【中考小复习】北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系
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下册第二章复习（一） ┃ 知识归类
[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口 方向只与a有关．
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下册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 求三角函数值方法较多， 解法灵活， 在具体的解题中要根据已 知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角 的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边 的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值； (6)构造直角三角形求值．
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2．如图X1－4，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC， BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折， 1 使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为________． 2
4．坡度和坡角
坡度 通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______ ，
h 用字母i表示，即i＝______ l
.把坡面与水平面的夹角叫
坡角 做
h _____，记作∠α ，于是i＝ _____ ＝tanα ，显 l
然，坡度越大，α 角越大，坡面就越陡．
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下册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点二 特殊角的三角函数值
2 3 例 2 计算： ＋tan60° － 0. ＋ 3 3
[解析] 本题考查数的 0 次幂、分母有理化和特殊角的三角函数 值． 解：原式＝ 3＋ 3＋1＝2 3＋1.
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下册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点三 例3 利用直角三角形解决和高度有关的问题
3．二次函数的性质
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一般式 y＝ax2 ＋bx＋c 开口 方向 a>0 a＜0 顶点式 y＝a(x－h)2＋k
________ 开口向上
________ 开口向上
开口向下 ________
2 b 4ac－b － ， 2a 4a ________
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┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
知识与 技能
特殊角的三角函数 值 边角关系 应用及综合
思想方法
亮点
15、16题以图形变换的方式考查对解直角三角形方法的理解， 24题以直角三角形为平台，综合考查学生的计算能力和逻辑推理 能力.
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1．如图 X1－3，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥AB，AD 4 ＝CD，cos∠DCA＝ ，BC＝10，则 AB 的值是( C ) 5 A．9 B．8 C．6 D．3
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解： 过点 A 作 A D ⊥B C 于点 D . 根据题意， B C ＝90°－30°＝60°， C D ＝45°. ∠A ∠A ∴∠C A D ＝45°， ∴∠A C D ＝∠C A D ， ∴A D ＝C D ， ∴B D ＝B C －C D ＝200－A D . AD 在Rt △A B D 中， ∠A B D ＝ t an BD ， 3( 200－A D ) ， 3.
m2＋m＝2， 解：根据题意，得 m＋1<0.
解得 m＝－2.
方法技巧 解答这类问题要明确两点：(1)函数图象是抛物线，所以是二 次函数；(2)抛物线的开口只与二次项系数有关．
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下册第二章复习（一） ┃ 考点攻略 ► 考点二 例2 二次函数图象的平移
如果将抛物线y＝x2＋bx＋c沿直角平面坐标向左平移
5 3 ________cm(保留根号)． 2
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图X1－6
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┃知识归纳┃
1．二次函数的概念 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数， a≠0 )的
函数，叫做二次函数．
2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y＝x2－2x＋1，则b 6 －6 ＝________，c＝________.
________ 开口向下
顶点坐标
(h，k) ________
直线 x＝h
对称轴
b 直线 x＝－ 2a
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当 x＝－ 最 大 (小) 值 a＜0 a＞0
b ， 2a
2
4ac－b y 最小值＝ 4a 当 x＝－ b ， 2a
当 x＝h，y 最小值＝k
4ac－b y 最大值＝ 4a
2
当 x＝h，y 最大值＝k
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b 当 x<－ 时，y 的值 2a a＞0 当 x<h 时，y 的值随 x
随 x 的增大而 减小 ； 的增大而 减小 ； x>h 当 b 时， 的值随 x 的增大而 y 当 x>－ 时， 的值随 x y 2a 增大 增大 的增大而 增大 b 当 x<－ 时，y 的值 2a 当 x<h 时，y 的值随 x 随 x 的增大而 增大 ； 的增大而 增大 ； x>h 当 b y 时， 的值随 x 时， 的值随 x 的增大而 y 2a 减小 的增大而 减小 当 x>－
增 减性
a＜0
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4.二次函数图象的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2 的图象可得到二次函数y＝ a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减， 上加下减．
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┃考点攻略┃
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AG 解： CF 与 AB 交于点 G， Rt△AFG 中， 设 在 tan∠AFG＝ ， FG AG AG ∴FG＝ ＝ . tan∠AFG 3 AG AG 在 Rt△ACG 中， tan∠ACG＝ ， ∴CG＝ ＝ 3AG. CG tan∠ACG AG 又 CG－FG＝40，即 3AG－ ＝40， 3 ∴AG＝20 3，∴AB＝(20 3＋1.5)m. 答：这幢教学楼 AB 的高度为(20 3＋1.5)m.
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方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
► 考点一 例1
值．
二次函数的定义应用
已知抛物线y＝(m＋1)xm2 ＋m的开口向下，求m的
[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛 物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下 得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.
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如图 X1－5，∠ABC 的平分线在 y 轴上，点 C 的坐标为(2,0)， 1 点 B 的坐标是(0,2)，直线 AC 的解析式为 y＝ x－1，则 tanA 的值 2 1 3 是________．
图 X1－5
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下册第一章复习 ┃ 考点攻略 ► 考点四 例4 利用直角三角形解决平面图形中的距离问题
为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正
在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某 河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿 河边取两点B，C，在B 处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北 方向上，量得BC长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．
┃考点攻略┃
► 考点一 求三角函数值
4 例 1 在△ABC 中，∠C＝90° ，sinA＝ ，则 tanB＝( B ) 5 4 A. 3 3 B. 4 3 C. 5 4 D. 5
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4 [解析] B 根据 sinA＝ ， 可设三角形的两边长分别为 4k,5k， 5 3k 3 则第三边长为 3k，所以 tanB＝ ＝ . 4k 4
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[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 DC=AD,BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，∴AD＋ 3AD ＝ ＝200 3，解出 AD 即可．
2019北师大版九年级数学下册知识点归纳：第一章直角三角形的边角关系
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
(3)边与角之间的关系：
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
c
c
b
a
sin B b , cos B a , tan B b , cot B a ;
c
c
a
b
(4)面积公式: S
1 2
ab
1 2
chc
(hc
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角
※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在 0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦
值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
2 30°，45°，60°角的三角函数值
3 三角函数的计算
4 解直角三角形
5 三角函数的应用
6 利用三角函数测高
※一. 正切：
定义：在 Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即
tan
A
A的对边 A的邻边
;
①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；
为
C
边上的高);
(5)直角三角形的内切圆半径 r a b c 2
(6)直角三角形的外接圆半径 R 1 c 2
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
B
i=h:l h
北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
北师大版九年级下册第一章直角三角函数的边角关系课本知识点
北师大版九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1、锐角三角函数
在ABC Rt ∆中，如果锐角A 确定，那么A ∠的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A ∠的正切，记作A tan ，即
的邻边
的对边A A A ∠∠=tan . A tan 的值越大，梯子越陡。
A ∠的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，即
斜边
的对边A A ∠=sin . A sin 的值越大，梯子越陡。
A ∠的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos ，即
斜边
的邻边A A ∠=cos . A cos 的值越小，梯子越陡。
锐角A 的正弦、余弦和正切都是A ∠的三角函数。
2、30°、45°、60°角的三角函数值
2130sin =︒
2245sin =︒ 2360sin =︒ 2330cos =︒
2245cos =︒ 2160cos =︒ 3330tan =︒ 145tan =︒ 360tan =︒
3、三角函数的计算（略）
4、解直角三角形
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角。
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
5、三角函数的应用（略）
6、利用三角函数测高（略）。
北师大版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析
2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。
最新北师大版九年级数学下册第一章 直角三角形的边角关系小结与复习
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
回顾与思考
1.锐角三角函数定义: tanA= sinA=
A的对边 A的邻边
B 斜边 ∠A的对边 A ∠A的邻边 ┌ C
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
回顾与思考 1.结论:梯子的倾斜程度与tanA 、sinA和cosA有关: tanA越___,梯子越陡.sinA越___,梯子越陡; cosA越____,梯子越陡. 2.在∠A+∠B=90°时，_________
1.若A为锐角， sin A和cos A随A如何变化？
sin A随A的增大而增大 cos A随A的增大而减小
2.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度 与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角 的正切.
铅直高度 i tan 水平宽度
3.朝上看时，视线与水平面夹角为仰角 朝下看时，视线与水平面夹角为俯角
3 ，则 cosB 5
中考链接
3.(2013 年深圳市)如图，已知 l1 // l 2 // l3 ，相邻两条平行直线间的距离相 等，若等腰直角△ ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin 的值是（ D ）
1 A. 3
6 B. 17
5 C. 5
10 D. 10
D
C
E
l1 l2 l3
1.如图,已知Rt△ABC中，斜边BC上的高 AD=4，cosB= 4 ,则AC=_______.
5
【解析】因为∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高，
所以∠B=∠CAD；
因为cosB= ,
所以在Rt△ADC中，cos∠CAD= 又因为AD=4，所以AC=5. 答案：5
【中考小复习】北师大九年级下第一章直角三角形的边角关系
下册第二章复习（一） ┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次函数的定义应用 例1 已知抛物线y＝(m＋1)xm2＋m的开口向下，求m的
值．
[解析] 本题容易考虑不全面，只考虑m＋1＜0，而忽略抛 物线是二次函数的图象，自变量x的次数为2.由抛物线开口向下 得m＋1＜0且m2＋m＝2，即m＝－2.
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[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
根据∠CAD＝45°，可得 DC=AD,BD＝BC－CD＝200－AD.
在
Rt△ABD
中，根据
tan∠ABD
＝
AD BD
，
可
得
AD ＝
BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝ 3(200－AD)，∴AD＋ 3AD
在 Rt△ACG 中，tan∠ACG＝ACGG，∴CG＝tan∠AGACG＝ 3AG. 又 CG－FG＝40，即 3AG－AG3 ＝40， ∴AG＝20 3，∴AB＝(20 3＋1.5)m. 答：这幢教学楼 AB 的高度为(20 3＋1.5)m.
数学·新课标（BS）
下册第一章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
cosA等于_____. 6.在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10 ， CD⊥AB，则sin∠ACD 的值是_____ .
B
3 7.在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4 则tanB=_____ . 4 8.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 3 则cosA= ______.
tanA=
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①Байду номын сангаас
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系复习教学设计
7.教学策略：
a.采用启发式教学，引导学生主动探究，发现规律。
b.结合多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示直角三角形的性质和判定方法。
c.设计具有挑战性的问题，激发学生的求知欲，培养他们解决问题的能力。
1.学生对基础知识的掌握程度，查漏补缺，巩固直角三角形的基本概念和性质。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，注异化教学，提高学生的整体水平。
4.激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的自主学习能力。
在教学过程中，教师应关注学生的心理特点，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉悦的情感中掌握知识，提高能力。同时，注重培养学生的合作意识和团队精神，提高学生在集体中的沟通与协作能力。
d.定期组织课堂小结，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课阶段，我将通过一个简单的实际问题来激发学生的兴趣和好奇心。我会向学生展示一张学校升旗仪式的照片，并提问：“同学们，你们知道我们学校的旗杆有多高吗？”这个问题与学生的日常生活紧密相关，能够吸引他们的注意力。接下来，我会引导学生思考如何用数学方法来解决这个问题，自然引出直角三角形的边角关系。
在学生完成练习后，我会挑选部分习题进行讲解，分析解题思路和方法，帮助学生发现并纠正错误。
（五）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课的主要内容，包括直角三角形的定义、性质、判定方法以及三角函数的应用。我会让学生分享自己在小组讨论和课堂练习中的收获和困惑。
此外，我还会强调数学知识在实际生活中的应用价值，鼓励学生在日常生活中多观察、多思考，将所学知识用于解决实际问题。通过这样的总结归纳，学生能够对直角三角形的边角关系有一个更加全面和深入的理解。
北师大版九年级下册数学《三角函数的应用》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有 没有触礁的危险，由谁来决定？
北
A
东
B
CD
分析：根据题意，小岛四周10 n mile内有暗礁，那么货轮
继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10 n mile，则无触
礁的危险；如果小于或者等于10 n mile，则有触礁的危险. A到
当堂练习
解析：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD=
1 2
OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB
=75°－30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= 2AD= 2 2 km．
即该船航行的距离为2 2 km．
160 3 277.1
C
答：这栋楼高约为277.1m.
讲授新课
练一练
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部
A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，
A
B
求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，
BC=DC=40m.
在Rt△ACD中， tan
∴BC = AB = 1000 = 1000 3 (m).
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知 条件解直角三角形．
练习2：如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞
行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿
与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿