2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

2007全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、选择题

(1)【答案】B

【详解】

方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0

x→时，

1

11;

2

x

e x x

-::

2

22

1cos2sin2(),

222

x x x

x

-==

:当0

x+

→

时，此时0

→

，所以1(1

-:

:2

1

1,

2

-:可以排除A、C、D，所以选(B).

方法2：

=

=

ln[1+

当0

x+

→

时，11

-→

→，又因为0

x→时，()

ln1x x

+:，

所以

)

ln[1~~1~

x=，选（B）.

方法3

：

000

lim lim lim

x x

+++

'

'

→→→

=

00

11

lim lim

1

x x

x

++

→→

-

==

设

1

1

x A

x

-

=

+

，

则(

()

1142

A B x x

++=+

对应系数相等得：1

A

B

= =

，所以

原式

00

1

lim lim

x x

x

++

→→

-?

==

?

0lim lim 01x x +

+→→=+=+1=，选(B).

(2)【答案】D 【详解】

方法1：论证法，证明,,A B C 都正确，从而只有D 不正确。

由0()

lim

x f x x

→存在及()f x 在0x =处连续，所以

0(0)lim ()x f f x →=0000()()()

lim

lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x

→→→→=?=?=?0=，所以(A)正确；

由选项(A)知，(0)0f =，所以0

0()(0)()

lim

lim

0x x f x f f x x x

→→-=-存在，根据导数定义，

()(0)

'(0)lim

x f x f f x →-=-存在，所以(C)也正确；

由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而

[]0

lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=

0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-??

=?=?=?=????

，

即有(0)0f =，所以(B)正确，故此题选择(D).

方法2：举例法，举例说明(D)不正确。例如取()f x x =，有

00()()

lim lim 00x x x x f x f x x x

→→----==-存在 而()()0

000lim lim 100x x f x f x x x -

-→→---==---，()()0000

lim lim 100

x x f x f x x x +-

→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在。(D)不正确，选(D).

(3)【答案】C

【详解】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),x

F x f t dt =?

知

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()()()()()()()()x x x

F x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =?

??令因为，

故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3)F F -=.

而2

(2)()F f t dt =?表示半径1R =的半圆的面积，所以

2

2

0(2)()2

2

R F f t dt ππ

==

=

?，

3

2

3

2

(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+???，其中3

2

()f t dt ?表示半径1

2

r =

的半圆的面积的负值，所以2

2

3

2

1()2

228

r f t dt πππ

??

=-

=-

?=- ???? 所以 2

30

2

333

(3)()()(2)28

8424

F f t dt f t dt F π

π

ππ=+=

-

=

=?=?? 所以 3

(3)(3)(2)4

F F F -==，选择C

(4)【答案】B

【详解】画出该二次积分所对应的积分区域:2sin 1D x x y ππ≤≤≤≤，

交换积分次序，则积分区域可化为：:01,arcsin D y y x ππ≤≤-≤≤ 所以 1

1sin 0

sin 2

(,)(,)x

arc y

dx f x y dy dy f x y dx π

π

π

π-=??

??

， 所以选择(B).

(5)【答案】D 【详解】'()2 1.()160280Q P P

P P Q P P P

-=

===--需求弹性 若

180P P =-，80P P =-，无意义；若180P

P

=-，解得：40.P = 所以选(D)

(6)【答案】D

【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→??

=++ ???00

1lim limln(1)x x x e x →→=++=∞，

所以0x =是一条铅直渐近线；

因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞??

=++ ???--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞

=++=+=，

所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；

令 21

ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++??+===+ ???

21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11

x

x x e e →+∞+ +=洛必达法则

令 ()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞??

=-?=++- ???

()1

lim

lim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞

=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞ = ++-

1lim ln()x

x x e e

→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+== 所以y x =是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)

(7)【答案】A 【详解】

方法1：根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得

1122330k k k ααα++=成立，则称123,,ααα线性相关.

因122331()()()0αααααα-+-+-=，故122331αααααα---，，线性相关，

所以选择(A).

方法2：排除法

因为()122331,,αααααα+++

()()1231232101,,110,,,011C αααααα?? ?== ? ???其中2101110011C ?? ?

= ? ???

，

且 2101110011C =11101

111(1)2011111

011

+-?-+-=-行行（）

1111=?-?-（）20=≠.

故2C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积，2C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有

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122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==

所以122331,,αααααα+++线性无关，排除(B). 因为()1223312,2,2αααααα---

()()1231233102,,210,,,

021C αααααα-?? ?

=-= ? ?-??

其中

3102210021C -??

?=- ? ?-??

，

31022

100

2

1

C -=--11

1

02

14

10

1

4121

021

+--?-=---行2+2行（）

1124=?--?-（）（）≠=-70.

故3C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 3C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有

122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==

所以1223312,2,2αααααα---线性无关，排除(C). 因为()1223312,2,2αααααα+++

()()1231234102,,210,,,021C αααααα?? ?== ? ??? 其中4102210021C ??

?

= ? ???，

4102210021

C =11

10214

1(2)2014121

02

1

+-?-+-=-行行（）

1124=?-?-（）90.=≠

故4C 是可逆矩阵，由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 4C 右乘()123,,ααα时，等于作若干次初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，故有

122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==

所以1223312,2,2αααααα+++线性无关，排除(D). 综上知应选(A).

(8)【答案】B 【详解】

方法1：2

1

1

121112E A λλλλ--=

--11

2312112

λλλλλ--、列分别加到列 111121

1

12

λλλλ--提出1111103

1

1

2

λλλ?---行（）+2行

1111103

3

λλλ?---行（）+3行11

3

10

3

λλ

λ+-=--（）()2

30λλ=-=

则的A 特征值为3，3，0;B 是对角阵，对应元素即是的特征值，则B 的特征值为1，1，0. ,A B 的特征值不相同，由相似矩阵的特征值相同知，

A B 与不相似.

由,A B 的特征值可知，,A B 的正惯性指数都是2，又秩都等于2可知负

惯性指数也相同，则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指

数和相同的负惯性指数，知A 与B 合同，应选(B).

方法2: 因为迹(A )=2+2+2=6，迹(B )=1+1=2≠6，所以A 与B 不相似(不满足相似

的必要条件)。又2(3)E A λλλ-=-，2(1)E B λλλ-=-，A 与B 是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A 与B 合同。

(9)【答案】C

【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功，2次失败.

根据独立重复的伯努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为

123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .

根据独立性原理：若事件1,,n A A L 独立，则

{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =I I L I L

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所以，第4次射击为第二次命中目标的概率为1

2223

(1)3(1).C p p p p p -?=- 所以选(C)

(10)【答案】A

【详解】二维正态随机变量(,)X Y 中，X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关. 而对任意两个随机变量X 与Y ，如果它们相互独立，则有(,)()()X Y f x y f x f y =.

由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且

(,)()()X Y f x y f x f y =. 根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则

(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =

()()

()()

X Y X Y f x f y f x f y ==. 现()Y f y 显然不为0，因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).

二、填空题 (11)【答案】0 【详解】

方法1：由洛必达法则，

323

1lim

2x x x x x →+∞+++()2223262lim lim

2ln 232ln 26x x x x x x x x x

→+∞→+∞∞+∞+ ∞+∞+()36lim 0,2ln 26

x x →+∞∞ =∞+ 而1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤，所以(sin cos )x x +是有界变量，根据无穷小量乘以有界量仍是无穷小量，所以

323

1

lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ 方法2：323

1

lim

(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++()()

313331lim (sin cos )21x x x x x x x x x ---→+∞++=++ 133311

lim (sin cos )lim (sin cos )2121

x x x x x x x x x x x x ----→+∞→+∞++=+=+++

而3

lim 2x x x

-→+∞

23222ln 22(ln 2)lim lim lim 36x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞∞∞= ∞∞3

2(ln 2)lim 6

x x →+∞∞ =+∞∞，

所以323311

lim (sin cos )lim (sin cos )0221

x

x x x x x x x x x x x -→∞→+∞+++=+=++

(12)【答案】1

(1)2!

3n n n n +-

【详解】()1

12323

y x x -=

=++， ()

()()11

11

11'(1)232(1)1!223y x x x ----'=-?+?=-???+，

()()

321

222''(1)(2)223(1)2!223,,y x x ---=-?-??+=-??+L

由数学归纳法可知 ()

1

()(1)2!23,n n n n y n x --=-+

把0x =代入得 ()

1

(1)2!

(0)3

n n n n n y +-=

(13)【答案】''

122()y x f f x y

-

+ 【详解】121221''''x y y z y x f f f f x x x x y ?????? ? ?

???

????=?+?=?-+? ??????

，

12'x y y z x

f f y y y ?????? ? ?

?????'=?+?=???1221''x f f x y ???+?- ???

所以 12122211

''''z z y x x

y x f f y f f x y x y x y ??????????-=??-+?-?+?-?? ? ????????????

? 1212''''y x y x f f f f x y x y ??

=-?+?-?+? ???

''122()y x f f x y =-+

(14)

【答案】

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【详解】典型类型按标准解法. 令y

u x

=

，有(),d ux dy du du ux x u x dx dx dx dx '==+=+ 原方程化为 31,2du u x

u u dx +=- 即 32,du dx

u x

=- 此式为变量可分离的微分方程，两边积分，32du dx u x =-??121

ln x C u

?-=-+

得 21

ln x C u

=+，即 22ln ||x x C y =+

由11x y

==知应取0,0x y >>且1,C =

所以得特解y =

(15)【答案】1 【详解】

201000

1000

010*********

00100010

0010

0000

0000

0000

000A ??????

??? ?

??? ?==

??? ?

??? ???????

32

00100

1000

001000100100

00000000

0010000000000000

000A A A ??????

??? ?

??? ?

=?== ??? ? ??? ???????

由阶梯矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数，知()3 1.r A =

(16)【答案】34

【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别 为X Y 和，它们应是相互独立的. 如果把 ,X Y （）

看成平面上一个点的坐标，则由于 01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上 正方形：01,01X Y <<<<中的一个点.

X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中1

2

X Y -<的区域.

所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，可以被看成上图中单位

正方形里的点.1

2

X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D . 根据几何概率的定义：

()2

11213.214D P X Y -?

?-<=== ???的面积单位正方形面积

三、解答题

(17)【详解】讨论曲线()y y x =的凹凸性，实际上就是讨论y ''的符号，而()y y x =是由方程ln 0y y x y -+=确定，所以实际上就是求隐函数的二阶导数并讨论其符号.

对方程两边求导得 1

ln 1ln 210y y y y y y y y y

'''''+??-+=+-=

移项得 1

2ln y y

'=

+

再两边求导得 ()()

()

()

2

2

3

ln 12ln 2ln 2ln y y y y y y y y ''''=-

=-

=-

+++

在(1，1)点的值1311

01(2ln1)8

x y =''

=-

=-

在1y =的附近0y ''<，曲线为凸.

(18)【详解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有

1

(,)4(,)D

D f x y d f x y d σσ=??????

其中1D 为D 在第一项限的部分，而

1

11

12

(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?????????

其中，{}11(,)|01,01D x y y x x =≤≤-≤≤，{}12(,)|12,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥(如下图所示).

x

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因为

1111

111

2220

1(,)(1)12

x

D D f x y d x d dx x dy x x dx σσ-===-=

???

?????

?

12

12

(,)D D f x y d σσ=???

22sin cos 2

10

sin cos 1

1)sin cos d dr d π

π

θθ

θθ

θθθθ

++===+???

所以

11

(,)41)1)123

D

f x y d σ??==+???????

(19)【详解】(I) 设(),()f x g x 在(,)a b 内的最大值为M ，则存在(,),(,)a b a b αβ∈∈(不妨设αβ≤)，使()()f M g αβ==.

当αβ=时，取(,)a b ηαβ==∈，有()()f g ηη=； 当αβ<时，令()()()h x f x g x =-，则

()()()()0h f g M g αααα=-=-≥，()()()()0h f g f M ββββ=-=-≤，

则由介值定理知，存在[,](,)a b ηαβ∈?，使得()0h η=，即()()f g ηη=.

(II) 因为 ()()()0h a f a g a =-=，()0h η=，()()()0h b f b g b =-=， 则由罗尔定理知，存在1(,)a ξη∈，2(,)b ξη∈，使得 12()()0h h ξξ''==. 再由罗尔定理知，存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，使得()0h ξ''=，即 ()()f g ξξ''''=.

(20)【详解】 2

11111()()34(4)(1)541f x x x x x x x =

==----+-+111

()51312

x x =----+

记()1111

113313

13x x x ==-?----+-??- ???

，因为()0

111n n q q q ∞

== <-∑

所以

011

1111133

3313n

n x x x ∞=-??=-?=- ?---??

??- ???∑，其中1

1133x x -

理

11

111

11122

21122x x x =?

=?---+????+-- ? ?

????

()0011111,2222n n

n n n x x ∞∞==--????

=-=- ? ?????

∑∑其中11122x x - -

1

()34

f x x x =

--展开成1x -的幂级数为： 110001111111(1)()()(1)()(1)53322532n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++===??---??=---=-+- ???????

∑∑∑，其中12x -<，即13x -<<

(21)【答案】当1a =时，公共解为[0,1,1]T -；当2a =时公共解为[0,1,1]T - 【详解】

方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立得

123123

2

1231

23020(3)4021

x x x x x ax x x a x x x x a ++=??++=??++=??++=-? 对联立方程组的增广矩阵作初等行变换

21110120()140121a A b a a ?? ? ?= ? ? ???

211

100110112140121a a a ??

?- ??-+ ? ???u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行 21

1

1

0011011303101

21a a a ?? ?- ??-+ ?- ???u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行211

1

001101140

3100101a a a ??

?

- ?

?-+ ?

-

?

-??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行

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211

1

000111203100

101a a a a ?? ?

-- ??-+ ?

- ?

-??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 4行（）行211

10001133001330

101a a a a a ??

?

-- ?

?-+ ?

-- ?

-??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 4行（）行

2111

010100110

0133a a a a a ??

?

- ? ?

-- ?

--??u u u u u x 换行11

1

01013--1400110

00(1)(2)a a a a

a a ?? ?

- ??+ ?-- ?

--??

u u u u u u u u u u u u u u u u u u u x 行（）行

由此知，要使此线性方程组有解，a 必须满足(1)(2)0a a --=，即1

a =或2a =.

当1a =时，()2r A =，联立方程组(3)的同解方程组为1232

0x x x x ++=??=?，

由()2r A =，方程组有321n r -=-=个自由未知量. 选1x 为自由未知量，取

11x =，解得两方程组的公共解为()1,0,1T

k -，其中k 是任意常数.

当2a =时, 联立方程组(3)的同解方程组为123230

01x x x x x ++=??

=??=-?，解得两方程

的公共解为()0,1,1T

-.

方法2：将方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换

21111214A a a ????=??????211111201114a a ?????-+-??????

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行

2

111113011031a a ?????-+-????-??u u u u u u u u u u u u u u u u r 行（）行1113301100(1)(2)a a a ??

???-+-??

??--??

u u u u u u u u u u u u u u u u u r 2行（）行 当1a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为1232

0x x x x ++=??=?，由

()2r A =，

方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量，取11x =，解得(1)的通解为()1,0,1T

k -，其中k 是任意常数. 将通解()1,0,1T

k -代入方程(2)得0()0k k ++-=，对任意的k 成立，故当1a =时，()1,0,1T

k -是(1)、(2)的公共解.

当2a =时，()2r A =，方程组(1)的同解方程组为123230

0x x x x x ++=??+=?，由

()2r A =，

方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量，取21x =，解得(1)的通解为()0,1,1T μ-,其中μ是任意常数. 将通解()0,1,1T

μ-代入方程(2)得21μμ-=，即1μ=，故当2a =时，(1)和(2)的公共解为()0,1,1T

-.

(22)【详解】(I)由11A αα=，可得 111111()k k k A A A A αααα--====L ，k 是正整数,故

5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量(对应的特征值为12λ'=-).

若Ax x λ=，则()(),m m kA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ，

()()f A x f x λ=，即()f λ是()f A 的特征值.

故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，A 的特征值11,

λ=22,λ=

32,λ=- 则B 有特征值112

233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为－2，1，1.

由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道，B 也是实对称矩阵，属于不同的特征值的特征向量正交. 由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特

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征向量，设B 的属于1的特征向量为123(,,)T x x x ，1α与123(,,)T x x x 正交，所以有方程如下：

1230x x x -+=

选23,x x 为自由未知量，取23230,11,0x x x x ====和，于是求得B 的属于1的特征向量为 223(1,0,1),(1,1,0)T T k αα=-=

故B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α，其中1k 是非零

任意常数，对应于2

31λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+，其中23,k k 是不同时为零的任意常数.

()II 方法1：令矩阵[]123111,,101110P ααα-??

??==-??????

，求逆矩阵1P -. 111100101010110001-????-??????M M M 11110012012110110001-??

??+-??

????

M M u u u u u u u u u r M 行行

11110013012110021101-????+-????--??M M u u u u u u u u u r M 行行1111003012110003121-??

???+-??????

M M u u u u u u u u u u u u r M 行2行 111100111100330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--????????÷-?---????????????

M M M M u u u u u u u r u u u u u u u u u u u u u u u u r M M 行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---??

???---??????M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 3行(-1)+1行

1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-?????---??????M M u u u u u u u u u u u u u u u u r M 2行(-1)+1行

1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-?????-??????

M M u u u u u u u u u u r M 2行(-1)

则 1P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--????

????=-=-????

???????? 由1(2,1,1)P BP diag -=-，所以

11112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----??????

??????=?-?=--??????????????????

1112220331110111230333110121330----????????????=--=????????????-??????011101110-??

??=????-??

方法2：由()I 知1α与23,αα分别正交，但是23αα和不正交，现将23,αα正交化：

取 22331221111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222

k βαβαβ==+=+-=.

其中，3212222(,)1(1)11

(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1122

T k αββββ?-=-

=--=--?-+?

再对1,α23,ββ单位化：

312123123111,1),1,0,1),(,1,)22

βαβξξξαββ=

=-==-===

其中，123αββ====合并成正交矩阵，

记

0Q ?????=?? 由1(2,1,1)Q BQ diag -=-，有1(2,1,1)B Q diag Q -=?-?. 又由正交矩阵的性质：1T Q Q -=，得

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200(2,1,1)00100001T

B Q diag Q ????????-?

??????

??=?-?=?

???????

??

00??????

???????=??????

??011101110-????=????-??. (23)【详解】 计算{}2P X Y >可用公式{}22(,)x y

P X Y f x y dxdy >>=

??

求Z X Y =+的

概率密度()Z f z ：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.(卷积公式)

()(,)(,).Z f z f z y y dy f x z x dx +∞

+∞

-∞

-∞

=-=-?

?

此公式简单，但讨论具体的积分上下限会较复杂.

另一种方法可用定义先求出{}{}(),Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤然后再

'()()Z Z f z F z =.

(I){}2(2)D

P X Y x y dxdy >=--??，其中D

为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域(右 图阴影部分)；求此二重积分可得

{}11

20

2(2)x P X Y dx x y dy >=--??

1

205()8x x dx =-?724

=

(Ⅱ)方法1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有

()(,).Z f z f x z x dx +∞

-∞

=-?

先考虑被积函数(,)f x z x -中第一个自变量x 的变化范围，根据题设条件只有当01x <<时(,)f x z x -才不等于0. 因此，不妨将积分范围改成

1

()(,).Z f z f x z x dx =-?

现再考虑被积函数(,)f x z x -的第二个变量z x -.显然，只有当

01z x <-<时，(,)f x z x -才不等于0.且为2()2.x z x z ---=-为此，我们将

z 分段讨论.

因为有01z x <-<，即是1,x z x <<+而x 的取值范围是(0,1)，所以使得

(,)f x z x -不等于0的z 取值范围是(0,2] 如下图，在01x <<情况下，在阴

影区域1D 和2D ，密度函数值不为0，积分方向如图所示，积分上下限就很好确定了，所以很容易由卷积公式得出答案。 0z ≤时，由于01x <<，故0z x -<，

故()0;Z f z =

01z <≤时，()20()22;z

Z f z z dz z z =-=-? 12z <≤时，()1

1()2Z z f z z dz -=-?

244;z z =-+

2z <时，由于01x <<，故1z x ->，

故()0.Z f z =

总之，222,01()44,

120,Z z z z f z z z z ?-<≤?

=-+<≤???

其他

方法2：{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤

当0z ≤时，()0Z F z =； 当2z >时，()1Z F z =； 当01z <≤时，

00

32

()(2)1

3

z

z x Z F z dx x y dy

z z -=--=-+??

当12z <≤时，

1

1

321

15

()1(2)2433

Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-??

积分方向

2<

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所以 222,01()()44,

120,Z z z z f z F z z z z ?-<≤?

'==-+<≤???其他

(24)【答案】θ的矩估计量为$122

X θ

=-；24X 不是为2θ的无偏估计量. 【详解】本题中只有唯一参数θ，则在求矩估计的时候，只要令样本均值X 等于总体的期望()E X 就可以求得了；而判断2

4X 是否为2θ的无偏估计量，只要判断

2

2(4)E X θ=是否成立即可.

(I) 记()E X μ=，则由数学期望的定义，有

10

()22(1)x x E X dx dx θ

θμθθ==+-?

?1142

θ=+

样本均值 1

1n

i i X X n ==∑，用样本均值估计期望有 EX X =

即是令 1142μθ=

+，解出 122

θμ=-， 因此参数θ的矩估计量为 $122

X θ

=-； (II) 只须验证2

(4)E X 是否为2θ即可，而由数学期望和方差的性质，有

2

2

221

(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n

==+=+，而

11()42E X θ=+，221

()(12)6

E X θθ=++，

22251

()()()481212

D X

E X EX θθ=-=-+，

于是 22

2533131(4)1233n n n E X n n n

θθθ+-+=++≠

因此2

4X 不是为2θ的无偏估计量.