第二章数学基础
八年级上第二章数学知识点
八年级上第二章数学知识点概述八年级上册第二章是数学知识点较多的一个章节，主要讲解了分式的乘除、分式的加减、分式的化简、分式方程、正比例函数、反比例函数等重要知识点。
这些知识对于学生掌握数学基础知识，尤其是在日常生活中运用数学的过程中非常重要。
一、分式的乘除分式是数学知识的一个重要部分，它在数学中有着广泛的应用。
在乘除分式的运算中，我们需要把分母相乘或相除，然后把分子相乘或相除，最后对结果进行合理化简。
这样可以得到我们所需要的简单分式。
在运算过程中，我们需要注意分母是否为零，以及如何简化分式使得答案更加准确。
二、分式的加减分式的加减是我们在日常生活中应用最多的运算，例如在购物、比价以及账户余额计算等方面都需要运用到分式的加减运算。
在分式的加减中，我们需要首先找到所有的公因数，然后对分子进行化简，最后得到运算结果。
在具体计算的时候，还需要注意分母是否为零的情况。
三、分式的化简分式的化简在求解数学问题时也是非常重要的一个环节。
在化简过程中，我们需要把分子、分母的公因式约掉，从而使得分数的形式简单化。
同时，在化简运算时，还需要注意约分的原则和方法。
四、分式方程分式方程在数学中也是一个非常基础的知识点。
在分式方程中，我们需要把一个分式的值与一个已知的数或其他分数相等，然后通过分式的加减、乘除运算把变量求出来。
在计算分式方程的过程中，我们需要注意多种情况的处理，例如分母为零的情况、公因式处理等。
五、正比例函数和反比例函数正比例函数和反比例函数是八年级上册第二章中的重点内容之一。
这两种函数可以解决很多实际问题，例如距离、体积、面积等计算。
正比例函数的特点是变量之间成正比例关系，而反比例函数的特点是变量之间成反比例关系。
在解决问题的过程中，我们需要首先确定函数的性质，然后运用相应的解题方法，最后得出问题的答案。
综上所述，八年级上册第二章数学知识点是一个十分重要的知识点。
学生应该仔细阅读、认真理解，并在课堂上积极参与讨论，加强对这些知识点的掌握。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结单选题1、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错. 故选：A.2、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<abC．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B3、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0故选：B4、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C5、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误. 故选：C6、若a,b,c∈R，则下列命题为假命题的是（）A．若√a>√b，则a>b B．若a>b，则ac>bcC ．若b >a >0，则1a >1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a >1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确.故选：B.7、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．8、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.， 23,21<<-<<-a b故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B多选题9、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有（ ）A ．2abB ．a 2＋b 2C ．1a ＋1bD ．2ab 答案：BCD分析：利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒∵a ，b ＞0，∴2＝a ＋b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．由ab ≤1，得2ab ≤2，∴2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a+1b =a+b ab =2ab ≥2，C 正确； 2ab ≥2，D 正确．故选：BCD ．10、解关于x 的不等式：ax 2+(2−4a)x −8>0，则下列说法中正确的是（ ）A ．当a =0时，不等式的解集为{x |x >4}B ．当a >0时，不等式的解集为{x|x >4或x <−2a }C ．当a <0时，不等式的解集为{x |−2a <x <4}D ．当a =−12时，不等式的解集为∅ 答案：ABD分析：讨论参数a ，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A ：a =0，则2x −8>0，可得解集为{x |x >4}，正确；B ：a >0，则(ax +2)(x −4)>0，可得解集为{x|x >4或x <−2a }，正确；C ：a <0，当−2a <4时解集为{x |−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x |4<x <−2a }，错误；D ：由C 知：a =−12，即−2a =4，此时无解，正确.11、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ）A ．a 2−b 2≤4B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），且，则c =4 答案：ABD解析：因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0， 再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0，对A ：a 2−b 2≤4等价于b 2−4b +4≥0，显然(b −2)2≥0，故A 正确；对B ：a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ×1b =4，故B 正确；对C ：因为不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，故可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；对D ：因为不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则方程x 2+ax +b −c =0的两根为x 1，x 2，故可得√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 2−4(b −c )=√4c =2√c =4，故可得c =4，故D 正确.故选：ABD .小提示：本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 124x x -=124x x -=分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.13、下列说法正确的是（）A．x+1x(x>0)的最小值是2B．2√x2+2的最小值是√2C．2√x2+4的最小值是2D．2−3x−4x的最小值是2−4√3答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2（当且仅当x=1x，即x=1时取等号），A正确；2√x2+2=√x2+2，因为x2≥0，所以2√x2+2=√x2+2≥√2，B正确；2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2，当且仅当√x2+4=√x2+4，即x2=−3时，等号成立，显然不成立，故C错误；当x=1时，2−3x−4x=2−3−4=−5<2−4√3，D错误.故选:AB.填空题14、若一个直角三角形的面积为4cm2，则此三角形周长的最小值是________cm.答案：4+4√2分析：设两条直角边长分别为xcm、8xcm，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.设两条直角边长分别为xcm、8xcm，则该直角三角形的周长为x+8x +√x2+64x2≥2√x⋅8x+√2√x2⋅64x2=4√2+4(cm)，当且仅当{x=8xx2=64x2x>0时，即当x=2√2时，等号成立. 所以答案是：4√2+4.15、已知正实数x，y满足1x +1y=1，则x+4y最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x，y满足：1x +1y=1，∴x+4y=(x+4y)⋅(1x +1y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx⋅xy=9，当且仅当4yx =xy，即x=2y，x=3，y=32时“=”成立，所以答案是：9.16、若x>−1，则x+3x+1的最小值是___________. 答案：2√3−1分析：由x+3x+1=x+1+3x+1−1，结合基本不等式即可.因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x+1=3x+1即x=√3−1时，取等号成立.故x+3x+1的最小值为2√3−1，所以答案是：2√3−1解答题17、某旅游公司在相距为100km的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本）（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y=6000−15v−24000v(0<v⩽50)，代入v=30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，因为游船的燃料费用为每小时k·v2元，依题意k·202=60，则k=320．所以y=6000−(320v2·100v+240·100v)=6000−15v−24000v(0<v⩽50)．v=30km/ℎ时，y=4750元；（2）y=6000−15v−24000v ⩽6000−2√15v×24000v=4800，当且仅当15v=24000v，即v=40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．18、某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？答案：每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）分析：由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.设该旅店某晚的收入为y元，则y=(50+10x)(200−10x),x∈N∗由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600即10000+1500x−100x2>12600，即x2−15x+26<0，解得：2<x<13，且x∈N∗所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）。
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
第二章 数学基础
2.1.3 位姿描述
要完全描述刚体B在空间的位姿,通常将物体B与某一坐 标系{B}相固接.{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点 上,如质心等.相对参考系{A},坐标系{B}的原点位置和坐 标轴的方位,分别由位置矢量和旋转矩阵描述.这样,刚体 B的位姿可由坐标系{B}来描述,即有:
{B } = {
例2.2 试用齐次变换方法求解例2.1中的 P
A
3
2.3.2 平移齐次坐标变换
{B}分别沿{A}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平 移齐次变换矩阵写为:
1 0 Trans ( a , b , c ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
n
o
θi
a
2.1 位置和姿态的表示
2.1.1 位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
A
P = [ px
py
p z ]T
图2.1 位置表示
2.1.2 方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此 物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相 对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素,不改变特性. 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 3 7 1 4 2 3 2 1 6 0 9 1
[例]: 例
v v v v V = 3i + 4 j + 5k
可以表示为： 可以表示为： V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
数学手册(高清版)
数学手册（高清版）第一章：数学基础数学是研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，它是一门抽象的科学，同时也是解决实际问题的工具。
数学基础是数学大厦的基石，是理解和应用更高级数学概念的前提。
1.1 数的概念数是数学中最基本的概念，它包括自然数、整数、有理数、无理数和复数等。
自然数是我们最早接触的数，它用于计数和排序。
整数是自然数和它们的相反数的集合。
有理数是可以表示为两个整数比例的数，包括整数和分数。
无理数是不能表示为两个整数比例的数，如π和根号2。
复数是实数和虚数的组合，它用于解决一些无法用实数表示的问题。
1.2 代数代数是研究数、符号和它们之间关系的数学分支。
代数包括方程、不等式、函数和多项式等内容。
方程是表示两个表达式相等的数学句子，如2x + 3 = 7。
不等式是表示两个表达式大小关系的数学句子，如x > 5。
函数是一种特殊的映射，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素。
多项式是代数表达式的一种，它由常数项、变量和它们的乘积组成。
1.3 几何几何是研究空间和图形的数学分支。
几何包括平面几何、立体几何和解析几何等内容。
平面几何研究平面上的图形和它们的性质，如点、线、三角形和圆等。
立体几何研究三维空间中的图形和它们的性质，如立方体、球体和圆锥等。
解析几何将代数和几何结合起来，研究图形的代数性质和几何性质之间的关系。
数学基础是数学大厦的基石，是理解和应用更高级数学概念的前提。
通过对数、代数和几何等基础知识的掌握，我们可以更好地理解和应用数学，解决实际问题。
第二章：数学在生活中的应用数学不仅仅是学术研究的一部分，它更是我们日常生活中不可或缺的工具。
数学在生活中的应用无处不在，从简单的购物计算到复杂的金融投资，从建筑设计的精确测量到天气预测的模型建立，数学都发挥着至关重要的作用。
2.1 日常生活中的数学在日常生活中，我们经常需要用到数学。
比如，购物时我们需要计算总价，做饭时需要按比例调整食材的用量，旅行时需要计算距离和时间。
第2章 数学力学基础
（3）散度：n 阶张量场的散度是一个n 1阶张量场，
如 Aij xk
Bijk
它对任一指标的散度为对应张量梯度关于该指标的缩并。
如A 的梯度的分量是
A i x j
Bij，缩并 Bii
Ai xi
div A
6、例：
梯度 （1）
A
Ai
xi
；
（2）
是拉普拉斯算子
二、张量与张量场
1、坐标变换 －旧系k 新系k的旋转变换, ui 、uj 都省去
M
变换系数 ij 与逆变换系数 ij ji , ij cos
x1
约定求和： x2
11x1 12 x2 13 x3 21x1 22 x2 23 x3
奥斯特罗格拉德斯基－高斯公式：
divadv a nd ,
V
斯托克斯公式：
通量W
n a
M
d
rota n d L a ds, 环量I
L a
ds M
r
o
4、势量场、管量场、调和场
（1）若a grad, 则 a 为势量场 为a 的势函数 充要条件rota 0
第二章 数学力学基础
一、场——梯度、散度、旋度
1、场：是一个与空间区域相关联的概念，若在空间区域V上分布着量A，
便称其为量A的场，它可以是数量场或矢量场
数量场 x,y,z,t的等量面：t 时刻＝const曲面 填满整个域V
矢量场ax, y, z,t的矢线方程：a d r 0或 dx dy dz a填满整个域 V r 矢径
七年级下册数学第二章知识点讲解
七年级下册数学第二章知识点讲解第二章：整数与代数式本章主要内容是整数和代数式的内容。
整数是数学中的基础，代数式则是建立在整数的基础上的。
学好整数和代数式，有助于我们更好地理解数学，从而更好地解决实际问题。
本章将就整数和代数式的概念、性质、四则运算和应用进行全面介绍。
一、整数概念整数是由零、正整数和负整数组成的数集。
其中正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数。
0既不是正整数，也不是负整数，但是0仍然是整数。
在整数中，负整数的绝对值比正整数小，因此，负整数的大小顺序是0，-1，-2，-3，...。
正整数的大小顺序是0，1，2，3，...。
正整数和负整数之间是对称的，例如-3和3之间相差6。
二、整数性质1. 整数加减法整数的加法和减法遵守以下规则：（1）整数加法的交换律和结合律。
即对于任何整数a、b、c，满足a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
（2）整数减法的对称律和相反数。
对于任何整数a和b，有a-b=a+(-b)，即a与-b的和是a的差，(-a)-b=-(a+b)，即两个负数的和是它们的相反数的和。
2. 整数乘法整数乘法有以下规律：（1）乘法的交换律和结合律。
即对于任何整数a、b、c，满足a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
（2）乘法的分配律。
对于任何整数a、b和c，满足a×(b+c)=a×b+a×c，(a+b)×c=a×c+b×c。
（3）零和整数的乘积为0。
对于任何整数a，有0×a=a×0=0。
3. 整数除法整数除法有以下性质：（1）整数相除的商和余数唯一。
即对于任意整数a和b，必存在唯一的一对整数q和r,满足a=b×q+r,0≤r<|b|。
（2）相反数相等。
对于任何整数a，有(-a)÷a=-1，a÷a=1，(-a)÷(-a)=1。
新高一数学第二章知识点
新高一数学第二章知识点在新高一的数学学习中，第二章是一个重要的章节，主要涉及数学的基础知识和技巧。
本文将为您详细介绍新高一数学第二章的知识点。
一、集合与运算1. 集合的概念：集合是由一些确定的对象构成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法和描述法。
3. 集合的运算：并集、交集、差集和补集。
4. 集合的基本性质：幂集、子集、空集等。
二、函数与映射1. 函数的概念：函数是一种对应关系，每一个自变量对应唯一的函数值。
2. 函数的表示方法：用公式、图像、表格等方式表示函数。
3. 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等。
4. 函数之间的运算：加减乘除、复合函数等。
5. 映射的概念：将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
三、数列与数列极限1. 数列的概念：是按照一定规律排列的一系列数。
2. 数列的通项与前n项和：用递推公式表示数列的通项，用求和公式表示数列的前n项和。
3. 数列的极限：数列随着项数的增加而趋于某个确定的值，称为数列的极限。
4. 数列的收敛性与发散性：如果数列的极限存在，则数列收敛；如果数列的极限不存在，则数列发散。
四、三角函数与解三角形1. 三角函数的概念：正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质。
2. 三角函数的图像和周期：根据三角函数的周期和幅值可以绘制三角函数的图像。
3. 解三角形的基本原理：根据已知条件和三角函数的定义可以解出三角形的边长和角度。
五、空间几何1. 空间几何基本概念：点、直线、平面、向量等的定义和性质。
2. 空间几何的性质与定理：包括直线垂直、平行、点与直线的位置关系等。
3. 空间几何的运算：向量的加法、减法、数量积和向量积的定义和性质。
总结：新高一数学第二章主要讲解了集合与运算、函数与映射、数列与数列极限、三角函数与解三角形以及空间几何等知识点。
熟练掌握这些知识点，对于后续数学学习的深入和应用具有重要的基础作用。
希望同学们认真学习并练习，掌握好这些知识点，为日后的学习打下坚实的基础。
高等数学基础第二章
第二章 极限与连续
1.极限的概念 2.极限的运算 3.两个重要极限 4.函数的连续性
第一节 极限的概念
一、数列的极限
首先看下面三个无穷数列 a n
（1）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
…
1 n
…
（2） 0, 12，32，43， ..， .nn1，…
（3）
1,1,1, 1 2 4 8 16
f
(x)
1
2 x
x0 0 x2 x2
在x=0和x=2处的极限是否存在(图2-7为函数图像)。
解 在x=0处左极限
lim f(x)li( m x 1 ) 1
x 0
x 0
右极限 lim f(x)lim 11
x 0
x 0
可见，左、右极限存在且相等，所以，极限 limf x 1 x1
在x=2处左极限
（1）
1 lxi mx
00
（2） limqx 0 q 1 x
（3） limCC （C是任意常数） x
x x0
f x
我们讨论当 x无限趋近于1 时，函数 fx2x1的变化趋势。为此列出表2-2， 并画出函数 fx2x1的图象（如图2-6）。
f(x)2x1 f(x)2x1
f(x)2x1 3
lim (2x1)3
可约去不为零的因子 x2 ，所以
lim x 2 lim x 2 lim 1 1 x 2x 2 4x 2(x 2 )x ( 2 ) x 2x 24
例4 求
3x2 5x lim x x2 1
解 当 x 时，分子、分母都趋向无穷大，这类极限称为 型未定式，
当然商的极限法则不适用，通常需要把式子变形。用分子、分母的
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第二章 数学基础
数学是大自然的语言，数学是科 学的语言 语言是大自然的产物， 语言学是科学的一个分支
两种方法的区别
缺乏数学基础的方法
• 打补丁的经验方法adhoc方法
概率论
为什么将概率论作为数学基础的 重点？
• 统计语言处理技术已经成为主流 • 统计语言处理的步骤
– 收集自然语言词汇(或者其他语言单位)的分布 情况 – 根据这些分布情况进行统计推导 – 最典型的例子：构造统计语言模型
常用分布
• 二元分布(Binomial distribution) • 泊松分布(Poisson distribution) • 正态分布 (高斯分布Gaussian distribution)(Normdistribution)
• 离散型 • 随机试验的结果只有两个输出 各次随机试验相互 独立 • n 次随机试验,成功的次数为 r,每次试验成功的概 率为 p: • 例
• 中国科学家冯志伟计算12366个汉字的信息 熵为9.65比特，英语为4.16比特
– 汉字的信息量最大，世界冠军 – 表示一个汉字需要2个字节 – 在信息编码、存储和传输等方面汉字处于不利 的地位
信息时代对于汉字的重新认识
• 中文信息处理发展早期
– 汉字低劣论
• 汉字是中国文化的毒癌 • 汉字不灭,中国必亡 • 汉语拉丁化研究
• 先验概率(prior probability) • 后验概率(posterior probability)
联合概率
• P(A,B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) • P(A,B,C,D…) = P(A)P(B|A)P(C|A,B)P(D|A,B,C..)
– 例
• P(哈尔滨/工业/大学)=P(哈尔滨)P(工业|哈尔 滨)P(大学|哈尔滨/工业)
概率函数
• 样本空间 是一个随机试验所有可能的结 果的集合 • 事件 A 是 的子集 • 概率函数 (或者概率分布) •例
概率函数 (或者概率分布)
例
• 例1 现代汉语字频统计。由北京航空学院和 国家语言文字工作委员会于1985年完成。 从1977年至1982年间社会科学和自然科学 的规模为一千一百零八万余字的语料中 利 用计算机进行统计得到汉字的字频， 前20 个最高频汉字列出如表所示。
– 在英语语料库中，包含单词“the”的语句占语料库中 语句总数的比例近似地服从二项分布 – 某英语动词在英语语料库中作为及物动词的出现也近 似地服从二项分布
泊松分布(Poisson distribution)
• 离散型 • 一个参数lamda • 在某一固定大小的范围(或者时间段)内，某 ( ) 种特定类型事件的分布
• 贝叶斯决策
– 假设我们有两个模型M1和M2 更好(更加符合实际的数据) 我们需要决定哪一个
信息论
集合论
函数与关系
微积分
粗糙集
......
– 例
• 在某一固定大小的范围(或者时间段)内,某种特定类 型事件的分布, 例如:在一个篇幅内出现的打字错误, 在一页内的某个词的分布等等
正态分布 (高斯分布Gaussian distribution)(Normal distribution)
• 连续型 • 均值 µ 与标准差 σ •例
– 汉字的笔画数与该笔画对应的汉字的个数符合 正态分布
两种方法
• 有参数的方法(Parametric)(与分布有关) • 无参数的方法(Non-parametric)(与分布无 关)
有参数的方法(Parametric)(与分 布有关)
• 假设某种语言现象服从我们业已熟知的某 种分布， 如二元分布，正态分布，泊松分 布等等 • 我们已有明确的概率模型，现在需要确定 该概率分布的一些参数 • 常用分布
• 汉语早已克服了汉字输入输出的障碍 • 随着网络时代的发展,网络上的中文信息量已经居于第二的位置 • 汉字优越论
– 安子介
• 汉字是中国的第五大发明 • 我敢断言，到了21世纪，汉字必然成为世界语
• 我们的认识
– 汉字是世界上硕果仅存的象形文字(古埃及圣书字,两河流域楔形文字), 对 汉文化的传承和发展做出了巨大贡献.既有固有的缺点,也有优越性,将是 一种长期的客观存在, 随着中国国力的增强,汉字的影响力逐渐扩大,作为 有志于从事中文语言研究的同学们来说 应该积极吸取西文计算语言学研 究的优秀成果,丰富和完善汉语的计算语言学研究,前途光明
无参数的方法(Nonparametric)(与分布无关)
• 对数据的分布没有预先的分布假设 • 仅仅通过最大相似度估计来估算P • 先验知识比较少,但需要大规模的训练数据
比较最大相关度来选择模型
贝叶斯统计
• 贝叶斯统计的实质是可信度数量化 • 可信度是这样计算出来的
– 有先验的知识 – 根据数据应用贝叶斯定理更新知识 – 先验的概率分布P(M) – 当新的数据到来后,根据贝叶斯公式计算P(M|D). – P(M|D)成为新的概率模型
• 概率理论能够帮助我们找到这样的模型
概率论基础
• • • • • 概念 条件概率 联合概率 独立 贝叶斯定理(Bayes’ Theorem) • • • • 随机变量 数学期望 方差 构造语言的模型P(T) 为估算P，我们必须看 看 在大规模真实文本 中词的 分布状况
概念
• 概率论是研究随机现象的数学分支 • 所谓随机现象是指这样的一类现象，当人 们观察它时， 所得到的观察结果不是确定 的，而是许许多多可能结果中的一种 • 概率（Probability）则是衡量该事件发生的 可能性的量度 • 概率函数
构造语言的模型P(T) 为估算P， 我们必须看看 在大规模真实文本 中词的 分布状况
• 基于频度的统计 • 贝叶斯统计
基于频度的统计
• 基本思想 • 两种方法 • 比较最大相关度来选择模型
基本思想
• 相关频度(频率):事件 u 发生的次数与所有 事件总次数的比率
– C(u) 在N次实验中u 发生的次数 – 当n-> infinitive great 相关频度逐渐稳定 在某一个值上：即该事件的概率估计
条件概率
• 对于随机试验的结果有部分知识(或者约束 条件) • 条件概率(Conditional probability)
条件概率(Conditional probability)
• 在我们已知B为真的条件下A 为真的概率可 以表示为P(A|B)
– 例
• P(大学)=0.0003 • P(大学|哈尔滨/工业)=？
独立
• 两个事件 A 与 B 相互独立如果 P(A) =P(A|B)P(A,B)=P(A)*P(B)
– 例
• “非”和“典”
• 两个事件 A 与 B 是在条件C下相互条件独 立如果: P(A|C) = P(A|B,C)
贝叶斯定理(Bayes’ Theorem)
• 由于 • 因此 • Bayes’Theorem使我们能够交换事件之间的 条件依赖的顺序 • 举例：音字转换
随机变量
• 随机变量（Random variables）(RV)使我们 能够讨论与样本空间相关的数值的概率值 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量
数学期望
• 随机变量的均值
方差
• 随机变量取值是否比较一致或者有很大差 异的一个量度
– 例
• 发现新词
• σ 是标准差（standard deviation），简称 SD
• 字频的启示
字频的启示
• 频率较高的字-没有实在意义的虚字，在实 际应用中， 例如信息检索，我们要过滤这 样无意义的高频虚词，称为 Stopword • 字频（词频）对于词典编撰工作有指导意 义 • 词频甚至反映了国家政策的变化 • 汉字的信息量大 • 信息时代对于汉字的重新认识
汉字的信息量大