计算机图形学第八章
t [0,1]
17
样条描述
an x(t ) n p (t ) y (t ) t t 1 a1 z (t ) a0 T C T M S G t [0,1] bn cn b1 c1 b0 c0
样条和Kochanek-Bartels样条。
Hermite曲线具有几何不变性。
28
8.3 Bezier曲线曲面
Bezier曲线的定义
Bezier曲线的性质
Bezier曲线的生成
Bezier曲面
29
Bezier曲线的定义
图8.5 Bezier曲线
30
Bezier曲线的定义
定义
参数变化对各因变量的影响可以明显地表
示出来。
7
插值与逼近
采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状
称为样条。 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线， 在每段的边界处满足特定的连续条件。 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述。
8
插值与逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲
二阶导数
p '' (0) n(n 1)((P2 P 1) (P 1P 0 )) p '' (1) n(n 1)((Pn 2 Pn 1 ) ( Pn 1 Pn ))
Bezier曲线在起始点和终止点处的二阶导 数分别取决于最开始和最后的三个控制点。
39
31
Bezier曲线的定义
一次Bezier曲线（n=1）
p(t ) Pk BENk ,1 (t ) (1 t ) P0 tP 1
k 0 1
t [0, 1]
32
Bezier曲线的定义
二次Bezier曲线（n=2）
p(t ) Pk BENk ,n (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
18
8.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次
多项式曲线：
x(t ) a x t 3 bx t 2 c x t d x 3 2 y ( t ) a t b t c yt d y y y z (t ) a t 3 b t 2 c t d z z z z
B0,3(t)
B3,3(t)
B1,3(t)
B2,3(t)
O
t
图8.6 三次Bezier曲线的四个Bezier基函数
35
Bezier曲线的性质
端点
p(0) Pk BENk ,n (0)
k 0 n
P0 BEN0,n (0) P 1 BEN1,n (0) P n BENn ,n (0) P0
k 1 n
p (0) n ( Pk Pk 1 ) BENk 1, n 1 (0) n( P 1P 0)
' k 1 n
n
p (1) n ( Pk Pk 1 ) BENk 1, n 1 (0) n( Pn Pn 1 )
' k 1
38
Bezier曲线的性质
5
曲线曲面的表示
参数法表示
p p(t )
参数法表示的优点
点动成线
t [0,1]
通常总是能够选取那些具有几何不变性的参
数曲线曲面表示形式。 用对参数求导来代替斜率，避免无穷大斜率
6
曲线曲面的表示
t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界
的。
可对参数方程直接进行仿射和投影变换。
1 3 3 3 6 3 t 1 3 3 0 0 0 1 1 P0 P 0 1 T M be Gbe 0 P2 0 P3
t [0, 1]
p(t ) t 3
t2
t [0, 1]
34
Bezier曲线的定义
3 2
(t)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 -0.2
H0(t)
H1(t)
H2(t)
0.4 0.6 0.8 1 t
H3(t)
图8.4 Hermite基函数
27
`
三次Hermite样条
特点
可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端
点约束。
基于Hermite样条的变化形式：Cardinal
p(t ) Pk BENk ,n (t )
k 0
n
t [0,1]
Bernstein基函数具有如下形式：
n! nk nk k k k BENk ,n (t ) t 1 t Cn t 1 t k!n k ! k 0,1,, n
注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线
段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。
16
样条描述
n次样条参数多项式曲线的矩阵
x(t ) ant a2t a1t a0 n 2 1 y (t ) bnt b2t b1t b0 z (t ) c t n c t 2 c t 1 c n 2 1 0
'
37
Bezier曲线的性质
p (t ) n Pk ( BENk 1, n 1 (t ) BENk , n 1 (t ))
' k 0 n
n((P 1P 0 ) BEN0 , n 1 (t ) ( P 2 P 1 ) BEN1, n 1 (t ) ... ( P n P n 1 ) BENn 1, n 1 (t )) n ( Pk Pk 1 ) BENk 1, n 1 (t )
不能“局部控制”
21
三次Hermite样条
定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为
p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和
Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次
Hermite样条曲线：
p(0) Pk , p(1) Pk 1 p(0) Rk , p(1) Rk 1
(b) 1阶连续性
(c) 2阶连续性
图8.3 曲线段的参数连续性
14
连续性条件
几何连续性
0 阶几何连续性，记作 G0 连续性，与 0 阶参
数连续性的定义相同，满足：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
15
连续性条件
1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数
在相邻段的交点处成比例
25
三次Hermite样条
通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合
函数，调和函数）：
H 0 (t ) 2t 3t 1 3 2 H1 (t ) 2t 3t 3 2 H 2 (t ) t 2t t H 3 (t ) t 3 t 2 p(t ) Pk H0 (t ) Pk 1H1 (t ) Rk H 2 (t ) Rk 1H3 (t )
图8.2 曲线的逼近
11
连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t )
参数连续性
t[ti0 , t i1]
0阶参数连续性，记作 C0连续性，是指曲线
的几何位臵连接，即
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
12
连续性条件
1阶参数连续性，记作 C1连续性，指代表两
p(1) Pk BENk ,n (1)
k 0
n
P0 BEN0,n (1) P 1 BEN1,n (1) P n BENn ,n (1) Pn
36
Bezier曲线的性质
一阶导数
n! BEN k , n (t ) (k t k 1 (1 t ) n k (n k )(1 t ) n k 1 t k ) k!(n k )! n(n 1)! t k 1 (1 t )( n 1) ( k 1) (k 1)!((n 1) (k 1))! n(n 1)! t k (1 t )( n 1) k k!((n 1) k )! n( BENk 1, n 1 (t ) BENk , n 1 (t ))
第八章 曲线和曲面
提出问题
由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通
过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些
点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出
实验特性、变化规律和趋势等。
1
第八章 曲线和曲面
基本概念
三次样条
2
8.1 基本概念
曲线曲面数学描述的发展
曲线曲面的表示要求
曲线曲面的表示
22
推导
p(t ) [t
3
t
2
ax b x t 1] cx d x
ay by cy dy
az bz cz dz
[t 3 t 2
a b t 1] T C c d
23
a 0 b 1 C c 0 d 3 2 2 3 3 0 0 0 1
个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一
阶导数：
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 ) 且pi(ti1 ) p(i1) (t(i1) 0 )
13
连续性条件
2阶参数连续性，记作 C2连续性，指两个相
邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶
计算机图形学智慧树知到答案章节测试2023年中国地质大学(武汉)
第一章测试1.计算机图形学产生图形，计算机图像学产生图像。
（）A:对B:错答案:B2.下列哪项不属于计算机图形学的应用领域？（）A:虚拟现实B:游戏实时显示C:科学计算可视化D:计算机辅助设计E:数字电影制作F:识别图片中的动物答案:F3.本课程将讲不讲解以下哪个内容？（）A:动画生成B:真实感图像生成C:曲线生成D:游戏制作答案:D4.使用OPENGL画带颜色的直线，需要调用不同的函数，分别指定颜色和起始点坐标。
（）A:错B:对答案:B5.在OPENGL中定义的结点仅包含位置信息。
（）A:对B:错答案:B第二章测试1.四面体的表面建模中，可用四个三角形来描述四面体的表面，每个三角形包含三个点，因此，四面体中点的总个数为（）。
A:12B:6C:4D:9答案:C2.三次BEZIER曲线有几个控制点？（）A:3B:5C:4D:6答案:C3.三次BEZIER曲线经过几个控制点？（）A:3B:4C:2D:1答案:C4.不经过Y轴的斜线绕Y轴旋转得到的曲面是（）A:半球面B:球面C:柱面D:圆台面答案:B5.BEZIER曲线上的所有点都是由控制点经过插值得到的。
（）A:错B:对答案:A第三章测试1.通过变换可以将单位圆变成长半轴2短轴0.5的椭圆，具体实施步骤是（）。
A:水平方向做平移变换，竖值方向做平移变换B:水平方向做拉伸变换，竖值方向做平移变换C:水平方向做收缩变换，竖值方向做拉伸变换D:水平方向做拉伸变换，竖值方向做收缩变换答案:B2.变换前后二线夹角保持不变的保角变换有（）A:镜像B:旋转C:平移D:缩放答案:D3.水平方向的剪切变换，如果表达为x’=ax+by y’=c x+dy,则有（）。
A:b=1,c=1,d=0B:a=0,b=1,c=1C:a=1,b=0,d=1D:a=1,c=0,d=1答案:D4.正交变换不包括（）。
A:剪切B:镜像C:旋转D:平移答案:A5.变换的复合运算不满足交换律。
《计算机应用基础》目录
《计算机应用基础》目录《计算机应用基础》目录第一章：计算机基础知识1.1 计算机的定义和发展历史1.2 计算机硬件组成和功能1.3 计算机软件分类和应用场景1.4 计算机网络基础知识第二章：操作系统2.1 操作系统的定义和作用2.2 常见的操作系统及其特点2.3 操作系统的组成和架构2.4 操作系统的进程管理和内存管理第三章：数据库3.1 数据库的定义和基本概念3.2 数据库管理系统（DBMS）3.2.1 数据库模型3.2.2 关系数据库3.2.3 SQL语言3.3 数据库设计和规范化3.4 数据库的查询和操作第四章：算法与数据结构4.1 算法的基本概念和特性4.2 常见的算法和数据结构4.3 算法的复杂度分析4.4 算法的设计和优化第五章：编程语言5.1 编程语言的分类和特点5.2 常见的编程语言及其应用领域5.3 编程语言的语法和语义5.4 编程语言的开发环境和工具第六章：计算机安全6.1 计算机安全的概念和原则6.2 常见的计算机安全威胁和攻击方式6.3 计算机安全防护措施和技术6.4 个人信息保护和网络安全法律法规第七章：基础7.1 的定义和发展历史7.2 机器学习算法和应用7.3 深度学习算法和应用7.4 自然语言处理和图像识别技术第八章：计算机图形学8.1 计算机图形学的基本概念和应用领域 8.2 图像处理和图像压缩技术8.3 三维图形的建模和渲染技术8.4 虚拟现实和增强现实技术第九章：软件工程9.1 软件工程的基本概念和原则9.2 软件开发过程和方法9.3 需求分析和软件设计9.4 软件测试和维护第十章：计算机与社会10.1 计算机对社会的影响和挑战10.2 信息化时代的社会和经济发展10.3 信息安全和隐私保护10.4 法律与计算机科技的关系本文档涉及附件：附件1. 数据库设计案例附件2. 算法代码示例附件3. 编程语言学习资源本文所涉及的法律名词及注释：1. 数据隐私：指个人信息的保护，在计算机应用中应遵守相关法律法规，保护用户隐私。
计算机图形学名词解释
第一章：计算机图形学：怎样用计算机生成、处理和显示图像的学科。
图形：能够在人们视觉系统中形成视觉印象的对象称为图形，包括自然景物和人工绘图。
数字图像处理：针对图像进行各种加工以改善图像的效果,为图像分析做准备。
位图：显示屏幕上的矩形阵列的0,1表示。
图形：计算机图形学的研究对象，能在人的视觉系统中产生视觉印象的客观对象，包括自然景物、拍摄到的图片、用数学方法描述的图形等等像素：构成屏幕（图像）的最小元素。
分辨率：阴极射线管在水平或垂直方向单位长度上能识别的最大像素个数。
颜色查找表：是一维线性表、其每一项的内容对应一种颜色，其长度由帧缓存单元的位数决定。
作用：在帧缓存单元位数不增加的情况下，具有大范围内挑选颜色的能力；对颜色进行索引光栅扫描式图形显示器（画点设备）：帧缓存（数字设备）+寄存器+DAC（数模转换）+电子枪+光栅显示器（模拟设备）具有N个位面的帧缓存，颜色查找表至少有N位字宽（实际为W，W>N），有2n项，可同时显示2n个颜色（灰度级），总共可以有2w个。
（全色光栅扫描图形显示器/全色帧缓存：三种原色电子枪，每种原色的电子枪有8个位面，组合成224种颜色，帧缓存至少为24位，每组原色配一个颜色查找表）显卡作用：根据CPU提供的指令和有关数据将程序运行过程和结果进行相应处理、并转换成显示器能够接受的文字和图形显示信号，通过屏幕显示出来。
虚拟现实系统：由计算机生成的一个实时的三维空间。
虚拟现实系统的3I特性：沉浸（immersion）、交互（interaction）、想象（imagination）第二章：图形标准：图形系统及其相关应用系统中各界面之间进行数据传送和通信的接口标准，以及供图形应用程序调用的子程序功能及其格式标准。
前者称为数据及文件格式标准，后者称为子程序界面标准。
（计算机图形接口（CGI）、计算机图元文件（CGM）、图形核心系统（GKS）、程序员层次交互式图形系统（PHIGS）、基本图形转换规范（IGES）、产品数据模型转换标准（STEP）、计算机图形参考模型（CGRM））图形系统标准的作用：方便不同系统间的数据交换；方便程序移植；硬件隔离，实现图形系统的硬件无关性。
计算机图形学_完整版 ppt课件
输入设备
键盘、鼠标 按钮盒、旋钮 跟踪球、空间球 操作杆 触觉反馈设备 数据手套、数据衣 数字化仪 扫描仪 触摸板 光笔 ……
硬拷贝设备
打印机 喷墨 激光 ……
绘图仪 台式 大型滚动传送式 ……
图形硬件系统组成模块示意图：
或称图形坐标系、用户坐标系、全局坐标系 如在世界坐标系中进行装配
观察坐标系（viewing coordinate）
对场景进行观察所对应的坐标系 对象经变换到该场景的一个二维投影——投影变换
规范化坐标系（normalized coordinate）
可使图形软件与特定输出设备的坐标范围无关 坐标范围：-1～1，或0 ～ 1 等等
在场景中对物体移动、旋转、缩 放、扭曲等，或转换模型坐标系
3D→2D，并对观察区域进行裁 剪和缩放
一种伪变换，对窗口上的最终输 出进行移动、缩放等
三维几何变换
可用4×4矩阵操作统一表示二维和三维几何变换
缩放、旋转、 对称、错切等
平移
投影
整体缩放
基本变换：平移、旋转、缩放
复合变换：可由平移、旋转、缩放和其他变换的矩阵乘积 （合并）形成。
图元的绘制、显示过程
顶点 法向量、颜色、纹理… 像素
图元操作、像素操作 光栅化（扫描转换）
像素信息 帧缓存 显示器
调用底层函数，如 setPixel (x,y)；将当 前像素颜色设定值存 入帧缓存的整数坐标 位置（x,y）处。
图元描述与操作
几何图元由一组顶点（Vertex）描述 这一组顶点可以是一个或是多个。每个顶点信息二维或 三维，使用 2~4 个坐标。顶点信息由位置坐标、颜色 值、法向量、纹理坐标等组成。
【中南大学】计算机图形学习题及答案
计算机图形学作业答案第一章序论第二章图形系统1．什么是图像的分辨率？解答：在水平和垂直方向上每单位长度（如英寸）所包含的像素点的数目。
2．计算在240像素/英寸下640×480图像的大小。
解答：（640/240）×(480/240)或者（8/3）×2英寸。
3．计算有512×512像素的2×2英寸图像的分辨率。
解答：512/2或256像素/英寸。
第三章二维图形生成技术1．一条直线的两个端点是（0，0）和（6，18），计算x从0变到6时y所对应的值，并画出结果。
解答：由于直线的方程没有给出，所以必须找到直线的方程。
下面是寻找直线方程（y ＝mx＋b）的过程。
首先寻找斜率：m ＝⊿y/⊿x ＝（y2－y1）/（x2－x1）＝（18－0）/(6－0) ＝ 3 接着b在y轴的截距可以代入方程y＝3x＋b求出 0＝3（0）＋b。
因此b＝0，所以直线方程为y＝3x。
2．使用斜截式方程画斜率介于0°和45°之间的直线的步骤是什么？解答：（1）计算dx：dx＝x2－x1。
（2）计算dy：dy＝y2－y1。
（3）计算m：m＝dy/dx。
（4）计算b: b＝y1－m×x1（5）设置左下方的端点坐标为（x，y），同时将x end设为x的最大值。
如果dx < 0，则x＝x2、y＝y2和x end＝x1。
如果dx > 0,那么x＝x1、y＝y1和x end＝x2。
（6）测试整条线是否已经画完，如果x > x end就停止。
（7）在当前的（x，y）坐标画一个点。
（8）增加x：x＝x＋1。
（9）根据方程y＝mx＋b计算下一个y值。
（10）转到步骤（6）。
3．请用伪代码程序描述使用斜截式方程画一条斜率介于45°和－45°（即|m|>1）之间的直线所需的步骤。
假设线段的两个端点为（x1，y1）和（x2，y2），且y1<y2int x = x1, y = y1;float x f, m = （y2－y1）/（x2－x1）, b = y1－mx1;setPixel( x, y );/*画一个像素点*/while( y < y2 ) {y++;x f = ( y－b)/m;x = Floor( x f +0.5 );setPixel( x, y );}4．请用伪代码程序描述使用DDA算法扫描转换一条斜率介于－45°和45°（即|m| ≤1）之间的直线所需的步骤。
计算机图形学课件第八章-几何造型简介
32
作业
1．几何造型有哪三种模型？各有什么特点？ 2．分析比较CSG法与B-rep法优缺点。
1973年在英国剑桥大学由I· C· Braid等建成了BUILD系统 1973年日本北海道大学公布了TIPS-1系统 1978年，Shape Data的ROMULUS系统问世 1980年 Evans和Sutherland开始将ROMULUS投放市场
目前市场上已有许多商品化的几何造型系统。
国外： AUTOCAD、CATIA、I - DEAS 、Pro/Engineer、
1
第八章 几何造型简介
8.1 概述 8.1.1 几何造型定义 几何造型是计算机及其图形
工具表示描述物体形状，设计几 何形体，模拟物体动态处理过程 的一门综合技术。包括： 1、曲面造型：B样条曲面，Coons 2、实体造型 3、特征造型：面向制造全过程，实现CAD/CAM集成重要手段 三种造型关键是实体造型，后面重点讨论实体造型。
画、边、点之间的拓扑关系
16
8.3.2 边界表示（B-rep）法
2、形体边界表示法 （1）分层表示 将形体面、边、顶点的信息分别记录，建立层与层 之间的关系，其信息包括几何信息和拓扑信息。 （2）翼边结构 以边为核心来组织形体数据
（3）优缺点 优点：可直接用几何体面、边、点来定义数据， 方便图形绘制。 缺点：数据结构复杂，存储量大。
27
8.3.5 分解表示法（D-rep）
先讨论四叉树再讨论八叉树。 1、四叉树
四叉树处理图形基本思想：假定图形由N ×N个像素构成， 且 N＝ 2m。将图形四等分，划分后可能出现三种情况：
（1）图形不占区域：白色区域，不必再划分；
大一计算机各章知识点总结
大一计算机各章知识点总结大一计算机专业课程涵盖了多个章节和知识点，全面了解和掌握这些知识点对于学生的学业发展至关重要。
以下是大一计算机各章知识点的总结。
第一章：计算机基础知识本章介绍了计算机的定义、发展历史和基本组成部分。
包括计算机硬件、软件、操作系统和网络基础知识等内容。
学生需要了解计算机的基本工作原理和各种硬件设备的功能。
第二章：计算机的数据表示与存储本章主要介绍了计算机中数据的表示和存储方式。
包括二进制、八进制、十进制和十六进制的转换及其在计算机中的应用，还介绍了计算机内存的层次结构和存储器的类型。
第三章：计算机网络与通信本章重点讲解了计算机网络的基本概念和组成，包括局域网、广域网、因特网等网络拓扑结构和协议。
学生需要了解网络通信的基本原理和常见的网络协议如HTTP、TCP/IP等。
第四章：面向对象程序设计本章主要介绍了面向对象的程序设计思想和方法。
学生需要了解类和对象的概念，如何定义类、创建对象以及类与对象之间的关系。
还需要学习如何使用类的继承、封装和多态等特性来设计和实现程序。
第五章：数据结构本章涉及了常见的数据结构和算法，包括线性表、链表、栈、队列、树和图等。
学生需要理解这些数据结构的特点、操作和应用场景，并能够实现相应的算法。
第六章：操作系统本章介绍了常见的操作系统原理和功能，包括进程管理、内存管理、文件系统和输入输出管理等内容。
学生需要理解操作系统的基本原理和常见的操作系统如Windows和Linux的特点。
第七章：数据库原理与应用本章讲解了数据库的基本概念、数据库管理系统和SQL语言。
学生需要了解数据库的设计和管理方法，能够使用SQL语言进行数据库的查询、插入、更新和删除等操作。
第八章：计算机图形学本章主要介绍了计算机图形学的基本原理和常见的图形处理算法。
学生需要了解光栅化、三维几何变换和图形渲染等内容，能够使用图形库实现简单的图形绘制和处理。
第九章：计算机安全与密码学本章讲解了计算机安全的基本概念和密码学的基本算法。
计算机图形学内容整理
计算机图形学第一章计算机图形学概论（4）【计算机图形学定义】计算机图形学是研究计算机图形的表示、生成、处理、显示的学科。
计算机图形学是计算机科学中最为活跃、得到广泛应用的分支之一。
1982年国际标准化组织（ISO）的定义：计算机图形学是研究通过计算机将数据转换为图形，并在专门显示设备上显示的原理、方法和技术的学科。
它是建立在传统的图学理论、应用数学和计算机科学基础上的一门边缘学科。
IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，美国电气及电子工程师学会）定义：Computer graphics is the art or science of producing graphical images with the aid of computer.计算机图形学是借助计算机产生图形影像的一门艺术或科学。
美国的James Foley在其著作中定义：计算机图形学是运用计算机描述、输入、表示、存储、处理（检索/变换/图形运算）、显示、输出图形的一门学科。
【图形和图像】图形（Figure、Graphic）：是构成图像的要素，表示图像中的某一个具体形状。
图形含有几何属性，更强调场景的几何表示，是由场景的几何模型和景物的物理属性共同组成的。
图形主要分为两类：基于线条信息表示；明暗图（Shading）。
图形是指用计算机绘制工具绘制的画面，包括直线、曲线，圆/圆弧，方框等成分。
图形一般按各个成分的参数形式存储，可以对各个成分进行移动、缩放、旋转和扭曲等变换，可以在绘图仪上将各个成分输出。
图像（Image）：绘图、照片、影像的总称。
图像纯指计算机内以位图（Bitmap）形式存在的灰度信息。
图像是由输入设备捕捉的实际场景或以数字化形式存储的任意画面。
图像可以用位图或矢量图形式存储。
数字图像（Digital Image）【计算机图形学的研究对象】图形：能在人的视觉系统中产生视觉印象的客观对象，包括自然景物、拍摄到的图片、用数学方法描述的图形等等。
计算机图形学课件-eighth
计算机图形学的应用领域
01
02
03
04
计算机游戏
游戏中的场景、角色、特效等 都需要用到计算机图形学技术
。
影视特效
电影、电视剧中的特效制作离 不开计算机图形学的支持。
虚拟现实
虚拟现实技术需要计算机图形 学来生成逼真的三维场景。
工业设计
汽车、飞机、家电等产品的设 计都需要用到计算机图形学技
术。
计算机图形学的相关学科
06
计算机动画技术
计算机动画的基本原理
01 02
视觉暂留原理
人眼在观察物体时，当物体消失后，其形象在视网膜上会停留一段时间， 这种现象称为视觉暂留。计算机动画利用这一原理，通过快速连续地显 示静态图像，从而产生动态效果。
动画帧与时间
计算机动画由一系列静态图像帧组成，每一帧代表动画中的一个瞬间。 帧的播放速度决定了动画的流畅度，通常以每秒帧数（fps）来衡量。
计算机科学
计算机图形学是计算机科学的 一个重要分支，与计算机科学 的其他领域有着密切的联系。
数学
计算机图形学中涉及到大量的 数学知识，如线性代数、微积 分、数值分析等。
物理学
计算机图形学中的光照模型、 物体表面的反射和折射等都需 要用到物理学知识。
美学
计算机图形学不仅要求生成的 图形逼真，还要求美观，因此
03
关键帧与中间帧
关键帧是动画中定义物体运动状态的重要帧，而中间帧则是由计算机根
据关键帧自动生成，用于平滑过渡动画效果。
计算机动画的生成方法
1 2
基于物理模型的动画
通过建立物体的物理模型，模拟物体在现实世界 中的运动规律，如重力、碰撞、摩擦等，从而生 成逼真的动画效果。
计算机图形学ppt课件第八章自由曲线曲面
u
u
u
u
§8.1 曲线和曲面的表示
所以 c'(u) [x'(u), y'(u), z'(u)] 矢函数的导矢也 是一个矢函数，因此也有方向和模。u当 0 ,c(u)/ u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢 。
• 曲线的自然参数方程 设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计 算弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s 作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然 参数方程，弧长则称为自然参数。
• Bezier曲线矩阵表示
➢ 三次Bezier曲线
P1
P2
C(u) (1 u)3 p0 3u(1 u)2 p1 3u2 (1 u) p2 u3 p3
1 3 3 1P0
C(u)
[u3,u2 ,u,1]
3Leabharlann 630P1
P(u)
3 3
1
0
0 0
0 0
P2 P3
P0
P3
图8.3 三次Bezier曲线
• 性质
1、端点
P0,0 S(0,0), P0,m S(0,1)
2、边界曲线Pn,0 S(1,0), Pn,m S(1,1)
S(0,v)， S(u,0)， S(1,v)， S(u,1)为四条Bezier 曲线
3、端点的切平面
4、端点的法线方向
5、凸包性
6、几何不变性
7、变差递减性
§8.3 贝叶斯（Bezier）曲面
当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空 间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。
将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量
S u