曲线的曲率
曲线的斜率和曲率
曲线的斜率和曲率
曲线的斜率：亦名纪数、微商，由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。
又称变化率。
当直线L的斜率存在时，斜截式y=kx+b，当x=0时，y=b。
当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k（x2-x1）。
对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向所成的角，即k=tanα。
斜率计算：ax+by+c=0中，k=-a/b。
曲线的曲率：就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。
平坦对不同的几何体有不同的意义。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。
这是关于时空扭曲造成的。
结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率；在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求。
斜率相对于坐标轴，曲率相对于切线。
就拿圆来说，每一点的曲率相同，但斜率不同。
曲线的曲率计算公式
曲线的曲率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：曲线是几何学中一个非常重要的概念，它描述了平面或空间中的一条连续的曲线。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，它可以帮助我们了解曲线在某一点的弯曲程度，从而对曲线的形状和性质进行分析。
曲线的曲率计算公式是用来计算曲线在某一点的曲率的数学公式。
曲率的定义是曲线在某一点处的弯曲程度，可以理解为曲线在该点处的切线的弯曲程度。
曲线的曲率计算公式可以用不同的数学方法来推导，其中最常用的是微积分的方法。
在微积分中，曲线的曲率可以用导数来表示。
具体来说，对于平面曲线上的一点P(x, y)，曲线在该点处的曲率可以用下面的公式来表示：\[k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\]k表示曲率，y'和y''分别表示y关于x的一阶和二阶导数。
这个公式可以帮助我们计算出曲线在某一点处的曲率，从而了解曲线在该点处的弯曲情况。
曲线的曲率计算公式是数学分析中的一个重要概念，在几何、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
通过计算曲线的曲率，我们可以更深入地了解曲线的形状和性质，从而帮助我们解决各种实际问题。
曲线的曲率计算公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们了解曲线的曲率和弯曲情况，从而对曲线进行全面的分析。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，其计算公式是曲率计算的基础。
在数学、物理、工程等领域，曲率计算公式被广泛应用，用于描述曲线轨迹的弯曲程度，研究曲线的性质和特征。
本文将介绍曲线的曲率计算公式及其应用。
一、曲线的曲率定义我们来定义曲线的曲率。
在平面几何中，曲线的曲率是指曲线某一点处的切线方向改变的速率。
更直观地说，曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度。
曲率的数值越大，说明曲线在该点处的弯曲程度越大；曲率的数值越小，说明曲线在该点处的弯曲程度越小。
曲率k的公式
曲率是指曲线在某一点处的弯曲程度。
曲率的单位是1/米，符号为k。
常见的曲率公式有以下几种：
1 直线的曲率为0，即k=0。
2 圆弧的曲率公式为k=1/r，其中r为圆的半径。
3 椭圆的曲率公式为k=4a^2/(4a^2-b^2)，其中a为椭圆的长轴半
径，b为椭圆的短轴半径。
4 法线曲率公式为k_n=k/(1+k^2s^2)，其中k为曲线的曲率，s为曲
线在该点处的切线斜率。
这些公式都是用来计算曲率的常用公式，在几何、力学、流体力学、机械设计等领域都有广泛应用。
此外，还有一些常见的曲率公式，如下：
5 正弦曲率公式：k=a*sin(ωt)，其中a为曲线的振幅，ω为角速度，
t为时间。
6 余弦曲率公式：k=a*cos(ωt)，其中a为曲线的振幅，ω为角速度，
t为时间。
7 指数曲率公式：k=a*exp(-bt)，其中a为曲线的初始曲率，b为衰
减系数，t为时间。
8 幂函数曲率公式：k=a*t^n，其中a为常数，n为指数。
这些曲率公式通常用来描述曲率随时间变化的规律，在动力学、控制系统、信号处理等领域中有广泛应用。
曲线的曲率曲率半径
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
Q 70(千克力) 571.4(千克力),
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
§2-8
曲线的曲率.曲率半径
一、平面曲线的曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
1
2
M2 S2 M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
y
M0 是基点. MM s ,
C
M.
M M 切线转角为 .
S
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下,
s0 s ds
K
d .
ds
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 对于半径为R的圆周 Δ S = RΔθ
1
s R
（3）曲率的倒数称为 曲率半径 = 1/K
1 cos t
sin3 t
2
y
1 4a
1 sin4
t
,
代入公式K
(1
y y2 )3/ 2
1 4a sin
t
曲线的曲率
于是 ds 1 y2 dx．这就是弧微分公式．
(
(
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线 C 上从点 M 到点 M 的弧 为 D s ，切线的转角为 D a ．
M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分． 设x，x+Dx 为(a，b)内两个邻近的点， 它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
Ds MM D x Dx
2
2
2 2 MM | MM | MM ( Dx ) ( Dy ) 2 2 | M M | ( D x ) | M M |
2 MM Dy 1 | MM | Dx
(
Dy | MM | | MM | y， lim 因为 lim 1， 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y ． dx ds ds 1 y2 ． 由于ss(x)是单调增加函数，从而 >0, dx dx
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M
Da 为弧段 MM 的平均曲率． 我们称 K Ds 曲率： Da 为曲线C在点M处的曲率． 我们称 K lim Ds 0 Ds da Da da K lim 在 存在的条件下 ． Ds 0 Ds ds ds
§2.9曲线的曲率
2.9.1 曲率概念
曲线弧 M⌒N 两端切线的夹角 ，可以看作是点 M 沿
曲线移动到点 N 时，切线 MT 随着转动到NT 所转过的角，
故 又称为转角。
N
决定曲线弯曲程度的两个因素：
（1）曲线的弧长；
（2）弧两端切线的转角。
M
N
N1
1 M
⌒⌒ MN MN1 ,
1 , 弧长若相等， 角大弯度大。
N
N1
M M1
⌒⌒ MN MN1 ,
转角若相等，
弧大弯度小。
1．曲综率 上分的析定可义知：弧的弯曲程度可用弧两端切线的转角
定与义弧：长在之具比有⌒长 度来和描连述续，比值愈大y ，弧的弯y曲 程f (度x) 就愈
转大动，切比线值的愈曲小M线，N L弧上的取弯定曲程度就愈小。
一点 M ，作为弧长计算
2。 2
例
4．求椭圆xy34csoinstt
在t
4
处的曲率。
解：
y 4cost
4 cott
， y
4 csc2 t 3
4
csc3 t
，
3sint 3
3sint 32
y t
4
4 3
，
y
t
4
8 2 32
，
K
82 32
82
3
32 125
24 2 125
。
1( 4)2 2 27
3
例 5．抛物线 y ax2 bxc 上哪一点处的曲率最大？
2．曲率中心的计算公式、渐屈线与渐伸线
设已知曲线的方程为 y f (x) ，且其二阶导数y 在
点 x 不为零，则曲线在点M (x, y) 的曲率圆的方程为
曲率 正负 标准
曲率正负标准曲率是描述曲线或曲面在某一点的曲率大小以及曲率方向的物理量。
在数学和物理学领域中，曲率的正负标准是非常重要的。
本文将详细介绍曲率的概念、计算方法以及在不同领域中的应用。
一、曲率的概念曲率描述了曲线或曲面在某一点的弯曲程度。
对于曲线而言，曲率越大，曲线越弯曲；曲率越小，曲线越接近直线。
对于曲面而言，曲率描述了曲面在某一点所呈现的凹凸程度。
如果曲率为正，则曲面在该点凸起；如果曲率为负，则曲面在该点凹陷。
二、曲率的计算方法在数学中，曲率的计算方法有不同的推导方式，下面将介绍其中的一种方法。
对于曲线的曲率计算，可以使用以下公式：\[\kappa = \frac{y''}{(1+y'^{2})^{\frac{3}{2}}}\]其中，\(\kappa\)表示曲线的曲率，\(y'\)表示曲线的一阶导数，\(y''\)表示曲线的二阶导数。
对于曲面的曲率计算，可以使用以下公式：\[\kappa = \frac{\|r_{u} \times r_{v}\|}{\|r_{u}\|^{2}\|r_{v}\|^{2} - (r_{u} \cdot r_{v})^{2}}\]其中，\(\kappa\)表示曲面的曲率，\(r_{u}\)和\(r_{v}\)表示曲面上某一点处的两个切向量。
三、曲率的正负标准在曲率的计算中，曲率的正负标准用于表示曲线或曲面的凸凹性。
正曲率表示曲线或曲面在某一点处凸起，负曲率表示曲线或曲面在某一点处凹陷。
对于曲线而言，当曲率为正时，曲线在该点处向外凸出；当曲率为负时，曲线在该点处向内凹陷。
对于曲面而言，当曲率为正时，曲面在该点处呈现凸面；当曲率为负时，曲面在该点处呈现凹面。
正负曲率的标准在几何学、光学、物理学等领域具有重要的应用。
在几何学中，曲率的正负决定了曲线或曲面的形状和特性，是研究几何形体的基本工具。
在光学中，正曲率的透镜能够使光线向一侧偏折，负曲率的透镜能够使光线向相反的一侧偏折，因此正负曲率透镜在成像和焦距调节方面有重要应用。
曲线的弧长与曲率
曲线的弧长与曲率曲线是数学中常见的概念，而研究曲线的性质也是数学分析的重要内容之一。
在曲线的研究中，弧长和曲率被广泛应用于描述和分析曲线的特征。
本文将重点介绍曲线的弧长与曲率的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、曲线的弧长曲线的弧长是指曲线上两点之间的长度。
在平面几何中，我们经常使用直线段的长度来描述距离，但是对于曲线，由于其不是直线，所以无法直接使用直线段的长度来描述曲线间的距离。
曲线的弧长是通过将曲线分成无限多个微小的线段，然后对每个微小线段的长度进行累加得到。
计算曲线的弧长可以使用微积分中的积分方法。
设曲线函数为y=f(x)，对于曲线上的一段很小的微小线段[Pn, Pn+1]，则该微小线段的长度可以表示为：ΔL = √(Δx^2 + Δy^2)其中Δx和Δy分别为微小线段[Pn, Pn+1]在x轴和y轴上的长度变化。
通过将上述微小线段长度进行累加求和，可以得到曲线在给定区间[a, b]上的弧长L，表示为积分形式：L = ∫[a,b]√(1+(dy/dx)^2)dx其中dy/dx表示曲线的导数。
二、曲线的曲率曲线的曲率是描述曲线的弯曲程度的量。
对于曲线上的任意一点P，曲率是一个与该点有关的值，可以表示为曲线在该点处的切线与曲线的夹角的度量。
曲率的大小与曲线的曲率半径有关，曲率半径是曲线在该点处的切线与曲线夹角的倒数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程来计算，参数方程表示曲线上的点与参数之间的关系。
设曲线的参数方程为[x(t), y(t)]，则曲线的曲率可以表示为：K = |(dx/dt)(d^2y/dt^2) - (d^2x/dt^2)(dy/dt)| / [(dx/dt)^2 +(dy/dt)^2]^(3/2)其中dx/dt和dy/dt分别表示曲线参数关于t的导数，d^2x/dt^2和d^2y/dt^2分别表示曲线参数关于t的二阶导数。
三、弧长与曲率的关系曲线的弧长和曲率之间存在一定的关系。
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§2-8 曲线的曲率
在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义.
直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图2-38，弧
AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏差θ∆. 可是，弧 CD
的全曲率与弧 AB 的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为s ∆的弧的全曲率θ∆同弧长s ∆的比值/s θ∆∆，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限
s
s s K s d d lim lim 0A B A θ
θθ=∆∆=∆∆=→∆→
定义为弧
AB 在点A 处的曲率 (其中θ∆为弧 AB 的全曲率, s ∆为弧 AB 的长度).
对于半径为R 的圆周来说(图2-39)，由于θ∆=∆R s ，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为
R
s s K s 1
d d lim
0==∆∆=→∆θθ
对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率0A K ≠时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点A 相切(即有公切线)且半径1/A A R K =.这样 的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点A 处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆.
请读者注意，因为曲率有可能是负数．．．．．．．．．．，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号．．．．．．．．．．．．．．．．．，所以曲率半．．．．．径也有可．．．．能是负数．．．．.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率.
对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图2-41)，由于
图2-39
图2-40
()tan y x θ'=， arctan ()y x θ'=
所以，若有二阶导数()y x ''，则
[]
2
()
d d 1()y x x y x θ''
=
'+ 注意到d s x =，则弧上点(),()A x y x 处的曲率为 {}32
2d ()
ds 1[()]y x K y x θ''=
=
'+ (2-10) 当()0y x ''≠时，曲率半径为 {}
32
21[()]1()
y x R K
y x '+=
='' (2-11)
其中，()0y x ''>时，曲率K 和曲率半径R 都大于0，说明曲线弧向上弯曲或曲率圆在弧的上方 (图2-41).反之，说明曲线弧向下弯曲或曲率圆在弧的下方.
例32 对于图2-40中那个抛物线2y ax =，因为2,2y ax y a '''==，所以
(曲率) 2
322)
41(2x a a
K +=, (曲率半径) a x a K R 2)41(12322+== 显然，原点)0,0(O 处有最大曲率=K a 2，最小曲率半径a
R 21
=. 点(1,)A a 处的曲率和曲率半径依次为
2
32)41(2a a
K +=， a a R 2)41(232+=
可见，抛物线上离顶点越远，曲率越小，而曲率半径越大.
对于用参数方程)()()
(βα≤≤⎩
⎨⎧==t t y y t x x 表示的曲线弧，其中)(t x 和)(t y 有二阶导数且
22[()][()]0x
t y t +> [不妨认为()0x t ≠ ] 因为
d ()d ()y y t x x t = ， 223
d d d d ()d ()d ()()()()d d d d ()d ()d [()]y y y t y t t y t x t y t x
t x x x x x t t x t x x t ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
把它们依次代入曲率公式和曲率半径公式，则得 (曲率公式) 2232
()yx
yx K x
y -=
+ (2-12) (曲率半径公式) 2232()x
y R yx yx
+=
- (0)yx yx -≠ (2-13) 习 题
图2-41
1.求下列曲线的曲率和曲率半径：
⑴ 1=y x (双曲线)； ⑵x p y 22=(抛物线)； ⑶⎩
⎨⎧-=-=)cos 1()
sin (t a y t t a x .
答案：⑴2343
)1(2x x K +=；⑵)
0()(sgn 23222≠+-=y y p y p K ；⑶y
a K 221-=. 2.在对数曲线x y ln =上，求出曲率绝对值最大的点. 答案：1ln 2
2⎫
-⎪⎭
.
3.极坐标系中曲线的曲率公式 证明：极坐标系中曲线)(θr r =的曲率公式为
2
32222)(2r r r r r r K '+'
'-'+= [提示:⎩⎨⎧==θ
θθθsin )(cos )(r y r x ] 并由此求下列曲线的曲率:
⑴ θa r =(阿基米德螺线)； ⑵ θm a r e =(对数螺线)； ⑶ )cos 1(θ+=a r (心形线)； ⑷ θ2cos 22a r =(双纽线).
答案：⑴2322)1(2θθ++=a K ；⑵211m
r K +=；⑶r r a
K 223=；⑷23a r K =.。