微积分下学期末试卷及答案.
电子科技大学微积分试题及答案
电子科技大学期末微积分一、选择题(每题2分)1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）B 、（0，lg2]C 、（10,100）D 、（1,2）2、x=-1是函数x ƒ()=()221x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点3、试求02lim x x→A 、-14B 、0C 、1D 、∞ 4、若1y xx y+=，求y '等于（） A 、22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y-- D 、22x yx y +-5、曲线221xy x =-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、36、下列函数中，那个不是映射（）A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈B 、221y x =-+C 、2y x =D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、__________2、、2(1))lim ()1x n xf x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________3、21lim51x x bx ax→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）1、221x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、limββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin xy x=求函数 的导数2、21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求4、20tan sin limsin x x xx x→-求5、计算 6、21lim (cos )x x x +→计算 五、应用题1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）2、描绘函数21y x x=+的图形（12分）六、证明题（每题6分）1、用极限的定义证明：设01lim (),lim()x x f x A f A x+→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数一、 选择题1、C2、C3、A4、B5、D6、B 二、填空题1、0x =2、6,7a b ==-3、184、35、20x y +-= 三、判断题1、√2、×3、√4、×5、× 四、计算题 1、1sin1sin1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )xxx xx xy x ee x x x x x x x x x x x'='='⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=-+（（2、22()112(arctan )121arctan dy f x dxxx x dx x xxdx='=+-++= 3、 解：2222)2)222302323(23)(23(22)(26)(23x y xy y y x yy x y y x y x y yy y x y--'+'=-∴'=--'----'∴''=-4、解：2223000tan sin ,1cos 21tan (1cos )12lim lim sin 2x x x xx x x xx x x x xx x →→→--∴==当时，原式=5、解：65232222261)61116116(1)166arctan 6arctanx t dx t tt t t t t tt t C C===+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰令原式（6、 解：2201ln cos 01limln cos 20200012lim 1lim ln cos ln cos lim 1(sin )cos lim 2tan 1lim 22x xx x xx x x x x e exx xx x x xx x e++→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：原式五、应用题1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)41(502)410250225L x R x C x axx x x x ax x a x L x x aaL x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-='=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值2、 解：()()2300,01202201D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-'==''=+''==-，间断点为令则令则渐进线：32lim lim 001lim x x x y y y x y y x y x x→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线是的铅直渐近线无斜渐近线图象六、证明题1、 证明：lim ()0,0()11101()1lim ()x x f x AM x M f x A x MM M x f A x f A xεεξε→∞→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即2、 证明：[]()1()0,1(0)10,(1)100,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又则在上单调递增方程在（）内有且仅有一个实根Chapter 33.2 Solution:for, 10=a , 4/2πj ea --= , 4/2πj ea = , 3/42πj ea --=, 3/42πj ea =n N jk k N k e a n x )/2(][π∑>=<=n j n j n j n j e a e a e a e a a )5/8(4)5/8(4)5/4(2)5/4(20ππππ----++++=n j j n j j n j j n j j e e e e e e e e )5/8(3/)5/8(3/)5/4(4/)5/4(4/221ππππππππ----++++= )358cos(4)454cos(21ππππ++++=n n)6558sin(4)4354sin(21ππππ++++=n n3.3 Solution: for the period of )32cos(t πis 3=T , the period of )35sin(t πis 6=T so the period of )(t x is 6 , i.e. 3/6/20ππ==w )35sin(4)32cos(2)(t t t x ππ++=)5sin(4)2cos(21200t w t w ++=)(2)(21200005522t w j t w j t w j t w j e e j e e ----++=then, 20=a , 2122==-a a , j a 25=-, j a 25-=3.5 Solution:(1). Because )1()1()(112-+-=t x t x t x , then )(2t x has the same period as )(1t x ,that is 12T T =, 12w w =(2). dt e t x t x dt e t x b t jkw t jkw k 12))1()1(()(112-∞∞--∞∞--+-==⎰⎰dt e t x dt et x t jkw tjkw 11)1()1(11-∞∞--∞∞--+-=⎰⎰111)(jkw k k jkw k jkw k e a a e a ea -----+=+=3.8 Solution:kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==while:)(t x is real and odd, then 00=a , k k a a --=2=T , then ππ==2/20wand0=k a for 1>kso kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==t jw t jw e a e a a 00110++=--)sin(2)(11t a e ea t j tj πππ=-=-for12)(2121212120220==++=-⎰a a a a dt t x∴ 2/21±=a∴)sin(2)(t t x π±=3.15 Solution:kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==∴ t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞-∞==∴dt e jkw H t y Ta t jkw Tk 0)()(10-⎰=for⎪⎩⎪⎨⎧>≤=100, (0100),.......1)(w w jw H∴if 0=k a , it needs 1000>kwthat is 12100,........1006/2>>k kππand k is integer, so 8>K3.22 Solution:021)(1110===⎰⎰-tdt dt t x Ta Tdt te dt te dt e t x T a t jk t jk tjkw T k ππ-----⎰⎰⎰===1122112121)(10t jk tde jk ππ--⎰-=1121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=----111121ππππjk e te jk t jk tjk⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=--ππππππjk e e e e jk jk jk jk jk )()(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=ππππjk k k jk )sin(2)cos(221[]πππππk jk k j k jk k)1()cos()cos(221-==-=0............≠k 3.35 Solution:kt jw k k e a t x 0)(∑∞-∞==∴ t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞-∞==∴dt e jkw H t y Ta t jkw Tk 0)()(10-⎰=for⎩⎨⎧≥=otherwise w jw H ,.......0250,.......1)(∴if 0=k a , it needs 2500<kwthat is 14250,........2507/2<<k kππand k is integer, so 17....18≤<k k 或3.40 Solution:According to the property of fourier series: (a). )2cos(2)cos(20000000t Tka t kw a e a ea a k k t jkw k t jkw k k π==+='- (b). Because 2)()()}({t x t x t x E v -+=}{2k v k k k a E a a a =+='-(c). Because 2)(*)()}({t x t x t x R e +=2*kk k a a a -+='(d). k k k a Tjka jkw a 220)2()(π=='(e). first, the period of )13(-t x is 3T T ='then 3)(1)13(131213120dmem x T dt e t x T a m T jk T t T jk T k +'--'-'-'⎰⎰'=-'='ππTjkk m Tjk T T jk T jk m T jk T ea dm em x T e dm e e m x T πππππ221122211)(1)(1---------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰ Extra problems:∑∞-∞=-=k kT t t x )()(δ, π=T (1). Consider )(t y , when )(jw H is(2). Consider )(t y , when )(jw H isSolution:∑∞-∞=-=k kT t t x )()(δ ↔ π11=T , 220==T w π (1). kt j k k t jkw k k e k j H a e jkw H a t y 20)2(1)()(0∑∑∞-∞=∞-∞===π π2= (for k can only has value 0)(2). kt j k k t jkw k k e k j H a e jkw H a t y 20)2(1)()(0∑∑∞-∞=∞-∞===πππt e e t j t j 2cos 2)(122=+=- (for k can only has value –1 and 1)。
微积分(下册)期末试卷与答案
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年A 卷1、已知22(,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x 0 21 ___________.π=⎰∞+∞--dx e x 2 3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ).(A) 在原点无定义(B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >>(C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n n a 收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z =+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1212dxedy yyyx.16、计算二重积分22()Dx y dxdy+⎰⎰，其中D是由y轴及圆周221x y+=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x 31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间..根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z zx y x y ∂∂+=∂∂.22、若∑=12n n u 与∑∞=12n n v 都收敛,则∑∞=+12)(n n n v u 收敛.答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b= 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
浙江大学05-06夏微积分三期末试卷有答案-5页精选文档
浙江大学2019–2019学年夏季学期 《 微积分Ⅲ》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷考试时间：2007年7月1日 所需时间：120 分钟考生姓名： _____学号： 专业： ________(1) 设l 为椭圆1422=+y x 的一周，其全长为a ，则平面第一型（即对弧长的）曲线积分=-⎰cds y x 2)2(.(2) 已知()()y d e xex d eye x yyx++---为某二元函数),(y x u 的全微分，且.1)0,0(=u 则=),(y x u .（3）设),,(z y x u u =具有二阶连续偏导数，且满足,222222222z y x zu y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂ S 为球面)0(2222>+++a a z y x 的外侧，则第二类曲面积分=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰Sy x z ux z y u z y x u d d d d d d .（4）设)(y ϕ具有连续的一阶导数，,1)1(=ϕ l 为自点(0, 0)沿曲线x x y 232-=到点(1, 1)的有向弧，则平面第二型曲线积分.d ))((d ))(2(2=-'+-⎰ly y y xx y y x ϕϕ二、选择题（每小题5分, 每小题所给4个选项中只有1个是符合要求的, 请将所选代码填入【 】中）.(5) 设 }0|),{(22>+=y x y x D ，l 是D 内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有 (A)0)()(22=+++-⎰l y x dy y x dx y x (B) 0)()(22≠+++-⎰ly x dyy x dx y x (C)0)d d (44=+-⎰ly x x y y x xy . (D) .0)d d (44≠+-⎰ly x x y y x xy 【 】 (6) 设S 为上半球面),0(,0,2222>≥+++a z a z y x 下列第一型曲面积分或第二型曲面积分不为0的是 (A).d d ⎰⎰上侧S z y x (B)⎰⎰上侧S z y y .d d 2(C)⎰⎰SS y .d (D) ⎰⎰SS y x .d 【 】(7) 设),(y x P 与),(y x Q 在平面区域D 上连续且有连续的一阶偏导数，则“当yPx Q ∂∂=∂∂ D y x ∈),(”是“对于D 内的任意一条逐段光滑的闭曲线l , 0d ),(d ),(=+⎰ly y x Q x y x P ”的(A) 充分条件而非必要条件. (B) 必要条件而非充分条件.(C) 充分必要条件. (D)既非充分有非必要条件. 【 】 (8) 设空间区域}0,0,0,9|),,{(222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ，函数)(x f 为正值的连续函数，则.)()()()(3)(2)(=++++⎰⎰⎰ΩdV z f y f x f z f y f x f(A) .29π (B) .9π (C) .227π (D) .27π 【 】三、解答题（以下各小题每题10分，解题时应写出必要的解题过程）.(9) 设Ω是由曲面)(2122y x z +=与8=z 所围成的空间有界闭区域，求⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22. (10) 设S 是锥面)10(22≤≤+=z y x z 的上侧，求.d d 3d d 2d d ⎰⎰++Sy x z x z y z y x(11) 设L 为空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=xy x yx z 22222，自z 轴正向往负向看，L 是逆时针的，求.d d d 222z z y x x y L++⎰(12) 设l 为自点)0,1(-A 沿圆周4)1(22=+-y x 的上半个到点)0,3(B 的有向弧段，求.4d d 22⎰+-lyx xy y x （13）设S 为曲面),10(),(2122≤≤+=z y x z 求第一型曲面积分.d )12(⎰⎰+SS z（14）设)(u f 具有连续的一阶导数，点)1,1(A ，点)3,3(B ，l 为以AB 为直径的左上半个圆弧，自A 到B ，求.d ))(1(d ))(1(⎰+-+ly x y xf y x y y x f x参考解答：一．（1） a ； （2）1+--yxxe ye ； （3）554a π； （4）21.二． C A B B. 三．（9） 解1：原式31024d d r d 82r 403202==⎰⎰⎰z r πθ 解2：原式＝31024d r d d 2032080==⎰⎰⎰z r z πθ （10）解1：高斯公式.1,1:221≤+=y x z S ，下侧，V ：1:,12222≤+≤≤+y x D z y x xy原式⎰⎰⎰⎰-=+11S S S ⎰⎰⎰⎰⎰---=ΩxyD V σd 3d 6ππθπ=+-=⎰⎰⎰3d d r d 61r1020z r解2：化第一类曲面积分.1:,0:22222≤+=--y x D y x z S xy ，},,{210z y x zn --=原式⎰⎰++=SS z y x d )cos 3cos 2cos (γβα⎰⎰⎰⎰+=+--=SS S y x z S z y x z d )2(121d )32(12122222⎰⎰++=yx D y x y x σd 22222πθθπ=+=⎰⎰12220d )cos 1(r d 4r（11）解1：Stokes 公式 x y x D y x y x z S xy 2:),(,:2222≤+∈+=上侧原式⎰⎰∂∂∂∂∂∂=Szx y z y x yx x z z y 222d d d d d d ⎰⎰-=S y x y x d d )22(⎰⎰-=y x D y x y x d d )22(⎰⎰=yx D y x x d d 2πθθθπ2d cos r d 4cos 2022==⎰⎰r解2：直接法.π20:,2cos 2,sin ,cos 1:→==+=t t z t y t x L 原式ππ2t)d cos t (2cos 2032=+==⎰t（12）解：y Py x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)4(4, )0,0(),(≠y x ， 积分与路径无关. 设),0(44:22≥=+y y x L AC )0,1()0,1(C A →- 0:,sin 2,cos →==πt t y t x⎰⎰+=CBL AC原式⎰-=ACL x y y x d d 41＋0⎰+=022t)d sin 2t (2cos 41πt 2π-=（13）解：σd y x dS 221++=，2:),(21:2222≤++=y x D y x z S xy⎰⎰⎰⎰++++⋅=+S D yx d y x y x dS z σ22221]1)(212[)12(202|)1(5221225r +⋅⋅=π)139(52-=π（14）解：2-=∂∂-∂∂yPx Q , )31:(:→=x x y AB , 22||=AB ⎰⎰+=+ABBAL AB 原式0d d 2+-=⎰⎰y x D－π2=。
《微积分》期末考试试卷附答案
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
《微积分》期末复习题及答案-推荐下载
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微积分期末试卷附详细标准答案2
一、填空题(每小题3分，共15分)1、已知 f(x)=e x , f N(x)] =1—x ,且中(x)之0,则9(x) = v'ln(1—x)…2c解 f(u)=e =1-x ,u =ln(1-x) ,u = .J 〕n(1 - x).2、已知 a 为常数，lim (--2— ax +1) =1，则 a =1.i ： x一-ax 1) = lim (1 4 - a —) = 1 - a .x'二 x x3、已知 f ⑴=2,则 limf(1 3x)-f(1 x)=4.x )Dx解：lim[f(1 3x)-f(1)]-[f(1 x)-f(1)]=4x—0x4、函数 f(x)=(x —1)(x —2)(x —3)(x —4)地拐点数为 2.解：f (x)有 3 个零点 £,焦二：1 <彳 <2<^<3<^3<4, f "(x)有 2 个零点 ％尸2：1<。
<2 <之2 <”2 <4,f "(x) =12(x —1)(x —”2),显然 f*(x)符号是：+「，+，故有 2 个拐点. dx-5、 -2 ------ - = tan x -cot x C .sin xcos x,2. 2 , ,dx cos x sin x , dx dx 斛： -- —2 --------------- 2- = 2 2-dx = ------- 2- ------------- -2- = tan x - cot x C .sin xcos x sin xcos x cos x sin x二、选择题(每小题3分，共15分)1、设f(x)为偶函数，甲(x)为奇函数，且f /(x)]有意义，则f [邛(x)]是A(A)偶函数； (B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)可能奇函数也可能偶函数.1 - cosx C2—, x : 0,,,2、x=0 是函数 f (x) = { x 地 D0, x = 0.2「 1 1 x 1 斛：0 = lim — = lim ( ----(A)跳跃间断点; (B)连续点;(C)振荡间断点；(D)可去间断点.3、若函数f(x)在X0处不可导，则下列说法正确地是 B(A)f(x)在％处一定不连续；(B) f (x)在X o处一定不可微；(C)f(x)在X o处地左极限与右极限必有一个不存在；(D) f (x)在x0处地左导数与右导数必有一个不存在^4、仅考虑收益与成本地情况下，获得最大利润地必'要条件是： D(A) R"(Q)>C"(Q) ; (B) R"(Q) <C"(Q);(C) R"(Q) =C“(Q) ;(D) R'(Q) =C'(Q).5、若函数f '(x)存在原函数，下列错误地等式是： Bd(A) 一ff(x)dx=f (x) ；(B)』f (x)dx=f(x)；dx(C) d f f (x)dx =f (x)dx；(D) f df (x) =f (x) +C .三、计算题(每小题6分，共60分)1、设f (x —2) =2x2"x— x,求f(x +2).答案：f(x + 2) =2x244x—x—4解：令t =x - 2，则f ⑴=2(t均24t物_(t+2) =2「*七54 T+2=2t2/_t_2,(3 分)于是f(x+2) =2(x阳2u — (x+2) -2 =2x2 七、七“ 一x —4 = 2x2 七x— x —4. (6 分)2、计算1吧m05( J n十1 一J n).答案：1n mc 0sin有-«户n m8s舄十二(3 分)解:1=lim cos —^n— n1二 11-1 nsin 11nx解：y' = (e x )'(2 分)6、求曲线xln y + y —2x=1在点(1,1)处地法线方程.答案：x+y —2 = 0解：方程两边对x 求导得：ln y + xy + y '- 2 = 0 , y_ Cos 「0 一 -1 .(6分) cos,1 0 - 13、求极限lim ( 2 n——n 2n +… 2 n 2).答案: 解：由于— nn n 21n n 22 +…2n八-7, (3分)而 lim 一=lim—=1 1 lim 一=limn —i彳二1，2 n所以lim(+…+)=1. (6 分)4、求极限lim 2ln(1 x )x —0 secx - cos x,〃2、解：lim1n(1 x)x—0secx - cosx x 02ln(1 x ) 二 lim cosxlim ——2-- x 0sin x=lim 2x1+ x 2(4 分)x 0 2sinxcosx =limx —02、 (1 x )cosx.. x lim --- x 「° sin x =1. (6 分) sin 15、求函数y = x x 地导数.答案:.1 sin —x y = xcos'nx 1sin 1)x.1 , sin - ln x 11 1 1 =e x [cos-( --2) ln x sin ] .1 ， ， ， ，sin — 1 1 1 1 =x x ( 2cos — ln x sin ) .(6 分)1将(x, y) = (1,1)代入得法线斜率k = 一—― = _1, (3分) y⑴从而法线方程为：y_1=_1，（x—1），即：* + 丫—2 = 0.（6分），一八 1 4 3 r 一、7、求曲线y= x —x +1地凹凸区间和拐点.24答案：曲线在区间（―吗0］和［1,+“）是凹地，在区间［Q1］是凸地拐点为（0,1）, （1；）.31 x _ 1 x _ 1 x _ 1x_ 1x_ e cos2x e d sin 2x e cos2x e sin 2x - e sin 2xdx ,2 4 2 4 4 x 一 . 4 x.1 .一 一 、一 … , J e cos2xdx =^e (asin 2x-cos2x)+C .(6 分)10、设某商品地需求函数为 Q =100 -5P 淇中P,Q 分别表示需求量和价格，试求当总收益达到最大时，此时地需求弹性，并解释其经济意义.b5E2RGbCAP解：⑴ f (x) C(-：：, ：：),(2)3 2 _ .. 2f (x) =2x -3x , f (x) =6x -6x =6x(x -1),4f "(x)=0，得 x 1 =0, x 2 =1. f(0) = 1, f (1) =43 (3分)(4).... ... 4 曲线地拐点为（0,1）、（1,-）.(6) 曲线在区间（―g,0］和［1,+比）是凹地，在区间［0,1］是凸地. (6分)8、计算dx.答案：66G - 6 arctan 6x + Cdx dx解 (1 3 x) x -(6x)3[1 (6x)2]56t 5dt八----- 了(3分)2A (1 t )-1 6 2dtdt =6 ! dt - = 6 । 1 t=6t -6arctant +C =66/x -6arctan6/x +C .(6分)9、计算 [exsin 2xdx 答案• —e x(-sin 2x -cos2x) +C1021 V斛： e sin 2xdx e d cos2x =一 21e xcos2x 1 2 2fe xcos2xdx (3 分)列表如答案：。
微积分期末试题及答案
微积分期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+2的导数是（）。
A. 3x^2 - 3B. x^3 - 3xC. 3x^2 - 3xD. 3x^2 + 3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是（）。
A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=x+1D. y=x-1答案：A4. 若f(x)=x^2+3x-2，则f'(-1)的值是（）。
A. 0B. 2C. -2D. 4答案：C5. 定积分∫(0 to 1) (2x-1)dx的值是（）。
A. 1/2B. 1C. 3/2D. 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=______。
答案：1/x2. 函数y=e^x的原函数是______。
答案：e^x3. 曲线y=x^3与直线y=2x+1在x=1处的交点坐标是______。
答案：(1,3)4. 函数y=x^2-4x+4的极小值点是______。
答案：x=25. 定积分∫(0 to 2) x dx的值是______。
答案：4三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数y=x^2-6x+8的极值点。
答案：函数y=x^2-6x+8的导数为y'=2x-6，令y'=0，解得x=3。
将x=3代入原函数，得到极小值点为(3,-1)。
2. 求定积分∫(0 to 3) (x^2-2x+1)dx。
答案：首先求出原函数F(x)=1/3x^3-x^2+x，然后计算F(3)-F(0)=1/3*27-9+3-0=6。
3. 求曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程。
答案：首先求导得到y'=3x^2，将x=1代入得到y'|_(x=1)=3，切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2。
四、证明题（每题10分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则∫(a to b) f(x)dx存在。
微积分下试卷(四套含答案)
一． 填空题（共30分） 1设()xy y z e x sin cos -=，则.1|0ππ--=∂∂==y x xz2.曲面z xy 2=在点()1,1,1的切平面方程为.02=-+y x3.曲线t e z t t y x t 2sin ,cos ,=-==在2π=t 处的切线方程.42202πππ-=-=-z y ex4.计算().1cos 121sin 1210-=⎰⎰dx dy y x5．把直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分有()()rdr r r f d dx yyy x f dy ⎰⎰⎰⎰=---1001110sin ,cos ,22θθθπ 6．积分().16242224π=⎰⎰-+≤+dxdy y x x x7．()e e x e d x y x y x 11ln 211112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎰⎰≤≤-≤≤-+σ8．级数∑∞=+--1231n n n n的敛散性为.发散9．级数∑∞=1n nnx 的和函数()()x x s --=1ln ，.2ln 112=∑∞=n nn10．().2111222222-=++--⎰⎰≤+ππdxdy y x yx y x二． 计算题（每小题7分，共70分） 1。
设z yx xzy u =的全微分du分数 评卷人解：两边取对数z x y z x y u ln ln ln ln ++=-----（1）， 再对（1）两边取全微分：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dz z x zdx ydz dy y zxdy dx x y du u ln ln ln 1.ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 所以，.ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y u du ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+= 2．计算由方程yz zxln =确定的函数()y x z z ,=的全微分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微积分下期末试题（一）一、填空题(每小题3分,共15分)1、 已知22(,)y f x y x yx +=-,则=),(y x f ___2(1)1x y y -+__________.2、 已知, π=⎰∞+∞--dx ex 2则=⎰∞+--dx e x x21______π_____.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在 点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f __1______.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________."6'0y y y -+= 二、选择题(每小题3分,共15分 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( C ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( B ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值)32,31(-8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( A).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( D ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( D ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x=的函数为23,0x y y =>。
且4=x 时，8=y 。
于是)6()3(分分24882233837730(4)16(80)33128128(80)775127V y dy y dyy ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰12、求二重极限11lim222200-+++→→y x y x y x .解：原式11)11)((lim 22222200-++++++=→→y x y x y x y x (3分)2)11(lim 220=+++=→→y x y x (6分)13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2. 解：设(,,)zF x y z z e xy =+-，则 x F y =-， y F x =- ，1zz F e =+11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z z F z x xy F e e ∂-=-=-=∂++ (3分)222111(1)1(1)z z z zz zz ze y e z ye xy yx y y e e e e ∂+-⋅⋅∂∂∂⎛⎫===- ⎪∂∂∂++++⎝⎭(6分)14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得12x =,"40z =>,12x =为极小值点. (3分)故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32 (6分)15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .解：2112123182xyyy I dy e dx e e ==-⎰⎰ (6分) 16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.解：22()Dx y dxdy +⎰⎰＝13200d r drπθ⎰⎰＝8π(6分)17、解微分方程x y y +'=''.解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是)(1)1()1(C dx e x e p dx dx+⎰⎰=---⎰)(1C dx e x e x x +=-⎰])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= (3分)⇒2121)1(21])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰ (6分)18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.解：333321111n n n n +--=++- (3分)因为333311lim lim 1111n n n n n nn n n n →∞→∞+--==++-19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.解：由于3113131x x -⋅=-,已知 ∑∞==-011n nx x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n nn n n x x x ,33<<-x . (6分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略 解：公司利润为22212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=令⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x 即⎩⎨⎧=+=+,31208,13842121x x x x得驻点)25.1,75.0()45,43(),(21==x x ,而 (3分)0411<-=''=x xL A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为：电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z xy xy ∂∂+=∂∂. 证：2233113311113333,x y z z xyx yx y --∂∂==∂∂++22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.证：由于)(22)(022222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分)并由题设知∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则)(2212n n n v u∑∞=+收敛,从而∑∞=+12)(n n nv u收敛。
(6分)微积分下期末试题（二）一、填空题(每小题3分,共15分)1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。
答案（2222x xy y y -++）2、计算广义积分⎰+∞13x dx= 。
答案（12）3、设xye z =，则=)1,1(dz 。
答案（)(dy dx e +）4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解. 答案（xe bx ax 22)(+）5、设14n n u ∞==∑，则11122n n n u ∞=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑_________。
答案（1） 二、选择题(每小题3分,共15分)1、2222003sin()lim x y x y x y →→++的值为 （ A ）A.3B.0C.2D.不存在 2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 （ A ）。
A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是 （D ）。
A.d d θπr r r42022-⎰⎰； B.12204d 4d r rπθ-⎰⎰；C 、212d 4d r rπθ-⎰⎰； D.442012d d θπr r r-⎰⎰4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1，xe y =2，x e y 23=，则其通解为 （C ）。
A.xx e C e C x 221++； B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C xx x -+- 5、无穷级数∑∞=--11)1(n pn n (p 为任意实数) （D ）A 、收敛B 、绝对收敛C 、发散D 、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)1、求下列极限：lim11x y xy xy →→+-。
解：00lim11x y xyxy →→+-00(11)lim (1)1x y xy xy xy →→++=+- …（3分）00lim(11)112x y xy →→=++=+= …（6分）2、求由x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。
解：421()d x V x xπ=⎰ …（4分）7.5π= …（6分）3、求由xyz e z=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数,z z x y ∂∂∂∂。
解：方程两边对x 求导得:x z xy yz x z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z x z xy e yz x z z…（3分）方程两边对y 求导得:y z xy xz y z e z∂∂+=∂∂,有)1(-=-=∂∂z y z xy e xz y z z …（6分）4、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。