1.1不等式导学案
一元一次不等式导学案
7.1生活中的不等式班级姓名【学习目标】1.会用不等号“＜，＞，≤，≥，≠”等不等号连结两个数.2.理解描述不等关系的词语，例如：大于，小于，不大于，不小于，大于或等于，小于或等于，不等于…理解正数，非负数，负数等等用不等式表示的方法.3.感受生活中的不等关系，理解生活中有一些描述不等关系的词语，例如：最大（小），最高（低），超过，低于，不超过，不低于，以上，以下，少于，不少于，打破某项记录，限速，限高…会由题意列出最简单的不等式.【学习重点】认识不等式【学习难点】文字语言转化为数学不等式【学习过程】一、课前导学1、用_______表示______关系的式子叫做不等式。
2、用不等式表示：（1）x的2倍大于x ；（2）a与b的差是非负数。
3、小明今年x岁，小强今年y岁，爷爷今年m岁，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍和小于爷爷的年龄。
4、用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表：现需配制这种原料10千克。
（1）若要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x (千克)应满足的不等式；（2）若要求购买甲、乙两种有原料的费用不超过72元，那么你能写出x（千克）应满足的另一个不等式吗？二、合作探究活动一：情境创设小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg.春节期间，去公园游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？你能知道游戏的结果吗？为什么？活动二：探究学习1．尝试：你能用数学式子表示下面数量之间的关系吗？（1）一辆轿车在公路上正常行驶的速度是a km/h,已知公路对轿车的限速（不超过）是100 km/h,那么你如何表示a 与100的大小关系？（2）某种袋装牛奶中，每100g 牛奶含xg 蛋白质、yg 脂肪．该种牛奶的营养成份含量如右表．2．概括总结．像x ≥2.9，y ≥3.1，100-x-y ≥8.1，x+2<48，a ≤100等，那样用 式子叫做不等式．常用的不等号有： ．3.概念巩固：（1）下列式子中，哪些是不等式？哪些不是?(1) –2＜ 0 ； (2) 2a ＞ 3-a ； (3)3x +5； (4)2(-1)a ≥0； (5) s = vt ； (6)223x x +≠； (7)3＞5； (8)5x ≤4x -1.（2）你还能举出其它具有不等关系的实例吗？和你的同桌交流交流．4.探究：（1）如何表示下面气温之间的关系？某城市某天的最低气温是-2℃,最高气温是6℃,该市这天某一时刻的气温是t ℃.（2）建设中的三峡水电站的水库水位在145-175m （包括145m ，175m ）时，发电机能正常工作，设水库水位为x （m ）．你能用关于x 的一个式子刻画水位需满足的高度要求吗？三、例题精析例1、用不等式表示：(1)a 是正数； (2)b 是非负数； (3)x 的一半小于-1； (4)y 与4的和大于0.5.例2、列不等式：(1)一个数m 的绝对值不小于0.(2)两数m 、n 积的2倍不大于这两数的平方和.四、展示交流1.选择适当的不等号填空：①2 3； 3； ③－a 20 ； ④若x ≠y,则－x －y2.用不等式表示：①a 是负数； ②x 与5的和大于2； ③ x 与a 的差小于2； ④x 与y 的差是非负数.3.理解下列具有“最”字的实例，写出不等式：①火车提速后，时速v 最高可达140km/h ；②某班学生身高h 最高的约为1.74m ； ③某班学生家到学校的路程s 最远是4km.五、检测反馈1.在数学表达式：①－3＜0，②3x ＋5＞ 0，③ x 2－6，④x=－2，⑤y≠0，⑥x ＋2≥x 中，不等式的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2.比较下列各数的大小，用“<”或“>”填空： （1）－3______-2；（2）－1______ 0； （3）－21______－32．3.用不等式表示下列关系：（1）x 大于或等于5 （2）x 不大于6 （3）x 不小于-2 （4）x 是正数 （5）x 是负数 （6）x 是非负数4.用不等式表示：(1)2x 与1的和小于零 ；(2)a 的2倍与4的差是正数 ； (3)b 的21与c 的和是负数 ；(4)x 的绝对值与1的和不小于1 ． 5.用不等式表示下列数量之间的关系：（1） 某种客车坐有x 人，它的最大载客量为40人.（2）小明每天跑步x 分钟，学校规定每位学生每天跑步时间不少于30分钟．（3）某校男子跳高记录是1.75 米，小强在今年的运动会上跳高成绩是x 米，并打破了校纪录． （4）我班一位学生的身高为x 米，我班学生最高是1.70米．6.如图，一只蚂蚁从A 地到C 地，所行的路程x 应满足什么范围？7.用不等式表示下列数量之间的关系：（1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高．小明的身体质量为 p(kg)，小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg ，怎样表示p 、q 之间的关系?(2)下图是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40km /h ．若用v (km /h)表示车按规定正常行驶时的速度，那么v 与40之间的数量关系用怎样的式子表示？8.某水果批发市场规定：批发苹果不少于1000千克时，可享受每千克2.2元的最优批发价，个体水果经营户小王携款x 元到该批发市场除保留200元作生活费外，全部以最优惠批发价买进苹果．用不等式表示问题中x 与已知数量间的不等关系．六、盘点收获 本节课你有哪些收获？ 七、布置作业 《补充习题》相关习题7.2不等式的解集班级 姓名【学习目标】1. 知道不等式的解，不等式的解集. 会判断一个数是不是某个不等式的解.2. 会用数轴表示不等式的解集.3. 会写出数轴表示的不等式的解集.4. 会结合数轴写出某个不等式的整数解. 【学习重点】利用数轴表示不等式的解集 【学习难点】有特殊条件限制下的不等式的解 【学习过程】 一、课前导学1.能使不等式成立的_____，叫做不等式的解；不等式的解有_____个。
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
一元一次不等式组导学案1
2X-1>-X 0.5X<3
3X-2<X+1 X+4>4X+1
第二环节：活动探究、合作学习
活动内容：
对比方程组的概念，你能将上述你解的不等式进行组合吗？你能将它们的的解集表示在同一条数轴上吗？你能给你所组成的形如“方程组”的式子取个名字吗？试试看.
此时学生可以进行独立思考，小组讨论，交流，最后进行归纳总结.
（1）一元一次不等式组的概念：
（2）一元一次不等式组的解集的概念：
（3）解不等式组：
第三环节：运用巩固、练习提高
活动内容：
1、某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月，如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？（要求学生能够列出一元一次不等式组即可）
2、想一想
（1）在习题1.1中，如果要配制的饮料同时满足第3、4题的条件，那么你能列出一个不等式组吗？
（2）你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？
（目的：给学生展示不等式组的求解过程）
3、例题讲解：
例解不。
拓展延伸
课堂
小结
本结主要讲述一元一次方程组的定义，一元一次方程的解法
科目
数学
课题
6．一元一次不等式组（一）
授课时间
设计人
序号
学习
目标
1.理解一元一次不等式组及其解的意义，加强运算的熟练性和准确性，培养思维的全面性；
2.初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组的解和解集的方法。
学
习
提
纲
第一环节：情境引入
活动内容：
一元一次不等式(字母参数问题)导学案
一元一次不等式（组）的应用（字母参数问题题型综合）一、基础知识1、不等式（a+1）x > a+1的解集为x<1，求a 的取值范围 （练习册P66.6）2、不等式组⎩⎨⎧+<+<-1m x 5x 23x 有解，求m 的取值范围 （练习册P77.7） 3、已知点A （m-4，2m-1）在第二象限，求m 的取值范围 （练习册P69.10）二、已知方程列不等式（组）4、关于x 的方程2x+3k=1的解是负数，求k 的取值范围（练习册P67.4）5、关于x 的方程3x+m-2(m+2)=3m+x 的解在-6和6之间，求m （练习册P73.9）6、一次函数y=3x+12中，如果y 的取值范围是6y 6≤≤-，求x （课本P177.B 组1）7、一次函数y=3x+12中，如果x 的取值范围是6x 6≤≤-，求y （变式）三、已知方程组列不等式（组）8、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+12132m y x m y x 的解满足x>y ，求m （练习册P67.11）9、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-+=+12132m y x m y x 的解满足x>0，y>0，求m （变式） 10、一次函数图象y=3x+m-1和y=2x-3m+2的交点在第三象限，求m （练习册P70.8）四、已知不等式列方程（组）11、已知关于x 的不等式x-3 >2a-x 的解集为x>4，求a （练习册P67.10）12、已知关于x 的不等式ax ≤2的解集为x ≥-4，求a （练习册P71.2）13、已知关于x 的不等式k+x ≤2的解集为x ≤1，求k （练习册P73.3）五、已知不等式组列方程（组）14、已知不等式组⎩⎨⎧<-<-a x b b a x 536732的解集为5 < x < 22，求a,b （练习册P69.11） 15、已知不等式组⎩⎨⎧<+->--030b a x b a x 的解集是-1 < x < 5，求a,b （练习册P72.14）16、已知不等式组⎩⎨⎧>+>-213152x x 的解集与2x>a 的解集相同，求a （练习册P671.4） 六、已知不等式列不等式（组）17、已知不等式3x-a ≤0的正整数解只有1，2，3，求a （行知天下P64.2（4））。
9.1.1不等式(导学案)
9.1.1不等式【学习目标】1.通过具体问题了解不等式概念，会判断是否是不等式，会列不等式。
2.通过举例理解不等式的解的定义，会用代入法判断一个数是否是不等式的解。
3.理解不等式的解集的定义，解与解集的区别于联系，会初步判断不等式的解集。
4.能在数轴上正确表示不等式的解集，渗透数形结合的思想.。
5.培养自主学习的能力，合作交流意识与探究精神.【重难点】列不等式、不等式的解集的表示【知识链接】1.你所知道的不等符号有哪些？【导学方案】一、自主学习自学教材P114-115 思考并完成下列问题问题 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A 地50千米，要在12：00之前驶过A 地，车速应满足什么条件？设车速是x 千米/时.从时间上看，汽车要在12：00这前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所用的时间_____32小时（>或<），用式子表示：___________________. 从路程上看，汽车要在12：00这前驶过A 地，则以这个速度行驶23小时的路程_____50千米（>或<），用式子表示：_________________ .以上两个式子从不同角度表示了车速应满足的条件.1、不等式的概念 ；2、不等式的解： 。
3、不等式的解集： 。
4、想一想：不等式的解与解集的区别与联系： 。
5、不等式解集的表示注意：.用数轴表示：如x a > 在表示 a 的点上用空心圆圈，表示不包括这一点。
x a ≥在表示a 的点上用实心点，表示包括这一点.。
6、解不等式的含义 。
二、合作探究：（小组讨论交流，展示活动成果）（一）应用新知1、练习：用不等式表示：⑴a 是正数； ⑵a 是负数； ⑶a 与5的和不小于7； ⑷a 与2的差大于－1 ⑸a 的4倍不等于8； ⑹a 的一半小于3.（7）a 2是非负数 （8）2a 与5的差不大于0 （9）x 比y 大32、练习：判断下列数中哪些是不等式2503x >的解：76，73，79，80，74.9，75.1，90，60.你是怎么判断的？你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？3、练习：直接想出不等式的解集：⑴36x +>； ⑵28x <； ⑶20x -≥.4、在数轴上怎样表示不等式的解集：（a ）0>x （b ）2≤x（c ）2-<x （d ）1-≥x（二）拓展延伸1、若1,a a <<则21,,a a a三者的大小关系是（ ） A ．21a a a >> B ．21a a a >> C ．21a a a >> D ．21a a a >> 2.判断：x>2范围内任何一个实数都可以使不等式4x-5>0成立，所以x>2也是它的解集（ ）三、反思提升1.谈谈本节的收获：2.本节还有什么疑惑？【达标检测】1. （目标1）用不等式表示：⑴a 与5的和是正数； ⑵b 与15的差小于27； ⑶c 的4倍小于或等于8； ⑷d 与5的积不小于0 ⑸x 的2倍与1的和是非正数. （6）2a 与5的和不等于12．（目标2）练习：判断下列数中哪些是不等式2x-1>0的解：2，-3， 1.7， 16，-5.你是怎么判断的？你还能找出这个不等式的其他解吗？这个不等式有多少个解？3．（目标3）练习：直接想出不等式的解集：⑴42>x ； ⑵x-3<0； (3)01≥+x4．（目标4）在数轴上表示下列解集。
高中数学第一1.1.1不等式的基本性质1课堂导学案新人教选修
1.1.1 不等式的基本性质（1）课堂导学三点剖析一、不等式性质的应用【例1】 已知a>b,c<d,求证:a-c>b-d.证法一：∵a>b,c<d,∴a -b>0,d-c>0.∴(a -c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0.∴a -c>b-d.证法二：∵c<d,∴-c>-d.又∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d.温馨提示证法一利用了实数大小比较的符号法则,也称作差法,这是证明不等式的基本方法,不等式性质定理的证明也是用此法.证法二是直接利用了不等式性质定理,即同向不等式的可加性.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据,应正确地熟练应用.各个击破类题演练1若a>b>0,求证:a 2>ab>b 2.证明:∵a>b,∴a -b>0.又∵a>0,∴a(a -b)>0.∴a 2-ab>0.∴a 2>ab.又∵a>b,∴a -b>0.又b>0,∴b(a -b)>0.∴ab -b 2>0.∴ab>b 2.据不等式的传递性,即a 2>ab>b 2.变式提升1若a,b,c,d∈R +,且,d c b a <求证:dc d b c a b a <++<. 证明:∵a,b,c,d∈R +,且dc b a <, ∴bd bc ad d c b a -=-<0. ∴ad -bc<0. 由)(d b b ad bc b a d b c a +-=-++>0,可得b a d b c a >++. 又∵)(d b d bc ad d c d b c a +-=-++<0,可得d c d b c a <++. ∴dc d b c a b a <++<成立.二、实数大小比较的方法——作差法【例2】 设a>0,b>0,求证:ba ab 22+≥a+b. 证明：ba ab 22+-(a+b) =abb ab a b a ))((22+-+. =abb a b a 2))((-+ ∵a>0,b>0,∴a+b>0,ab>0,(a -b)2≥0. ∴ba ab 22+≥a+b. 温馨提示作差法是比较两个实数大小的重要方法,利用作差法比较两个实数的大小,一般有如下步骤:第一步:作差;第二步:变形.常采用因式分解,配方等恒等变形手段,将“差”化成“积”;第三步:定号.就是确定是大于0,等于0,还是小于0.最后得出结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.类题演练2已知a≥1,比较M=a a -+1与N=1--a a 的大小.解析:M-N=(a a -+1)-(1--a a ) =)1)(1(111111-++++--=-+-++a a a a a a a a a a . ∵a≥1,∴11+<-a a , 即11+--a a <0. 又>++a a 10,1-+a a >0,∴M -N<0,即M<N.变式提升2比较x 6+1与x 4+x 2的大小,其中x∈R .解析:(x 6+1)-(x 4+x 2)=x 6-x 4-x 2+1=x 4(x 2-1)-(x 2-1)=(x 2-1)(x 4-1)=(x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)=(x 2-1)2(x 2+1),当x=±1时,x 6+1=x 4+x 2,当x≠±1时,x 6+1>x 4+x 2.三、应用不等式性质解题常见错误剖析【例3】 已知0<a<1,比较a,a1,a 2的大小. 错解：∵a -a 1=aa a a a )1)(1(12-+=-<0, ∴a<a1. 又a 1-a 2=aa a a a a )1)(1(123++-=->0, ∴a 1>a 2.∴a<a 2<a1. 错因：a<a 1与a 2<a1之间不具备传递性,不能用性质2. 正解：∵a -a 1=aa a )1)(1(-+<0, ∴a<a 1. 又a-a 2=a(1-a)>0,∴a>a 2.∴a 2<a<a1. 温馨提示由于对不等式的性质缺乏全面掌握和透彻理解,尤其对一些性质的条件重视不够或机械地套用性质而扩大性质的范围,从而导致错误.因此,在使用不等式性质解题时,要搞清性质成立的条件,明确各步推理的依据,以防出现解题失误.类题演练3已知a>0,a≠1,m>n>0,比较A=a m +m a1和B=a n +n a 1的大小. 错解:∵A -B=(a m +m a 1)-(a n +n a 1)=(a m -a n )+(m a1-n a 1), 又∵m>n>0,∴a m >a n ,m a1>n a 1.∴A>B. 正解:A-B=(a m -a n )+（m a 1-n a 1) =n m n m n m aa a a ++--)1)((. 故当0<a<1时,a m <a n ,a m+n<1,∴A -B>0,即A>B;当a>1时,a m >a n ,a m+n >1,∴A -B>0,即A>B.综上所述A>B.变式提升3设a≠b,试比较(a4+b4)(a2+b2)与(a3+b3)2的大小. 错解:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+a4b2+a2b4+b6-a6-2a3b3-b6=a2b2(a-b)2.∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2b2(a-b)2>0.因此(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2.正解:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2.当ab=0时,(a4+b4)(a2+b2)=(a3+b3)2;当ab≠0时,(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2;故(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.。
一元一次不等式导学案
生为主、重合作、有效 参与提素质 教师个性 促提升教学设计 本节课设计了四个教 学环节： 第一环节： 课前热身复 习回顾。
第二环节：课堂展示、 合作学习。
第三环节：课堂反馈、 巩固提升。
第四环节：布置作业北师大-数学-八年级下册-第二章-《一元一次不等式》主备人：田里丰教师合作来导学（配套课件电子白板实施授课）课堂展风采学习目标： 1.进一步掌握一元一次不等式的解法； 2.会运用一元一次不等式解决实际问题。
教学重点： 一元一次不等式的解法。
教学难点 会从实际问题中找出不等量关系 课前热身、 自主预习 一、复习回顾 1．解方程： (1)2x-1=4x+13；还课堂给学生，让学习 更快乐 自主学习 真快乐我是 年级 班 学生 学习本 课 （节） ， 我有如下收获：(2)2(5x +3)=-3(1-X)．2.运用不等式基本性质把下列不等式化成 x>a 或 x<a 的形式。
①x-4<6 ②2x>x-5 预习等级：组长签字：课堂展示、 合作学习 1.观察下列不等式： (1)40+15x>130 (2)2x-2.5≥1.5 (3)x≤8.75 (4)x<4(5)5+3x>240这些不等式有哪些共同点？ 2、总结：一元一次不等式：不等式的左右两边都是 ， 只含有 未知数．并且未知数的最高次数是 ，像 这样的不等式，叫做一元一次不等式． 学习一元一次不等式要注意三个要点： (1)只含有 个未知数： (2)含有未知数的式子是 ； (3)未知数的最高次数是 3、根据不等式的基本性质解不等式 3-x<2x+6，并把它的解集表 示在数轴上． 解：两边都加上-2x，得: 合并同类项，得 两边都加上 ，得 合并同类项，得 两边都除以-3．得 即 x>一 1．北师大-数学-八年级下册-第二章-《一元一次不等式》还课堂给学生，让学习 更快乐生为主、重合作、有效 参与提素质北师大-数学-八年级下册-第二章-《一元一次不等式》主备人：田里丰还课堂给学生，让学习 更快乐完成等级：组长签字：课堂反馈、巩固提升 解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上；（1）5x＜200(2) x 1 ＜3 2(3) x-4≥2(x+2)(4)x 1 4x 5 ＜ 2 3完成等级： 组长签字：一课一练 求不等式 4（4x+1）≤24 的正整数解。
导学案2：3.1.1不等关系与不等式
3.1.1不等关系与不等式学习目标1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．学习重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．学习难点：准确比较两个代式的大小．知识回顾1．不等式的基本性质对于任意的实数a ，b ，有以下事实：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <0.这三条基本性质是差值比较法的理论依据．例如：已知a >b >0，m >0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b b ＋m ＝m b －a b b ＋m. ∵m >0，a >b >0，∴b －a <0，∴m b －a b b ＋m <0，∴a ＋m b ＋m <a b. 2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面单向性：(1)a >b ，b >c ⇒a >c .(2)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .(3)a >b ，c >0⇒ac >bc .(4)a >b ，c <0⇒ac <bc .(5)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .(6)a >b >0，n 为正实数⇒a n >b n .双向性：(1)a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .(2)a >b ⇔b <a .(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)． 若把c >0作为大前提，则a >b ⇔ac >bc ，若把c <0作为大前提，则a >b ⇔ac <bc .这两条性质也经常用于解不等式．例如，下面这个简单的一元一次不等式也需要在上述性质下才能完成．解不等式：－16x ＋34<23x －112. 解 －16x ＋34<23x －112⇔－2x ＋9<8x －1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)⇔－2x <8x －10 (不等式两边都加上－9)⇔－10x <－10 (不等式两边都加上－8x )⇔x >1 (不等式两边都乘以－110，不等式方向改变！) 3．正分数的一个有趣性质在a >b >0，m >0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：b a <b ＋m a ＋m <1<a ＋m b ＋m <a b. 由b a <b ＋m a ＋m可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如： 12<23<34<45<56<67<78<89. 由a ＋m b ＋m <a b 可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如： 32>43>54>65>76>87>98>109. 从函数的观点看：当a >b >0时，函数f (x )＝b ＋x a ＋x 在x ∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f (x )＝a ＋x b ＋x在[0，＋∞)上是单调递减的．方法突破一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．例1比较x 2-x 和x -2的大小.例2当pq 都为整数且p +q =1时，试比较代数式(px +qy )2与px 2+qy 2的大小.变式训练已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小．二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a ，b 都是正数，则a >b ⇔a b>1； a <b ⇔a b <1；a ＝b ⇔a b＝1. (2)若a ，b 都是负数，则a >b ⇔a b<1. a <b ⇔a b >1；a ＝b ⇔a b＝1. 作商比较法的基本步骤为：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2 设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b ，a b b a ，(ab )a ＋b 2三者的大小．三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断． 例3 对于0<a <1，给出下列四个不等式①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ③a 1＋a <a 1＋1a ④a 1＋a >a 1＋1a其中成立的是( )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．例4 是否存在实数a ，使不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >112log a (a －1)＋23对一切大于1的自然数n 都恒成立？如果存在，试确定a 的取值范围，否则说明原因．拓展训练1．如果12log x <12log y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x2．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是() A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12参考答案方法突破例1解：（x 2-x ）-(x -2)=x 2-2x +2=(x -1)2+1(x -1)2≥0，所以（x 2-x ）-(x -2)>0.因此x 2-x >x -2例2解：(px +qy )2-(px 2+qy 2)=p (p -1)x 2+q (q -1)y 2+2pqxy因为p +q =1，所以p -1=-q ，q -1=-p .因此(px +qy )2-(px 2+qy 2)=-pq (x 2+y 2-2xy )=-pq (x -y )2因为pq 为正数，所以-pq (x -y )2≤0.因此(px +qy )2≤px 2+qy 2当且仅当x =y 时，不等式中等号成立.变式训练解 可将f (a )与f (b )分别表示出来，然后根据m ，a ，b 的取值范围进行比较，但由于m 的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解．由于f (x )＝mx x －1， 所以f (a )＝ma a －1，f (b )＝mb b －1， 于是f (a )－f (b )＝ma a －1－mb b －1＝m b －a a －1b －1， 由于a >b >1，所以b －a <0，(a －1)(b －1)>0.当m >0时，m b －a a －1b －1<0，所以f (a )<f (b )； 当m <0时，m b －a a －1b －1>0，所以f (a )>f (b )； 当m ＝0时，m b －a a －1b －1＝0，所以f (a )＝f (b )．二、利用作商法比较实数大小例2 解 ∵a a b b ab a ＋b 2＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2 当a >b >0时，a b >1，a －b >0，a －b 2>0 ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>⎝⎛⎭⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2. 当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，a －b 2<0. ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>⎝⎛⎭⎫a b 0＝1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2. 所以，不论a >b >0还是0<a <b ，总有a a b b >(ab )a ＋b 2. 同理：(ab )a ＋b 2>a b b a .综上所述，a a b b >(ab )a ＋b 2>a b b a . 三、利用不等式的性质比较大小例3 D【解析】∵0<a <1，∴a <1<1a ，∴1＋a <1＋1a， 而y ＝lo g a x 在(0，＋∞)上与y ＝a x 在R 上均为减函数，∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ，a 1＋a >a 1＋1a. 四、利用不等式性质求参数范围例4解 记f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *，且n ≠1)．如果存在题意中要求的实数a ，那么112log a (a －1)＋23<[f (n )]min ∴f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12n ＋1＝12n ＋1－12n ＋1<0， ∴f (n )为增函数，故[f (n )]min ＝f (2)＝13＋14＝712， 112log a (a －1)＋23<712， 由此可解得1<a <1＋52，所以满足本题的实数a 存在，其取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.拓展训练1． D 【解析】不等式转化为⇒1<y <x .2． A【解析】方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34， 则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38， a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2. 方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2， ∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12. 又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1) ＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1) ＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1 ＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝⎛⎭⎫b 1－12 ＝2⎝⎛⎭⎫a 1－12⎝⎛⎭⎫b 1－12>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>12. 综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.。
1.1不等式的基本性质 导学案
项城市第一初级中学 王宏伟 项城市第一初级中学 王宏伟 不等式的基本性质班级 学号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆不等式的基本性质 导学案2目标1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 过程一、课前预习：1、我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质一：在等式的两边都 或（ ）同一个 ，等式仍然成立。
可用符号表示为： 若b a =，则c a ± c b ± 等式的基本性质二：在等式的两边都 同一个 或（ ）同一个 ，等式仍然成立。
可用符号表示为： 若b a =，则c a ⨯ c b ⨯，cacb （0≠c ）2、不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？ 二、探究新知：（一）不等式基本性质的推导1、自主学习：填空：2 ＜3 2 ＜ 3 2 ＜ 32+3 3+3 2×5 3×5 2÷5 3÷5 2+5 3+5 2×21 3×21 2÷21 3÷212+8 3+8 2×（-1） 3×（-1） 2÷（-1） 3÷（-1） 2-3 3-3 2×（-5） 3×（-5） 2÷（-5） 3÷（-5） 2-5 3-52-8 3-82、合作交流：做完上面的填空，你发现了什么？请你再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同学交流，归纳上题的结论，我们便得到了不等式的基本性质： 不等式的基本性质一：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向不变。
可用符号表示为： 若a ＞b ，则c a ± c b ± 不等式的基本性质二：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向 。
一元一次不等式(组)导学案
课题：9.3一元一次不等式（组）的应用（一）【学习目标】1. 知道列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤，会列一元一次不等式组解较简单的应用题.2.培养从数学的角度理解问题、解决问题的能力，发展应用意识. 【学习重点与难点】1.重点：列一元一次不等式组解较简单的应用题.2.难点：从数学的角度理解实际问题.【预习感知】：1. 格桑家办了一个小宾馆，开业那天来了48名旅客.如果每间住5人，房间不够；如果每间住6人，又住不满.问格桑家的小宾馆有几间客房？ 解：设格桑家的小宾馆有x 间客房. 根据题意列不等式组,得______________ ,______________.⎧⎨⎩ 解不等式组，得_______________. x 是正整数，所以x ＝________. 答：格桑家的小宾馆有____间客房.2.王波今天70岁，比张明年龄的5倍还要大，不过到后年张明年龄的5倍就比王波的年龄大了.求张明今年的年龄.解：设张明今年的年龄为x 岁. 根据题意列不等式组,得______________ ,______________.⎧⎨⎩ 解不等式组，得_______________. x 是正整数，所以x ＝________. 答：张明今年的年龄为______岁.【共研释疑】（课内完成） 例题讲解：例1. 一次智力测验，有20道选择题．评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分．小明有两道题未答．至少答对几道题，总分才不会低于60分？师生互动例2. 七年级三班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：请你帮助班长分组，你知道该分几个组吗？（注意写出解题过程，不能仅有分组的结果哟!）例3.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?【评测拓展】1.1、某校在一次参观活动中，把学生编为8个组，若每组比预定人数多1人，则参观人数超过200人，若每组比预定人数少2人，则参观人数不大于184人，试求预定每组学生的人数．2. 某车间生产机器零件，若每天比预定计划多做几件,8天所做零件的总数超过100件，如果每天比预定计划少做一件，那么8天可做零件的总数不到90件，问预定计划每天做多少件？3.某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?4.某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?5.一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方．在前两天共完成了120m3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方?14题课后作业 9.3一元一次不等式（组）的应用（一） 班级________ 姓名________1.如图，天平右边托盘里的每个砝码的质量都是1千克，则图中显示物体质量的范围是（ ） A ．大于2千克 B ．小于3千克C ．大于2千克且．小于3千克D ．大于2千克或．小于3千克 2.九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人3.某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)54.乐天借到一本72页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读x 页，列出的不等式为______．5.一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得-1分，在这次竞赛中，小明获得优秀（90分或90分以上），则小明至少答对了______道题．6.三个连续自然数的和不大于 15，这样的自然数组有 组。
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1．1不等关系导学案
学习目标： 1、感受生活中存在着大量的不等关系，能用自己的语言叙述不等式的意义，初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一.
2、能根据条件列出不等式.
3、能用负号语言表示“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。
一、创设情境，揭示目标
预习课本，完成下列各题：
1、理解不等号的意义（填空）：
大于： 小于： 大于等于： 小于等于： 不大于： 不小于：
2、用不等号连接下列式子：
－2 －3， a 2 0， x ＋5 x ＋2，
－a －1 －a －6， 21 3
1_
3、用不等式表示：
（1）x 的一半与5的差小于1； （2）x 与6的和大于9；
（3）8与y 的2倍的和是正数； （4）x 与8的差不大于0.
4、现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，举一些不等关系的例子
如：（1）天气预报说：今天早晨最低温度为22℃，今天白天的最高温度为30℃，
若用t 表示气温，那么用数学表达式可写成22℃≤t ≤30℃
（2）根号a 中，a 的取值范围是什么？a 非负实数，即a ≥0
（3）提问两同学的身高问题，让全体同学比较其大小关系。
如A ＞B
（4）限制速度v 不超过40km/h ，即v ≤40km/h
二、指导自学，基础达标
1、看课本P2—P4，观察得到的式子的特点.
2、P4做一做,写在书上.
3、议一议，得出不等式的概念：
4.说一说，自然语言与符号语言在描述不等关系中的对应关系
三．问题导引，交流展示
1、根据下列数量关系列不等式：
（1）a是正数；（2）m是非负数；
（3）a的绝对值是非负数；（4）x的3倍与5的差小于1；（5）x的一半不小于3；（6）a比5大；
（7）a的4倍大于a的3倍与7的差；（8）2x是非负数；
（9）x的3倍与8的和比x的5倍大；
（10）老师的年龄比你年龄的2倍还大；
（11）a的3倍与b的和不大于0；
（12）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长.
四、课堂检测，反馈小结
a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示：
用“＜”或“＞”号填空：
（1）a _______ b；（2）|a| ________ |b|；
（3）a＋b ________0；（4）a－b _______0；
（5）a＋b _______ a－b；（6）ab _______ a.。