苏科版数学九年级下册第5章二次函数课件：5.2二次函数的图像与性质(1)
向左、右无限延伸 一切实数 图像______________. （2）x的取值范围是________. 向上无限延伸，且x轴下方没有图像 y≥0 图像_______________________. （3）y的范围是____. 4 4 ；当x=2时，y=___. （4）当x=-2时，y=___ 图像上的 关于y轴对称 点（-2， 4 ）与点（2， 4 ）的位置关系是_________.
19
实际应用
已知正方形边长为xcm，面积为y cm2．求y 和x之间的函数关系式，并画出图象；
小明求出函数解析式为y=x2，并列表、描 点画出下面的函数图像. y
x y=x2 … -2 -1 … 4 1 0 0 1 1 2 2 … …
8 6 4 y=x2
小明的解题过程有问题吗？ 若有，请给出正确的解答.
1
温故而知新
1.什么叫做二次函数？ 一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数，其 中x是自变量，y是x的函数.
2.函数y=x2是二次函数吗？
2
思考与探索
根据二次函数表达式y=x2，你能描述这个函数图像 具有什么特征吗？ 原点 0 （1）当x=0时，y=_____. 图像过___________.
数形结合,直观感受
二次函数 y=x2、y=-x2 2 y= x 的图像都关于y轴对称 -4 -2
y O -2 -4 -6 2 4 x
函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y 10 8 6 4 2 O
形状都是抛物线
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
2 4 x
-8 -10
-4
-2
关于y轴对称 图像____________.
3
操作与思考
数形结合,直观感受
用描点法画二次函数y=x2的图像
回顾一下描点法 画函数图像的步骤
列表、描点、连线
4
操作与思考
数形结合,直观感受
如何选取自变量 的值比较恰当呢?
1.列表
x
y=x2
… …
-3
9
-2 4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
…
…
5
操作与思考
数形结合,直观感受
y=-x2
8
操作与思考
在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像. 1 2 2 (1)y=2x (2)y= x 2
1 2 (4)y=－ x 2 同学们交流一下，这四个函数图像有什么 共同特征？
(3)y=－2x2
9
思考与交流
这四个函数的图像，有什么共同特征？
y y=2x2 0 x
y 0 x y=-2x2
x2
开口方向相同时两个函数图像有何不同？
︱a︱的越大，开口越小
13
思考与探索
按︱a︱大小或图像的形状分
y y=2x2 0 x
y
y
0
x y=-2x2
------------------------------------------------------------y
0
x
0 1 y= x2 2 x
16
例题讲解
例1．已知 y
(k 2) x
k k 4
2
是二次
函数，且函数图像开口向上，求k的值；
17
练习：
m 已知二次函数 y ＝ m － 1 x
2
＋m
的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式． （2） 若y随x的增大而增大，求x的取值范围；若y随x的增 大而减小呢？
18
例题讲解
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
11
思考与探索
按开口的方向分
y
y
y=2x2 0 x
0 1 y= x2 2 x
a＞0时， 开口向上
----------------------------------------------------------------------------y
y
0
0
x y=-2x2
-4 -2
2 O○ 4 20x
2
小结与思考
今天这节课你有什么收获？ 这节课你还有哪些疑问？
21
补充习题第2页1、2 第4页3、4
22
y 0
y
x
0 1 y= x2 2 x
1 y=- x2 2
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
图像都是抛物线
顶点都在原点，对称轴都是y轴
10
思考与交流
若将这四个函数的图像分成两组， 如何分？分组的标准是什么?
y y=2x2 0 x
y 0 x y=-2x2
y 0
y
x
1
y=- x2 2
0
1 y= x2 2 x
y 10 8
2.描点 3.连线
连线时应注 意什么呢
y= x2
6 4 2 O
-4
-2
2
4
x
6
பைடு நூலகம்
操作与思考
数形结合,直观感受
y -4 -2 O -2 -4 -6 -8 -10 2 4 x
用描点法画二次函数y=-x2的图像，并思考函数 y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y=-x2
7
观察与发现
1 y=- x2 2
︱a︱相等时，图像形状相同
14
巩固练习
分别说出下列函数的开口方向、顶点坐
标、对称轴、最值和增减性：
3 1 y= －3x2，y= x2，y=5x2，y= － x2. 4 3
15
巩固练习
如图，四个二次函数的图象分别对应的 是y=ax2, y=bx2, y=cx2, y=dx2,则a,b,c,d的大小 关系为( A ) A.a＞b＞c＞d B.a＞b＞d＞c C .b＞ a＞ c＞ d D.b＞a＞d＞c
x
1
a＜0时，
开口向下
12
y=- x2 2
讨论与交流
y
y
y=2x2
0
a＞0时，
1 y= x2 2 x
x 0 --------------------------------------------------------------
开口向上
y
y
0
x y=-2x2
0
x
1 2
a＜0时，
开口向下
y=-
例2 ．已知二次函数y=ax2的图像经过点 P(2,3)，确定图像的开口方向. 若A、B在该函数图像上，且 在该函数图像上，A、 AB B∥ 关于 x轴， y轴 对称，且 AB=8 ，求 AB=8 A、 B ，求 两点的坐标 A、B两点的坐标 . .
求y=ax2的解析式，只需图象上一个点的坐标 (顶点除外) 或一组x、y的值。
19
实际应用
已知正方形边长为xcm，面积为y cm2．求y 和x之间的函数关系式，并画出图象；
小明求出函数解析式为y=x2，并列表、描 点画出下面的函数图像. y
x y=x2 … -2 -1 … 4 1 0 0 1 1 2 2 … …
8 6 4 y=x2
小明的解题过程有问题吗？ 若有，请给出正确的解答.
1
温故而知新
1.什么叫做二次函数？ 一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数，其 中x是自变量，y是x的函数.
2.函数y=x2是二次函数吗？
2
思考与探索
根据二次函数表达式y=x2，你能描述这个函数图像 具有什么特征吗？ 原点 0 （1）当x=0时，y=_____. 图像过___________.
数形结合,直观感受
二次函数 y=x2、y=-x2 2 y= x 的图像都关于y轴对称 -4 -2
y O -2 -4 -6 2 4 x
函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y 10 8 6 4 2 O
形状都是抛物线
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
2 4 x
-8 -10
-4
-2
关于y轴对称 图像____________.
3
操作与思考
数形结合,直观感受
用描点法画二次函数y=x2的图像
回顾一下描点法 画函数图像的步骤
列表、描点、连线
4
操作与思考
数形结合,直观感受
如何选取自变量 的值比较恰当呢?
1.列表
x
y=x2
… …
-3
9
-2 4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
…
…
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操作与思考
数形结合,直观感受
y=-x2
8
操作与思考
在平面直角坐标系中，画出下列函数的图像. 1 2 2 (1)y=2x (2)y= x 2
1 2 (4)y=－ x 2 同学们交流一下，这四个函数图像有什么 共同特征？
(3)y=－2x2
9
思考与交流
这四个函数的图像，有什么共同特征？
y y=2x2 0 x
y 0 x y=-2x2
x2
开口方向相同时两个函数图像有何不同？
︱a︱的越大，开口越小
13
思考与探索
按︱a︱大小或图像的形状分
y y=2x2 0 x
y
y
0
x y=-2x2
------------------------------------------------------------y
0
x
0 1 y= x2 2 x
16
例题讲解
例1．已知 y
(k 2) x
k k 4
2
是二次
函数，且函数图像开口向上，求k的值；
17
练习：
m 已知二次函数 y ＝ m － 1 x
2
＋m
的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式． （2） 若y随x的增大而增大，求x的取值范围；若y随x的增 大而减小呢？
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例题讲解
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
11
思考与探索
按开口的方向分
y
y
y=2x2 0 x
0 1 y= x2 2 x
a＞0时， 开口向上
----------------------------------------------------------------------------y
y
0
0
x y=-2x2
-4 -2
2 O○ 4 20x
2
小结与思考
今天这节课你有什么收获？ 这节课你还有哪些疑问？
21
补充习题第2页1、2 第4页3、4
22
y 0
y
x
0 1 y= x2 2 x
1 y=- x2 2
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
图像都是抛物线
顶点都在原点，对称轴都是y轴
10
思考与交流
若将这四个函数的图像分成两组， 如何分？分组的标准是什么?
y y=2x2 0 x
y 0 x y=-2x2
y 0
y
x
1
y=- x2 2
0
1 y= x2 2 x
y 10 8
2.描点 3.连线
连线时应注 意什么呢
y= x2
6 4 2 O
-4
-2
2
4
x
6
பைடு நூலகம்
操作与思考
数形结合,直观感受
y -4 -2 O -2 -4 -6 -8 -10 2 4 x
用描点法画二次函数y=-x2的图像，并思考函数 y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
y=-x2
7
观察与发现
1 y=- x2 2
︱a︱相等时，图像形状相同
14
巩固练习
分别说出下列函数的开口方向、顶点坐
标、对称轴、最值和增减性：
3 1 y= －3x2，y= x2，y=5x2，y= － x2. 4 3
15
巩固练习
如图，四个二次函数的图象分别对应的 是y=ax2, y=bx2, y=cx2, y=dx2,则a,b,c,d的大小 关系为( A ) A.a＞b＞c＞d B.a＞b＞d＞c C .b＞ a＞ c＞ d D.b＞a＞d＞c
x
1
a＜0时，
开口向下
12
y=- x2 2
讨论与交流
y
y
y=2x2
0
a＞0时，
1 y= x2 2 x
x 0 --------------------------------------------------------------
开口向上
y
y
0
x y=-2x2
0
x
1 2
a＜0时，
开口向下
y=-
例2 ．已知二次函数y=ax2的图像经过点 P(2,3)，确定图像的开口方向. 若A、B在该函数图像上，且 在该函数图像上，A、 AB B∥ 关于 x轴， y轴 对称，且 AB=8 ，求 AB=8 A、 B ，求 两点的坐标 A、B两点的坐标 . .
求y=ax2的解析式，只需图象上一个点的坐标 (顶点除外) 或一组x、y的值。
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苏科版 九年级数学 下第5章二次函数 5.2二次函数的图像和性质课件(15张PPT)-经典教学教辅文
（2） y2x2 4x
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
反馈检测 拓展延伸
1.抛物线y=（x-1)2+1的顶点坐标是（ ） A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2.将抛物线y=3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
3.函数y=2x2-4x-1写成y=a（x+h)2+k的形式是______，
向上移 2个单位
y 10
9 y＝ (x＋3)2＋2 8
7
6
5 变式：
4 二次函数y＝ (x－1)2 － 6的图像和y＝x2的图像
3 的位置有什么关系？
2 y＝ (x＋3)2 1
y＝ (x＋3)2 ＋2 y＝x2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
5.2 二次函数的图像和性质(4)
活动二：转化迁移 问题（3）函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？如何说明
问题（4） 你能将函数y＝ax2＋bx＋c 转化为 y＝a(x＋h)2＋k 的形式吗？
5.2 二次函数的图像和性质(4) 合作探究 集思广益
函数y＝x2＋2x＋3 的图像也是抛物线吗？
y ＝x2＋2x＋3 ＝x2＋2x＋1＋2 ＝ (x＋1)2＋2．
y＝x2＋2可以看成是y＝x2向 上平移两个单位长度．
y＝ (x＋3)2可以看成是y＝x2向 左平移三个单位长度．
5.2 二次函数的图像和性质(4)
有什么关系？
y＝ (x＋3)2＋2的图像与y＝x2的图像
y ＝ x2
向左移 3个单位
y＝ (x＋3)2
（2）观察图像： 函数y＝ (x＋3)2 ＋2有哪些性质？
初中数学
九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质(第3课时)(课件)九年级数学下册课件(苏科版)
＞
的两点，那么y1________y
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，
=2
>2
则k____；若顶点位于x轴下方，则k
<2 .
当堂检测
C )
A.开口向上
B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴
D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( D )
A．x＜2
B．x＞0
C．x＞－2
D．x＜0
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的
平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称
轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
与y=ax2的关系 上加下减
开口方向由a的符号决定
二次函数y＝ax2＋k
的图像和性质
图像
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y＝ ×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，
故点M的坐标为(0，2)．
大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
0
5
减小
大
y轴
的两点，那么y1________y
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，
=2
>2
则k____；若顶点位于x轴下方，则k
<2 .
当堂检测
C )
A.开口向上
B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴
D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( D )
A．x＜2
B．x＞0
C．x＞－2
D．x＜0
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的
平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称
轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
与y=ax2的关系 上加下减
开口方向由a的符号决定
二次函数y＝ax2＋k
的图像和性质
图像
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y＝ ×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，
故点M的坐标为(0，2)．
大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
0
5
减小
大
y轴
苏科版九年级数学下册第五章5.2.1列表法画二次函数的图像课件
数缺形时少直观， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事休.
华罗庚
自主探究：
探究二次函数y=-x2的性质
（1）对-x2你有何认识？ （2）从解析式来看二次函数y=-x2 具有什么性质？
（3）二次函数y=-x2的图像是什么 样的？先想一想，然后画出它的图像。
y
2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 -2
可以用合适的图像来 描述函数y=x2吗？想一想.
画出图像：
你会画二次函数y=x2的图像吗?
画出图像：
你还记得画函数图像的一 般步骤吗？
列表
列表:
描点
连线
x…
…
y=x2 …
…
画出图像：
描点
y
y=x2
10
8
连线
6
4
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2
探究性质：
（1）. 函数y=x2的图像和 你想的一样吗？
-4
-6
-8
-10 y=-x2
4x
二次函数的图像,形如物体抛射时所 经过的路线,我们把它叫做抛物线.
（4）你能结合它的图像说说它的
性质吗?
y
2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 -2
-4
-6
-8
-10 y=-x2
4x
小结：二次函数y=-x2的图像特点及性质： 1.图像是轴对称图形，对称轴是y轴
1.知识技能
2.数学思想 3.研究方法
巩固新知 拓展延伸
请同学们研究下列几个二次函 数的性质及图像
(1)y 1 x2 2
(2)y 1 x2 2
苏科版九年级数学下册5.2《二次函数的图像与性质(1)》课件
九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（1）
用数学的眼光观察世界
zxxkw
5.2 二次函数的图像和性质(1)
研究函数性质方法：数形结合 画函数图像步骤：列表 描点
连线
二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
用描点法画出二次函数y＝-x2的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 y= -x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4
和不同点?
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y 1 x2
2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=－21 x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
-3 -2
y 1 x2 2
y 1
对称轴是
y轴 ，顶点坐标为 (0，0) ；
当x > 0 时，函数值y随着x的增大而增大；顶点为图 象的最 低 点，当x＝ 0 时，此函数有最 小 值，
等于 0 .
y＝ 3x2
讨论二次函数的图象与性质时，要从图象的开口方向， 对称轴，顶点坐标，函数值的增减性以及函数的最大值或 最小值等方面去考虑。
小结 拓展 回味无穷
驶向胜利 的彼岸
请你谈谈这节课的收获。
如果继续往下学习你还想知 道些什么呢？
友情提醒： 注意数学思想方法在数学学习中的应用。
例题赏析
2. 如图所示的函数图象，其对应的函数表达式可能是（ ）
A. y＝x＋2 C. y＝0.6x2
B. y＝－5x2 D. y＝x2＋1
3. 已知点P (1，a)、Q (b，4) 在函数y=9x2的图象上，
5.2 二次函数的图像和性质（1）
用数学的眼光观察世界
zxxkw
5.2 二次函数的图像和性质(1)
研究函数性质方法：数形结合 画函数图像步骤：列表 描点
连线
二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
用描点法画出二次函数y＝-x2的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 y= -x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4
和不同点?
y 2x2 y
10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
y x2 y 1 x2
2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=－21 x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
-3 -2
y 1 x2 2
y 1
对称轴是
y轴 ，顶点坐标为 (0，0) ；
当x > 0 时，函数值y随着x的增大而增大；顶点为图 象的最 低 点，当x＝ 0 时，此函数有最 小 值，
等于 0 .
y＝ 3x2
讨论二次函数的图象与性质时，要从图象的开口方向， 对称轴，顶点坐标，函数值的增减性以及函数的最大值或 最小值等方面去考虑。
小结 拓展 回味无穷
驶向胜利 的彼岸
请你谈谈这节课的收获。
如果继续往下学习你还想知 道些什么呢？
友情提醒： 注意数学思想方法在数学学习中的应用。
例题赏析
2. 如图所示的函数图象，其对应的函数表达式可能是（ ）
A. y＝x＋2 C. y＝0.6x2
B. y＝－5x2 D. y＝x2＋1
3. 已知点P (1，a)、Q (b，4) 在函数y=9x2的图象上，
5.2二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax^2 bx c的图像和性质(教学课件)-初中数
=-(x2+4x+4-4)-5 =-(x+2)2-1. 二次项系数-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标为(-2，-1)，对称轴 是过点(-2，-1)且平行于y轴的直线.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
二次函数y=-x2-4x-5 的图像如图所示.
由图像可知， 当x=-2时， y的值最大， 最大值是-1.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
y＝
1 2
x2－6x＋21
y＝
1 2
(x2－12x)＋21
你知道是怎样配方的吗？ 1. “提”：提出二次项系数；
1 y＝ 2 (x2－12x＋36－36)＋21
y＝ 1 (x－6) 2＋21－18 2
2.“配”：括号内配成完全平方式；
a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值；
4ac － b2
函数在顶点处取得有最大（小）值 4a
.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
练一练：用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式 为( B ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)的性质
例1 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐 标、对称轴、最大值或最小值. 【分析】要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变
5.2.2 二次函数的图象和性质 苏科版九年级数学下册课件
本节小结
二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x＋h)2， y＝a(x＋h)2＋k（a≠0）的图象和性
质
上下平移
y=ax2+k
左右平移
y=ax2
上下左右平移
y=a(x＋h)2+k
左右平移
y=a(x＋h)2
上下平移
作业提升
请完成教材课后习题
感悟新知
2知. 二识次点函数y=a(x＋h)2+k 的图象与性质
函数 y=a(x＋h)2+k(a>0)
y=a(x＋h)2+k(a<0)
图象
顶点 位置
当h<0，k>0 时，顶点在第一象限；当h>0，k>0 时， 顶点在第二象限；当h>0，k<0 时，顶点在第三象限； 当h<0，k<0 时，顶点在第四象限
感悟新知
例6
已知抛物线y=a(x＋h)2+k
是由抛物线y=－
1 2
x2
向上
平移2 个单位，再向右平移1 个单位得到的.
(1)求出a，h，k 的值；
解向：右平∵移抛物1 个线单y=位－后12得x到2 向的上抛平物移线2是个y单=－位，12
再 (x
－1)2+2，∴ a=－ 1 ，h=－1，k=2. 2
y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到. ③“横变纵不变”表示坐标的平移规律，即抛物线平移时对应
点的横
感悟新知
例 3 抛物线y=－3(x－1)2 的开口__向__下__，对称轴是 __直__线__x_=__1_，顶点坐标是____(_1_，__0_)___ . 解题秘方：根据顶点式求抛物线的开口方向， 对称轴及顶点坐标.
九下数学课件二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质(课件)
知识点三 二次函数的性质
【变式2】二次函数y＝x2－ax＋b的图像如图所示，对称轴为直线x＝2，
下 列结论不正确的是( C )
A. a＝4 B. 当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8) C. 当x＝－1时，b＞－5 D. 当x＞3时，y随x的增大而增大
知识点四 求最大值、最小值 【例4】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.2.5 二次函数y=ax2+bx+c 的图像与性质
1.理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x+h)2+k之间的关系 2.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
3.体会二次函数y=ax2+bx+c的图像与a，b，c之间的
关系
思考（一） 请说出抛物线y=ax²+k， y=a（x+h）²，y=a（x+h）²+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.
知识点五 图像的位置与系数a、b、c的Biblioteka 系字母的符号图象的特征
a＞0
a
a＜0
开口向上 开口向下
ab＞0（a，b同号） 对称轴在y轴左侧
b
ab＜0（a，b异号） 对称轴在y轴右侧
c=0
图象过原点
c
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
知识点五 图像的位置与系数a、b、c的关系
【例5】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，那 么abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式中， 值为正数的有( )
能力提升
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1 的顶点为A.点B的坐标为(3，5)． (1) 求抛物线过点B时顶点A的坐标； (2) 点A的坐标记为(x，y)，求y与x的函数表达式； (3) 如图，点C的坐标为(0，2)，若抛物线y＝x2－2mx＋m2＋2m－1与线段
九下数学课件二次函数y=ax^2的图像与性质 (课件)
初中数学苏科版版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
中物理
第5章 二次函数
5.2.1 二次函数y＝ax^2的
图像与性质
1.掌握利用描点法作出y=x2 的图像，并能根据图像认识
和理解二次函数y=x2的性质．
2.理解a对二次函数图像的影响，能说出y=ax2图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标．
3.掌握二次函数y=ax2的性质，会指出最值与增减性.
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对
称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点．
知识点二 二次函数图像的特征
1 2
1 2
2
【例2】函数 y＝ x 和 y＝2 x 、y＝ x 和 y＝ 2 x 2 的
2
2
图像各有什么特征，并与同学交流．
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对
点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以
计算简单、描点方便为原则.
【归纳总结】用描点法画函数y=ax2（a ≠ 0）的图像的一般步骤
(2)描点：
一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，
一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速
准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取三个点画图.
4
能力提升
1 2
(2)将y＝1代入y＝ x ，得x＝±2，∴
4
点M、N的坐标分别为(－2，1)、
(2，1)，此时MN＝2－(－2)＝4.∵ △PMN是等边三角形，∴ 点P在y轴上，
且PM＝4.∴ PF＝ 42 − 22 ＝2 3.∵ 点F(0，1)，∴ 点P的坐标为
苏科版数学九年级下册5.2《二次函数的图像和性质》ppt课件1
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-10
-5
O
5
x
10
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 下 ，对称轴 是y在轴直所线，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3 。若
y=ax2 (a≠0) 图 象
开口方向 顶点坐标
对称轴 增 减 性
最值
a>0 y
Ox 向上
(0 ,0) y轴所在直线
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
九年级数学下第5章二次函数5.2二次函数的图象和性质5.2.4二次函数y=a(x+h)2+k的图
8 【中考·泰安】对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结 论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x＝1；③ 顶点坐标为(－1，3)；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减 小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
9 【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大 值或最小值，下列说法正确的是( D ) A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
可知 m＝－2；若函数在 x＝n 时取得最小值，则 2m＝－ (n－1)2＋5，由 n＝2.5 可得 m＝181(不合题意，舍去)． 综上，m＋n＝－2＋2.5＝0.5. 易错提示：应注意不同情况的分类讨论，否 则容易漏解．
12 【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0， －3)和(3，0)．
解：∵h＝2.6，球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， ∴抛物线 y＝a(x－6)2＋2.6 过点(0，2)， 即 2＝a(0－6)2＋2.6，解得 a＝－610. 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝－610(x－6)2＋2.6.
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说 明理由．
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月下午5时34分22.4.517:34April 5, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年4月5日星期二5时34分49秒17:34:495 April 20
22
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You made my day!
以点 A 为圆心，以 3 2长为半径画圆， 交 y 轴于点(0，－3)(不包括点 B)； 综上所述，当△ABM 为等腰三角形时，点 M 的坐标分别为 (0，0)、(0，3－3 2)、(0，3＋3 2)、(0，－3)．