第12章 联立方程估计与模拟

中的前3个行为方程构成联立方程系统：
CS t 0 1 Pt 2 Pt 1 3 (Wt p Wt g ) u1t (消 费) ( 投 资) I t 0 1 Pt 2 Pt 1 3 K t 1 u2t p (私 人 工 资 ) Wt 0 1Yt 2Yt 1 3 At u3t

0 δ1 u1 0 δ2 u2 δ u Xk k k
(12.2.1)
其中：yi 表示第 i 个方程的 T 维因变量向量，T 是样本观测值个 数，Xi 表示第 i 个方程的 Tki 阶解释变量矩阵，如果含有常数 项，则 Xi 的第一列全为1，ki 表示第 i 个方程的解释变量个数 (包含常数项)，i 表示第 i 个方程的 ki 维系数向量，i=1, 2, … , k。
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2. 加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS) 这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的
异方差性，方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未 加权的系统参数的估计值。如果方程组没有联立约束，该方法
与加权单方程最小二乘法产生相同的结果。 加权最小二乘法的估计值为：
规则2
系统方程可以包含自回归误差项（注意不能有 MA、 SAR 或 SMA误 差项），每一个 AR 项必须伴随系数说明（用方括号，等号，系数，逗 号），例如：
cs=c(1)+c(2)*gdp+[ar(1)=c(3), ar(2)=c(4)]
规则3
如果方程没有未知参数，则该方程就是恒等，即定义方程，系统1 1 1 ˆ ˆ ˆ ΔWLS ( X V X ) X V Y
(12.2.10)
ˆ 其中， V
V 中的元素 i2 的估计值 sii 为
diags11 , s22 , , skk I T 是 V 的一个一致估计量。
ˆ ˆ y i X i δi , LS y i X i δ i , LS T
(12.2.5)
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4. 在更一般的水平下，k 个方程间的残差存在异方差、 同期相关的同时，每个方程的残差还存在自相关。此时残 差分块协方差矩阵应写成
11 Ω11 12 Ω12 21 Ω21 22 Ω22 V Σ Ω Ω k 1 k 1 k 2 Ωk 2
t =1, 2, , T （12.1.3）
待估计出未知参数后，与式（12.1.2）中的后3个恒等方 程一起组成联立方程模型。
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在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量 仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系
统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变 量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，
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这里使用了 EViews 缺省系数如 c(10)、 c(20)等等，当然 可以使用其它系数向量，但应事先声明，方法是单击主菜单
上Object/New Object/Martrix-Vector-Coef/Coeffient Vector。 在说明方程时有一些规则：
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规则1
方程组中，变量和系数可以是非线性的。可以通过在不同方程组中 使用相同的系数对系数进行约束。
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KleinⅠ模型框图
政府工资 WG 政府支出 G
消费
CS
收入
Y
投资
I
私人工资
WP
企业利润
P
资本存量
K
间接税收 T 注：方框内是行为方程内生变量，椭圆内是恒等方程内生变量，
粗体是外生变量。
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前3个方程称为行为方程，后面的3个方程称为恒等方程。 这是一个简单描述宏观经济的联立方程模型。式（12.1.2）
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建立和说明联立方程系统
为了估计联立方程系统参数，首先应建立一个系统对 象并说明方程系统。单击Object/New Object/system或者在
命令窗口输入 system，系统对象窗口就会出现，如果是第 一次建立系统，窗口是空白的，在指定窗口用文本方式输
入方程，当然也包含了工具变量和参数初值。 使用标准的EViews表达式用公式形式输入方程，系统 中的方程应该是带有未知参数和隐含误差项的行为方程。 例12.1含有三个行为方程的系统是这样的：
寻找未知参数向量 的估计量。
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例12.1
克莱因联立方程系统
克莱因（Lawrence Robert Klein ）于1950年建立的、
旨在分析美国在两次世界大战之间的经济发展的小型宏观 计量经济模型。模型规模虽小，但在宏观计量经济模型的
发展史上占有重要的地位。以后的美国宏观计量经济模型 大都是在此模型的基础上扩充、改进和发展起来的。以至
V Euu 2 I k I T
(12.2.3)
其中：算子 表示克罗内克积 (kronecker product)，简称叉 积， 2 是系统残差的方差。
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2. k个方程间的残差存在异方差，但是不存在同期相关
时，用表示第i个方程残差的方差，i=1, 2, …, k，此时的矩阵 形式为
进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法。
虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方 法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定
了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如 果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但
如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数 估计就会“传播”给系统中的其它方程。
在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程 系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，
外生变量与滞后内生变量又被统称为前定变量。
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§12.2 联立方程系统的估计方法
EViews 提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是单 方程估计方法，使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方
程分别进行估计。第二类方法是系统估计方法，同时估计系 统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数
生变量的已知方程组称为“模型”(model) ，给定了联立方程 模型中外生变量的信息就可以使用联立方程模型对内生变量进
行模拟、评价和预测。 一般的联立方程系统形式是
f yt , z t , Δ ut
t =1, 2, , T (12.1.1)
其中：yt 是内生变量向量，zt 是外生变量向量，ut 是一个可能 存在序列相关的扰动项向量，T 表示样本容量。估计的任务是
Kt Kt 1 I t
（资本存量） （12.1.2） 此模型包含3个行为方程，1个定义方程，2个会计方程。式中变量： 6个内生变量： 4个外生变量： Y：收入（GDP中除去净出口）； G：政府非工资支出； CS：消费； Wg ：政府工资； I：私人国内总投资； T：间接税收； Wp ：私人工资； Time：时间趋势； P：企业利润； K：资本存量
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联立方程系统残差协方差矩阵的形式
下面的讨论是以线性方程所组成的平衡系统为对象的，但 是这些分析也适合于包含非线性方程的系统。若一个系统，含 有 k 个方程，用分块矩阵形式表示如下：
y1 X 1 0 y2 0 X 2 y 0 0 k
I t 0 1Pt 2 Pt 1 3 Kt 1 u2t
（消费）
（投资） （私人工资）
（均衡需求） （企业利润）
Wt p 0 1Yt 2Yt 1 3Timet u3t Yt Ct I t Gt
Pt Yt Wt p Tt
于萨缪尔森认为，“美国的许多模型，剥到当中，发现都 有一个小的Klein模型”。所以，对该模型 的了解与分析
对于了解西方宏观计量经济模型是重要的。 Klein模型是以美国两次世界大战之间的1920-1941年 的年度数据为样本建立的。
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KleinⅠ模型：
CSt 0 1Pt 2 Pt 1 3 (Wt p Wt g ) u1t
之间的相互依存关系。在估计了联立方程组的参数后就可 以利用不同的解释变量值对被解释变量进行模拟和预测。
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12.1 联立方程系统概述
本章将包含一组未知参数，并且变量之间存在着反馈关 系的联立方程组称为“系统”(systems) ，可以利用12.2节介绍
的多种估计方法求解未知参数。本章的12.3节中将一组描述内
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式(12.2.1)可以简单地表示为
Y XΔ u
其中：设 m k i ，Δ δ1
i 1 k
δ2
是m维向量。 δk
(12.2.2)
联立方程系统残差的分块协方差矩阵的 kT×kT 方阵 V 大体有如下 4 种形式。本章的估计方法都是在这些情形的基 础上进行讨论的。 1. 在古典线性回归的标准假设下，系统残差的分块协方 差矩阵是 kT×kT 的方阵 V
相关的，那么，对于i j，则ij = 0，如果k个方程间的残 差是异方差且同期相关的，则有
11 I T 12 I T 1k I T 21 I T 22 I T 2 k I T V Σ IT I I I k2 T kk T k1 T

1k Ω1k 2 k Ω2 k
(12.2.6) kk Ωkk
其中：ij 是第 i 个方程残差和第 j 个方程残差的自相关矩 阵。
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12.2.1 单方程估计方法
1.普通最小二乘法（Ordinary Least Squares , OLS） 这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的
第十二章 联立方程模型的估计与模拟
本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括 最小二乘法 LS 、加权最小二乘法 WLS 、似乎不相关回归 法 SUR 、二阶段最小二乘法 TSLS 、加权二阶段最小二乘