√2和√3的乘积√6是无理数。
3. 无理数的闭包性质：在无理数集合中，任意两个无理数的四则运算结果仍然是无理数。
三、有理数与无理数的数轴表示在数轴上，有理数和无理数均可以表示出来。
有理数在数轴上以点的形式表示，例如整数点、分数点等。
有理数的数轴表示是整齐分布的，可以形成一个稠密的数轴。
无理数在数轴上的表示方式是通过长度来描述，例如π和√2等。
无理数在数轴上的表示是不规则的，无法用有限的小数表示，并且不同的无理数之间没有规律可循。
结语：有理数和无理数是实数中的两种重要类型。
有理数通过整数比值的形式来表达，而无理数则是无法用有限的小数表示的，并且小数部分不会重复。
数的认识知识点整理
数的认识知识点整理数字是我们日常生活中经常用到的概念和符号。
在数学中，我们通过学习数的认识知识点，来了解数字的基本特性、运算规律以及数的分类等内容。
本文将整理一些常见的数的认识知识点，帮助读者更好地理解数字的本质和应用。
一、自然数和整数1. 自然数：自然数是最早人们认识到的数字，包括0、1、2、3、4、5……。
自然数用于计数和排序，具有无限性和循环性。
2. 零和负数：在自然数的基础上，引入0和负数，形成整数集合。
整数包括正整数、零和负整数，用于表示欠债、温度、距离等情况。
二、有理数和无理数1. 有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数字。
有理数包括正数、零和负数，以及分数和整数。
有理数的加减乘除有明确的规则和性质。
2. 无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数字，其非循环且无限的小数部分不能化为分数。
如π和根号2。
三、整数和有理数的关系1. 整数是有理数的一部分，因为整数可以表示为分母为1的分数。
2. 有理数包括整数和分数，且整数可以看作是分母为1的分数形式。
3. 无理数和有理数是两个不相交的数集，即无理数不能表示为有理数的形式。
四、实数1. 实数：实数是整数、有理数和无理数的总称，包括我们熟知的所有数字。
实数可以在数轴上进行表示和比较。
2. 实数的运算规律：实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等性质。
五、正数和负数的性质1. 正数：正数大于0的实数，可以进行加法、乘法和幂运算等。
2. 负数：负数小于0的实数，与正数具有相反的数值，符号为负号。
3. 正数和负数的相互抵消：正数和负数相加，绝对值较大的数决定了符号。
六、数的分数表示1. 分数：分数是用一个整数除以另一个非零的整数所得到的结果。
分数有分子和分母两个部分，分子表示被分割的部分，分母表示分割出的总份数。
2. 分数的运算：分数可以进行加减乘除等运算，其中需要注意分母的相同化。
七、小数和百分数1. 小数：小数是表示分数的一种形式，分子在分母未知或为10的整数次幂时。
谈谈有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α³5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ²b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
有理数与无理数
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2.2.4实数集是不可数的
定理6
实数集是不可数的。 证明：1）构造法 2）区间套法 定理7 存在着无理的实数。
41
2.2.5代数数
a0 xn a1xn1 a2 xn2 ... an1x an 0
代数基本定理 n次方程（1）在复数域中有n 个根。 定义 一个实数或复数叫做代数数，如果它 是某一个整系数方程的根。 定义 任何不是代数数的实数叫做超越数。 定理8 代数数的集合是可数的。 定理9 存在超越数。
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几个对等集的例子：
A
A B
B
A
B
39
2.2.3有理数集是可数的
定义
凡与集N对等的集A都叫做可数集, 或称集 A是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理2 一个有限集和一个可数集如无公共 元素，那么它们的和集是可数的。 定理3 两两不相交的有限个可数集的和集 是可数的。 系1 全体整数的集合是可数的。 系2 全体有理数的集合是可数的。 定理4 两两不相交的可数个有限集的和集 是可数的。 定理5 两两不相交的可数个可数集的和集
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2.1.5有理数域 数学造型:从0和1出发，通过有理运算可以 造出全部有理数。 有理数域兊服了自然数系的缺陷，相对来说 是比较完美的：对四则运算是封闭的，而且 具有稠密性。 数域是抽象代数的一个基本概念,有理数域 只是数域的一种(最小的数域).
18
2.1.6第一次数学危机
一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的 「万物皆数」
书里的著名对话说明远在康托尔 的集合论创始之前，伽利略对 无限已经有了很好的理解。
36
2.2.1一段富有启发性的历史对话
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
掌握小学数学无理数与有理数的区别方法
掌握小学数学无理数与有理数的区别方法数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，其中有理数和无理数是数学中常见的概念。
在小学数学学习中，理解和掌握无理数与有理数的区别方法对于学生的数学素养提升至关重要。
本文将从几个方面阐述这一问题。
首先，我们来了解有理数和无理数的定义。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它们包括整数、分数和小数。
而无理数则是不能表示为两个整数的比值的数，它们是无限不循环的小数。
例如，√2、π和e都是无理数。
其次，我们可以通过数的表示形式来区分有理数和无理数。
有理数可以用分数或小数表示，而无理数只能用无限不循环的小数表示。
例如，1/2和0.5都是有理数的表示形式，而√2则是无理数的表示形式。
此外，有理数和无理数在数轴上的位置也有所不同。
有理数可以在数轴上找到对应的点，而无理数则无法准确地在数轴上标出。
例如，1/2可以在数轴上标出为0.5，而√2无法在数轴上准确标出。
另外，有理数和无理数在运算中也有所区别。
有理数之间的加减乘除运算仍然是有理数，而无理数之间的运算结果则可能是有理数，也可能是无理数。
例如，√2与√2相加得到2√2，这是一个无理数。
此外，我们还可以通过数的性质来区分有理数和无理数。
有理数具有有限性、循环性和可比性等性质，而无理数则不具备这些性质。
例如，有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的，而无理数的小数表示形式是无限不循环的。
最后，我们可以通过一些具体的例子来巩固对有理数和无理数的理解。
例如，将2除以3得到的0.6666...是一个循环小数，因此是有理数；而将π除以2得到的1.570796...是一个无限不循环的小数，因此是无理数。
综上所述，掌握小学数学中有理数和无理数的区别方法对于学生的数学学习至关重要。
通过理解定义、数的表示形式、数轴上的位置、运算规律和数的性质等方面，我们可以更好地区分这两个概念。
希望本文的介绍能够帮助学生更好地掌握有理数和无理数的区别方法，提升数学学习的效果。